教育与心理统计学 第二章 常用统计参数考研笔记-精品

第二章常用统计参数
第二章常用统计参数
用参数来描述一组变量的分布特征，便于我们对数据分布状况进行更好的代表性的描述，也有利于我们更好地了解数据的特
点。

常见的统计参数包括三类：集中量数、差异量数、地位量数（相对量数X相关量数。

描述统计的指标通常有五类。

第一类集中量数：用于表示数据的集中趋势，是评定一组数据是否有代表性的综合指标，比如平均数、中数、众数等。

概述［不背］
第二类差异量数：用于表示数据的离散趋势，是说明一组数据分散程度的指标，比如方差、标准差、差异系数等。

第三类地位量数：是反映个体观测数据在团体中所处位置的量数，比如百分位数、百分等级和标准分数等。

第四类相关量数：用于表示数据间的相互关系，是说明数据间关联程度的指标，比如积差相关、肯德尔和谐系数、①相关等。

第五类：是反映数据的分布形状，比如偏态量和峰度等（不作介绍I
第一节集中量数
（一）集中量数的定义（种类、作用）［湖南12名］
描述数据集中趋势的统计量数称为集中量数。

集中量数能反映大量数据向某一点集中的情况。

常用的集中量数包括算术平均数、加权平均
数、几何平均数、中数、众数等等，它们的作用都是用于度量次数分布的集中趋势。

（二）算术平均数（平均数、均数）（一级）简述算术平均数的定义和优缺点。

（1）平均数的含义
算术平均数可简称为平均数或均数，符号可记为M。

算术平均数即数据总和除以数据个数，即所有观察值的总和与总频数之比。

只有在为了与其他几种集中.数洞区别时,如几何平均数、调和平均数、加权平均数，才全称为算术平均数。

如果平均数是由变量计算的,就用相应的变量表示，如又匕算术平均数是用以度量连续变量次数分布集中趋势及位置的最常用的集中量数，在一组数据中如果没有极端值, 平均数就是集中趋势中最有代表性的数字指标，是真值的最佳估计值。

（2）平均数的优缺点简述算术平均数的使用特点［含优缺点］
算术平均数优点
①反应灵敏。

观测数据中任1可一个数值或大或小的变化，甚至细微的变化，在计算平均数时，都能反映出来。

②计算严密。

计算平均数有确定的公式，不管何人在何种场合，只要是同一组观测数据，计算的平均数都相同。

③计算简单。

计算过程只是应用简单的四则运算。

④简明易解。

平均数概念简单明了，较少数学抽象容易理解。

⑤适用于进一步用代数方法演算。

在求解其他统计特征值，如离均差、方差、标准差的计算时，都要应用平均数。

还要作进一步代数运算
时，用算术平均数表示其集中趋势最佳
⑥较少受抽样变动的影响。

观测样本的大小或个体的变化，对计算平均数影响很小。

算术平均数缺点用算术平均数度量集中趋势存在哪些缺点？试举例说明。

①易受极端数据的影响；由于平均数反应灵敏，因此当数据分布呈现偏态时，受极值影响，平均数就不能恰当地描述分布的真实情况。

通
常可以使用修剪平均数来解决。

②若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数，因为平均数的计算需要每个数据的加入。

在这种情况下，一般采用中数作为
描述其集中趋势。

如：有两组物理成绩：
第一组:25,37,32,60,100,99,96
第二组第3,72,60,68,63,62,61
尽管两组成绩的平均分相等都约为64，但由于极端数据的存在，64不能很好地代表第一组数据的平均水平，却较好地代表了第二组数据。

从算术平均数的这些特点可以看出，如果一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算，
（3）平均数的特点
①一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积。

②一组变量值的离均差之和等于零。

③在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以不等于0的常数C,所得的平均数等于原平均数减去或加上，乘以或除以常数C。

（4）平均数的意义
①平均数是应用最普遍的一种集中量数；
②是真值渐进、最佳的估计值；
③当观测次数无限增加时，算术平均数趋近于真值。

（5）计算和应用平均数的原则
①同质性原则：如果一组数据1:匕较准确，可靠又同质（使用同一个观测手段，采用相同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特质的数
据），而且每一个数据都加入计算，就可用算术平均数表示其集中趋势。

如果一组数据中出现了极端的数据，或有一些数据不清楚，数据不
同质时，就不宜使用算术平均数。

②平均数与个体值相结合的原则。

在运用算术平均数时，还要注意平均数与个体数值相结合，不可过分看重平均数，要结合个体数值加以
考量。

③平均数与标准差、方差相结合的原则。

标准差和方差越大，平均数的代表性就越小；反之，平均数的代表性就越大。

只有二者结合起来,
才能全面准确地反映全部数据的总体特征。

（三）几何平均数（对数平均数）（一级）
几何平均数的定义：几何平均数记作而，或Mg、GM,计算公式如右，其中n为数据个数，Xi为原始数据（变量\
在教育与心理统计实践中，当需要处理的数据有以下两种情形时，一般都用几何平均数来表示数据的集中趋势。

几何平均数的应用：
之比接近常数，即数据按一定的比例关系变化。

在教育与心理研究中，求平均增长
①一组数据中任何两个相邻
率或对心理物理学中的等距与等比量表实验进行数据处理，均应使用几何平均数。

②当一组数据中存在极端数据，分布呈偏态时，算术平均数不能很好地反映数据的典型情况，此时应使用几何平均数或其他集中量数（如
中数、众数）来反映数据的典型情况。

（四）加权平均数（补充）（二级）
加权平均数是观测数据（X/）与其相应权数（W）乘积的和除以总权数（W1+W2+…Wn）所得的商，用符号Mw表示。

权数是指各变量
在构成总体中的相对重要性，权数的大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而定。

即有些测量中所得数据，其单位权重并不相等，这
时若要计算平均数，就不能用算术平均数，而应该使用加权平均数。

（五）调和平均数
调和平均数用M H表示，因在计算中先侪各个数据取倒数平均，然后再取倒数，故又称倒数平均数。

（六）中数与众数
（1）中数简述中数的定义和优缺点
中数概念：中数又称中位数、中点数、中值，符号记为Md”或Md。

是指位于按一定顺序排列的一组数据数列中间位置的那个数，有一半数据比它大，有一半数据比它小。

它可能是数列中的某一个原始数据，也可以不是原始数据而是通过计算得到的一个数。

总之，如果将一组数据按大小顺序排列，则中数一定是将数据个数平均分为大小相等两部分的那个数。

中数是一种位置代表值，能够描述一组数据的典型情况。

优点：①计算简单。

②容易理解。

③概念简单明白。

④不受极端数据影响的特点。

基于中数的这些特点，当一组观测数据中有极端数据，或有个别数据不清楚时，采用中数作为集中量数是比较好的选择。

另外，也常用中数来快速估计一般数据的代表值。

缺点：①中数的计算不要求每个数据都参与，其大小受限制于全体数据。

②反应不够灵敏，极端值的变化对中数没有影响。

③受抽样变动影响较大。

由于中数是根据数据的相对位置来确定的，在计算时不是每个数据都加入计算，从而有较大的抽样误差，不如平均数稳定，且会流失较多的被试信息。

④计算时需要对数据先进行大小排列，过程比较麻烦。

⑤中数乘以总数不等于数据总和（中数等于平均数的除外），不能进一步作代数运算。

⑥中数难以作进一步的代数运算，故在多数情况下，中数不如平均数应用广泛。

中数的缺点使其不能成为理想的集中量数而被普遍采用。

应用：观测值中有极端值、缺失值，快速估计数据的集中趋势。

（2）众数Mode简述众数的定义和优缺点[湖南师大11]
众数概念：众数又称范数、密集数、通常数，常用符号M。

表示。

是指次数分布中出现次数最多的那个数的数值。

在统计实践中，当一年
数据出现不同座的情况，或分布中出现极端数据时，也用众数作为集中量数的粗略估计。

可用皮尔逊的经验法计算众数，即：M。

=3Md n-2X,
M*为中数，又为平均数。

优点：计算简单，容易理解，不受极端值影响。

缺点：①没有利用全部数据，受数据分组的影响，受抽样影响大，受样本变动的影响，不稳定。

②计算时不需要每一个数据都加入，反应不够灵敏，较少受极端值的影响。

③不能进一步代数运算。

④公式法计算的众数只是一个估计值，总个数乘以众数，也与数据的总和不相等。

应用J观测值中有极端值一缺失值,快速估计数据的集中趋势,数据不同质（命名型数据）L数据偏态（平均数二众数）上出现双峰分布。

众数的应用范围：
①需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；
②当一组数据不同质时；
③当数据分布中有极端值时；
④当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数和众数之差来表示次数分布是否偏态；
⑤次数分布中出现双峰分布时，也采用众数来表示数据分布形态。

（七）平均数、中数与众数三者之间的关系
①在一个正态分布中，三者相等。

因此在数轴上三个集中量完全重合，在描述这种次数分布时，只需报告平均数即可。