小专题训练(三)相似三角形的性质与判定的综合运用
相似三角形的性质及应用(知识点串讲)(解析版)
专题12 相似三角形的性质及应用知识网络重难突破知识点一相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例．②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．③对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于相似比．【典例1】（2020•衢州模拟）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．【点拨】由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，易证得△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，又由点R为DE的中点，可求得各相似三角形的相似比，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，∴平行四边形ACED的面积＝平行四边形ABCD的面积＝6，△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，∴△ABC的面积＝△CDE的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，∵点R为DE的中点，∴CP：DR＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝3，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DR＝1：2，∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，∴S阴影＝S△PCQ+S△DQR＝．故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【典例2】（2019秋•河北区期末）如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．【点拨】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90°，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．【解析】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．【变式训练】1．（2020春•甘州区校级月考）两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（）cm．A．16 B．16或28 C．36 D．16或36【点拨】根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．【解析】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2019秋•慈溪市期末）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【点拨】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．【解析】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．3．（2019秋•奉化区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB＝3BD，则S△ADE：S△EFC的值为（）A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1【点拨】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，AD＝2EF，通过证明△ADE∽△EFC，可求解．【解析】解：∵AB＝3BD，∴AD＝2BD，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，∴AD＝2EF，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴△ADE∽△EFC，∴S△ADE：S△EFC的＝（）2＝4：1，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.（2020•下城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（）A．4 B．6 C．2D．3【点拨】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝6，∴＝，解得，BD＝4，∴BC＝＝＝2，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019•纳溪区模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【解析】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴＝1，△AEI∽△QDE，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝×3×2＝3，∵△ABF的面积＝×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴＝＝，∴△BFH的面积＝×2×5＝5，∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝7．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6.（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．知识点二相似三角形的应用【典例3】（2019秋•解放区校级期中）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗不计，计算结果中的分数可保留）【点拨】结合相似三角形的判定与性质进而得出两个正方形的边长，进而求出面积比较得出答案．【解析】解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，由图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．由AB＝1.5m，BC＝2m，得AC＝＝2.5（m），由AC•BH＝AB•BC可得：BH＝＝1.2（m），设甲设计的桌面的边长为xm，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得x＝（m），由图乙，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得y＝（m），∵x＝，y＝，∴x＜y，即x2＜y2，∴S正方形甲＜S正方形乙，∴第二个正方形面积大【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出正方形的边长是解题关键．【变式训练】1．（2019秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【点拨】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．【解析】解：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴＝，而BC＝BE，∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．（2019秋•鹿城区月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4 m B．m C．5m D．m【点拨】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴＝＝，∴＝，解得MH＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．3．（2019秋•滨江区期末）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为420cm．【点拨】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB．【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC：EF＝DC：DE，∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，∴，∴BC＝300cm，∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm，故答案为：420．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．4.（2020•秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC 高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【点拨】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．【解析】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EP A＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物AB的高与小亮在路灯D下的影长，体现了方程的思想．巩固训练1．（2019秋•连州市期末）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm【点拨】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．【解析】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．故选：C．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2018秋•临安区期末）如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，H 在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A．B．C．D．【点拨】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．【解析】解：如图，记AD与EF的交点为M，∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AM和AD分别是△AEF和△ABC的高，∴∴∴EH＝，∴EF＝，∴矩形EFGH的周长＝2×（+）＝故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．3．（2019秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．【点拨】由已知条件易求BE：BC＝1：5；证明△DOE∽△AOC，得到DE：AC的值，由相似三角形的性质即可解决问题．【解析】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC＝1：5是解决问题的关键．4．（2020•上城区一模）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝16：21．【点拨】过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解析】解：过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，∴EF∥CG，∴△BEF∽△BCG，∴，∵CE：EB＝3：4，∴，∴，∴＝＝，∴S1：S2＝16：21，故答案为：16：21．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．5．（2019秋•江干区期末）如图，已知▱ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11．【点拨】由E是BC的三等分点，得到＝，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到＝＝设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，求得S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，得到S四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，于是得到结论．【解析】解：∵E是BC的三等分点，∴＝，在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF＝1：3：9，设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，∴S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，∴四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11，故答案为：1：3：9：11．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为8.8m．【点拨】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形，难度不大．7．（2019秋•竞秀区期末）如图，路灯距地面的高度PO＝8米，身高1.6米的小明在点A处测量发现，他的影长AM＝2.4米，则AO＝9.6米；小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时，他的影子BN 的长度为0.4米．【点拨】如图，设OA＝x，BN＝y．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．【解析】解：如图，设OA＝x，BN＝y．∵EB∥OP∥F A，∴△MAF∽△MOP，△NBE∽△NOP，∴＝，＝，∴＝，＝，解得x＝9.6，y＝0.4，故答案为9.6，0.4．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．8．（2019秋•开江县期末）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．【点拨】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝灯高．在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．设AP＝xm，OP＝hm，则，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②联立①②两式，解得x＝4，h＝10．∴路灯有10m高．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．9．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．【点拨】（1）由已知得出AE：AC＝AD：AB，由∠A＝∠A，即可得出：△ADE∽△ABC．（2）设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，由已知求出AC＝＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，得出＝，由三角形面积关系即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，∴AE：AC＝AD：AB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（2）解：∵点E为AB中点，∴AE＝BE，∵AD：AE＝6：5，∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，∵AE•AB＝AD•AC，∴AC＝＝＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x，∴＝，∵△ABC的面积为50，∴△BCD的面积＝×50＝14．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2018秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD 交于点G．（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；（3）求的最大值．【点拨】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得＝（）2＝k2，＝＝k，所以S1＝k2S，根据三角形面积公式得到S△ABG＝，再利用菱形的性质得到S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）由于＝＝1+﹣，然后根据二次函数的性质解决问题．【解析】解：（1）∵AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠BAG＝∠ADB，∴△BAG∽△BDA，∴＝，即＝，∴BG＝，∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG∴△ADG∽△EBG，∴＝（）2＝k2，＝＝k，∴S1＝k2S，∵＝＝k，∴S△ABG＝，∵△ABD的面积＝△BDC的面积，∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，∴的最大值为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．。
自学初中数学资料-相似三角形的性质和判定综合-(资料附答案)
自学资料一、相似三角形的性质和判定综合【知识探索】1．（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
【错题精练】例1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训定有（）A. △ADE∽△ECFB. △ECF∽△AEFC. △ADE∽△AEFD. △AEF∽△ABF【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D=∠C=90°，∠AEF=90°，∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∴△ADE∽△ECF．故选：A．【答案】A例2．如图，已知AB、CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则S△CDE：S△ABE等于（）A. sinαB. cosαC. sin2αD. cos2α【答案】D例3．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，第2页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√3例4．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴D′HPA′=PD′EA′，∴ax =x4a，∴x2=4a2，∴x=2a或-2a（舍弃），∴PA′=PD′=2a，∵12•a•2a=1，∴a=1，∴x=2，∴AB=CD=2，PE=√22+42=2√5，PH=√12+22=√5，第3页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴AD=4+2√5+√5+1=5+3√5，∴矩形ABCD的面积=2（5+3√5）=10+6√5．故答案为10+6√5【答案】10+6√5例5．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO=______．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=2，∠DAE=90°，∵AE=EB=1，∴DE=√22+12=√5，∵AO⊥DE，∴12×DE×AO=12×AE×AD，∴AO=2√55．故答案为2√55．【答案】2√55例6．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．第4页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠1+∠2=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°∴∠1+∠4=135°∴∠2=∠4，∵∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE；（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE，又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE，∴ECEM =CNNE，又∵∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．例7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．（1）求证：△ABE与△ADC相似；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积．【答案】第5页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例8．如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于E．（1）求证：AB•BE=BC•BD；（2）若AB=26，CD=24，求sin∠CBD．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥CD∴∠ADB=∠CEB∵∠A=∠C∴△CBE∽△ABD∴ABBC =BD BE∴AB•BE=BC•BD；（2）解：连接DO并延长交⊙O于点F，∵DF是直径，∴∠FCD=90°∴∠F=∠CBD AB=DF=26∴CD=24∴sin∠CBD=sin∠F=CDDF =2426=1213【举一反三】第6页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第7页 共23页 自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力 非学科培训1．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，则S △ABE ：S △ECF 等于（ ）A. 1：2B. 4：1C. 2：1D. 1：4【答案】B2．矩形ABCD 中，AD=2AB=2√2，E 是AD 的中点，Rt ∠FEG 顶点与点E 重合，将∠FEG 绕点E 旋转，角的两边分别交AB ，BC （或它们的延长线）于点M ，N ，设∠AME=α（0°＜α＜90°），有下列结论：①BM=CN ；②AM+CN=√2；③S △EMN =1sin 2α，其中正确的是（ ）A. ①B. ②③C. ①③D. ①②③【解答】解：在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 的中点， 作EF ⊥BC 于点F ，则有AB=AE=EF=FC ，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN ，在Rt △AME 和Rt △FNE 中，{∠AEM =∠FENAE =EF ∠MAE =∠NFE，∴Rt △AME ≌Rt △FNE ，∴AM=FN ，∴MB=CN ，故①正确；∴CF=AM+CN=12BC=√2，当点M 在AB 的延长线上时，AM-CN=√2，故②错误；∵Rt△AME≌Rt△FNE，∴EM=EN，∴△EMN是等腰直角三角形，∵∠AME=α，∴sinα=AEEM，∴EM=√2sinα，∴S△EMN=12EM2=1sin2α，故③正确，故选：C．【答案】C3．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB＝4，∠E＝75°，则CD的长为．【答案】2√34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE×CA．（1）求证：BC=CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2√2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴DCCE =CADC，而∠ACD=∠DCE，第8页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD=∠CDE，∵∠CAD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD=CB，∴CD̂=CB̂，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴PCCD =POOA=2rr=2，∴PC=2CD=4√2，∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴PCPA =PBPD，即4√23r=r6√2，∴r=4，即⊙O的半径为4．5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．第9页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，∴BE=3，∵BC=5，∴EC=5-3=2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴ABBE =ECCD，∴43=2CD，∴CD=32；（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；理由是：过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD=∠DEC，∵∠AED=∠C，∴∠ADE=∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF=EC，∵DE=DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF=DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF=AB，∴AD=AF+DF=AB+CD．6．已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E、F在BC上，点D，G分别在AB，AC上．第10页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（1）如图①，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长；（2）如图②，若S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，求正方形的边长．【答案】解：（1）设正方形DEFG的边长是x，∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，∴由勾股定理得：BC=5，过A作AM⊥BC于M，交DG于N，由三角形面积公式得：12AB×AC=12BC×AM，∵AB=4，AC=3，BC=5，∴AM=2.4，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=x，DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴DGBC =AN AM，∴x5=2.4−x2.4，x=6037，即正方形DEFG的边长是6037；（2）过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，∵S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，∴12ab=1，12BE•a=3，12CF•a=1，∴BE=3b，CF=b，∴S△ADG+S△BED+S CFG=12ab+32ab+12ab=1+3+1=5，∴ab=2，∴b=2a①，=1（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S△ADG+S△BDE+S△CFG）2（a+4b）（a+b）-5=a2，=12∴a=2b②，由①②得：a=2，即正方形的边长是2．7．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的动点．沿EF折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，求CF的取值范围．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大值为3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG=√BG2−AB2=4，∴DG=AD-AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3-x）2+12=x2，，∴x=53∴5≤CF≤3．≤CF≤3．故答案为：538．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C 除外），AF与DC的延长线相交于点M．（1）求证：△AFD∽△CFM；（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】1．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A. ∠1＞∠2B. ∠1＜∠2C. ∠1=∠2D. 无法确定【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【答案】C2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB=4，BM=2，则△DEF的面积为（）A. 9B. 8C. 15D. 14.5【答案】A3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A. S1=S2B. S1＞S2C. S1＜S2D. 3S1=2S2S矩形AEFC，即S1=S2，【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=12故选：A．【答案】A4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．=FCDF=3，∴CG=6，∴BG=BC+CG=10，∴△BEG的面积=12×BG×AB=20．5．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P、Q分别在直线CB与射线DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°，CQ=1，则线段BP的长为______．【解答】解：分三种情况：设BP=x，①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠CPQ=90°，∴∠BAP=∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ，∴ABBP=PCCQ，∴4x=4-x1，∴x1=x2=2，∴BP=2；②当P在CB的延长线上时，如图2，同瑆得：△ABP∽△PCQ，6．已知，如图，在圆O中，AB=CD。
专题03 相似三角形的应用综合(五大类型)(题型专练)(原卷版)
专题03 相似三角形的应用综合（五大类型）【题型1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】【题型2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】【题型3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】【题型4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】【题型5 利用相似三角形测量距离】【题型1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】1．（2022秋•郑州期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为1.5m，小明的站的位置到镜子上标记的距离是3.2m，旗杆的底部到小明的位置是19.2m，则旗杆的高度为（）A．19.2B．16C．9D．7.5 2．（2023•龙华区一模）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米3．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m 4．（2023•青原区校级一模）为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3m，该同学身高CD＝1.6m．请你计算树（AB）的高度．5．（2023•新城区校级一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E 到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．6．（2023•灞桥区校级模拟）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面镜的大小忽略不计）7．（2022秋•大名县校级期末）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF ＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【题型2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】8．（2021秋•蓝山县期末）如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为米．9．（2022•兴化市模拟）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM为m．【题型3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】10．（2022秋•房山区期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比等于相似比．（填写定理内容）11．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为m．12．（2023•长安区校级二模）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高1.5m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD ⊥BM，EF⊥BM，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm．请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB．我选择方案．【题型4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】13．（2023•费县二模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝10.8m，则建筑物CD 的高是m．14．（2021秋•吉林期末）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为．15．（2022秋•花都区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？16．（2023•雁塔区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面的高度AB＝1.6m，人与标杆CD的水平距离BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大树MN的高度．17．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG ＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C 在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．18．（2022秋•高新区期末）某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．19.（2023•碑林区一模）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．20．（2022秋•益阳期末）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．21．（2022秋•雁塔区校级期中）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B．已知EF＝3.2米，CF ＝3米，CG＝2米，点小C、F、G在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB ⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【题型5 利用相似三角形测量距离】22．（2022秋•开封期末）如图，某“综合实践”小组为估算开封护城河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点A和点C，使AC＝30m，且AC ⊥AP，再过点C作CD⊥BC，且CD＝20m，PD与AC交于点B，若测得AB ＝20m，则河宽AP的宽度为（）A．40m B．30m C．20m D．10m 23．（2022秋•上海月考）如图，A，B是河边上的两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质电话线杆，且电线、电话线及河两边都是平行的．O 是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度能（填能或不能或不一定）．24．（2023•山西模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和点C，观察者在点E．适当调整，使得AB与EC 都与河岸BC垂直．此时AE与BC相交于点D，若测得BD＝100m，DC＝50m，EC＝45m，请利用这些数据计算河的宽度．25．（2022秋•济南期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．26．（2023•西吉县一模）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长．27．（2023•莲湖区模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度（EP），在离河岸D点3m远的B点，立一根长为1.5m的标杆AB，已知河岸高出水面0.6m，即DE＝0.6m．在河对岸的水里有一棵高出水面4.6m的大树MP，大树的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN．经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，P，N共线，若AB，DE，MP均垂直于河面EP，则河宽EP 是多少米？。
相似三角形的综合运用
相似三角形的综合运用相似1。
定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形。
2。
相似多边形的特性：相似多边的对应边成比例，对应角相等。
3.相似三角形的判定●(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
●（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.●（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
●（4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4。
相似三角形的性质●（1）对应边的比相等，对应角相等.●（2）相似三角形的周长比等于相似比。
●（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.●（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5。
三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.6。
梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
7.相似三角形的应用：１、利用三角形相似,可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
知识考点:会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。
另外,直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。
【精典例题】：【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝41AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H 。
(1)求证：FH ＝FA; （2)求EH ∶HC 的值。
证明：（1)连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝900∵AE ＝41AD ，F 为AB 的中点，∴BCFBAF AE = ∴△EAF ∽△FBC,∴∠AEF ＝∠BFC,∠EFA ＝∠CFB ∴∠EFC ＝900，21=FC EF 又∵∠EFC ＝∠B ＝900 ∴△EFC ∽△FBC∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF ∴∠AEF ＝∠HEF,∠AFE ＝∠HFE ∴△EAF ≌△HEF ∴FH ＝FA （2）由（1）得21=FC EF ，由（1）易证△EHF ∽△EFC,从而可得EC EH EF ⋅=2，同理CE CH FC ⋅=2，于是EH ∶HC ＝2EF ∶2FC ＝1∶4 变式：如图，在矩形ABCD 中，65=BC AB ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝61BC ，FC ＝53CD,FG ⊥AE 于G ，求证：AG ＝4GE 。
非学科数学学培训 相似三角形判定与性质综合(资料附答案)
自学资料一、相似三角形判定与性质综合【知识探索】1．A字型、反A字型（斜A字型）8字型、反8字型第1页共22页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训2．共享性：【错题精练】例1．如图，△ABC中，D边BC上一点，E是CD的中点，且∠ACD=∠ABE，已知AC=2，设AB=x，AD=y，则y与x满足的关系式为（）A. xy=4；B. 2xy−y2=4；C. xy−y2=4；D. x2+xy−2y2=4．【答案】B例2．如右图，AD//CB，AB与CD相交于点E，过点B的直线交CD于点F，交AD于点G，若BEAE =23，BF GF =85，EF=2，则DF的长为（）第2页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. 72； B. 257；C. 185； D. 4．【答案】B例3．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（）A. 4；B. 6；C. 4√2；D. 4√3．【答案】C例4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，若AE:DF=2:3，则BF:BC的值是（）A. 23； B. 35；C. 12； D. 25．【答案】B例5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC=3:2，连接AE交BD于点F，则SΔDEF:SΔBAF:S四边形BCEF= ．第3页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】9:25:48例6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC 于点F．若∠AED=∠B，且AG：GF=3：2，则DE：BC=．【答案】3：5例7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE∥BC．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）若DE=6，BC=10，求线段CD的长．【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，又∵∠DAC=∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴△ADE∽△ACD；（2）解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠B，即∠ECD=∠B，∴△EDC∽△DCB，∴CDBC =DECD，即CD2=BC⋅DE，∵DE=6，BC=10，第4页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴CD2=BC⋅DE=60，解得：CD=2√15．【答案】（1）略；（2）2√15．例8．如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求AGDF的值．【解答】（1）解：由题意知：∵EG∥BC，∴∠GEF=∠FBD，∵∠BFD=∠GFE，∠GEF=∠FBD，∴△FGE∽△FDB；（2）解：∵AD、BE分别是三角形的中线，∴BD=CD，AE=EC，∵EG∥BC，∴EG是△ADC的中位线，∴EG=12CD，∵△EFG∽△BDF，∴EGBD =FGFD=12，∴DF=23DG，∵EG是△ADC的中位线，∴AG=DG，∴DF=23AG，∴AG:DF=3:2=32．【答案】（1）略；（2）32．第5页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训例9．如图，等边△ABC中，点D是BC上任意点，以AD为边作∠ADE=∠ADF=60∘，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2=AE×AC；（2）已知BC=2，设BD的长为x，AF的长为y，求y关于x的函数表达式；（3）若四边形AFDE的外接圆直径为13√312，求y与x的值．【解答】（1）解：在等边△ABC中∠B=∠C=60∘∵∠ADE=60∘∴∠ADE=∠ACD，∠DAE=∠CAD，∴△ADE=△ACD∴ADAE =ACAD∴AD2=AE×AC；（2）解：∵∠B=∠ADF，∠DAF∠BAD∴△DAF∽△BAD∴DABA =AFAD∴AD2=AF×AB∴△DAF∽△BAD由（1）知AD2=AE×AC，且AB=AC∴AE=AF∵∠B=∠C=∠ADE且∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE ∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE∴ABBD =DCCE∵BC=2，BD=x，AF=y∴AB=2，CD=2−x，CE=2−y∴2x =2−x2−y∴y=12x2−x+2（0≤x≤2）；第6页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第7页 共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（3）解：连接EF ，AF =AE ，∠EAF =60∘∠EDF =120∘则△AEF 为等边三角形 ∴四边形AFDE 的外接圆即为等边三角形△AEF 的外接圆 ∵四边形AFDE 的外接圆直径为13√312∴AF =EF =138∴当y =138时，x 1=12，x2=32．【答案】（1）略；（2）y =12x 2−x +2（0≤x ≤2）；（3）当y =138时，x 1=12，x 2=32．例10．已知：如图，点D 是等腰直角△ABC 的重心，其中∠ACB =90∘，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE ，若△ABC 的周长为6，则△DCE 的周长为（ ）A. 2√2；B. 2√3；C. 4；D. 3√2．【答案】A例11．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且BC 2=BD ⋅CE ． （1）求∠DAE 的度数．（2）求证：AD 2=DB ⋅DE ．【解答】（1）解： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60∘，AB =AC =BC ， ∴∠ABD =∠ACE ， ∵BC 2=BD ⋅CE ， ∴AB ⋅AC =BD ⋅CE ，即ABBD =CEAC，∴△ABD∽△ECA；∴∠DAB=∠E，∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=120∘（2）证明：∵∠DAE=∠ADB=120∘，∠D=∠D，∴△ABD∽△EAD∴ADDE =BDAD，∴AD2=DB⋅DE．【答案】（1）∠DAE=120∘；（2）略．例12．如图使用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A、D两端点的距离为6cm，AOBO =DOCO=47，求容器的内径BC．【解答】解：∵AOBO =DOCO又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD∽△BOC∴ADBC =AOBO=DOCO=47∵AD=6cm∴BC=212cm【答案】BC=212cm．例13．如图，在△ABC中，∠A=36∘，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）第8页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. √5−1；2；B. √5−14C. 3−√5；2D. 3−√5．4【答案】C例14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=k(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的x解析式为．【答案】y=2x例15．如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．（1）求证：△ACP∽△DBP；（2）写出y关于x的函数解析式；（3）若CD=8时，求S△ACP：S△DBP的值．第9页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】（1）证明：∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP．（2）解：由（1）可得：CP⋅PD=AP⋅PB，即xy=12．∴y=12x．（3）解：由题意得{xy=12x+y＝8．由②得y=8−x．代入①得x(8−x)=12．得x1=2，x2=6．∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2．S△ACP:S△DBP=CP2:BP2=22:32=4:9或S△ACP:S△DBP=CP2:BP2=62:32=4:1．【答案】（1）略；（2）y=12x；（3）4：1．【举一反三】1．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，且点D，D分别在BC，AB上，连结AD和CE交于点H，若BDCD =2，AHDH=1，则BE的长为．【答案】154．第10页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训2．在平行四边形ABCD中，E为AB上的一点，连结CE，P为CE的中点，过P作直线MN分别交边AD，BC于点M，N，若EA:EB=5:4，则且PM:PN=．【答案】723．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，∴ABBC =24=12，BD AB =12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE＝1.5．【答案】（1）见解答；（2）DE＝1.5．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，G两点，CE，BG相交于点O．（1）求证：AG=DE；（2）已知AB=4，AD=5，求OEOC的值；（3）求四边形ABOE的面积与△BOC的面积之比．【解答】（1）证明：BG平分∠ABC，CE平分∠BCD∴∠ABG=∠CBG，∠BCE∠DCE∵AD∥BC∴∠CBG=∠AGB，∠BCE=∠CED∴AB=AG，CD=DE∵AB=CD∴AG=DE；（2）解：∵AB=4，AD=5∴AG=DG=4，AE=AD−DE=1，GD=AD−AG=1∴EG=AD−AE−DG=3∵AD∥BC∴OEOC =EGBC=35；（3）解：连接AO，设SΔOEG=9a∵AD∥BC，∴△OEG∽△OCB∴SΔOEG:SΔOBC=9:25∴SΔOBC=25a∵AE:EG=1:3∴SΔOAE:SΔOEG=1:3∴SΔOAE=3a∴SΔOAG=12a∵SΔOAB:SΔOAG=OB:OG=5:3∴SΔOAB=20a∴S四边形ABOE=SΔOAB+SΔOAE=23a∴S四边形ABOE:SΔOBC=23a:25a=23:25．【答案】（1）略；（2）35；（3）23∶25．5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则S1的值为（）S2；A. 23B. 1；2；C. 49D. 2．【答案】C6．如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为．．【答案】4√337．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF:FD=AD:DB；（2）若AB=15，AD:BD=2:1，求DF的长．【解答】（1）证明：∵EF∥CD，∴AFFD =AEEC，∵DE∥BC，∴ADBD =AEEC，∴AF:FD=AD:DB；（2）解：∵AD:BD=2:1，∴BD=12AD，∴AD+12AD=15，∴AD=10，∵AF:FD=AD:DB，∴AF:FD=2:1，∴AF=2DF，∵AF+DF=10，∴2DF+DF=10，∴DF=103．【答案】（1）略；（2）DF=103．8．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为．【答案】3．9．如图，ABCD中，AC，BD交于点O，BC=6，OE=2，BO=4．（1）求证△DEF∽△BEC；（2）求AF的长．【解答】（1）证明：∵∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，∠DEF=∠BEC，∴△DEF∽△BEC；（2）解：∴OB=OD=4，AD∥BC，AD=BC=18，∵OE=2，∴DE=4−2=2，∵AD∥BC，∴△DFE∽△BCE，∴DF+BC=DE+BE，∴DF+18=24+2，∴DF=6，∴AF=18−6=12．【答案】（1）略；（2）12．10．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E为AB的中点，连接CE、DE．AC 与DE相交于点F．（1）求证：△ADF∽△CEF；的值．（2）若AD=4，AB=6，求ACAF【解答】（1）证明：∵∠ACB=90∘，E为AB的中点，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ACE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ACE，∴AD∥CE，∴△ADF∽△CEF；（2）解：∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；∴△AFD∽△CFE，∴AD:CE=AF:CF；∵CE=12AB=3，AD=4，∴AFCF =ADCE=43，∴ACAF =74．【答案】（1）略；（2）ACAF =74．11．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF:EF=（）A. 24：7；B. 25：7；C. 2：1；D. 3：1．【答案】B12．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求证：AD=BE；（2）求证：△ABF∽△ADB．【解答】（1）证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘．∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE，即∠BCE=∠ACD．在△BCE和△ACD中，{BC=AC∠BCE=∠ACDCD=CE，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；（2）证明：由（1）知：△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BMC=∠AMF，∴∠AFB=∠ACB=60∘=∠ABC，又∵∠BAF=∠BAD，∴△ABF∽△ADB．【答案】（1）略；（2）略．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，点E在线段DA上，直线CE与BA的延长线交于点G．（1）求证：△CDE∽△GAE；（2）当DE：EA=1：2时，过点E作EF∥CD交BC于点F且CD=4，EF=6，求AB的长．【解答】（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠EAG．∴△CDE∽△GAE．（2）证明：由（1）△CDE∽△GAE，∴DE：EA=DC：GA．∵DE：EA=1：2，CD=4，∴GA=8，CE：CG=1：3．又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥GB．∴△CEF∽△CGB．∴CE：CG=EF：GB．∵EF=6，∴GB=18．∴AB=GB−GA=18−8=10．【答案】（1）略；（2）10．14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）证明：AB=AC，∴∠C=∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BEC=90∘，∴△BEC∽△ADC．【答案】（1）略；（2）略．1．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在边AB上，AD=4.5，△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求AFAE的值．【解答】（1）证明：ADAC =ACAB，∵∠BAC=∠CAD，∴△ACD∽△ABC （2）解：∵△ACD∽△ABC，AE是∠BAC的角平分线，∴AFAE =ACAB=34．【答案】（1）略；（2）AFAE =ACAB=34．2．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40∘,∠B=60∘，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A=48∘，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠A=40∘,∠B=60∘，∴∠ACB=80∘，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40∘，∴∠ACD=∠A=40∘，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40∘，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD为△ABC的完美分割线；（2）解：①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96∘；②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180∘−48∘2=66∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114∘；③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96∘或114°；（3）解：由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，设BD=x，∴(√2)2=x(x+2)，∵x＞0，∴x=√3−1，∵△BCD∽△BAC，∴，∴CD=√3−1√2×2=√6−√2．【答案】（1）略；（2）略；（3）√6−√2．3．已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴ABBC =24=12，BDAB=12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．【答案】（1）略；（2）1.5．4．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于（）第21页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训A. 8；B. 6；C. 4；D. 3．【答案】C第22页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。
相似三角形的性质与综合应用
相似三角形的性质及综合应用知识点1.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比；（3）相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。
知识点2.位似图形的性质（1）两个位似图形一定相似；（2）两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
题型1、相似三角形中线段的相关计算与证明1-1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC, EF ∥CD,完成下列各题 （1）ABADAD AF 和有怎样的数量关系？为什么？ （2）若AF=4，FD=3，求BD 的长1-2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，（1）图中有哪几对三角形相似？（2）若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD。
1-3．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD·BC＝OB·BD。
题型2、相似三角形中周长或面积的相关计算2-1．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB 的面积为（）。
A．18 B．27 C．36 D．452-2．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存有点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长。
题型3、相似三角形的实际应用3-1、如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P1，P2，O在一条直线上时，在点O处用①号“E”（大“E”）测得的视力与用②号“E”（小“E”）测得的视力效果相同．（1）△P1D1O与△P2D2O相似吗？_________ ；（2）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式；（3）若b1=3.2cm，b2=2cm，①号“E”的测量距离l1=8m，要使得测得的视力相同，则②号“E”的测量距离l2应为_________ m。
相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。
相似三角形的性质和应用
个性化辅导教案例2.相似三角形的性质（1）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则 四边形BCED 的面积为（ ）A.32B.33C.34D.36（2）如图所示，□ ABCD 中，AE ：EB =1：2,求△AEF 和△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求：S △CDF .例3（1）已知两个相似三角形对应边上的高的比为1：2，那么这两个三角形对应中线的比为_______,对应角平分线的比为_________。
（2）两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为 。
（3）如图，已知：△ABC ∽△A ´B ´C ´,且AB ：A ´B ´=3：2，若AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ´B ´C ´的对应中线①你发现还有哪些三角形相似? ②若AD =9cm ,则A ＇D ＇的长是多少？③若AD 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD 与△A ´B ´D ´成立吗？ 故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。
FD CBAE 例2（1）A BCDE例4如图，已知DE ∥FG ∥MN ∥BC ，且AD ＝DF ＝FM ＝MB ，求S 1:S ２:S ３:S 4课堂练习1.一个三角形改变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的_________倍.2.一个三角形的三边之比为2∶3∶4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的边长是 ，周长是 。
3.若△ABC ∽△A ‘B ‘C ’，且∠A ＝45０，∠B ＝30０，则∠C ′＝ 。
4.两个相似五边形的面积比为16：25，其中较大的五边形的周长为30cm ，则较小 的五边形的周长为______ cm .5.（2011苏州）如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.第5题图D S4S3S2S1A BCEF GMN6.四边形 ABCD 是平行四边形，点E 是BC 的延长线上的一点，而且CE ：BC =1：3，若△DGF 的面积为9，试求：（1）△ABG 的面积.（2）△ADG 与△BGE 的周长比和面积比.7.如图，△ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC =40cm ,AD =30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M . (1) 求证：;AM HGAD BC(2) 求这个矩形EFGH 的周长.8.两个相似菱形的边长的比为4：1，那么它们的面积之比为 。
相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案
相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6， 解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。
相似三角形性质和判定的应用练习题(含答案)
专题8：相似三角形性质和判定的应用【典例引领】例：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．的值；①求SΔED′MSΔEMN②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．【强化训练】1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，的值；①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH的值.（用含α的三角函数表示）②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH2．已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形，AB=3√3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．3．如图，△ABC中，∠BAC为钝角，∠B=45°，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作∠PCF=∠B．（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D．①如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；②如图2，若AD DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C′，将∠PCF沿CC′方向平移，使顶点C落在点C′处，记平移后的∠PCF为∠P′C′F′，将∠P′C′F′绕点C′顺时针旋转角α（0°＜α＜45°），C′F′交线段BC于点M，C′P′交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系．4．（2016辽宁省大连市）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：B C=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是A AS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 的中点，E 为DC 的中点，点F 在AC 的延长线上，且∠CDF =∠EAC ，若CF =2，求AB 的长；（3）如图4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD =kDB （其中0＜k ＜√33），∠AED =∠BCD ，求AE EC的值（用含k 的式子表示）．5．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ． 特例探索（1）如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝2√2时，a ＝ ，b ＝ ； 如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝ ，b ＝ ；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2√5，AB＝3．求AF的长．专题8：相似三角形性质和判定的应用【典例引领】例：如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是AD 上的一个动点．（1）如图1，连接BD ，O 是对角线BD 的中点，连接OE ．当OE=DE 时，求AE 的长；（2）如图2，连接BE ，EC ，过点E 作EF ⊥EC 交AB 于点F ，连接CF ，与BE 交于点G ．当BE 平分∠ABC 时，求BG 的长；（3）如图3，连接EC ，点H 在CD 上，将矩形ABCD 沿直线EH 折叠，折叠后点D 落在EC 上的点D'处，过点D′作D′N ⊥AD 于点N ，与EH 交于点M ，且AE=1． ①求SΔED ′M S ΔEMN的值；②连接BE ，△D'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．【答案】（1）AE=3310；（2）BG=5√26；（3）①54；②相似，理由见解析. 【分析】（1）先求出BD ，进而求出OD=OB=OA ，再判断出△ODE ∽△ADO ，即可得出结论；（2）先判断出△AEF ≌△DCE ，进而求出BF=1，再判断出△CHG ∽△CBF ，进而求出BK=GK=56，最后用勾股定理即可得出结论；（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=43，CH=53，再判断出△EMN ∽△EHD ，得出MNHD＝EM EH ，△ED'M ∽△ECH ，得出D′M CH ＝EM EH ，进而得出D′M MN ＝CH HD ＝54，即可得出结论；②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB ，即可得出D′M CB＝D′H CE，即可．【解答】（1）如图1，连接OA ，在矩形ABCD 中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90° 在Rt △ABD 中，根据勾股定理得，BD=√34， ∵O 是BD 中点，∴OD=OB=OA=√342，∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠ODE，∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DOAD =DEDO，∴DO2=DE•DA，∴设AE=x，∴DE=5﹣x，∴（√342）2=5（5﹣x），∴x=3310，即：AE=3310；（2）如图2，在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴AE=CD=3，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∵∠A=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∴∠CED=∠AFE，∴△AEF ≌△DCE ， ∴AF=DE=2， ∴BF=AB ﹣AF=1， 过点G 作GK ⊥BC 于K ， ∴∠EBC=∠BGK=45°，∴BK=GK ，∠ABC=∠GKC=90°， ∵∠KCG=∠BCF ， ∴△CHG ∽△CBF ， ∴GK FB=CK CB，设BK=GK=y ， ∴CK=5﹣y ， ∴y=56， ∴BK=GK=56，在Rt △GKB 中，BG=5√26； （3）①在矩形ABCD 中，∠D=90°， ∵AE=1，AD=5， ∴DE=4， ∵DC=3， ∴EC=5，由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH ，∠ED'H=∠D=90°， ∴D'C=1， 设D'H=DH=z ， ∴HC=3﹣z ，根据勾股定理得，（3﹣z ）2=1+z 2， ∴z=43，∴DH=43，CH=53，∵D'N ⊥AD ， ∴∠AND'=∠D=90°， ∴D'N ∥DC ， ∴△EMN ∽△EHD ， ∴MNHD =EMEH ， ∵D'N ∥DC ，∵∠MED'=∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴D′MCH ＝EMEH，∴MNHD ＝D′MCH，∴D′MMN ＝CHHD＝54，∴S△ED′MS△EMN ＝54；②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，∴∠MD'H+∠ED'N=90°，∵∠END'=90°，∴∠ED'N+∠NED'=90°，∴∠MD'H=∠NED'，∵D'N∥DC，∴∠EHD=∠D'MH，∴∠EHD'=∠D'MH，∴D'M=D'H，∵AD∥BC，∴∠NED'=∠ECB，∴∠MD'H=∠ECB，∵CE=CB=5，∴D′MCB ＝D′HCE∴△D'MH∽△CBE．【强化训练】1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）BG=EG，理由见解析；（2）12；（3）cosα.【分析】（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得GMBH =GEBE=12，再证明ΔMGD是等边三角形，可得DG=MG，由此可得DGBH =MGBH=12；方法二：延长ED，BC交于点M，证明ΔHBM为等边三角形，再证明ΔEDG∽ΔEMB，即可得结论；②如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得cosα=OEEF，则OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的长，代入DGBH计算即可．【解答】（1）BG=EG，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∵四边形CDEF是菱形，∴CD∥EF，CD=EF.∴AB∥EF，AB=EF.∴∠ABG=∠FEG.又∵∠AGB=∠FGE，∴ΔABG≌ΔFEG(AAS).∴BG=EG.（2）方法1：过点G作GM∥BH，交DH于点M，∴∠EMG=∠EHA.∵∠GEM=∠BEH，∴ΔGME∽ΔBHE.∴GMBH =GEBE.由（1）结论知BG=EG.∴EG=12BE.∴GMBH =GEBE=12.∵四边形CDEF为菱形，∴∠ADC=∠EDF=60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠CDF=∠HAD=60°.∵GM∥AH，∴∠MGD=∠HAD=60°.∴∠GMD=180°−∠MGD−∠MDG=60°，即∠GMD=∠MGD=∠MGD=60°.∴ΔMGD是等边三角形。