3.2.1_几个幂函数的导数
课件6：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
基本初等函数的导数公式:
序号
y=f(x)
y'=f'(x)
1
y=C
y'=0
2
y=xn
y'=nxn-1,n 为自然数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
y=xμ(x>0,μ≠0)
y'=μxμ-1,μ 为有理数
4
y=ax(a>0,a≠1)
y'=axln a
5
y=ex
y'=ex
6
y=logax(a>0,a≠1,x>0)
y'=x a
7
直线 l 的方程.
【解析】由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切
点为(a,b),则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出
切线方程.
解:设切点为(a,b).
因为 y'=3x2,
所以 kl=y'|x=a=3a2.
又因为直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,
所以 3a2=3,所以 a=±1.
式求导,应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式
的形式.
解:(1)y'=7x6;
3
3 1
2,所以 y'= 2
3
= 2 ;
(2)因为 y=x =
2
1
(3)y'=
;
ln3
(4)因为 y=2sin2·cos2=sin x,所以 y'=cos x;
1 -2
2
-3
(5)因为 y= 2=x ,所以 y'=-2x =- 3.
《3.2.1 几个幂函数的导数》教案
《3.2.1 几个幂函数的导数》教案一､教材分析1､教学内容本节课的教学内容主要是从科学研究和工程技术的需要出发,通过一系列具体事例说明函数导数计算的作用,多面引发学生对学习导数的计算方法和有关运算公式的兴趣｡继而根据函数导数的定义推导出几个简单函数的导数｡2､教材的地位和作用本节课是高中新课程湖南教育出版社《数学》选修1—1第三章第二节的第1个课时,在此之前学生已对求自由落体的瞬时速度､求作抛物线的切线的问题作了探索,学习了导数的概念和几何意义,掌握了导数的定义与求导的方法,能够运用导数的定义解决一些实际问题｡通过这节课的学习学生将掌握几种常见幂函数的导数,为求导数打下坚实的基础｡因此,我认为本节课有着承前启后的作用,也有着非常重要的实际意义｡3､教学重点难点:本节教学重点是牢固､准确地记住几种常见幂函数的导数,为求导数打下坚实的基础｡ 本节教学难点是灵活动用公式求导｡4､关于几个幂函数导数公式｡(1)y=c(c 为常数)的导数｡常数函数的导数为零的几何意义是曲线()f x c =(c 为常数)在任意点处的切线平行于x 轴｡(2)y=x2的导数公式的推导｡'2y x =表示函数2y x =图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化:5､“曲线上点P 处的切线”与“过点P 的曲线的切线”的区别｡在点P 处的切线,点P 必为切点;过点P 的切线,点P 未必为切点｡二､学情分析(1)学生已学习了平均速度的求法｡(2)学生已经知道了平均变化率,理解了平均变化率的几何意义就是过曲线上两点的割线的斜率｡(3)学生掌握了导数的定义和导数的几何意义,会利用导数的定义求函数的导数｡三､目标分析根据课程标准､教材内容､考虑到学生已有的知识结构和心理特征,我确定了如下的教学目标:知识与技能:了解函数导数运算的作用;理解并熟记课内推导出的几个幂函数导数公式并能运用公式求导｡过程与方法:学习过程中逐步掌握的“由特殊到一般,再由一般到特殊”的研究数学的思想方法,通过学习,能够鉴赏公式所蕴涵的数学美｡情感､态度与价值观:构建和谐平等的教学情境,尽可能让学生动脑､动手､动口,去发现､去猜想､去推导,激发不同层面学生的学习积极性｡四､过程分析建构主义的数学教学观告诉我们:数学教学不仅是一种“授予——吸收”的过程,而是学生作为主体的主动建构过程,教师是学生学习活动的组织者､指导者､帮助者和促进者｡为此,我设计了如下的教学环节:(一)创设情境,导入新课复习:1､导数的定义;2､用导数定义求导数有哪几个步;3､导数的几何意义为求运动物体的瞬时速度,要计算函数的导数;为了作出曲线在一点处的切线,要计算函数的导数;为了知道和评价事物变化的快慢和方向,要计算函数的导数｡在科学研究和工程技术活动中,大量问题的解决离不开导数的计算｡求函数的导数,和四则运算一样,如同家常便饭｡函数的导数的计算是如此有用,如此重要｡这一节我们就来学习导数的计算方法和有关的运算公式｡*教学意图:复习旧知识,通过情景引发学生的学习动机,明确学习目标｡(二)动手演算,发现规律推导下列函数的导数(1)()f x c =(2)()f x x =(3)2()f x x = (4)1()f x x =推导过程:(1)()f x c =解:()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆, '00()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ (2)()f x x =解:()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆, '00()lim lim11x x y f x x ∆→∆→∆===∆｡ '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数,则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动｡(3)2()f x x =解: 22()()()2y f x x f x x x x x x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆, ''00()lim lim(2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆｡ '2y x =表示函数2y x =图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化: (4)1()f x x= 解: 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆, ''220011()lim lim()x x y y f x x x x x x∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考:(1)如何求该曲线在点(1,1)处的切线方程?'(1)1k f ==-,所以其切线方程为2y x =-+｡(2)改为点(3,3),结果如何?1､通过学生观察､分析､演算､发现､归纳等探究活动,突破第一个教学难点:用导数的定义推导幂函数的导数｡2､让学生经历观察､分析､演算､归纳､发现规律的过程,掌握幂函数的导数｡3､在这个过程中,体现了建构主义的数学学习观和教学观,即学生和教师是“数学学习的共同体”,教师是学生学习活动的组织者､指导者､帮助者和促进者,也体现了培养学生实践能力的课改主旋律和教师是教学中“平等中的首席”的新理念｡(三)抽象概括,形成公式试猜想函数(),nf x x n Q =∈的导数,并证明｡得出结论:(n x )=nxn-1(n ∈ Q)1､让学生体会到从特殊到一般的过程,感受到研究问题是为了获得更一般的形式化表示｡2､通过问题的解决帮助学生理解导数的概念及其内涵,突出了重点,突破了难点｡(四)学以致用,提高能力练习:写出下列几个幂函数的导数(1)y=x8 (2)y=x12 (3)y=x-5 (4)y=x1/3 (5)y=x4/3例1:质点运动方程是S=1/t5,求质点在t=2时的速度.例2 立方体的棱长x 变化时,求其体积关于x 的变化率是立方体表面积的多少倍? 1､例题分析:以上练习和例题是为了让学生熟悉幂函数导数公式,并能简单应用｡2､例题的解析是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程,书写解题过程是对学生思路形成条理化､系统化的过程｡(五)巩固新知,加深理解例3 求曲线y=x2在点(2,4)处的切线方程｡变式:写出过点A(3,5)并且和曲线 y=x2相切的直线的方程｡练习:求曲线y=x3在点p 的切线斜率为3,求点p 的坐标及切线方程｡1､为了检验学生对幂函数导数公式及其内涵的理解,巩固所学知识｡2､强调解答过程,练习的解答是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程,书写解题过程是对学生思路形成条理化､系统化的过程｡(六)反思小结,深化认识1､如何利用导数的定义推导得幂函数的导数公式｡2､研究问题的一般步骤3､记熟几个常用函数的导数结论,并能熟练使用;4.在今后的求导运算中,只要不明确要求用定义证明,上述几个结论直接使用｡通过反思,深化知识理解,完善认知结构,领悟思想方法,也培养了学生的主体意识,锻炼了学生的语言表达､总结归纳(七)布置作业,P99 习题4 1,4补充:求曲线x3-y=0在点(2,8)处的切线方程根据因材施教,面向全体的原则,使每个层面的学生都能在原有的基础上有所进步,为后面探究导数运算做好铺垫｡(八)板书设计标题:3.2.1几个幂函数的导数5个公式: 例题解析:推导过程例1例2例3整洁､有条理的板书可以让学生对自己所学的知识形成条理性,加深对知识的理解和掌握｡五､教､学法分析1､教法分析数学教学不仅是关注结果,更应关注过程与方法,注重培养学生探究的数学品质｡针对本节课的重点和难点,结合高二学生思维较活跃,有一定抽象思维能力特点,这节课我主要采用了直观演示､动手演算和引导发现相结合的体验教学法｡在学生认知发展水平和已有知识经验的基础上,通过抽象概括,由特殊推广到一般,展现了一个完整的数学探究过程:提出问题､寻找想法､实施想法､发现规律､给出结论,加深了学生对本节课的理解和掌握｡2､学法分析在教学过程中,这节课我通过学生观察､分析､演算､发现､归纳等探究活动,并通过学生动手､动眼､动口､动脑等活动,充分调动学生学习的积极性,积极参与了课堂,学会主动探究,发现问题､合作交流､归纳概括,并形成能力｡六､评价分析课前设想:通过课件展示问题情景,层层深入,接着通过学生观察､分析､演算､发现､讨论､归纳等探究活动,再通过类比､迁移的方法,使学生掌握几个幂函数的导数的公式并能灵活运用公式解题｡评价结果:学生在老师的启发引导下,主动参与探究活动,利用导数的定义推导出几个幂函数的导数的公式,体会数学思想,但学生在运用知识解决实际问题上有些困难,特别是把实际问题转化成数学问题的过程,和与导数的联系,这是我在教学过程中值得探究的问题｡。
学案3：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学习目标1.能够由定义根据求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数；2.在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力.学习重点利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究；学习难点用从特殊到一般的规律来探究公式.学习过程例题讲解例1：求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数.例2：已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．课堂练习1．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③2．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) 3．给出下列函数(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ (2)y ＝(sin x )′＋cos x(3)y ＝sin x ＋(cos x )′ (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( )A ．1B ．2C ．3D ．44．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x2 D ．若y ＝x ，则y ′＝x 25．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不能确定6．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)的切线方程． 7．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．回顾总结布置作业参考答案：例题讲解例1：解：f ′(x )＝(1x )′＝(12x -)′＝－12112x -- ＝－1232x -＝－12x 3, ∴f ′(1)＝－12×1＝－12, ∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.例2：解：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，令x ＝2－x ，得f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8，即2f (x )－f (2－x )＝x 2＋4x －4，联立f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，得f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，f ′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.课堂练习1．【答案】C【解析】当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.2．【答案】D【解析】由(sin x )′＝cos x ＝12得x ＝2k π－π3或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )． 所以切点坐标为(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )． 3．【答案】C【解析】(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ∈[－2，2]．(2)y ＝(sin x )′＋cos x ＝2cos x ∈[－2,2]．(3)y ＝sin x ＋(cos x )′＝sin x －sin x ＝0.(4)y ＝(sin x )′·(cos x )′＝cos x ·(－sin x )＝－12sin2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 4．【答案】C【解析】∵(cos x )′＝－sin x ，(sin x )′＝cos x ，(x )′＝(x 12)′＝12·x 12－1＝12x ，∴A 、B 、D 均不正确．而⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －1)′＝－1×x －1－1＝－1x 2，故C 正确． 5．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，由(x 3)′＝3x 2得在(x 0，x 30)处的切线斜率为3x 20，由3x 20＝1得x 0＝±33，故切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，所以有2条． 6．解：∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，∴k ＝32. ∴切线方程为y －12＝32(x －π6)， 化简得63x －12y ＋6－3π＝0.7．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ln x ，12x ＝a x，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2)．。
课件5：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝(5x)′＝5xln 5； (2)y′＝(x13)′＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝(4
x3)′＝(
3
x4
)′＝34
1
x4
3 ＝4
4
； x
(4)y′＝(lg x)′＝xln110.
一点通：用导数公式求导，可以简化运算过 程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征， 将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式．
2．注意区分幂函数的求导公式 (xn)′＝nxn－1(n∈Q)， 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a.
考点1：运用导数公式求函数导数
例 1：求下列函数的导数． (1)y＝5x；(2)y＝x13；(3)y＝4 x3；(4)y＝lg x.
【解析】先将解析式化为基本初等函源自的形式， 再利用公式求导．3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
利用导数的定义可得x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2. 问题1：当n∈N＋时，y＝xn的导数公式是什么？ 答：y′＝nxn－1.
问题
2：当
n＝12时，(
x
1 2
)′＝12
1
x2
(x>0)成立吗？
x
答：由Δy＝ x＋Δx－ x＝ x x x x
题组集训
1．若 f(x)＝3 x，则 f′(1)等于
()
A．0
B．－13
C．3
1 D.3
题组集训
【解析】∵f′(x)＝(
1
x3
)′＝13
2
x3
＝13·x123
＝1，
3 3
x2
∴f′(1)＝13.
【答案】D
2．求下列函数的导数． (1)y＝x6； (2)y＝cos x； (3)y＝x2 x； (4)y＝2sinx2cosx2.
导数的基本公式及四则运算法则
例3 设 y xsin xln x ，求 y 解 y (x)sin xln x x(sin x)ln x xsin x(ln x)
1 sin xln x xcos xln x xsin x 1 x
sin x ln x xcos x ln x sin x ．
cos2 x
cos2 x
即 (tan x) 1 sec2 x ． cos2 x
用同样方法可以得到 (cot x) 1 csc2 x． sin 2 x
练习一
1.求下列函数的导数：
(1) y 10x x10
(2) y x2
1 x
5cos
x
3log2
x
ln 4
(3) y 10x5 ln x
(2x
1)( x
3) (x2 (x 3)2
x
2)
1
x2 6x (x 3)2
5，
f (1) 12 6 1 5 1 ． (1 3)2 8
例5 设 y 5x3 2x 7 ，求 y x
解
先化简，得
5
1
1
y 5x2 2x2 7x 2
，
于是
y
5
5
3
x2
2
1
1
x2
7 ( 1)
x (3) y 5 x3 (4) y x5 4 x3 (5) y x 3 x
x
3.2.3 正弦函数的导数
设 y sin x ，则
y 于是
sin(
x
x)
sin
x
2sin
x 2
cos( x
x) 2
，
y 2sin x
x cos( x x)
19-20 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1 x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝C f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x u f′(x)＝ux u－1(x＞0，u≠0) f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a＞0，a≠1) f(x)＝e x f′(x)＝e xf (x )＝log a x f′(x )＝1x ln a (a ＞0，a ≠1，x ＞0)f (x )＝ln xf′(x )＝1x1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.] 2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12 C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x12)′＝12x 12－1＝12x，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________．42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x . [思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11. (2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x 的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.所以所求切线方程为 y －14＝(－1)()x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1， 而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 所以所求切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.2．(变条件)若函数改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1， 则由f′(a )＝1a ＝1，得a ＝1， 故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x ，则f′(x )＝x ·3x －1.( ) (3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x 2.( ) [提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3x ln 3. (3)× f′(x )＝－4x 2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36 B ．0 C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.]3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6. (3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x . (4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．课时分层作业(十七) 常数与幂函数的导数导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C ．19D ．13B [∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.] 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．0 B ．1e C ．1D ．eB [∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，则f ′(e)＝1e ，故选B.] 3．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4. ∴α＝－4.]4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A ．1e B ．－1e C ．－eD ．eD [y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝k x 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.]5．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0C [因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0.]6．已知函数f (x )＝x m －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 12 [∵f (x )＝x m －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎨⎧m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.] 7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(1,1) [因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率为k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1·k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．]8．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．21 [∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.]9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解] (1)因为y ′＝3x 2， 所以切线斜率k ＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3， 所以(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 所以x 1＝1，x 2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)． 10．若曲线y ＝x－12在点(a ，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a 的值．[解] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a－12)处的切线的斜率为k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a－12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0， 得x ＝3a .由题意知，a >0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝9，∴a ＝16.[能力提升练]1．设曲线y ＝x 在点(2，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．22B ．24C ．－2 2D ．2 2D [∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12＝12x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝122，由已知，得－a ＝－22，即a ＝22，故选D.]2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 020(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xA [f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，所以f 2 020(x )＝f 505×4(x )＝sin x ．]3．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．12log 2e [y ′＝1x ln 2＝1x ·log 2e ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝log 2e ，切线方程为y ＝(x －1)log 2e ，令x ＝0，得y ＝－log 2e ，令y ＝0，得x ＝1，因此所求三角形的面积S ＝12×1×log 2e ＝12log 2e.]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln x ，0＜x ＜1，，f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．112或－2 [由题意得 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x ≤0，1x ，0＜x ＜1，若 f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1a＝12或⎩⎨⎧a ≤0，3a 2＝12，解得a ＝112或a ＝－2.]5．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]如图，当曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P 到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e x)′＝e x，所以e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．由点到直线的距离公式，得最小距离为d＝|－1|2＝22.11/11。
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案3
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案[教学目标]:应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； [教学重点]:四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 [教学难点]:四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式 [教学过程]:一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的基本步骤.(1)求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( (3)取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.(1)、y =x (2)、y =x 2 (3)、y =x 3思考：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？二、新知讲解1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆2．函数y f =的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆4．函数()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆限.三、例题解析例:求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.四、课堂检测1、()0f x =的导数是( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 2、已知2()f x x =，则(3)f '=( )A ．0B ．2xC ．6D ．9 3、 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244、 过曲线1y x =上点1(2,)2且与过这点的切线垂直的直线方程是五、回顾与反思。
3.2 导数的基本公式及四则运算法则
所以
∆y 1 ∆x ∆x = lim[ log a (1 + ) ] lim ∆x →0 ∆x ∆x − 0 x x
x
1 ∆x ∆x = log a lim (1 + ) ∆x →0 x x 1 1 ， = log a e = x x ln a
x
即
1 ． (log a x)′ = x ln a
y′ = 5( x 2 )′ + 3( x −3 )′ − (2 x )′ + 4(cos x)′
= 5 × 2 x + 3 × (−3) x −4 − 2 x ln 2 + 4(− sin x) 9 = 10 x − 4 − 2 x ln 2 − 4 sin x ． x
2.乘积函数的导数 2.乘积函数的导数
= 30 x 2 − 2 x − 1 ．
例3
设 y = x sin x ln x ，求 y′
解 y′ = ( x)′ sin x ln x + x(sin x)′ ln x + x sin x(ln x)′ 1 = 1 ⋅ sin x ln x + x cos x ln x + x sin x ⋅ x = sin x ln x + x cos x ln x + sin x ．
(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ ．
例2 解
2 设 y = (1 + 2 x)(5 x − 3 x + 1) ， 求 y′． y′ = (1 + 2 x)′(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(5 x 2 − 3 x + 1)′ = 2(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(10 x − 3)
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5
x
3
(1)解：y' 2 3x
31
6x
2
1 2 2 2 1 3 (2) 解 : y ' ( 2 )' ( x )' 2( x) 2 x 3 x x 1 1 1 x 2 2 (3)解：y' ( x )' ( x )' ( x) 2 2x
n
基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0 n 1 n x n x
1 1 ( ) 2 x x sin x cos x
a
x
a ln a
x
1 log a x x ln a
(1)f(x)=5x+7,求 f ’(-3)
cos x
3.2.1 几个幂函数的导数
利用导数的定义求导数
1.根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率 (3)得导数f′(x0)＝ 简记作：一差、二比、三极限.
练习
1.若f(x)=x² ，求
2.若f(x)=3x² ，求 3.若f(x)=2x-1，求 4.若f(x)=3x-1，求 5.若f(x)=(x-1)² ，求 6.若f(x)=x² 在点P(x0,y0)处的切线与直线 y=4x-1平行则x0=
2
1 (3) f ( x) 4 x (4) f ( x) 3 x 2
(8) f ( x) lg x
考点一：求导数
例1、已 知f(x)=x3 ,(1)求f'(-3);(2)求f(x)在点（2,8） 处切线方程
2 解：∵f'(x)=3x2 f (3) 3(3) 27
f (2) 12
求下面几个常见函数的导数，并试说明的几何意义。 （1）常数函数 f ( x) c
d 0, 结果为0不变 f ( x) 0 即c 0
f ( x d ) f ( x) c c 0 d d
（2） f ( x) x
f ( x d ) f ( x) ( x d ) x 1 d d
f ( x) 1 即 x 1
（ 3 ） f ( x) x 2
f ( x d ) f ( x) ( x d ) x d d 2x d
2 2
(4)
f ( x) x3
f ( x d ) f ( x) ( x d )3 x 3 d d 3x 2 3xd d 2
公式归纳：
c 1、
2、
0 1
x
2 ( x 3、 ) 2 x
2 3 3 x ( x ) 4、
d 0,
1 1 2 x( x d ) x
f ( x)
1 x2
1 1 即( ) 2 x x
1 ( ) 12 5、 x x
n 1 ( x ) nx
∴切线方程为y=12(x-2)+8;即y=12x-16 1 1 2. 曲线 y 在点（ , 2 ）处的切线斜率为 4
x
2
切线方
程为
1 2 3,已知函数 f(x)=ax +2,若 f’(-1)=1,则 a= 2
y=4x-4
考点二：求曲线的切线方程 4,已知函数 f(x)=x 2+1,在点 M 处的瞬时变化率为 -4，则 M 点的 坐标= (-2,5)
x
x
u
又∵ k AB
1 2 u u ( 4)
1 2 1 u 2 u2 u 2 0 u ( 4) u
u 1或2
当时 u 1 时， 切线斜率是 -1
∴切线方程为：y-2=-1(x+4) 即x+y+2=0 同理：当 u 2 时，切线方程为：x+4y-4=0 综上所述：所求的切线方程为x+y+2=0或x+4y-4=0
3 5 3 3 5 (4)解：y' ( x )' ( x )' ( x) 2 5 5 5 x
3 5 2
考点二：求已知函数导数
(1) f ( x) x 3 (2) f ( x) x
2
(5) f ( x) 9 x 1 (6) f ( x) x 9 (7) f ( x) log 1 x
小结：
1、常见函数的导数公式（要求熟记） 2、利用求导公式求导数值,解决一些简单的问题
e
x
sin x
x
1 ln( x) x
e
2 2 1 (2) f ( x) x 2 ，求 f ' ( ) 3 2 1 (3) y ，求 f ’(0) x 1
练习1：求下列函数的导数。
1 (1) y 2 x 1 (2)y 2 (3)y x (4)y x
3.已知直线x-y-1=0,与抛物线y=ax2相切，则 a=_____. 1
4
4.在曲线xy=1上的点P处切线斜率为-4,则点P 的坐标为_并且和曲线 xy 1相切的两条直线的方程。 解：可以判断点A不在曲线上，
“过点A的曲线的切线” 1 意味点A有可能是切点 B ( u , ) 设过点A与曲线相切的切点为 也可能不是，因此解时 u 要注意先判断点A与曲 1 1 1 y 2 k AB 2 线的位置关系。 由xy 1 y
d 0, 2 x d 2 x
d 0, 3x2 3xd d 2 3x2
f ( x) 2x 即( x ) 2x
2
f ( x) 3x2 即( x3 )2 3x2
1 （5） f ( x) x
1 1 f ( x d ) f ( x) x d x d d x (x d ) d (x d )x 1 x( x d )