2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解
已知导数求原函数
已知导数求原函数
只要导数存在，原函数就一定连续。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
原函数的求法
t?
?? ? ?
? 2
,
? 2
?? ?
?
1 x2 ?
dx a2
?
1
?a sec t
?a sec2
tdt
? ?sec tdt ? ln(sec t ? tan t) ? C
?
? ln???
x a
?
x2 ? a
a2
? ??? ?
C.
第五章 “积零为整”的数学方法
返回
x2 ? a2
x
t a
上一张 下一张 退 出
答案 2( x ? 1)e x ? C 。
Ⅵ当积分中含自然数n时，可先求递推公式，再依次代入。
? ? 例 求递推公式：?1?I n ?
(ln x)n dx
?2?I n ?
(a
2
1 ? x2
)n
dx 。
答案 ?1?I n ? x(ln x) n ? nI n ? 1
?2 ?I n
?
3 ? 2n 2a 2 (1 ? n)
答案 ? ln | cos x | ? C .
答案 1 ln x ? a ? C . 2 x? a
答案 3 x ? 1 sin 2x ? 1 sin 4x ? C .
84
32
例 计算下面的不定积分：
?1?? 8 ? 3xdx ?2??xdlnxx
? ?3?
ex
dx ? e?x
?4??sec xdx
第五章 “积零为整”的数学方法
第五章 “积零为整”的数学方法
返 回 上一张 下一张 退 出
2019年11月16日星期六
微积分
18
? ? ? 例
?1?
lnx原函数的求法
lnx原函数的求法要求导函数f'(x)的逆运算就是要求解微分方程f'(x)=y的解析解，也就是要求原函数f(x)。
在数学上，求解原函数的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法。
1.直接求导法：如果原函数是一个简单的多项式函数或者初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等），那么可以通过直接求导的逆过程来求解原函数。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过求导公式得到f'(x)=2x，然后再求出f(x)的原函数F(x)。
由于f'(x)=2x，所以F(x)就是x^2的原函数。
2. 反函数法：对于一些函数，可以通过求其反函数来求解原函数。
设函数g(x)是原函数f(x)的反函数，那么有f(g(x))=x。
我们可以通过求解这个方程来得到g(x)，然后再通过g(x)来求解原函数f(x)。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，我们知道其反函数是arcsin(x)，所以通过求解arcsin(x)=y可以得到原函数f(x)=sin(y)。
3. 特殊积分法：一些函数的原函数可以通过使用特定的积分技巧求解。
例如，对于以e为底的指数函数f(x)=e^x，可以通过令u=e^x来进行变量替换，然后使用换元积分法来求解原函数。
具体来说，我们有du=e^xdx，所以可以将f(x)的原函数表示为∫e^xdx=∫du=u+C=e^x+C，其中C是常数。
4. 巧妙的代数化简：有时候，通过将函数进行适当的代数化简，可以得到其原函数。
例如，对于函数f(x)=1/x，我们可以通过代数化简得到f(x)=x^(-1)，然后使用幂函数的原函数公式得到其原函数F(x)=(x^(-1+1))/(1-1)=ln(x)+C，其中C是常数。
这些方法只是求解原函数的常见方法之一，根据具体的函数形式和条件，可能需要使用不同的方法来求解原函数。
此外，对于一些函数，不存在可表达的原函数，或者原函数不能用已知的函数形式表示，只能通过数值方法来近似求解。
由导数求原函数的公式
由导数求原函数的公式在咱们的数学世界里，导数和原函数那可是一对儿形影不离的好伙伴。
今天咱们就来好好聊聊由导数求原函数的公式。
要说这导数和原函数，就好比是侦探游戏里的线索和真相。
导数是线索，能帮咱们一步步揭开原函数这个“真相”的神秘面纱。
咱们先来说说基本的公式。
比如，若导数是 $x^n$ 的形式，那么原函数就是 $\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}$ 再加上一个常数 C 。
这就好像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学问题的大门。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个特别调皮的小家伙，瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑着跟他说：“这就好比你要找到回家的路，导数就是路上的标志，而原函数就是你真正的家。
咱们得通过这些标志才能准确找到家呀！”这小家伙似懂非懂地点了点头。
那咱们再深入一点。
对于一些常见的函数，像正弦函数、余弦函数、指数函数等等，它们的导数和原函数之间也有着特定的关系。
比如说，正弦函数的导数是余弦函数，反过来，余弦函数的原函数就是正弦函数加上一个常数。
在实际解题的时候，咱们得灵活运用这些公式。
有时候，题目给的导数可能是几个函数的组合，这时候就得把它们拆开，分别求出原函数，再整合起来。
就像上次考试，有一道题给的导数是 $2x + \sin x$ 。
很多同学一看到就懵了，不知道从哪儿下手。
其实呀，咱们分开来看，$2x$ 的原函数是 $x^2$ ，$\sin x$ 的原函数是 $-\cos x$ ，所以原函数就是 $x^2 - \cos x + C$ 。
总之，由导数求原函数的公式是咱们数学大厦里的重要基石。
只有把这些公式掌握得牢牢的，咱们在数学的海洋里才能畅游无阻。
希望同学们在今后的学习中，多多练习，多多琢磨，让这些公式成为咱们解题的得力助手，不再被它们难倒！。
导数求原函数
导数求原函数1 什么是导数在数学中，导数是一种用于描述函数变化速率的概念。
简单来说，导数就是函数某个点处的切线斜率。
2 求导数的过程要求一个函数的导数，需要使用一个叫做“导数”的概念来描述函数的增长速度。
导数可以通过求解函数的微分（即函数在某个点的切线的斜率）来得到。
通常情况下，我们可以使用限制性方法计算导数。
这样做的基本思想是将函数的增长速率按照一个小的变化量进行计算。
3 什么是原函数在数学中，原函数指的是某个函数的不定积分。
简单来说，如果函数f(x)的导函数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
原函数的意义在于，它可以告诉我们原始函数的变化对于某个参考点的影响程度。
4 导数求原函数的过程在求解导数方程时，我们只是单纯地对函数的变化率进行了计算，我们并没有获得原始函数的具体值。
那么，如何求解原函数呢？假设f(x)是某个可微函数，它的导函数为f'(x)，那么可以知道：∫f'(x)dx = f(x)+C其中，C是一个任意的常数。
想要求得f(x)，我们只需反函数微商就可以得到：f(x) = ∫f'(x)dx + C这个公式告诉我们，如果我们能够求出f'(x)的不定积分，那么它就是f(x)的一个原函数了。
5 求解例子假设f(x) = x²，求解f(x)的原函数。
根据公式：f'(x) = 2x那么，f(x)的原函数可以表示为：f(x) = ∫2xdx + Cf(x) = x² + C与f(x) = x² 的导函数f'(x) = 2x 相对应的原函数就是f(x) = (1/3)x³ + C6 总结在数学中，导数与原函数是紧密相关的。
导数可以描述函数变化率，而原函数则可以告诉我们原始函数的具体变化情况。
如果我们要求一个函数的原函数，那么我们只需要找到计算函数导数的方法，然后应用反函数微商即可。
通过这种方法，我们可以非常方便快捷地求出函数的原函数，这是数学求解重要问题的核心思想。
2018考研数学二真题解答
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解
2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解高等数学的研究对象是函数，而函数可分为一元函数和多元函数。
在考研数学中，多元函数的偏导数是一个基本考点，每年都会考，考试大纲要求考生理解多元函数偏导数的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。
大家知道，在一元函数中，如果已知某函数的导数，而要求原函数，只要对其导数求不定积分即可，那么在多元函数中，如果已知某函数的偏导数，而要求其原函数，我们应该如何计算呢?下面本文就这个问题做些分析总结，供各位同学参考。
一、由偏导数求原函数的方法由多元函数的偏导数求原函数，主要有以下两种方法：1.如果已知多元函数的某个一阶或二阶偏导数的简单方程，则可以通过直接求不定积分来求出原函数;从上面的分析和例题来看，若已知多元函数的偏导数，如果要求其原函数的话，可以通过求不定积分来求原函数，这是针对比较简单的情况，如果是复杂一些的情况，则可能需要将其转化为常微分方程来进行求解，这就要求同学们掌握微分方程的求解方法，并能综合灵活运用，这也是学好并考好数学的要求。
When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
偏导数法解一元三次方程
偏导数法解一元三次方程一、引言在高等数学中，解一元三次方程是一种经典的求解方法。
本文将介绍一种基于偏导数法解一元三次方程的方法，探讨其原理和具体应用。
二、偏导数法简介偏导数法又称牛顿法，是一种求函数极值的方法。
在解一元三次方程时，我们可以利用偏导数法求出方程的根，并进行验证。
三、偏导数法解一元三次方程的步骤1. 设一元三次方程为f(x)=0，求出其一阶偏导数f'(x)。
2. 利用牛顿迭代公式：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，选择一个初值x_0，并进行迭代计算，直至收敛。
3. 将求得的x值带入原方程f(x)=0中验证是否成立。
四、具体应用举例示例：解方程x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0。
步骤一：计算一阶偏导数f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9步骤二：选择初值x_0并进行迭代计算。
选择x_0 = 1，代入牛顿迭代公式得到x_1，再将x_1代入公式得到x_2，以此类推，直至收敛。
经过计算，当n=4时，x_4 的值收敛到 2.步骤三：将x=2带入原方程验证是否成立。
计算得到2^3 - 6*2^2 + 9*2 - 4 = 0，方程成立。
因此，方程x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0的解为x=2.五、总结偏导数法是一种求解一元三次方程的有效方法。
通过求出方程的偏导数，利用牛顿迭代公式进行迭代计算，可以得到方程的解，并通过验证来确认结果的准确性。
六、延伸应用偏导数法不仅适用于解一元三次方程，还可以用于解其他类型的方程。
在实际问题中，我们可以运用偏导数法解决包括经济、物理等各领域的实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
七、结论偏导数法解一元三次方程是一种有效的求解方法，通过迭代计算和验证，可以得到准确的方程解。
在数学及相关领域的研究和应用中，偏导数法具有重要的意义。
以上就是利用偏导数法解一元三次方程的方法及其应用的介绍。
2018年考研数学三大纲
2018年考研数学（三）考试大纲2018年数学三考试大纲考试科目：线性代数、概率论与数理统计、离散数学高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件．3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法．4．掌握平面方程和直线方程及其求法．5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题．6．会求点到直线以及点到平面的距离．7．了解曲面方程和空间曲线方程的概念．8．了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程．9．了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法．5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．8．了解二元函数的二阶泰勒公式．9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．六、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，，了解二重积分的中值定理．2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．4．掌握计算两类曲线积分的方法．5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分．7．了解散度与旋度的概念，并会计算．8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件．3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法．4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．10．掌握麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式．八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会用降阶法解下列形式的微分方程：和．5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式．3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件．3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理列维-林德伯格（Levy-Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫不等式．2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解分布、分布和分布的概念及性质，了解上侧分位数的概念并会查表计算．3．了解正态总体的常用抽样分布．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间．八、假设检验考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构单选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分精选。
2018考研数学如何三分钟之内解决偏导数计算的解答题
2018考研数学：如何三分钟之内解决偏导数计算的解答题（来源：文都教育）考研大纲中明确要求“掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法”。
而这一部分的常以填空题和解答题的形式出现，2017年数学一、数学二又考察了一道解答题。
这类题目难度不大，只需要考生掌握复合函数求导的链式法则即可，但若考题以解答题的形式出现，往往计算量较大，考生往往没有耐心做完这类题目，事实上这类题目有明显的技巧可寻，一旦求出了一阶偏导，可以立刻得到二阶偏导，这个技巧属于文都教育原创，此前从没有任何考研机构给出过，本文我们带领大家来学习下这个技巧。
为此我们首先回顾一下复合函数求导的链式法则，然后给出求二阶的技巧（重点在二阶的技巧）。
注：为叙述简单，函数都具有相应的求导阶数，且相应的一阶偏导、二阶偏导连续。
考研真题中都会满足这些基本的条件。
（一）多元复合函数求导的求导法则 （1）若()()()()t t f v u f z ψϕ,,==，则dtdvv f dt du u f dt dz ∂∂+∂∂=； （2）若()()()()y x y x f v u f z ,,,,ψϕ==，则xvv f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，y v v f y u u f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂； （3）若()()()()y y x f v u f z ψϕ,,,==，则xuu f x z ∂∂∂∂=∂∂，y v v f y u u f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂。
注：先画出变量之间关系示意图，立刻可以写出上述法则。
（二）二阶的技巧二阶偏导可以继续通过复合函数求导法则给出，但计算量大且很容易从出错。
我们定义一个新的运算法则利用一阶来快速计算二阶，1111f f f ''='⊗'，1221f f f ''='⊗'，2112f f f ''='⊗'，2222f f f ''='⊗'.122121212211f g g f f g g f g f g ''⋅='⊗'⋅='⊗'，()()2212112212211121212f f f f f f f f f f f f f f f ''+''+''='⊗'+'⊗'+'⊗'+'⊗'='+'⊗'+'. 上述法则不需要死记硬背，只需要记住第一条即可，其他的都非常简单，和实数的运算法则完全一样，例如, ()()222b ab a b a b a ++=++.下面我们通过几道例题来说明具体的操作即可,大家会发现非常快捷！（三）例题解析例题1（1996年数一）设变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y zy x z x z 化为02=∂∂∂vu z，求常数a . 解析：a y v x v y u x u =∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂,1,2,1.于是，vz u z x v v z x u u z x z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，vz a u z y v v z y u u z y z ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2. 进而 22222222v zv u z u z v z u z v z u z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⊗⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂，()222222222vz a v u z a u z v z a u z v z u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⊗⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂∂， 222222224422v z a v u z a u z v z a u z v z a u z x z ∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⊗⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∂∂ 因此()()22222222261056vz a a v u z a y z y x z x z ∂∂++-+∂∂∂+=∂∂-∂∂∂+∂∂. 由题意有⎩⎨⎧=++-≠+0601052a a a ，从而3=a .注：在试卷上不要出现⊗的这一步，只需要草稿纸上进行即可，这里写出来只是为了让初学者更容易看懂。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018考研数学：由偏导数求原函数的方
法详解
高等数学的研究对象是函数，而函数可分为一元函数和多元函数。
在考研数学中，多元函数的偏导数是一个基本考点，每年都会考，考试大纲要求考生理解多元函数偏导数的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。
大家知道，在一元函数中，如果已知某函数的导数，而要求原函数，只要对其导数求不定积分即可，那么在多元函数中，如果已知某函数的偏导数，而要求其原函数，我们应该如何计算呢?下面本文就这个问题做些分析总结，供各位同学参考。
一、由偏导数求原函数的方法
由多元函数的偏导数求原函数，主要有以下两种方法：
1.如果已知多元函数的某个一阶或二阶偏导数的简单方程，则可以通过直接求不定积分来求出原函数;
从上面的分析和例题来看，若已知多元函数的偏导数，如果要求其原函数的话，可以通过求不定积分来求原函数，这是针对比较简单的情况，如果是复杂一些的情况，则可能需要将其转化为常微分方程来进行求解，这就要求同学们掌握微分方程的求解方法，并能综合灵活运用，这也是学好并考好数学的要求。