第四章 空间力系(3)
合集下载
第4章空间力系分解
合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
理论力学 第四章 空间力系
r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
黄安基--第4章 空间力系的简化和平衡
P64
理论力学电子教程
第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
理论力学电子教程
第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
理论力学电子教程
第四章 空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
理论力学电子教程
(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
理论力学电子教程
第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
理论力学电子教程
第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
理论力学电子教程
第四章 空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
理论力学电子教程
(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
第四章空间力系
效应取决于下列三要素： ⒈
⒉
力矩的大小 ；
力矩的转向 ；
⒊ 力的作用线与矩心所组
成的平面的方位 (力矩作用面)。
二、力对点的矩的矢量表示
在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题 中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈
⑴
力矩矢的表示方法
力矩矢大小 ：
M O (F ) M O (F ) F h 2AOB面积
F ,cos g FR
z
注意：
因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。
⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 mo ( Fi )。
即 M o mo ( Fi )
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
M Ox [ mO ( F )]x mx ( F );
M Oy [ mO ( F )] y m y ( F ); M Oz [ mO ( F )]z mz ( F )
大小： M O M Ox 2 M Oy 2 M Oz 2 主矩 M O 解析求法
M Oy M Ox M Oz 方向： cos ' ,cos ' ,cosg MO MO MO
M为自由矢量。
⒉
力偶矩矢表示方法
（1）矢量的模，即力偶矩的大小 M Fd 2ABC （2）矢量的方位与力偶作用面相垂直； （3）矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺 旋法则。即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方 向，则螺旋前进的方向或拇指的指向即为矢的指 向 ，或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起 的转向为逆时针转向 。
空间力系
空间汇交力系 力对点的矩与力对轴的矩 空间力偶系 空间一般力系向一点的简化 空间一般力系简化结果的讨论 空间一般力系的平衡方程及应用 重心 习题课
空间一般力系
3
§4–1 空间一般力系的简化
设空间一般力系（F1，F2，……，Fn）中各力作用于刚体 上P1，P2，……，Pn各点。
在刚体上任选一点O作为简化中心。
FR Fi
F1 P1
F2 P2
力系等效定理
MO M Oi FR
O
Pn
O
MO
Fn
4
FR Fi MO M Oi
➢ 空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
主视图：yz平面
z
50
200
FAz A FAy C FAx
x 20o Q
FBz B
FBx
100
D Py y
Px Pz
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
z
FBz 2040(N)
Qz
FAz
FAy CA
FBz
Pz
FR
d O' O
MO //
力螺旋
d MO FR
9
§4–2 空间一般力系的平衡
一、空间一般力系的平衡条件
FR
0
MO 0
空间一般力系平衡的充分与必要条件 是主矢量和对任一点的主矩都等于零。
二、空间一般力系的平衡方程
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
MO
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。 投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。 空间一般力系的平衡方程的其它形式：四矩式，五矩式，六
§4–1 空间一般力系的简化
设空间一般力系（F1，F2，……，Fn）中各力作用于刚体 上P1，P2，……，Pn各点。
在刚体上任选一点O作为简化中心。
FR Fi
F1 P1
F2 P2
力系等效定理
MO M Oi FR
O
Pn
O
MO
Fn
4
FR Fi MO M Oi
➢ 空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
主视图：yz平面
z
50
200
FAz A FAy C FAx
x 20o Q
FBz B
FBx
100
D Py y
Px Pz
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
z
FBz 2040(N)
Qz
FAz
FAy CA
FBz
Pz
FR
d O' O
MO //
力螺旋
d MO FR
9
§4–2 空间一般力系的平衡
一、空间一般力系的平衡条件
FR
0
MO 0
空间一般力系平衡的充分与必要条件 是主矢量和对任一点的主矩都等于零。
二、空间一般力系的平衡方程
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
MO
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。 投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。 空间一般力系的平衡方程的其它形式：四矩式，五矩式，六
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
FDz
D
y
FDx
FDy
Fy 0,
FAy FDy 0
x
M x (F) 0, M1 FAz b FAy c 0
FDx
0, FAz
FDz
M2 a
, FAy
FDy
M3 a
, M1
M2b a
M 3c
已知：等边三角形板的边长为a，
例 6 在板面内作用一矩为M的力偶，板、
空间平行力系
FZ 0 M x(F ) 0 M y (F ) 0
平面任意力系
Fx 0 Fy 0 M z (F ) 0
7. 重 心 重心的坐标公式
xC
Pi xi P
yC
Pi yi P
zC
Pi zi P
z B
F
A
O
h
a
b Fxy
x
Mz(F) = Mo(Fxy) = ± Fxyh = ±2△oab
● 力对轴的矩等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面 交点的矩。
z
Fz F
B
A(x,y,z)
Fy
Fx
y O
M
x (F )
yFz
zFy
M y (F ) zFx xFz
M
z
(F
)
xFy
MO (FR ) MO (F ) M z (FR ) M z (F )
4. 空间力偶及其等效条件
空间力偶的定义
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶的转向； (3) 力偶作用面的方位。
M
自由矢量
空间力偶的等效条件
M
B
F
F
A
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
5. 空间力系的简化结果
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
FR′ ≠ 0
MO = 0 MO≠0
平衡 合力偶 此时主矩与简化中心的位置无关
MO≠0 FR′ ⊥ MO
合力
合力作用线离简化中心O的距离
d MO FR
FR′∥MO 力螺旋 力螺旋的中心轴通过简化中心
MO≠0
FR′ 与 MO 力螺旋
成角
力螺旋的中心轴离简化中心O
已知：力偶矩M2和M3
例5
求：平衡时M1和支座
FAz A
z
A、D的反力。
M1
FAy
a
解：取曲杆为研究对象
C
Fx 0, M y (F) 0,
FDx 0
B
FAz a M2 0
M2 b
M3
c
Fz 0,
FAz FDz 0
M z (F) 0, M3 FAy a 0
2. 力矩的计算 （1）力对点的矩
z
BF MO(F)
MO(F) =Fh=2△OAB
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
i jk MO(F) r F x y z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
（2）力对轴的矩
的距离为
d MO sin
FR
6. 空间任意力系的平衡方程
基本形式
Fx 0, Fy 0, Fz 0 M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间汇交力系
空间力偶系
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
yC
Pi yi Pi
zC
Pi zi Pi
若物体是均质的，得
x
xdV
ydV
zdV
xC
V
V
,
yC
V
V
,
zC
V
V
z
△Vi
Pi
C
O
yi
zi P
zC
y
xi xC
yC
x, y, z 代表微体积的形心在直角坐标系下的坐标。
曲面：
xdA
ydA
zdA
xC
A
30mm 10mm
C1
解: 建立图示坐标系
x1=－15, y1=45, A1=300
C2
x2=5, y2=30, A2=400 x3=15, y3=5, A3=300
10mm
o
30mm
C3
30mm
x
xc
xi Ai Ai
x1A1 x2 A2 x3 A3 A1 A2 A3
2mm
O
xc 0
ydA
yC
A
A
2 R cos 1 R2d
3
2
1R2d
2
2R sin 3
B
x
半圆形的重心：
yC
4R
3
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
例题9
求：Z
公式：xc 形截面重心。
xi Ai Ai
，yc
yi Ai y Ai
yFx
（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系
MO (F MO (F
)x )y
M x(F) M y (F)
MO (F )z
M z (F)
● 力对点的矩矢在通过该点 的某轴上的投影，等于力对该 轴的矩。
3. 合力矩定理
● 力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力对同 一点（或同一轴）之矩的矢量和（代数和）。
F1r1 F2r2 F1 F2
x
结论：合力的作用点只与各 个力的大小及作用点有关， 而与平行力系的方向无关。
投影
rC
Firi Fi
xC
Fi xi Fi
yC
Fi yi Fi
zC
Fi zi Fi
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
xC
Pi xi Pi
解得
F4
F5
F6
4M 3a
(压),
F1
F2
F3
2M 3a
(拉)
§4-9 重心
1. 平行力系中心 FR = F1+F2
由合力矩定理可确定合力作用点C：
F1 F2 FR BC AC AB
F1
A C
FR F2
B
★ 平行力系的合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用
点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力 系的中心。
MCB (F ) 0, F1 a cos30 F4 sin 30 a cos30 0
30°
E
MCA(F ) 0, F2 a cos30 F5 sin 30 a cos30 0
M AB (F ) 0, F3 a cos30 F6 sin 30 a cos30 0
A
,
yC
A
A
,
zC
A
A
x, y, z 代表微面积的形心在直角坐标系下的坐标。 曲线：
xdl
ydl
zdl
xC
l
l
,
yC
l
l
,
zC
l
l
x, y, z 代表微段的形心在直角坐标系下的坐标。
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）积分法：简单几何形状物体的重心
例题7
求：半径为R，圆心角为2
的均质圆弧线的重心。
A
y dl
d B
解: 取圆心 O 为坐标原点
o
x
xc 0
ydl
yC
l
l
R cos Rd
R 2
R sin
例题8
求：半径为R，圆心角为2 的
均质扇形的重心。
A
解: 取圆心O为坐标原点
y
d
杆自重不计；
A
求：杆的内力。
F1
解: 取板为研究对象
1
C
F6 F3
M
B
F4
3F5
5
F2
4F 6 30°
30° 2
MFC (F ) 0, F4 cos30 a cos30 M 0
D
MDA(F ) 0, F5 cos30 a cos30 M 0
MEB (F ) 0, F6 cos30 a cos30 M 0
由合力矩定理，得
rC FR r1 F1 r2 F2
设力的作用线方向的单位矢量为 F0
rC FRF 0 r1 F1F 0 r2 F2F 0
z A
r1
O
F1
C
rC r2
FR
F2
B y
FRrC F 0 F1r1 F 0 F2r2 F 0
rC
F1r1 F2r2 FR
yc
yi Ai Ai
y1A1 y2 A2 y3 A3 A1 A2 A3