等离子体振荡与朗道阻尼

2
2 ω2 = ωp +
3KTe 2 k m
（10.127）
它和 γ = 3 的流体方程所得到的电子静电波色散关系相同。 现在，我们回到方程（10.119）的虚数项。在计算这个小项时，忽略对 ω 实数部分的热 修正，并且令 ω ≈ ω p ，这样做，将有足够的精确性。从方程（10.120）和（10.123） ，我们
f1 ∝ ei ( kx −ωt )
那么方程（10.108）变成
（10.109）
−iω f1 + ikvx f1 =
∂f e Ex 0 m ∂vx
（10.110）
f1 =
泊松方程给出
ieEx ∂f 0 ∂vx m ω − kv x
（10.111）
∇iE1 = ikEx = −
代入 f1 并除以 ikE x ，得到
f (r, v, t ) 中的扰动：
f (r, v, t ) = f 0 ( v) + f1 (r, v, t )
现在，由于 v 是独立变量而且未经线性化，所以，电子的一阶符拉索夫方程是
（10.107）
∂f ∂f1 e + v i∇f1 − E1 i 0 = 0 m ∂t ∂v
（10.108）
像以前一样，我们假定离子质量重并且固定不动，而且假定波是在 x 方向的平面波，
因此，色散关系是
1=

2 ωp
k
2
∫
∞
−∞
∂ f 0 (vx ) ∂vx dvx vx − (ω k )
（10.116）
由于我们讨论一维问题，所以可去掉下标 x 。小心不要将这里的 v （实际上是 vx ）与前面使 用的总速度 v 想混淆：
1=
2 ωp
k
2
∫
∂ f 0 ∂v dv −∞ v − (ω k )
10.10 等离子体振荡和朗道阻尼
在这节里，我们将用符拉索夫方程导出电子等离子体振荡的色散关系，这个推导将需 要围道积分的知识。我们曾用流体观点处理过这个问题。在零阶近似下，我们假定一个具有 分布 f 0 ( v ) 的均匀等离子体，并且令 B 0 = E0 = 0 。在一阶近似下，我们用 f1 (r, v, t ) 表示
图 10-11 对于 Im(
在复 v 平面上的积分周线 ω ) 为小量的情况，
图 10-12 在 vφ
vth 的情况下的归一化麦克斯韦分布。
3
1=
2 ⎡ ωp
∞ ∂ f ∂f0 0 ∂v ⎢P∫ dv + iπ 2 k ⎢ −∞ v − (ω k ) ∂v ⎣
⎤ ⎥ ⎥ v =ω k ⎦
（10.119）
3
（10.132）
⎛ω Im ⎜ ⎜ω ⎝ p
⎞ ⎛ ωp ⎞ ⎛ −1 ⎞ exp ⎜ 2 2 ⎟ = −0.22 π ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 2k λD ⎠ ⎝ kvth ⎠ ⎠
3
（10.133）
。从方程（10.133） 由于 Im (ω ) 是负的，就存在等离子体波的无碰撞阻尼，它称为朗道阻尼 ．．．． 明显地看到，对于小的 k λD ，这个阻尼是极为小的，但对 k λD = 0 (1) ，它就变成重要了。 这个效应和波引起的分布函数变形 f1 有关系。 朗道阻尼是无碰撞等离子体的一种特征。 在等离子体中， 比波运动较快和较慢的电子都 存在。然而，麦克斯韦分布具有的慢电子比快电子要多（图 10-13） 。因此，从波获得能量 的粒子多于给波能量的粒子，波受到阻尼。随着 v ≈ vφ 的粒子在波中俘获，在接近相速度处
2 2
看到方程（10.119）中的积分主值近似为 k
2
ω 2 。现在，方程（10.119）变成
（10.128）
v = vφ
1= ⎛
2 2 ωp ωp ∂f0 π + i 2 2 ω k ∂v 2 ωp ⎡ ∂f o ⎤ 2
ω 2 ⎜1 − iπ
⎜ ⎝
⎥ k ⎢ ⎣ ∂v ⎦ v =vφ
2
⎞ 2 ⎟ = ωp ⎟ ⎠
2
（10.129）
把虚数项当作小量，我们能把它移到右边去。令 ω ≈ ω p ，并取泰勒级数展开的平方根，就 得到
ω = ω
p
⎛ ⎜1 + i π ω ⎜ 2 k ⎝
2 p 2
⎡∂ f 0 ⎢ ⎢ ⎣ ∂v
⎤ ⎥ ⎥ ⎦ v = vφ
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
（10.130）
如果 f 0 是一维麦克斯韦分布，我们得到
3 2 ⎛ −ω p ⎞ π ω p 2ω p 1 ⎛ 3⎞ Im (ω ) = − exp ⎜ 2 2 ⎟ exp ⎜ − ⎟ 2 3 ⎜k v ⎟ 2 k k π vth ⎝ 2⎠ th ⎠ ⎝
5
2 ⎛ −ω p ⎞ ⎛ ωp ⎞ ⎛ 3⎞ exp exp ⎜ − ⎟ = − πω p ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ kvth ⎠ ⎝ k vth ⎠
∞
（10.117）
在这里， f 0 被理解为一维分布函数，对 v y 和 vz 的积分已经求过。 （10.117）式适用于任何 平衡分布 f 0 (v) ，在特殊情况下，倘若 f 0 是麦克斯韦分布，则式中的 f 0 可用（10.115）式。 （10.117）式中的积分不能直接计算，因为在 v = ω k 处有奇点。人们也许认为不会涉 及到奇点，因为在实际上 ω 几乎从来不会是实数；波通常由于碰撞而稍微阻尼或者由于某 些不稳定性机制而增长。由于速度 v 是一个实数，方程（10.117）的分母绝不是零。朗道首 先正确地处理了这个方程。他发现，即使奇点在积分的路线以外，它的存在对等离子体波的 色散关系引入了一个重要的修正（一个流体理论所不能预言的效应） 。 考虑一个初始值问题，在这个问题中，给等离子体一个扰动 ∼ ei ( kx −ωt ) 。如果扰动增长 （ 10.117 ）式中的积分必须 处理成复 v 平面的周线积 分。对于 或衰变， ω 将是复数。 在图 10-10 中示出了可能的周线。 ( a ) Im(ω ) > 0 的一种不稳定波；(b) Im(ω ) < 0 的阻尼波， 在正常情况，人们会用留数定理来计算沿实 v 轴的线积分：
2
图 10-10
对于 ( a ) I m ( ω ) > 0 和 ( b ) I m ( ω ) < 0 ，朗道问题的积分周线。
∫
C1
Gdv + ∫ Gdv = 2π iR (ω k )
C2
（10.118）
其中 G 是被积函数，C1 是沿实轴的积分路程，C2 是在无穷大处的半圆， R(ω k ) 是 ω k 处 的留数。如果对 C2 的积分为零，就能求出沿实轴的积分。但不幸的是，对于包含因子
其中 P 就是柯西主值。为了计算这个值，我们沿实 v 轴积分，但正好在遇到极点前停止。如 果像我们假定的那样，相速度 vφ = ω k 足够大，则周线的忽略部分将不带来较大的贡献， 因为在那里 f 0 和 ∂f 0 ∂v 都是非常小的 （图 10-12） 。 用分部积分能计算 （10.119） 式的积分：
en1
ε0
=−
e
ε0
∫∫∫ f d v
3 1
（10.112）
∂f 0 ∂vx 3 e2 1= − d v ∫∫∫ kε 0 m ω − kvx
如果我们用归一化函数 f 0 来代替 f 0 ，能提出因子 n0 ：
（10.113）
1= −
2 ωp
k
∫
∞
−∞
dvz ∫ dv y ∫
−∞
∞
∞
∂ f 0 (vx , v y , vz ) ∂vx
图 10-13
在v
朗道阻尼引起的麦克斯 = vφ 区域，
图 10-14
一种双驼峰分布和不稳定性将发展的 区域
韦分布的变形
6
在取平均时，奇数项为零，我们有
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
（10.122）
(v − v )
φ
−2
⎛ 3v 2 ⎞ ≈ vφ−2 ⎜1 + 2 ⎟ ⎜ vφ ⎟ ⎝ ⎠
2
（10.123）
现在，我们令 f 0 是麦克斯韦分布并计算 v 。请记住，这里的 v 是 vx 的缩写，我们能写成
1 2 1 mvx = KTe 2 2
⎛ −v 2 ⎞ ∂f0 2 −1 2 ⎛ −2v ⎞ exp = (π vth ) ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ∂v ⎝ vth ⎠ ⎝ vth ⎠ =− ⎛ v2 ⎞ 2v exp ⎜− 2 ⎟ 3 π vth ⎝ vth ⎠
（10.131）
在系数中，我们可以用 ω p k 来近似 vϕ ，但是在指数中，我们必须保留方程（10.127）中的 热修正项。于是，阻尼由下式给出，
−∞
ω − kvx
dvx
（10.114）
如果 f 0 是麦克斯韦分布或者其他某些能分解因子的分布，就能容易地求出对 v y 和 vz 的积
1
分。留下的就是一维分布 f 0 (vx ) 。例如，一维麦克斯韦分布是
2 f m (vx ) = (m 2π KT )1 2 exp(−mvx 2 KT )
（10.115）
2 exp(−v 2 vth )
的麦克斯韦分布来讲，这种情况不出现。 v → ± i∞ 时，这个因子变得很大， C2 的贡献就不 能忽略。朗道证明，当这个问题被正确地处理成初始值问题时，使用的正确周线是低于奇点 通过的曲线 C1 。一般来说，这个积分必须要用数值计算，当 f 0 是麦克斯韦分布时，弗里德 （Fried）和康特（Conte）已经给出了计算数表。 虽然，这个问题的确切分析是复杂的，但对于大相速度和弱阻尼情况，我们能得到近 。于是，由朗道描 似的色散关系。在这种情况下，在 ω k 的极点接近于实 v 轴（图 10-11） 述的周线是一条沿 Re(v ) 轴的直线，它在极点周围有一个小半圆。围绕极点进行积分，就得 （10.117）式就变成 到 2π i 乘上极点处的半留数。