用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析

实验二 用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析

一、实验目的

1．理解离散傅里叶变换的意义；

2．掌握时域采样率的确定方法；

3．掌握频域采样点数的确定方法；

4．掌握离散频率与模拟频率之间的关系；

5．掌握离散傅里叶变换进行频谱分析时，各参数的影响。

二、实验原理

序列的傅里叶变换结果为序列的频率响应，但是序列的傅里叶变换是频率的连续函数，而且在采用计算机计算时，序列的长度不能无限长，为了便于计算机处理，作如下要求：序列x (n )为有限长，n 从0～N －1，再对频率ω在0～2π范围内等间隔采样，采样点数为N ，采样间隔为2π/N 。第k 个采样点对应的频率值为2πk /N 。可得离散傅里叶变换及其逆变换的定义为

∑-=-=1

02)()(N n n N k j e n x k X π (1)

∑-==1

02)(1)(N k k N

n j e k X N n x π (2) 如果把一个有限长序列看作是周期序列的一个周期，则离散傅里叶变换就是傅里叶级数。离散傅里叶变换也是周期的，周期为N 。

数字频率与模拟频率之间的关系为

s f f /2πω=，即s

s T f f πωπω22==

(3) 则第k 个频率点对应的模拟频率为 N

kf NT k T N k f s s s k ==⋅=ππ212 (4) 在用快速傅里叶变换进行频谱分析时，要确定两个重要参数：采样率和频域采样点数，采样率可按奈奎斯特采样定理来确定，采样点数可根据序列长度或频率分辨率△f 来确定

f N

f s ∆≤，则f f N s ∆≥ (5) 用快速傅里叶变换分析连续信号的频谱其步骤可总结如下：

（1）根据信号的最高频率，按照采样定理的要求确定合适的采样频率f s ；

（2）根据频谱分辨率的要求确定频域采样点数N ，如没有明确要求频率分辨率，则根据实际需要确定频率分辨率；

（3）进行N 点的快速傅里叶变换，最好将纵坐标根据帕塞瓦尔关系式用功率来表示，

横坐标根据式(7-21)转换为模拟频率Hz；

（4）根据所得结果进行分析。

三、实验内容

1．采样率和采样点数的确定

在本实验中要用到正弦波、矩形波和正弦调制波

正弦波：sin(20πt)；

矩形波：频率为50Hz、占空比为1的矩形波；

正弦波调制波：sin(20πt)×cos(100πt)

根据上述波形确定采样频率。假定所有波形的频率分辨率均为0.5Hz，确定频域采样点数。

2．信号的频谱分析

①正弦波进行快速傅里叶变换；

②矩形波进行快速傅里叶变换；

③正弦调制波进行快速傅里叶变换；

3．分析各信号的频谱与时域波形之间的关系

四、实验步骤

1．复习并理解离散傅里叶变换的定义和物理意义；

2．编写Matlab程序对信号进行频谱分析(参看例题中的程序)；

3．调试程序，排除程序中的错误；

4．分析程序运行结果，检验是否与理论一致；

5．如结果不理想，调整有关参数，得到较理想的结果。

五、实验报告要求

1．阐明实验的目的、原理和内容；

2．打印主要程序并粘贴在实验报告中；

3．打印实验结果并粘贴在实验报告中；

4．针对实验结果加以分析和总结。

六、思考题

（1）频谱的幅度有没有物理意义？如没有，怎样处理才能有物理意义？

（2）为什么所得信号的频谱均是关于中心点对称的？

（3）要让所得频谱近似为理想的冲激，该如何调整参数？

附例题

例1试对信号x(t)＝2sin(30πt)－cos(32πt)+ sin(60πt)进行频谱分析。

解：信号中包含了3种频率：15Hz、16Hz和30Hz，最高频率为30Hz，所以采样率不

能低于60Hz，这里取100Hz。没有明确告诉频率分辨率，但是有两个频率仅相差1Hz，因此，频率分辨率不能低于1Hz，取0.1Hz。当然采样率越高、频率分辨率越高，则计算量就越大。程序如下：

deltf=0.1;%频率分辨率

Fs=100;%采样率

N=Fs/deltf;%采样点数

n=0:N-1;%采样点

x=2*sin(30*pi*n/Fs)-cos(32*pi*n/Fs)+sin(60*pi*n/Fs);%采样

y=fft(x);%快速傅里叶变换

ye=y.*conj(y);%计算能量

subplot(2,2,1);plot(n*Fs/N,real(y),'k');

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度');text(45,100,'实部');

subplot(2,2,2);plot(n*Fs/N,imag(y),'k');

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度');

axis([0 100 -1500 1500]);text(45,1200,'虚部');

subplot(2,2,3);plot(n*Fs/N,ye,'k');

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度');

axis([0 100 0 12e5]);text(45,10e5,'能量');

subplot(2,2,4);plot(n*Fs/N,ye/N^2,'k');

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度');

axis([0 100 0 1.5]);text(45,1.2,'功率');