2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解
已知导数求原函数
已知导数求原函数
只要导数存在，原函数就一定连续。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
原函数的求法
t?
?? ? ?
? 2
,
? 2
?? ?
?
1 x2 ?
dx a2
?
1
?a sec t
?a sec2
tdt
? ?sec tdt ? ln(sec t ? tan t) ? C
?
? ln???
x a
?
x2 ? a
a2
? ??? ?
C.
第五章 “积零为整”的数学方法
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x2 ? a2
x
t a
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答案 2( x ? 1)e x ? C 。
Ⅵ当积分中含自然数n时，可先求递推公式，再依次代入。
? ? 例 求递推公式：?1?I n ?
(ln x)n dx
?2?I n ?
(a
2
1 ? x2
)n
dx 。
答案 ?1?I n ? x(ln x) n ? nI n ? 1
?2 ?I n
?
3 ? 2n 2a 2 (1 ? n)
答案 ? ln | cos x | ? C .
答案 1 ln x ? a ? C . 2 x? a
答案 3 x ? 1 sin 2x ? 1 sin 4x ? C .
84
32
例 计算下面的不定积分：
?1?? 8 ? 3xdx ?2??xdlnxx
? ?3?
ex
dx ? e?x
?4??sec xdx
第五章 “积零为整”的数学方法
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2019年11月16日星期六
微积分
18
? ? ? 例
?1?
lnx原函数的求法
lnx原函数的求法要求导函数f'(x)的逆运算就是要求解微分方程f'(x)=y的解析解，也就是要求原函数f(x)。
在数学上，求解原函数的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法。
1.直接求导法：如果原函数是一个简单的多项式函数或者初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等），那么可以通过直接求导的逆过程来求解原函数。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过求导公式得到f'(x)=2x，然后再求出f(x)的原函数F(x)。
由于f'(x)=2x，所以F(x)就是x^2的原函数。
2. 反函数法：对于一些函数，可以通过求其反函数来求解原函数。
设函数g(x)是原函数f(x)的反函数，那么有f(g(x))=x。
我们可以通过求解这个方程来得到g(x)，然后再通过g(x)来求解原函数f(x)。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，我们知道其反函数是arcsin(x)，所以通过求解arcsin(x)=y可以得到原函数f(x)=sin(y)。
3. 特殊积分法：一些函数的原函数可以通过使用特定的积分技巧求解。
例如，对于以e为底的指数函数f(x)=e^x，可以通过令u=e^x来进行变量替换，然后使用换元积分法来求解原函数。
具体来说，我们有du=e^xdx，所以可以将f(x)的原函数表示为∫e^xdx=∫du=u+C=e^x+C，其中C是常数。
4. 巧妙的代数化简：有时候，通过将函数进行适当的代数化简，可以得到其原函数。
例如，对于函数f(x)=1/x，我们可以通过代数化简得到f(x)=x^(-1)，然后使用幂函数的原函数公式得到其原函数F(x)=(x^(-1+1))/(1-1)=ln(x)+C，其中C是常数。
这些方法只是求解原函数的常见方法之一，根据具体的函数形式和条件，可能需要使用不同的方法来求解原函数。
此外，对于一些函数，不存在可表达的原函数，或者原函数不能用已知的函数形式表示，只能通过数值方法来近似求解。
由导数求原函数的公式
由导数求原函数的公式在咱们的数学世界里，导数和原函数那可是一对儿形影不离的好伙伴。
今天咱们就来好好聊聊由导数求原函数的公式。
要说这导数和原函数，就好比是侦探游戏里的线索和真相。
导数是线索，能帮咱们一步步揭开原函数这个“真相”的神秘面纱。
咱们先来说说基本的公式。
比如，若导数是 $x^n$ 的形式，那么原函数就是 $\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}$ 再加上一个常数 C 。
这就好像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学问题的大门。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个特别调皮的小家伙，瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑着跟他说：“这就好比你要找到回家的路，导数就是路上的标志，而原函数就是你真正的家。
咱们得通过这些标志才能准确找到家呀！”这小家伙似懂非懂地点了点头。
那咱们再深入一点。
对于一些常见的函数，像正弦函数、余弦函数、指数函数等等，它们的导数和原函数之间也有着特定的关系。
比如说，正弦函数的导数是余弦函数，反过来，余弦函数的原函数就是正弦函数加上一个常数。
在实际解题的时候，咱们得灵活运用这些公式。
有时候，题目给的导数可能是几个函数的组合，这时候就得把它们拆开，分别求出原函数，再整合起来。
就像上次考试，有一道题给的导数是 $2x + \sin x$ 。
很多同学一看到就懵了，不知道从哪儿下手。
其实呀，咱们分开来看，$2x$ 的原函数是 $x^2$ ，$\sin x$ 的原函数是 $-\cos x$ ，所以原函数就是 $x^2 - \cos x + C$ 。
总之，由导数求原函数的公式是咱们数学大厦里的重要基石。
只有把这些公式掌握得牢牢的，咱们在数学的海洋里才能畅游无阻。
希望同学们在今后的学习中，多多练习，多多琢磨，让这些公式成为咱们解题的得力助手，不再被它们难倒！。
导数求原函数
导数求原函数1 什么是导数在数学中，导数是一种用于描述函数变化速率的概念。
简单来说，导数就是函数某个点处的切线斜率。
2 求导数的过程要求一个函数的导数，需要使用一个叫做“导数”的概念来描述函数的增长速度。
导数可以通过求解函数的微分（即函数在某个点的切线的斜率）来得到。
通常情况下，我们可以使用限制性方法计算导数。
这样做的基本思想是将函数的增长速率按照一个小的变化量进行计算。
3 什么是原函数在数学中，原函数指的是某个函数的不定积分。
简单来说，如果函数f(x)的导函数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
原函数的意义在于，它可以告诉我们原始函数的变化对于某个参考点的影响程度。
4 导数求原函数的过程在求解导数方程时，我们只是单纯地对函数的变化率进行了计算，我们并没有获得原始函数的具体值。
那么，如何求解原函数呢？假设f(x)是某个可微函数，它的导函数为f'(x)，那么可以知道：∫f'(x)dx = f(x)+C其中，C是一个任意的常数。
想要求得f(x)，我们只需反函数微商就可以得到：f(x) = ∫f'(x)dx + C这个公式告诉我们，如果我们能够求出f'(x)的不定积分，那么它就是f(x)的一个原函数了。
5 求解例子假设f(x) = x²，求解f(x)的原函数。
根据公式：f'(x) = 2x那么，f(x)的原函数可以表示为：f(x) = ∫2xdx + Cf(x) = x² + C与f(x) = x² 的导函数f'(x) = 2x 相对应的原函数就是f(x) = (1/3)x³ + C6 总结在数学中，导数与原函数是紧密相关的。
导数可以描述函数变化率，而原函数则可以告诉我们原始函数的具体变化情况。
如果我们要求一个函数的原函数，那么我们只需要找到计算函数导数的方法，然后应用反函数微商即可。
通过这种方法，我们可以非常方便快捷地求出函数的原函数，这是数学求解重要问题的核心思想。
2018考研数学二真题解答
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解
2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解高等数学的研究对象是函数，而函数可分为一元函数和多元函数。
在考研数学中，多元函数的偏导数是一个基本考点，每年都会考，考试大纲要求考生理解多元函数偏导数的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。
大家知道，在一元函数中，如果已知某函数的导数，而要求原函数，只要对其导数求不定积分即可，那么在多元函数中，如果已知某函数的偏导数，而要求其原函数，我们应该如何计算呢?下面本文就这个问题做些分析总结，供各位同学参考。
一、由偏导数求原函数的方法由多元函数的偏导数求原函数，主要有以下两种方法：1.如果已知多元函数的某个一阶或二阶偏导数的简单方程，则可以通过直接求不定积分来求出原函数;从上面的分析和例题来看，若已知多元函数的偏导数，如果要求其原函数的话，可以通过求不定积分来求原函数，这是针对比较简单的情况，如果是复杂一些的情况，则可能需要将其转化为常微分方程来进行求解，这就要求同学们掌握微分方程的求解方法，并能综合灵活运用，这也是学好并考好数学的要求。
When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
偏导数法解一元三次方程
偏导数法解一元三次方程一、引言在高等数学中，解一元三次方程是一种经典的求解方法。
本文将介绍一种基于偏导数法解一元三次方程的方法，探讨其原理和具体应用。
二、偏导数法简介偏导数法又称牛顿法，是一种求函数极值的方法。
在解一元三次方程时，我们可以利用偏导数法求出方程的根，并进行验证。
三、偏导数法解一元三次方程的步骤1. 设一元三次方程为f(x)=0，求出其一阶偏导数f'(x)。
2. 利用牛顿迭代公式：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，选择一个初值x_0，并进行迭代计算，直至收敛。
3. 将求得的x值带入原方程f(x)=0中验证是否成立。
四、具体应用举例示例：解方程x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0。
步骤一：计算一阶偏导数f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9步骤二：选择初值x_0并进行迭代计算。
选择x_0 = 1，代入牛顿迭代公式得到x_1，再将x_1代入公式得到x_2，以此类推，直至收敛。
经过计算，当n=4时，x_4 的值收敛到 2.步骤三：将x=2带入原方程验证是否成立。
计算得到2^3 - 6*2^2 + 9*2 - 4 = 0，方程成立。
因此，方程x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = 0的解为x=2.五、总结偏导数法是一种求解一元三次方程的有效方法。
通过求出方程的偏导数，利用牛顿迭代公式进行迭代计算，可以得到方程的解，并通过验证来确认结果的准确性。
六、延伸应用偏导数法不仅适用于解一元三次方程，还可以用于解其他类型的方程。
在实际问题中，我们可以运用偏导数法解决包括经济、物理等各领域的实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
七、结论偏导数法解一元三次方程是一种有效的求解方法，通过迭代计算和验证，可以得到准确的方程解。
在数学及相关领域的研究和应用中，偏导数法具有重要的意义。
以上就是利用偏导数法解一元三次方程的方法及其应用的介绍。
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2018考研数学：由偏导数求原函数的方
法详解
高等数学的研究对象是函数，而函数可分为一元函数和多元函数。
在考研数学中，多元函数的偏导数是一个基本考点，每年都会考，考试大纲要求考生理解多元函数偏导数的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。
大家知道，在一元函数中，如果已知某函数的导数，而要求原函数，只要对其导数求不定积分即可，那么在多元函数中，如果已知某函数的偏导数，而要求其原函数，我们应该如何计算呢?下面本文就这个问题做些分析总结，供各位同学参考。
一、由偏导数求原函数的方法
由多元函数的偏导数求原函数，主要有以下两种方法：
1.如果已知多元函数的某个一阶或二阶偏导数的简单方程，则可以通过直接求不定积分来求出原函数;
从上面的分析和例题来看，若已知多元函数的偏导数，如果要求其原函数的话，可以通过求不定积分来求原函数，这是针对比较简单的情况，如果是复杂一些的情况，则可能需要将其转化为常微分方程来进行求解，这就要求同学们掌握微分方程的求解方法，并能综合灵活运用，这也是学好并考好数学的要求。