生日悖论3801272
生日悖论 codeforces 例题
生日悖论是一个在概率论和统计学中的经典问题，指的是一个房间里只要有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率超过一半。
这个悖论看似与直觉相悖，然而通过概率的计算和统计学的分析可以得出证明。
在本文中，我们将通过codeforces评台上的一个例题来深入探讨生日悖论，通过编程和数学计算来验证这一经典问题的成立。
在codeforces评台上，有一道名为"Choosing Capital for Master"的例题，其内容涉及到选择一个首都来最大程度地使得其他城市到首都的距离之和最小。
这个问题实际上可以通过生日悖论来进行类比和解决，通过分析和算法设计来解决这一问题。
我们将通过数学推导来证明生日悖论。
假设有n个人，那么至少有两个人生日相同的概率可以通过以下步骤计算得出：1. 计算出任意两个人生日不重复的概率：第一个人的生日为365天中的任意一天，第二个人的生日不能与第一个人相同，所以概率为364/365。
2. 计算出n个人中都没有人生日相同的概率：依次乘上n个人都没有生日相同的概率，即为(365/365) * (364/365) * ... * (365-(n-1)/365)。
3. 最终得到至少有两个人生日相同的概率为1减去n个人都没有生日相同的概率。
通过以上推导，我们可以得出结论：当n=23时，至少有两个人生日相同的概率超过一半。
接下来，我们将通过编程来验证生日悖论。
我们可以使用C++或Python等编程语言来模拟生成一定数量的随机生日序列，然后判断其中是否存在相同的生日。
通过统计实验次数和相同生日出现的次数，来逼近真实的概率值。
以C++为例，我们可以编写以下伪代码来模拟实验过程：```cpp#include <iostream>#include <vector>#include <cstdlib>#include <ctime>int m本人n() {int n = 23; // 人数int experiments = xxx; // 实验次数int same_birthday_count = 0; // 相同生日次数统计srand(time(0)); // 设置随机种子for (int i = 0; i < experiments; ++i) {std::vector<int> birthdays(n);for (int j = 0; j < n; ++j) {birthdays[j] = rand() 365 + 1; // 随机生成1-365之间的生日}// 判断是否有相同生日bool has_same_birthday = false;for (int j = 0; j < n; ++j) {for (int k = j + 1; k < n; ++k) {if (birthdays[j] == birthdays[k]) {has_same_birthday = true;break;}}if (has_same_birthday) {break;}}if (has_same_birthday) {same_birthday_count++;}}// 输出实验结果std::cout << "实验次数：" << experiments << std::endl;std::cout << "至少有两个人生日相同的次数：" <<same_birthday_count << std::endl;double probability =static_cast<double>(same_birthday_count) / experiments;std::cout << "实际概率：" << probability << std::endl;return 0;}```通过以上代码，我们可以得到实际的概率值。
课件2：§3.2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
=1−
365！
365 365−
！
生日悖论的解释
“存在两人生日相同”；
“存在与我生日相同”.
生日悖论的解释
1.“与我生日相同”的概率问题：
（1）计算机模拟实验；
（2）概率计算公式、图象表示．
生日悖论的解释
1.“与我生日相同”的概率问题
（1）计算机模拟实验：
数据选取：人数相同对比概率？概率大体一致对比人数？
q( m ) 1
1
.
m
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5
365
m
生日悖论的解释
生日悖论的解释
图象表示
人群中有生日为某一特定日期的概率
0
生日悖论的解释
“有人生日相同”与“与我生日相同” 图象对比：
0.5
(23,0.5)
(253,0.5)
(23,0.06)
生日悖论的解释
2.“有人生日相同”与“与我生日相同”的概率差异分析
1 e
365
n
365
.
生日悖论的解释
p(n ) 1 e
p(n)
q(n)
q( n ) 1 e
n ( n 1)
730
n
365
=1 e
2n
730
课堂小结
1.进一步验证“生日悖论”的结论，并对与直觉差异明
显的原因进行分析；
2.尝试从不同角度解释“存在两人生日相同”与“存在
0.41
100
0.40
100
0.43
100
0.42
100
0.42
100
0.44
生日悖论公式
生日悖论公式生日悖论是指在一个群体中，只要人数达到一定数量，至少会有两个人具有相同的生日。
这个悖论在数学领域被广泛探讨，其结果却常常超出人们的直觉。
本文将从数学原理、实际示例以及对我们生活的指导意义三个方面，生动全面地解释生日悖论。
首先，我们来看看生日悖论的数学原理。
在一个群体中，假设有n 个人，那么每个人的生日都有365种可能性（不考虑闰年）。
第一个人的生日可以是任何一天，第二个人的生日也可以是任何一天……直到第n个人的生日。
因此，第n个人和前面的n-1个人必须避免选择相同的生日，即他的生日选择余地只剩下了365-(n-1)天。
这时，我们可以使用乘法原理来计算选择不同生日的概率，即P(n)=1*365/(365^1)*364/(365^2)*......*(365-(n-1))/(365^n-1)。
然而，我们更关心的是至少有两个人生日相同的概率，即1-P(n)。
通过代入不同的n值，我们可以看到，当群体中的人数超过23个时，至少有两个人生日相同的概率已经超过一半了，这是一个惊人的事实。
其次，我们可以通过实际示例来理解生日悖论。
假设我们有一个教室里有30个学生，我们随机选择一位学生，他的生日是1月1日的概率是365/365=1。
我们再选择第二位学生，如果他的生日不是1月1日，概率是364/365。
依次类推，直到选择第30位学生。
我们可以使用乘法原理来计算这个概率，即P(30)=365/365*364/365*......*336/365≈0.706。
也就是说，教室里至少有两个学生生日相同的概率是70.6%。
这个实际示例说明了生日悖论在现实生活中的应用，尤其是在人群较大的情况下，生日相同的可能性更大。
最后，生日悖论给我们生活中的某些方面带来了指导意义。
首先，生日悖论提醒我们在安排活动或集会时要慎重考虑，因为可能出现生日相同的情况。
这对于组织生日派对、选举日期等都具有重要意义。
其次，生日悖论也提醒我们对于大数据和统计结果要保持理性和客观。
生日悖论计算公式
生日悖论计算公式生日悖论是个挺有趣的数学概念呢！咱们先来说说啥是生日悖论。
比如说一个教室里有一群同学，你可能会觉得要很多很多人，才有可能出现两个人生日相同的情况。
但实际上，人数不需要特别多，就有比较大的概率会有人生日相同。
这和咱们一般的直觉不太一样，所以才叫悖论。
那生日悖论的计算公式是啥呢？假设一年 365 天，在一个有 n 个人的群体里，至少有两个人生日相同的概率可以用这个公式来计算：P =1 - 365! / [365^n * (365 - n)!] 。
这个公式看起来有点复杂，对吧？别担心，我给您举个例子来解释解释。
比如说一个班级有 23 个人，咱们来算算至少有两个人生日相同的概率。
把 23 代入到公式里，经过一番计算，您会发现这个概率居然超过了 50%！是不是很神奇？我想起之前给学生们讲这个生日悖论的时候，有个小家伙特别较真儿。
他一直说：“老师，我怎么就觉得不可能呢？”然后我就带着他们做了个小实验。
我让每个同学把自己生日的月份和日期写在小纸条上，放进一个盒子里。
等大家都写完放进去之后，我开始一张一张地拿出来念。
结果，还没念到一半呢，就发现有两个同学的生日是同一天！那个较真儿的小家伙眼睛瞪得大大的，一脸的不可思议。
其实生日悖论在生活中也有不少应用呢。
比如说在密码学里，它可以帮助我们评估随机生成的密钥出现重复的可能性；在统计学中，能用来估计样本的独立性和随机性。
再想想，如果在一个聚会上，您和新认识的朋友们聊起生日悖论，然后用这个公式算出大家生日相同的概率，那得多有意思呀！回到咱们这个计算公式，虽然它看起来有点让人头疼，但只要您多琢磨琢磨，多结合实际的例子去理解，就会发现数学的奇妙之处。
它能让我们看到那些看似不可能的事情，其实有着意想不到的可能性。
所以啊，别小看这个生日悖论计算公式，它背后藏着的可是大大的智慧和乐趣呢！。
算法导论-生日悖论
算法导论-⽣⽇悖论算法导论第五章讲到了⽣⽇悖论。
1、定义：⽣⽇悖论[1]是指，如果⼀个房间⾥有23个或23个以上的⼈，那么⾄少有两个⼈的相同的概率要⼤于50%。
这就意味着在⼀个典型的标准⼩学班级(30⼈)中，存在两⼈⽣⽇相同的可能性更⾼。
对于60或者更多的⼈，这种概率要⼤于99%。
从引起⽭盾的⾓度来说⽣⽇悖论并不是⼀种，从这个数学事实与⼀般相抵触的意义上，它才称得上是⼀个悖论。
⼤多数⼈会认为，23⼈中有2⼈⽣⽇相同的概率应该远远⽣⽇悖论，在这个问题之后的数学理论已被⽤于设计著名的密码攻击⽅法：⽣⽇攻击。
⼩于50%。
计算与此相关的被称为⽣⽇悖论它的计算⽅式是这样的： n个⼈可能的⽣⽇组合是365×365×365×……×365(共n个)个,记作a； n个⼈⽣⽇都不重复的组合是365×364×363×……×（366-n)个，记作b； 所以n个⼈⽣⽇不重复的概率是b/a，则n个⼈⽣⽇重复的概率是1-b/a。
只要有23⼈在⼀起，其中两⼈⽣⽇相同的概率就达到51%！具体细节维基百科[1]有分析。
⽣⽇悖论的本质就是，随着元素增多，出现重复元素的概率会以惊⼈速度增长，⽽我们低估了它的速度[2]。
2、推⼴：a.⼀个房间要有多少⼈，才能让某⼈与你⽣⽇相同的概率⾄少为1/2？（习题5.4-1）253b.⼀个聚会需要邀请多少⼈，才能让其中很可能有3个⼈的⽣⽇相同？（习题5.4-3）3、相关a.你和朋友参加聚会，包括你们两⼈在内⼀共有10个⼈在场。
你朋友想跟你打赌，说这⾥没有⼀个⼈⽣⽇和你相同，你就给他1元，没有⼀个⼈⽣⽇和你不同，他给你2元。
你会接受么?（坊间流传的google疯狂⾯试题）b.⽹上的⼀道推理题：⼩明和⼩强都是张⽼师的学⽣，张⽼师的⽣⽇是m⽉n⽇，2⼈都知道张⽼师的⽣⽇是下列10组中的⼀天，张⽼师把m值告诉了⼩明，把n值告诉了⼩强，张⽼师问他们知道他的⽣⽇是那⼀天吗？3⽉4⽇ 3⽉5⽇ 3⽉8⽇6⽉4⽇ 6⽉7⽇9⽉1⽇ 9⽉5⽇12⽉1⽇ 12⽉2⽇ 12⽉8⽇⼩明说：如果我不知道的话，⼩强肯定也不知道⼩强说：本来我也不知道，但是现在我知道了⼩明说：哦，那我也知道了请根据以上对话推断出张⽼师的⽣⽇是哪⼀天？4、参考：1.维基百科-⽣⽇问题：2.科学松⿏会，⽣⽇悖论与⽣⽇攻击：。
什么是生日悖论？
人们通常是站在这样一个角度来看问题——你进入了一个有着22个人的房间，那么房间里有人 会和你有相同生日的概率非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配，这应该非常好理 解。
为了计算出生日相同的概率，我们可以先计算所有人生日都不同的概率。那么，第一人生日是 唯一的概率为365/365，第二个人生日是唯一的概率则下降到364/365，以此类推，第23个人生 日是唯一的概率为343/365。
那么，这背后的数学原理是怎样的呢？ 在开始解释这个原因之前，先假设一年只有365天，每 一天的生日概率相同。虽然假设不完全准确，但使我们计算起来更加方便，而且不会影响到最 终结果。
生日悖论会令人感到难以置信，因为人类倾向于从自己的角度看待问题。人们通常这样想，如 果一个房间里加上自己共有23人，你会觉得在这22人里跟你同一天生日的可能性太低了。365 天，现在却只有22个人，你可能会想概率只有22/365，所以很难在这22个人中遇上跟自己同一 天生日的。
什么是生日悖论？
开动脑筋，想想生日中有趣的数学现象。例如，四年才出现一次2月29日，也意味着这一天出生 的人四年才能过上一次生日。此外，如果在街上偶遇一人，你们同一天生日的可能性有多大？
似乎很渺茫，对吧？366天，遇到同一天生日的概率为1/366，或0.0027%！概率极小，这就是 为什么当你遇到一个和你同一天生日的人，你会不禁感慨，天啊，这好神奇啊，好巧啊！
然后，把所有23个独立概率相乘，即可得到所有人生日都不相同的概率为：(365/365)× (364/365) × ... ×(343/365) ，得出结果为0.491。那么，再用1减去0.497，就可以得到23个人中 有至少两个人生日相同的概率为0.509，即50.9%，超过一半的可能性。
3.2数学探究活动 生日悖论的解释与模拟课件(共16张PPT)
比例为 9∶20＝45%.
比例为 11∶20＝55%.
(6)m 个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日
364
期的概率计算公式 P(m)＝1－365m. (7) m＝200,250,300，…，2200 时，(6)中概率值以
及图像的表示
(8)模拟(7)中概率的方法及结果 指定一个不大于 365 的正整数，例如 268,20 个数为一组， 产生 10 组或更多组如下.
第三章 排列、组合与二项式定理
3.2 数学探究活动:生日悖论的解释与 模拟
生日悖论的解释与模拟活动记录表
活动开始时间：________
(1)成员与分工
姓名
分工
贾倩文
组织讨论，把握工作方向
安莹 周娜 信息、数据采集与计算
霍芳
结果记录，整理
(2)验证生日悖论的实际数据 学号 生日 学号 生日 学号 生日 学号 生日 学号 生日
(3)n 个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率
365！
计算公式 P(n)＝1－365n
－n ！.
(4)n＝20,21，…，60 时，(3)中的概率值以及图像表示
从上表可以看出，当 n 为 41 人时就已经超过了 90%，当 n 为
47 人时就已经超过了 95%.
(5)生日悖论模拟的方法与结果 可以用 Excel 中的随机函数产生多组数据，然 后统计哪些组出现了重复数据，最后计算比例.
(9)活动总结 到这里，我们对“生日悖论”有了更深一步的了解．生日悖论 的本质就是，随着元素的增多，出现重复元素的概率会以惊人 的速率增加，这个问题在密码学中有着广泛的应用. 通过这次数学探究活动，我们在实际生活中发现问题，然后运 用概率的知识去解决它们，一方面，增强了我们发现问题的能 力，另一方面，也增强了我们运用所学知识解决问题的能力.
生日悖论是个延续了百余年的谬误[指南]
![生日悖论是个延续了百余年的谬误[指南]](https://img.taocdn.com/s3/m/94969560680203d8cf2f245f.png)
生日悖论是个延续了百余年的谬误[指南] 《生日悖论》是个延续了百余年的谬误——发展非线性经济学的哲学漫谈商与儒这是我在提议发展我国非线性经济学时，用自己的非线性哲学思维审视精确科学——数学的一篇哲学漫谈，我相信诸位很容易判断我的结论是否正确。
欢迎各位批评和指正～《概率理论》是《经济学》的重要分析工具，它真的是那么科学、那么完美、那么无暇可击吗,我们先来看个例子:一个袋子里有9个材质、形状、重量都一样的小球，它们分成3组，分别写着1-3的数字。
我们随机摸3个小球，问:摸到3个数字相同的小球和摸到3个数字都不同的小球，哪个概率大,显然数字相同的小球只有3个组合:111，222，333;而数字都不同的小球有6个排列(123，132，213，231，312，321)，所以答案一定是摸到数字都不同的3个小球的概率大。
现在我们用三种不同的颜色分别代替三个不同的数字，给这些小球上涂上红兰棕三色，每种颜色涂3个小球。
我们随机摸3个小球，问:摸到3个颜色相同的小球和3个颜色都不同的小球，哪个概率大,颜色相同的3个小球只有三个组合——红红红、蓝蓝蓝、棕棕棕;颜色都不同的3个小球有6种不同排列(红蓝棕、红棕蓝、蓝红棕、蓝棕红、棕红蓝、棕蓝红)，所以答案一定是摸到颜色都不同的3个小球的概率大。
现在我们再在三组颜色相同的小球上分别写上123三个不同的数字:1 1 12 2 23 3 3于是，如上图所示，9个小球中，颜色相同的小球，数字一定不同;数字相同的小球，颜色一定不同。
我们问:随机摸3个小球，概率最小的是哪一种情况时，就形成了一个“悖论”——回答“摸到3球颜色相同的概率最小”，那么这3球的数字一定不同(这是同时发生的必然事件，概率为1)，摸到3球数字不同的概率一定不是最小;回答“摸到3球数字相同的概率最小”，那么这3球的颜色一定不同，摸到3球颜色不同的概率一定不是最小。
概率是门严密精确的数学，怎么会得到如此矛盾的结果呢, 我们来分析其中的原因:如上图所示，我们先来研究一下，这里颜色和数字的互相关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
生日悖论生日悖论（Birthday paradox）生日悖论 (1)什么是生日悖论 (1)生日悖论的理解 (1)概率估计 (2)数学论证(非数字方法) (3)泛化和逼近 (5)N＝365的结果 (5)泛化 (5)反算问题 (6)举例 (6)经验性测试 (7)应用 (7)近似匹配 (8)参考文献 (8)什么是生日悖论生日悖论（Birthday paradox）是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。
大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。
计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。
生日悖论的理解理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。
如在前面所提到的例子，23个人可以产生种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。
从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。
换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。
原因是这时候只能产生22种不同的搭配。
生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。
概率估计假设有n个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。
计算机率的方法是，首先找出p(n)表示n个人中，每个人的生日日期都不同的概率。
假如n> 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设n≤ 365，则概率为:因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365),第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。
用阶乘可以写成如下形式:p(n)表示n个人中至少2人生日相同的概率:n≤365，根据鸽巢原理，n大于365时概率为1。
当n=23发生的概率大约是0.507。
其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来：n p(n)10 12%20 41%30 70%50 97%100 99.99996%200 99.9999999999999999999999999998%300 1 − (7 × 10−73)350 1 − (3 × 10−131)≥366 100%注意所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人（比如你）有相同生日的概率：当n= 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。
如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日，n至少要达到253 。
注意这个数字大大高于.究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。
==数学论证(非数字方法)==数学论证(非数字方法)在 Paul Halmos 的自传中，他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。
为此，Paul Halmos给出了一种概念数学方法的解释，下面就是这种方法（尽管这个方法包含一定的误差）。
乘积:等于 1－p(n), 因此我们关注第一个n，使得乘积小于1/2，这样我们得到: 由平均数不等式得：(我们首先利用已知的1到n－1所有整数和等于n(n－1)/2, 然后利用不等式不等式 1－x< e−x.)如果仅当:最后一个表达式的值会小于0.5。
其中"log e"表示自然对数。
这个数略微小于506，运气稍微好一点点就可以达到506，等于n2－n，我们就得到n＝23。
在推导中，Halmos写道:这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。
生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。
计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。
[1]。
然而Halmos的推导只显示至少需要23人保证平等机会下的生日匹配；因为我们不知道给出的不等式有多清晰，因此n＝22能够正切的可能也无法确定。
泛化和逼近生日悖论可以推广一下：假设有n个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。
p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?下面的逼近公式可以回答这个问题N＝365的结果泛化下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?类似的结果可以根据上面的推导得出。
反算问题反算问题可能是:对于确定的概率p ...... 找出最大的n(p)满足所有的概率p(n)都小于给出的p,或者... 找出最小的n(p) 满足所有的概率p(n)都大于给定的p。
对这个问题有如下逼近公式:举例逼近估计N :=365p n推广n <N :=365n↓p(n↓)n↑p(n↑)0.010.14178 √N2.7086420.0027430.008200.050.32029 √N6.1191660.0404670.056240.10.45904 √N8.7700280.0743490.094620.20.66805 √N12.76302120.16702130.19441注意:某些值被着色，说明逼近不总是正确。
经验性测试生日悖论可以用计算机代码经验性模拟days:= 365;numPeople:= 1;prob:= 0.0;while prob < 0.5 beginnumPeople:= numPeople + 1;prob:= 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days); print "Number of people: " + numPeople;print "Prob. of same birthday: " + prob;end;应用生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。
这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。
生日问题所隐含的理论已经在（Schnabel 1938）名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。
近似匹配此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％。
这是个更难的问题需要用到容斥原理。
结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:只需要随机抽取6个人，找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。
参考文献1.↑原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematicsshould have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculators do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories2.Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake"（某湖中鱼类总量估计）, 美国数学月刊 45 (1938年), 348-352页3.M. Klamkin，D. Newman: "Extensions of the birthday surprise"（生日惊喜的扩充）, Journal of Combinatorial Theory 3 (1967年),279-282页。
4.D. Blom: "a birthday problem"生日问题, 美国数学月刊 80 (1973年),1141-1142页。
{这一论文证明了当生日按照平均分布，两个生日相同的概率最小。
}免费言情小说5F8Ktc1GI54z21。