统计模拟PPT教学课件
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大学《统计学习方法》第2版教学课件-第19章 马尔科夫链蒙特卡洛法
返的 • 当 p≤q 时，不存在平稳分布，马尔可夫链不是正常返的。
马尔可夫链的性质
马尔可夫链的性质
• 遍历定理的直观解释： • 满足相应条件的马尔可夫链，当时间趋于无穷时，马尔可夫链的
状态分布趋近于平稳分布，随机变量的函数的样本均值以概率1 收敛于该函数的数学期望。
• 样本均值可以认为是时间均值，而数学期望是空间均值。遍历定 理实际表述了遍历性的含义：当时间趋于无穷时，时间均值等于 空间均值。
马尔可夫链的性质
• 直观上，一个非周期性的马尔可夫链，不存在一个状态，从这一 个状态出发，再返回到这个状态时所经历的时间长呈一定的周期 性
例
• 图上所示的马尔可夫链是周期的
例
• 转移概率矩阵
• 其平稳分布是
。此马尔可夫链从每个状态出发，
返回该状态的 时刻都是3的倍数，{3,6,9}，具有周期性，最终
在平稳分布
连续状态马尔可夫链
• 连续状态马尔可夫链 定义在连续状态空间S
，随机变量
• 转移概率分布由概率转移核或转移核(transition kernel）表示。
• 设S是连续状态空间，对任意的
定义为
• 其中 是概率密度函数，满足
连续状态马尔可夫链
• 转移核
表示从 x ~ A的转移概率
• 有时也将概率密度函数
积分计算
• 给定一个概率密度函数p(x)，只要取 • 就可得
• 就是说， 任何一个函数的积分都可以表示为某一个函数的数学 期望的形式，而函数的数学期望 又可以通过函数的样本均值估 计
• 于是，就可以利用样本均值来近似计算积分
例
• 用蒙特卡罗积分法求
•令 • 也就是说，假设随机变量x在(0,1)区间遵循均匀分布
马尔可夫链的性质
马尔可夫链的性质
• 遍历定理的直观解释： • 满足相应条件的马尔可夫链，当时间趋于无穷时，马尔可夫链的
状态分布趋近于平稳分布，随机变量的函数的样本均值以概率1 收敛于该函数的数学期望。
• 样本均值可以认为是时间均值，而数学期望是空间均值。遍历定 理实际表述了遍历性的含义：当时间趋于无穷时，时间均值等于 空间均值。
马尔可夫链的性质
• 直观上，一个非周期性的马尔可夫链，不存在一个状态，从这一 个状态出发，再返回到这个状态时所经历的时间长呈一定的周期 性
例
• 图上所示的马尔可夫链是周期的
例
• 转移概率矩阵
• 其平稳分布是
。此马尔可夫链从每个状态出发，
返回该状态的 时刻都是3的倍数，{3,6,9}，具有周期性，最终
在平稳分布
连续状态马尔可夫链
• 连续状态马尔可夫链 定义在连续状态空间S
，随机变量
• 转移概率分布由概率转移核或转移核(transition kernel）表示。
• 设S是连续状态空间，对任意的
定义为
• 其中 是概率密度函数，满足
连续状态马尔可夫链
• 转移核
表示从 x ~ A的转移概率
• 有时也将概率密度函数
积分计算
• 给定一个概率密度函数p(x)，只要取 • 就可得
• 就是说， 任何一个函数的积分都可以表示为某一个函数的数学 期望的形式，而函数的数学期望 又可以通过函数的样本均值估 计
• 于是，就可以利用样本均值来近似计算积分
例
• 用蒙特卡罗积分法求
•令 • 也就是说，假设随机变量x在(0,1)区间遵循均匀分布
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
数据分析模型ppt课件
1. 数据分析模型
现实生活中的数据：数量繁多、杂乱无章.
怎样表述、解读、分析、发现规律？
• 找出有代表性的数值或者利用图形表述，分析、
解释相关的实际现象.
• 利用统计方法通过大量数据探索、发现研究对象
的数量规律.
（本书提高篇第7章）
1
1. 数据分析模型
1.1 薪金到底是多少 1.2 评选举重总冠军 1.3 估计出租车的总数 1.4 解读CPI 1.5 NBA赛程的分析与评价——全国
大学生数学建模竞赛2008年D题
2
1.1 薪金到底是多少
日常生活中遇到的数据： • 一个班的考试成绩及按成绩的排 名 • 公司里每位职工一个月的薪金 • 超市中各个品牌牙膏一个月的销量 • 一个年级全部男同学的身高 用几个数简明地表示一组数据整体的大小. n个数据的代表数
3
n 个数据的代表数
平均数 ~ n个数据的算术平均值. 中位数 ~ n个数据从小到大（或从大到小）排序
其他代表数 跳水比赛的评分标准 中位数80分 7位裁判的分数去掉一个最高分和一个最低分，剩下 5个分数的总和乘以动作难度系数，为最后得分.
中位数和平均数的结合
8
哪种解读更有道理
某股份制公司50名职工和5位股东近3年的利润分配
年份 2011 2012 2013
职工薪金总额/万元 300 400 500
344.8621（7） 361.0644 （5） 367.8969 （4） 358.2213（6） 368.5729 （3） 369.6175 （3） 336699..55881144（（22）） 337744..44003399（（11）） 337733..33995577（（11）） 366.0000（3） 366.0000 （4） 366.0000 （6） 372.2621（1） 368.8735 （2） 371.7543 （2） 361.1818（5） 355.4413 （6） 362.5143 （7） 362.0121（4） 354.5581 （7） 367.7366 （5）
现实生活中的数据：数量繁多、杂乱无章.
怎样表述、解读、分析、发现规律？
• 找出有代表性的数值或者利用图形表述，分析、
解释相关的实际现象.
• 利用统计方法通过大量数据探索、发现研究对象
的数量规律.
（本书提高篇第7章）
1
1. 数据分析模型
1.1 薪金到底是多少 1.2 评选举重总冠军 1.3 估计出租车的总数 1.4 解读CPI 1.5 NBA赛程的分析与评价——全国
大学生数学建模竞赛2008年D题
2
1.1 薪金到底是多少
日常生活中遇到的数据： • 一个班的考试成绩及按成绩的排 名 • 公司里每位职工一个月的薪金 • 超市中各个品牌牙膏一个月的销量 • 一个年级全部男同学的身高 用几个数简明地表示一组数据整体的大小. n个数据的代表数
3
n 个数据的代表数
平均数 ~ n个数据的算术平均值. 中位数 ~ n个数据从小到大（或从大到小）排序
其他代表数 跳水比赛的评分标准 中位数80分 7位裁判的分数去掉一个最高分和一个最低分，剩下 5个分数的总和乘以动作难度系数，为最后得分.
中位数和平均数的结合
8
哪种解读更有道理
某股份制公司50名职工和5位股东近3年的利润分配
年份 2011 2012 2013
职工薪金总额/万元 300 400 500
344.8621（7） 361.0644 （5） 367.8969 （4） 358.2213（6） 368.5729 （3） 369.6175 （3） 336699..55881144（（22）） 337744..44003399（（11）） 337733..33995577（（11）） 366.0000（3） 366.0000 （4） 366.0000 （6） 372.2621（1） 368.8735 （2） 371.7543 （2） 361.1818（5） 355.4413 （6） 362.5143 （7） 362.0121（4） 354.5581 （7） 367.7366 （5）
统计培训ppt课件
实时分析
随着数据处理速度的提升，统 计学将更加注重实时数据分析 ，以满足快速变化的数据需求
。
提高统计素养的意义与途径
2. 实践应用
1. 教育培养
加强统计学教育，提高大众对统 计学的认知和理解。
通过实际项目和案例，培养统计 思维和技能，提高解决实际问题 的能力。
3. 持续学习
关注统计学的新发展、新方法和 新技术，不断更新知识体系。
时间序列分析
总结词
研究时间序列数据的内在规律和特点。
详细描述
通过分析时间序列数据的趋势、季节性、周期性和随机性等特点，揭示数据的变 化规律和预测未来的发展趋势。
聚类分析
总结词
将相似的对象归为同一类，不同类的对象尽量保持差异。
详细描述
通过计算对象之间的相似性或距离，将相似的对象归为同一 类，不同类的对象尽量保持差异，从而将数据划分为若干个 有意义的群组。
描述性统计
数据收集与整理
描述性统计是通过对数据进行整理、分类和总结，以描述 数据的基本特征和分布情况。
均值、中位数和众数
均值是所有数据之和除以数据量的结果，中位数是将数据 按大小排序后位于中间位置的数值，众数则是出现次数最 多的数值。
方差、标准差和变异系数
方差是描述数据离散程度的指标，标准差是方差的平方根 ，变异系数则是标准差与均值的比值。
03
统计分析方法
方差分析
总结词
用于比较不同组数据的均值是否 存在显著差异。
详细描述
通过比较不同组的变异来源，确 定组间差异和组内差异对总变异 的贡献，从而判断各组的均值是 否存在显著差异。
相关与回归分析
总结词
研究两个或多个变量之间的相关关系。
详细描述
随着数据处理速度的提升，统 计学将更加注重实时数据分析 ，以满足快速变化的数据需求
。
提高统计素养的意义与途径
2. 实践应用
1. 教育培养
加强统计学教育，提高大众对统 计学的认知和理解。
通过实际项目和案例，培养统计 思维和技能，提高解决实际问题 的能力。
3. 持续学习
关注统计学的新发展、新方法和 新技术，不断更新知识体系。
时间序列分析
总结词
研究时间序列数据的内在规律和特点。
详细描述
通过分析时间序列数据的趋势、季节性、周期性和随机性等特点，揭示数据的变 化规律和预测未来的发展趋势。
聚类分析
总结词
将相似的对象归为同一类，不同类的对象尽量保持差异。
详细描述
通过计算对象之间的相似性或距离，将相似的对象归为同一 类，不同类的对象尽量保持差异，从而将数据划分为若干个 有意义的群组。
描述性统计
数据收集与整理
描述性统计是通过对数据进行整理、分类和总结，以描述 数据的基本特征和分布情况。
均值、中位数和众数
均值是所有数据之和除以数据量的结果，中位数是将数据 按大小排序后位于中间位置的数值，众数则是出现次数最 多的数值。
方差、标准差和变异系数
方差是描述数据离散程度的指标，标准差是方差的平方根 ，变异系数则是标准差与均值的比值。
03
统计分析方法
方差分析
总结词
用于比较不同组数据的均值是否 存在显著差异。
详细描述
通过比较不同组的变异来源，确 定组间差异和组内差异对总变异 的贡献，从而判断各组的均值是 否存在显著差异。
相关与回归分析
总结词
研究两个或多个变量之间的相关关系。
详细描述
统计模拟
11
Monte Carlo方法简史
2、1930年，Enrico Fermi利用Monte Carlo方法研究中 子的扩散，并设计了一个Monte Carlo机械装臵， Fermiac,用于计算核反应堆的临界状态 3、Von Neumann是Monte Carlo方法的正式奠基者,他与 Stanislaw Ulam合作建立了概率密度函数、反累积分布 函数的数学基础，以及伪随机数产生器。在这些工作中 ，Stanislaw Ulam意识到了数字计算机的重要性
合作起源于Manhattan工程：利用 ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Computer)计算产额 Nhomakorabea
4、随着计算机和统计技术的快速发展，Monte Carlo方 法不断丰富、应用也越来越广泛
13
Monte Carlo模拟的应用：
自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程； 实验探测器的模拟 数值分析： 利用Monte Carlo方法求积分 金融工程： 股票期权的模拟定价 离散事件的模拟 ……
例子： >3+5 >3-5 >3/5 >3^5 >x=5 >?plot >help(plot)
32
向量
向量是R中最为基本的类型 一个向量中元素的类型必须相同，包括
统计模拟
主讲教师：刘洪伟 E-mail: liuhungwei@
1
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
二年级下数学课件-统计-人教
对比分析和趋势分析
通过对比不同时间、不同对象的数据 ，发现数据的变化趋势和规律。
数据分析的常见错误
数据解读错误
数据源不准确
对数据的误读或误解，导致错误的结论。
数据来源不可靠或数据质量差，影响分析 结果。
样本偏差
忽略变量间的相关性
样本选取不具有代表性，导致分析结果偏 离总体特征。
在分析过程中忽略了变量间的相关性，导 致分析结果不准确。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
巩固基础概念
详细描述
基础练习题主要针对统计的基础概念，如分类、整理数据、制作简单 统计图表等，目的是帮助学生掌握基本知识和技能。
总结词
培养基本技能
详细描述
通过基础练习题，学生可以逐步培养对数据的观察、分类、整理和简 单分析的能力，为后02入题
详细描述：综合练习题注重统计知识的综合运用，题 目涉及多个知识点和技能，要求学生能够灵活运用所 学知识解决较为复杂的问题。
03
详细描述：综合练习题鼓励学生创新思维，通过分析 和解决具有挑战性的问题，培养学生的创新意识和解
决问题的能力。
04
总结词：培养创新思维
THANKS
感谢观看
特征。
统计的基本步骤
统计通常包括明确问题、设计调 查方案、收集数据、整理数据、
分析数据和解释结果等步骤。
统计的重要性
决策依据
指导实践
统计结果可以为决策者提供重要的数 据支持，帮助他们做出科学、合理的 决策。
统计结果可以指导实践工作，例如在 市场营销中，企业可以通过统计了解 市场需求和消费者行为，从而制定更 加精准的营销策略。
02
统计图表
柱状图
二年级数学《统计》课件
04
课堂小结
回顾知识点
统计的定义
统计是通过收集、整理、 分析和解释数据来了解现 象的一种方法。
统计的意义
统计可以用来研究社会、 经济、自然等领域的现象 ，帮助我们做出决策和预 测。
统计的基本步骤
收集数据、整理数据、分 析数据和呈现数据。
总结实践经验
数据的收集
数据的整理
在收集数据时，要明确研究的问题和目的 ，选择合适的调查方法，确保数据的真实 性和可靠性。
数据对比分析
通过比较不同数据之间的差异，可以 了解数据之间的关联和影响。
数据趋势分析
通过观察数据的变化趋势，可以预测 未来的发展方向和变化规律。
数据细分分析
通过将数据按照不同的分类或分组进 行整理和分析，可以更深入地了解数 据的特征和规律。
03
实践活动
小组活动
小组活动是实践活动的一种形式，可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。
念和方法的理解。
班级活动的具体形式包括：班级 调查、班级展示、班级讨论等。
全校活动
全校活动是指全校师生共同参与 的活动，旨在促进学校文化建设
和学生综合素质的提高。
在二年级数学《统计》课件中， 可以组织全校活动，让学生通过 参与实际问题和挑战，提高统计
素养和应用能力。
全校活动的具体形式包括：全校 调查、全校展示、全校讨论等。
如何提高数据处理能力
掌握基础数据处理技能
了解数据收集、整理、分析和呈现的基本方法，能够运用合适的 工具进行数据处理。
学习数据分析方法
掌握常用的数据分析方法，如描述性统计、回归分析等，能够根据 问题选择合适的方法进行数据处理。
实践数据处理项目
参与实际的数据处理项目，通过实践提高数据处理能力，积累经验 。
医学统计学PPT课件
验结果,每次都有如此好的吻合. 的概率约10万分之4。 6
绪论 Introduction
讲授内容：
一、医学统计学的意义
二、统计学中的几个基本概念
三、统计资料的类型
四、医学统计工作的基本步骤
五、学习医学统计学应注意的问题
.
7
一、医学统计学的意义
• 1.统计学（statistics）:应用数学的原理与 方法,研究数据的搜集、整理与分析的科 学，对不确定性数据作出科学的推断。
例如：某药治疗高血压患者30名
样本含量（n）为30
.
21
二、统计学中的几个基本概念
• 4、参数（parameter）和统计量（statistic）
• （1）参数（parameter）：根据总体个体 值统 计计算出来的描述总体的特征量。
• 一般用希腊字母表示
• （2）、统计量（statistic）：根据样本个体值统 计计算出来的描述样本的特征量。
（120.2cm,118.6cm,121.8cm,…)
研究某人群性别构成 变量值：男、女。
.
15
二、统计学中的几个基本概念
• 2、同质（homogeneity）和变异 （variation）
• （1）、同质（homogeneity）：根据研究 目的给研究单位确定的相同性质。
• 研究长沙市2004年7岁 男孩身高的正常值范围？
.
27
二、统计学中的几个基本概念
• （3）、抽样误差（sampling error）：由 于抽样所造成的样本统计量与总体参数 的差别。
• 例如：=120.0cm
n=100
•
N=5万 → X =118.6cm
• 特点:1)不可避免性
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残差 e y yˆ
管理与教育的组合 组合 1 2 3 4 5 6 管理 0 1 0 1 0 1 教育 1 1 2 2 3 3
e 与资历x1的关系
2000
e与管理—教育组合的关系
2000
1000
1000
0
0
-1000
-1000
-2000 0
5
10
15
20
残差大概分成3个水平， 6种管理—教育组合混在 一起，未正确反映 。
5
0
3
a0
11200
6
1
3
a0+a2
18241
大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高
大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低
软件开发人员的薪金
对定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1变量处理， 0-1变量的个数应比定性因素的水平少1 残差分析方法可以发现模型的缺陷，引入交互作用项 常常能够改善模型 剔除异常数据，有助于得到更好的结果
x1= 0； x2 = 1~ 管理，x2 = 0~ 非管理 中学：x3=1, x4=0 ；大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0
组合 管理 教育
系数
“基础”薪金
1
0
1
a0+a3
9463
2
1
1
a0+a2+a3+a5
13448
3
0
2
a0+a4
10844
4
1
2
a0+a2+a4+a6
19882
(中x,抽y)的样步确骤定是gˆyNi：， N从1然i后N1fl(g用x()xi
中抽取
, yi )
xi，再由
f2(y|xi)
• 作为θ的一个无偏估计。
• 现在，改变抽样方案如下：
(1) (2)
当抽x取n∈(xRi)1个时y，ijg，1定i j＝义n(11一x，i )个n2j(x，1i整)g…(数xi，,ny(ijnx)i()x≥i)1。，以对平一均个值xi，
R2,F, p 模型整体上可用
x1~资历(年) x2 = 1~ 管理，x2 = 0~ 非管理
中学：x3=1, x4=0;大 学：x3=0, x4=1; 更高：
x3=0, x4=0.
大学程度薪金比更 高的多148
a4置信区间包含零点， 解释不可靠!
结果分析 残差分析方法
yˆ aˆ0 aˆ1x1 aˆ2 x2 aˆ3x3 aˆ4 x4
11032
[ 10258 11807 ]
a1
546
[ 484 608 ]
a2
6883
[ 6248 7517 ]
a3
-2994
[ -3826 -2162 ]
a4
148
[ -636 931 ]
R2=0.957 F=226 p=0.000
资历增加1年薪 金增长546
管理人员薪金多 6883
中学程度薪金比更 高的少2994
20
e ~组合
2
3
4
5
6
R2： 0.957 0.999 0.9998
残差图十分正常
F： 226 554 36701 最终模型的结果可以应用 置信区间长度更短
模型应用 yˆ aˆ0 aˆ1x1 aˆ2x2 aˆ3x3 aˆ4x4 aˆ5x2 x3 aˆ6x2x4
制订6种管理—教育组合人员的“基础”薪金(资历为0）
500
a0
11204
[11044 11363] 0
a1
497
[486 508]
-500
a2
7048
[6841 7255]
e ~ x1
-1000
a3
-1727
[-1939 -1514]
0
500
5
10
15
20
a4
-348
[-545 –152]
a5
-3071
[-3372 -2769] 0
a6
1836
[1571 2101] -500 e ~组合
•
θx 的方差2 为 ( x )2 f1(x)dx
•
• 而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为θ
的估计 g2， 其 (方g(x差, y)为 )2 f (x, y)dxdy
V2
( x )2 f (x, y)dxdy
V2
(g(x, y) x )2 f (x, y)dxdy
Vs
g2(P) f 2(P) f1 (P)
dP
2
I f1
2
2 g1
• 要使
最小，就| g(是P) |使f (P泛) 函I[f1] 极小。
• 为 利用变分f1(P原) 理Vs，| g(可P)以| f (得P)d到P 最优的 f1(P)
•
• 特别地，当 g(P)≥0 时，有
g(P) f (P) g(P) f (P)
•
现在改变xixfi1的(x)抽dx样 i方N法如下：
•
yi
的抽样方法不变。
gˆ N
1 N
N
g(xi , yi )
i 1
•
其方差为g2ˆ N
1 N
2 x
f1
(
x)dx
•
与通常蒙N1 特( 卡x罗)2 f方1(x)法dx相比，方差减少
了约
6. 分层抽样
•
考虑积分
1
0
g
(
x)
f
(
x)dx
• 在（0，1）间插入J－1个点
R2=0.999 F=554 p=0.000
-1000
1
2
3
4
5
6
R2,F有改进，所有回归系数置信 区间都不含零点，模型完全可用
消除了不正常现象 异常数据(33号)应去掉
去掉异常数据后的结果
参数 参数估计值 置信区间
a0
11200
[11139 11261]
a1
498
[494 503]
a2
7041
[6962 7120]
(2) 当 x∈R2时，定义一个函数q(xi)，0＜ q(xi) ＜1，
(3) 以抽样值
g2i
g 0
(
xi
,
yi
)
q(xi )
q(xi ) q(xi )
• 代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。这里ξ是随 机数。
•
显然，这种抽样估计技巧，就是对
x∈R1时，利用分裂技巧，而对 x∈R2时，利用 俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对
考虑 二 g重(x积, y)分f (x, y)dxdy
V2
• 令R是V2上 x 的积分区域，表为 R＝R1+R2，
其不则相中交R1是。重又f要命(x区Q,Ry为)域QV，gf22(上(xRy, 2相y是)x)f应2不(fy1于(重xx))要ydy区的 f1域积(x)，分dx两区者域。互
•
通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样
如下：任何一个积分，都可看作某个随
机变量的期望值，因此，可以用这个随
机变量的平均值来近似它。
• 设欲求积分
G(P)dP Vs
• 的密度点其函，中数V，s表fP(g＝示P(P)P积，)(x分令G1，(区Px)域2，f 。(P…)取，Vxss上) 表任示一联s 合维概空率间
•
则
Vs g(P) f (P)dP Eg(P)
f1(P)
g(P) f (P)dP
Vs
•
这时
2 g1
0
•
即 gg11的(P)方差Vs 为g1(零P)。f1(P实)d际P 上，这时有
• 抽样不为管重那要种抽情样况，，称我函们数称|从g最(P)优|分为布重要fl(函P)数的。
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
• 设整数 n≥1，令
gi (P) g(P) n
普通意义的统计
数理统计
数理统计的对象----受随机因素影响的数据
蒙特卡罗方法在积分计算中的应 用
• 计算多重积分是蒙特卡罗方法的重 要应用领域之一。本章着重介绍计 算定积分的蒙特卡罗方法的各种基 本技巧，而这些技巧在粒子输运问 题中也是适用的。
1. 蒙特卡罗方法求积分
•
蒙特卡罗方法求积分的一般规则
-2000
1
2
3
4
5
6
残差全为正，或全为负，管
理—教育组合处理不当
应在模型中增加管理x2与教育 x3, x4的交互项
进一步的模型 增加管理x2与教育x3, x4的交互项
y a0 a1x1 a2 x2 a3x3 a4 x4 a5x2 x3 a6 x2 x4
参数 参数估计值 置信区间
i Vs gi (P) f (P)dP
n
•
则
g(P) f (P)dP
Vs
i
i 1
• 来1/ 得n于，到是这，计就而算是每θ分的个裂问g技题i(P巧，) 。可为化原为来计θ的算估n计个gθ(iP的) 和的
2) 俄国轮盘赌
• 令 0 ＜ q＜1，
q
Vs
1 q
g
(P)
f
(P)dP
•则
q q (1 q) 0
• 于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期
望值，
P( q ) q
• ζ的特性为：P( 0) 1 q
• 这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，
3) 重要区域和不重要区域
•
我们往往称对积分θ贡献大的积分区
域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分θ
管理与教育的组合 组合 1 2 3 4 5 6 管理 0 1 0 1 0 1 教育 1 1 2 2 3 3
e 与资历x1的关系
2000
e与管理—教育组合的关系
2000
1000
1000
0
0
-1000
-1000
-2000 0
5
10
15
20
残差大概分成3个水平， 6种管理—教育组合混在 一起，未正确反映 。
5
0
3
a0
11200
6
1
3
a0+a2
18241
大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高
大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低
软件开发人员的薪金
对定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1变量处理， 0-1变量的个数应比定性因素的水平少1 残差分析方法可以发现模型的缺陷，引入交互作用项 常常能够改善模型 剔除异常数据，有助于得到更好的结果
x1= 0； x2 = 1~ 管理，x2 = 0~ 非管理 中学：x3=1, x4=0 ；大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0
组合 管理 教育
系数
“基础”薪金
1
0
1
a0+a3
9463
2
1
1
a0+a2+a3+a5
13448
3
0
2
a0+a4
10844
4
1
2
a0+a2+a4+a6
19882
(中x,抽y)的样步确骤定是gˆyNi：， N从1然i后N1fl(g用x()xi
中抽取
, yi )
xi，再由
f2(y|xi)
• 作为θ的一个无偏估计。
• 现在，改变抽样方案如下：
(1) (2)
当抽x取n∈(xRi)1个时y，ijg，1定i j＝义n(11一x，i )个n2j(x，1i整)g…(数xi，,ny(ijnx)i()x≥i)1。，以对平一均个值xi，
R2,F, p 模型整体上可用
x1~资历(年) x2 = 1~ 管理，x2 = 0~ 非管理
中学：x3=1, x4=0;大 学：x3=0, x4=1; 更高：
x3=0, x4=0.
大学程度薪金比更 高的多148
a4置信区间包含零点， 解释不可靠!
结果分析 残差分析方法
yˆ aˆ0 aˆ1x1 aˆ2 x2 aˆ3x3 aˆ4 x4
11032
[ 10258 11807 ]
a1
546
[ 484 608 ]
a2
6883
[ 6248 7517 ]
a3
-2994
[ -3826 -2162 ]
a4
148
[ -636 931 ]
R2=0.957 F=226 p=0.000
资历增加1年薪 金增长546
管理人员薪金多 6883
中学程度薪金比更 高的少2994
20
e ~组合
2
3
4
5
6
R2： 0.957 0.999 0.9998
残差图十分正常
F： 226 554 36701 最终模型的结果可以应用 置信区间长度更短
模型应用 yˆ aˆ0 aˆ1x1 aˆ2x2 aˆ3x3 aˆ4x4 aˆ5x2 x3 aˆ6x2x4
制订6种管理—教育组合人员的“基础”薪金(资历为0）
500
a0
11204
[11044 11363] 0
a1
497
[486 508]
-500
a2
7048
[6841 7255]
e ~ x1
-1000
a3
-1727
[-1939 -1514]
0
500
5
10
15
20
a4
-348
[-545 –152]
a5
-3071
[-3372 -2769] 0
a6
1836
[1571 2101] -500 e ~组合
•
θx 的方差2 为 ( x )2 f1(x)dx
•
• 而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为θ
的估计 g2， 其 (方g(x差, y)为 )2 f (x, y)dxdy
V2
( x )2 f (x, y)dxdy
V2
(g(x, y) x )2 f (x, y)dxdy
Vs
g2(P) f 2(P) f1 (P)
dP
2
I f1
2
2 g1
• 要使
最小，就| g(是P) |使f (P泛) 函I[f1] 极小。
• 为 利用变分f1(P原) 理Vs，| g(可P)以| f (得P)d到P 最优的 f1(P)
•
• 特别地，当 g(P)≥0 时，有
g(P) f (P) g(P) f (P)
•
现在改变xixfi1的(x)抽dx样 i方N法如下：
•
yi
的抽样方法不变。
gˆ N
1 N
N
g(xi , yi )
i 1
•
其方差为g2ˆ N
1 N
2 x
f1
(
x)dx
•
与通常蒙N1 特( 卡x罗)2 f方1(x)法dx相比，方差减少
了约
6. 分层抽样
•
考虑积分
1
0
g
(
x)
f
(
x)dx
• 在（0，1）间插入J－1个点
R2=0.999 F=554 p=0.000
-1000
1
2
3
4
5
6
R2,F有改进，所有回归系数置信 区间都不含零点，模型完全可用
消除了不正常现象 异常数据(33号)应去掉
去掉异常数据后的结果
参数 参数估计值 置信区间
a0
11200
[11139 11261]
a1
498
[494 503]
a2
7041
[6962 7120]
(2) 当 x∈R2时，定义一个函数q(xi)，0＜ q(xi) ＜1，
(3) 以抽样值
g2i
g 0
(
xi
,
yi
)
q(xi )
q(xi ) q(xi )
• 代替上述θ估计式中的 g(yi, xi) 。这里ξ是随 机数。
•
显然，这种抽样估计技巧，就是对
x∈R1时，利用分裂技巧，而对 x∈R2时，利用 俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对
考虑 二 g重(x积, y)分f (x, y)dxdy
V2
• 令R是V2上 x 的积分区域，表为 R＝R1+R2，
其不则相中交R1是。重又f要命(x区Q,Ry为)域QV，gf22(上(xRy, 2相y是)x)f应2不(fy1于(重xx))要ydy区的 f1域积(x)，分dx两区者域。互
•
通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样
如下：任何一个积分，都可看作某个随
机变量的期望值，因此，可以用这个随
机变量的平均值来近似它。
• 设欲求积分
G(P)dP Vs
• 的密度点其函，中数V，s表fP(g＝示P(P)P积，)(x分令G1，(区Px)域2，f 。(P…)取，Vxss上) 表任示一联s 合维概空率间
•
则
Vs g(P) f (P)dP Eg(P)
f1(P)
g(P) f (P)dP
Vs
•
这时
2 g1
0
•
即 gg11的(P)方差Vs 为g1(零P)。f1(P实)d际P 上，这时有
• 抽样不为管重那要种抽情样况，，称我函们数称|从g最(P)优|分为布重要fl(函P)数的。
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
• 设整数 n≥1，令
gi (P) g(P) n
普通意义的统计
数理统计
数理统计的对象----受随机因素影响的数据
蒙特卡罗方法在积分计算中的应 用
• 计算多重积分是蒙特卡罗方法的重 要应用领域之一。本章着重介绍计 算定积分的蒙特卡罗方法的各种基 本技巧，而这些技巧在粒子输运问 题中也是适用的。
1. 蒙特卡罗方法求积分
•
蒙特卡罗方法求积分的一般规则
-2000
1
2
3
4
5
6
残差全为正，或全为负，管
理—教育组合处理不当
应在模型中增加管理x2与教育 x3, x4的交互项
进一步的模型 增加管理x2与教育x3, x4的交互项
y a0 a1x1 a2 x2 a3x3 a4 x4 a5x2 x3 a6 x2 x4
参数 参数估计值 置信区间
i Vs gi (P) f (P)dP
n
•
则
g(P) f (P)dP
Vs
i
i 1
• 来1/ 得n于，到是这，计就而算是每θ分的个裂问g技题i(P巧，) 。可为化原为来计θ的算估n计个gθ(iP的) 和的
2) 俄国轮盘赌
• 令 0 ＜ q＜1，
q
Vs
1 q
g
(P)
f
(P)dP
•则
q q (1 q) 0
• 于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期
望值，
P( q ) q
• ζ的特性为：P( 0) 1 q
• 这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，
3) 重要区域和不重要区域
•
我们往往称对积分θ贡献大的积分区
域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分θ