第五章波动率的估计(GARCH模型)ppt课件
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波动率的估计(ARCH模型)
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
GARCH模型与波动性建模
∂ ( y t − X t′ξ ) 2 − 2 X t u t = ∂θ 0
q ∂ ht − 2 ∑ α j u t − j X t − j = j =1 ∂θ z t (ξ )
所以，
s t (θ ) = ∂ ln f ( y t X t , Ω t −1 ;θ ) ∂θ
Var ( y t +1 xt ) = x t2σ 2
采用上述策略的一个主要问题是，事先假定了可变 方差是由一特定外生变量产生的。通常情况，人们 并没有充分的理论依据来解释为什么选择某一个变 量序列而不选择其它变量序列。例如，20世纪70年 代西方国家全商品价格指数（WPI）剧烈波动，就 很难说清楚究竟是石油价格的波动、实施货币政策 的变化、还是布雷顿森林体系的崩溃所导致的。研 究变量方差变异的另外一种途径就是借用时间序列 建模的思想，对条件方差的动态变化特征进行建模。 下面我们讨论ARCH模型。
其中
ht = α 0 + α u
2 1 t −1
+ L + α qu
2 t −q
= α 0 + α 1 ( y t −1 − X t′−1ξ ) 2 + L + α q ( y t − q − X t′− qξ ) 2
记δ = (α 0 ,α 1 ,L ,α q )′ ,
则 h = [z (ξ ) ]′ δ t t
y t +1 = ε t +1 xt
其中， y t +1 为所关注的变量； ε t +1 为白噪声扰动项，其方差 为 σ 2 ； xt 为第 t 期可观测的独立变量。 如果 xt = xt −1 = xt − 2 = L = 常数，则序列 {yt } 与白噪声类似， 具有常定方差。然而，当序列 {xt } 的实现值各不相等时， 在已知 xt 的观测值的情况下， y t +1 的条件方差就为：
第五章波动率的估计(GARCH模型)
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2X t′β + δg (ht ) + ε t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
2 利用 E(vT +1 − 1 | FT ) = 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式 hT (2) = E(hT +2 | FT )
2 t
= ht v
2 t
将
2 = E[α 0 + (α1 + β1 )hT +1 + α1hT +1 (vT +1 − 1) | FT ]
ε t = htν t
ht = α 0 + α ε
2 1 t −1
+L+α ε
2 p t −q
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
波动率讲解 PPT
例
估计一个变量服从均值为0得正态分布得方差
Maximize: or:
This gives:
n i1
1 2v
exp
ui2 2v
n
i 1
ln(v)
ui2 v
v
1 n
n i 1
ui2
GARCH(1,1)得应用
选择参数,最大化下式
n
i 1
ln(vi
)
ui2 vi
日元汇率数据得计算
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数就是S&P500指数得波动率指数
VIX指数
VIX 就是芝加哥期权期货交易所 使用得市场波动性指数。通过该指数,可以了解 到市场对未来30天市场波动性得预期。
VIX由CBOT(芝加哥期权期货交易所)编制,以S&P500指数期权得隐含波动率计算 得来(1993年从8只成分股为基础计算,现在覆盖了标普500所有成分股)。若隐含 波动率高,则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资 风险(用股票期权对冲风险得成本)。因此,VIX广泛用于反映投资者对后市得恐慌 程度,又称“恐慌指数”。指数愈高,意味着投资者对股市状况感到不安;指数愈低, 表示股票指数变动将趋缓。
日波动率得最新估计为每天1、53%
GARCH(p,q)
p
q
2 n
w
aiun2i
j
2 n
j
i 1
j 1
其它模型
许多其它得GARCH模型已被提出 比如,我们可以设计一个GARCH模型,使其赋予 ui2 得权重依赖
于 ui 得正负值
方差目标
一种估计GARCH(1,1)参数得很好方法就是所谓得方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出得抽样方差 模型只需要估计两个参数
garch模型课件
融时间序列分析中。 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差 性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？
会是怎样出现的？
恩格尔和克拉格〔Kraft, D., 1983〕在分析宏观数据时，发现这样一些 现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论 说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，说明存在一 种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。
第五讲 条件异方差模型
EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的 条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目 的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。
我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测 置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模 型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当 控制的，我们就能得到更有效的估计。
立长期均值的加权平均〔常数〕，上期的预期方差〔GARCH项〕和在以前各
期下中 降观的t2测资到产的收关益于出(变乎yt动意1性 料的 地x信 大t1息，γ)〔 那2 A么R贸C易H项t商21〕将来会预增测加本对u期下t2的1期方方差差。的t2如1预果期上。升这或个
模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益 的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。
ut 扰N动0项, (u0t的1u分t21布) 是：
~
(5.1.2)
也就是，ut 遵循以0为均值，( 0+ 1u2t-1 )为
方差的正态分布。
由于v(5a.r1(.u2t))中utt的2 方差0 依赖1ut2于1 前期的平方
扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：
会是怎样出现的？
恩格尔和克拉格〔Kraft, D., 1983〕在分析宏观数据时，发现这样一些 现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论 说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，说明存在一 种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。
第五讲 条件异方差模型
EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的 条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目 的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。
我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测 置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模 型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当 控制的，我们就能得到更有效的估计。
立长期均值的加权平均〔常数〕，上期的预期方差〔GARCH项〕和在以前各
期下中 降观的t2测资到产的收关益于出(变乎yt动意1性 料的 地x信 大t1息，γ)〔 那2 A么R贸C易H项t商21〕将来会预增测加本对u期下t2的1期方方差差。的t2如1预果期上。升这或个
模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益 的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。
ut 扰N动0项, (u0t的1u分t21布) 是：
~
(5.1.2)
也就是，ut 遵循以0为均值，( 0+ 1u2t-1 )为
方差的正态分布。
由于v(5a.r1(.u2t))中utt的2 方差0 依赖1ut2于1 前期的平方
扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：
波动率PPT课件
2020/1/10
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
2020/1/10
隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
2020/1/10
21
2020/1/10
历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
2020/1/10
ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
2020/1/10
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
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隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
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历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
2020/1/10
ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
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波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
Ch波动率PPT课件
可编辑
9.15
实际波动率（Realized Volatility）
Andersen等（1998,2001）提出了一种度量波动率的新方法，称之 为实际波动率（Realized Volatility），是通过加总某一频率下的日 内分时数据的收益平方来得到真实波动率的一个估计。
理论证明：在日内频率选取适当的情形下，该估计量是真实波动率的 无偏一致且有效的估计量。因此，近期国外大量的文献致力于利用高 频样本数据来研究非参数的实际波动率。而对于最优样本频率的选取， 则成为计算实际波动率过程中最为关键的问题。若样本频率过小，则 不会得到真实波动率的一个一致的估计量；若样本频率过大，由于收 益受到市场微观结构噪声的影响，度量结果会有较大的误差。因此， 最优的样本频率一定存在且是某个中间值，它可以对这两方面的制约 进行平衡。
的自相关系数来检验
GARCH模型的正确性。
在最大似然估计方法中，我们选择合适 的参数以使得观测值发生的概率最大。
可编辑
9.34
例1
观察一个实验，在进行的十次实验中假设 某个事件为随机事件，那么这个事件发生 一次的概率是多少呢？ 计算的结果是： p(1 p)9
使得表达式取得最大值的极大似然估计值:
p=0.1
可编辑
9.35
例2
估计一组服从正态分布的，均值为零的观 测值得方差
金融风险管理
第九章 波动率
可编辑
9.1
本章主要内容
波动率定义 波动率估计
历史波动率 隐含波动率 已实现波动率估计 指数加权移动平均模型 条件方差模型（ARCH，GARCH）
可编辑
9.2
波动率研究的发展
三个阶段
✓ 金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态分布， 波动率常数。
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h h T 1 0 1 T
2 1T
于是
2 h ( 1 ) E ( h | F ) h T T 1T 0 1 T 1 T
GARCH（1，1）的向前多步预测 2 2 tv t 将 对向前多步预测，我们用 t h
GARCH(1,1)公式改写为
GARCH(1,1)
t htt
h h t 0 1 t 1
2 1t 1
ht是条件方差，随时间变化而变化。 无条件均值
E (t ) 0
0 ( ) 无条件方差 Var t 1 1 1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
t htt
h h h t 0 1 t 1
2 p t p 1 t 1
2 q t q
相比ARCH模型： 1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展, 即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差 平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线 性函数。 2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了 高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
4 2 E ( ) 6 t 1 K 2 3 2 2 2 [ E ( )] 1 2 ( ) t 1 1 1
4 2 E ( ) 3 E ( h t t)
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是 GARCH 的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。 2)GARCH过程的含义是条件方差 ht是ht-1,…ht-p 和t-1,t-q的函数。
2 1 t 2 2 2 t 3
( 1 ) 0 1
是无穷阶ARCH过程
2 max( p ,q ) 2) 过程 t 是一个ARMA(r,p)过程,其中 r
对于GARCH(p,q),
2 2 2 h ( h ) ( h ) t t 0 1 t 1 t 1 p t p t p
t ht vt
2 2 2 2 2 1 t 1 pt p 1 t 1 qt q t
变形有
2 w w w t 0 t 1 t 1 p t p 2 2 ( ) ( 1 1 t 1 p r) t r
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
l 1 [ 1 ( ) ] l 1 0 1 1 h ( l ) ( ) h 1 ) T 1 1 T( 1 1 1 0 ,( l ) 1 1 1
2 令w 合并同类项有 h t t t
2 2 h h h t 0 1 t 1 p t p 1 t 1 q t q
j q 时 j
0
l p 时 l 0源自 而w h t t 满足：
2 t
E (w t ) 0
2 h h v h t 1 0 1t 1t 1 1 t 2 ( ) h h ( v 1 ) 0 1 1 t 1t t
2 利用 E ( v 1 |F ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 T 1 T 预测原点的向前两步预测公式 h ( 2 ) E ( h |F ) T T 2 T
第五章波动率的估计(GARCH 模型)
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
t htt 2 2 h t 0 1 t 1 q t q
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件 方差 h t 表示为滞后残差平方的线性函数
cov( w , w ) 0 , j 1 t t j
但 w t 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性 峰度=4阶原点矩/标准差的四次方 4 E ( v 正态分布的峰度=3意味着 t ) 3
GARCH(1,1)过程的峰度
h h t 0 1 t 1
2 1 t 1
( h ) 0 1 0 1 t 2
2 1 t 1 2 1 t 2
( 1 ) h 0 1
2 1 t 1 2 1 1 t 2 2 1 t 1 2 1 2 2 t 2
引入GARCH模型的背景：
ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型
2 E [ ( ) h h ( v 1 ) |F ] 0 1 1 T 1 1T 1 T 1 T
( ) h ( 1 ) 0 1 1 T
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
h ( l ) ( ) h ( l 1 ) T 0 1 1 T l 1
GARCH性质 3）参数i , i=1,2,…,q和i , i=1,2,…,p大于 零是保证条件方差为正的充分条件,而不 是必要条件。 4)可以证明 {2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+ p <1。
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，