§15.2.3旋转对称图形
第15章平移与旋转
§15.2.3 旋转对称图形
初二（）班姓名：学号： 2006年月日学习目标：
1、理解旋转对称图形和旋转对称的特征。
2、欣赏旋转的应用价值。
3、能利用旋转设计一些图案。
学习过程：
一、观察
在日常生活中，一些图形绕着某一定点转动一定的角度后能与自身重合。
电扇的叶片转动 能与自身重合；螺旋桨转动 后，能与自身重合。
你能再举出一些这样的实例吗？
二、结论
图形围绕旋转中心旋转某一个角度后的图形能与自身，这种图形称为旋转对称图形。
注意：这个旋转的角度并不是唯一的。
三、试一试
1、用一张半透明的薄纸，覆盖在如右图所示的图形上，在薄
纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合。
然后用一枚图
钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度（小
于周角）后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合。
2、用类似上述的操作方法对如图15.2.10所示的图形
它是不是旋转对称图形？想一想旋转中心在何处？
该图形需要旋转多少度后，能与自身重合？
该图形是轴对称图形吗？
图15.2.10
3、图15.2.11所示的图形是轴对称图形，用类似上述
的操作方法对图15.2.11所示的图形进行探索，它能
通过旋转与自身重合吗？
图15.2.11 4、请你设计一个旋转30 后能与自身重合的图形.
四、分层练习：（A组）
1、举出日常生活中旋转对称图形的几个实例。
2、找找看，下面图形中有几匹马？它们的位置关系如何
3、如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合？答：
4、如图所示的五角星绕哪一点旋转多少度后能与自身重合？答：
第3题第4题
（B组）
1、某图形先绕点O顺时针旋转120°，再绕点O逆时针旋转，若要该图形回到原来的位置，应该把它绕点O 旋转度。
2. 如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EＡＢ＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转90°后的三角形．
（第2题） (第3题) 3. 如图，四边形ＡＢCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1) 旋转中心是哪一点? 答：
(2) 旋转了多少度? 答：
(3) 如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形? 答：
4. △ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，
△ABC以点O为旋转中心，旋转多少度后能与原来的图形重合?
(第4题)
5. 仿照第７６页“试一试”的方法，分两种情况： 考虑颜色和不考虑颜色，看看如图所示的图形绕圆心
旋转多少度后能与自身重合?
(第5题)
6. 如图15.2.12，△ABC 和过点P 的两条直线PQ 、PR 。
画出△ABC 关于PQ 对称的三角形A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于PR 对称的三角形△A ″B ″C ″。
观察△ABC 和△A ″B ″C ″，你能发现这两个三角形有什么关系吗？
图15.2.12
（C 组）
如图，正方形ABCD 中,E 在BC 上,F 在AB 上且∠FDE=45º,DEC ∆按顺时针方向转动一个角度后成DGA ∆。
（1）图中哪一个点是旋转中心? （2）旋转了多少度?
（3）指出图中的对应点、对应线段和对应角。
（4）求∠GDF 的度数。
G
F
E
D
C
B
A
43
2
1。
旋转对称图形
⑵旋转的特征: ①旋转不改变图形大小和形状; ②旋转图形的对应线段相等, 对应角相等; ③对应点到旋转中心的距离相等; ④每一点都绕旋转中心按同一方向旋转同样大
小的角度, 即对应点的连线的角相等.
成功目标
1、理解旋转对称图形的定义 2、根据旋转对称的特征解决实际问题。
且旋转角度(最小度数）就等于360° 除于n所得的商.
再见
⑴绕着某一点转动一定角度后，能与自身重 合的图形称为_旋__转__对__称_图__形___, 其中这一点 就是旋转中心
（2）请问这个图形围绕旋转 中心旋转多少度能够与自身重 合？
解：旋转30º,60º,90º,120º,150º, 180º，210º,240º,270º,300º
小结
1. 定义：如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后
解：①绕圆心至少需要旋转180°后，能与它自身重合. ②绕中心至少需要旋转120°后，能与它自身重合. ③绕圆心至少需要旋转60°后，能与它自身重合． ④绕正方形的中心至少需要旋转90°后，能与它自 身重合．
2、在等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角
三角形中，一定是旋转对称图形的有（ A ）
2、国旗上的五角星是旋转对称图形，它的旋转角是
___7_2_度 （填最小度数） 3、正八边形绕其中心至少要旋转45 度能与原图形
重合。
三，成功示学
四，成功用学
1，如图所示的图形各绕哪一点至少需要旋转多少 度后，能与它自身重合？
导引：要确定至少需要旋转多大角度能与自身重合，首先 要找出图形中的基本图形，若一个图形中有n个基 本图形，则该图形至少需要旋转 360 才能与自身 n 重合．
旋转对称图形 PPT课件 1 人教版
个是轴对称图形,它也是旋转对称图形吗
旋转180度,重复第一次。
旋转360度,重复第二次。
0度,共重复二次,因此它也是旋转对称
这是旋转对称图形吗?旋转一周重复多少次?
旋转90度,重复第一次。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
(B) 是轴对称图形,肯定是旋转对称图形;
(C)一些图形可能既是旋转对称图形,又是轴 对称图形; (D)既不是旋转对称图形,又不是轴对称图形 的图形不存在. 6.在梯形、等边三角形、等腰三角形、正方形、 线段、正六边形、圆中是旋转对称图形的是
___等__边__三__角__形__、__正__方__形__、__线__段__、__正__六__边__形__、__圆.
3.如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后与自身重合？
(1)将图形绕圆心旋转 60,120,180,240,300度后都
能与自身重合.
(2)将图形绕中心旋转 90,180,270度后都能与自
身重合
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1.下列英文字母中属于旋转对称图形的是( )
C
S
L
K
(A)
(B)
(C)
(D)
2.下列图形中,绕旋转中心旋转60°后能与自身 重合的是( )
旋转对称图形
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数学
旋转对称图形与此前学过旳轴对称图形相同 吗？
旋转对称图形与轴对称图形是两种不同旳对称图形, 旋转对称图形不一定是轴对称图形,轴对称图形不一 定是旋转对称图形,它们是两个不同旳概念.
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数学
怎样画一种图形有关一种点旋转后旳图形？
主要是画几种点旋转后旳点
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数学 旋转对称图形旳定义：
旋转对称图形旳旋转角度
1、该图形绕哪一点旋转？ 2、旋转多少度后能与本身重叠？（不大于周角）
在平面内,将一种图形绕着一定点旋转一定角 度（不大于周角）后能与本身重叠,这么旳图形叫 做旋转对称图形. 旋转旳度数成为旋转角度
一种是旋转一定旳角度得到，一种是翻折得到。
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数学
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数学
正三角形、正方形、线段、正六边形、圆
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数学 四、旋转作图
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数学
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一般来说，旋转角度能 够有多种，但旋转中心只 有一种。
再看一例
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数学 例1下列各图形是不是旋转对称图形？ 假如是，请找出旋转中心在何处.旋转
角度是多少？这些图形是轴对称图形 吗？
12 0°
90 °
旋转对称图形的举例
自然界
工程领域
自然界中存在着大量的旋转对称现象，如 雪花、花朵等，这些自然形态的美丽和和 谐都与旋转对称有关。
在机械工程、航空航天等领域中，旋转对 称图形的应用也十分广泛，如各种旋转机 械零件、飞机和火箭的旋翼等。
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感谢观看
抛物线形
总结词
抛物线形是一种特殊的曲线，它具有旋转对称性。
详细描述
抛物线形关于其对称轴具有旋转对称性。例如，将抛物线形绕其对称轴旋转180 度，能与原图形完全重合。
03
旋转对称图形的性质
对称轴的性质
对称轴唯一性
旋转对称图形只有一条对称轴，该对称轴是固定不动的。
对称轴稳定性
对称轴是旋转对称图形稳定性的基础，任何微小的旋转都会 导致图形的不变。
在自然界中，许多物体和现象都具有旋转对称的特性，例 如行星、卫星、花朵、雪花等。
旋转对称的特性在自然界中广泛存在，因为这种特性有助 于物体在空间中保持平衡和稳定，同时也有助于自然界的 美观和和谐。
05
结论
总结旋转对称图形的特点和性质
旋转对称图形的定义
旋转对称图形的性质
旋转对称图形是指通过旋转一定的角 度后，能够与自身重合的图形。
在自然界和日常生活中，许多物体都 具有旋转对称性，如花朵、行星等， 这种特性使得它们在视觉上更加美观 和和谐。
02
常见的旋转对称图形
正方形
总结词
正方形是一个四边等长且四个角 都是直角的平面图形，它具有旋 转对称性。
详细描述
正方形无论从哪个角度旋转，都 能与自身重合。例如，将正方形 绕其中心点旋转90度、180度或 270度，都能与原图形完全重合 。
图形变换不变性
在旋转对称图形进行旋转时， 其形状和大小不会发生改变。
几何图形的旋转对称性质
几何图形的旋转对称性质一、定义与性质1.旋转对称图形：在平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转一个角度后，能够与另一个图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。
2.旋转中心：旋转对称图形时，图形绕着旋转的点叫做旋转中心。
3.旋转角：图形旋转的角度叫做旋转角。
4.旋转对称性质：（1）旋转对称图形具有轴对称性质。
（2）旋转对称图形的边长、角度、面积等都不变。
（3）旋转对称图形的对应点、对应线段、对应角相等且共线。
二、常见旋转对称图形1.正多边形：正n边形（n为正整数）绕着中心旋转一个角度后，能够与另一个正n边形重合。
2.圆：圆绕着圆心旋转任意角度后，能够与另一个圆重合。
3.线段：线段绕着中点旋转一个角度后，能够与另一个线段重合。
4.等腰三角形：等腰三角形绕着底边中点旋转一个角度后，能够与另一个等腰三角形重合。
5.等边三角形：等边三角形绕着重心旋转一个角度后，能够与另一个等边三角形重合。
6.矩形、正方形、菱形：这些四边形绕着对角线交点旋转一个角度后，能够与另一个矩形、正方形、菱形重合。
三、旋转对称性质的应用1.构造图形：利用旋转对称性质，可以构造出各种几何图形。
2.证明定理：在证明几何定理时，可以利用旋转对称性质简化证明过程。
3.计算面积：利用旋转对称性质，可以简化计算几何图形面积的过程。
4.设计图案：在设计图案时，可以利用旋转对称性质创造出各种美丽的图案。
四、注意事项1.旋转对称图形与轴对称图形的区别：旋转对称图形是绕着某一点旋转，而轴对称图形是绕着某一条直线折叠。
2.旋转角的选择：在进行图形旋转时，旋转角的选择应尽量便于观察和计算。
3.注意旋转对称性质的应用范围：旋转对称性质适用于大部分平面几何图形，但并非所有图形都具有旋转对称性质。
习题及方法：1.习题：判断下列图形中，哪些是旋转对称图形。
（1）正三角形（3）五角星对于每个图形，想象将其绕着某一点旋转，看是否能与原来的图形重合。
（1）正三角形：可以绕着其中心旋转120度，与原来的图形重合，所以是旋转对称图形。
《旋转对称图形》课件
旋转对称图形的旋转中心
旋转中心
旋转对称图形有一个或多个旋转中心，图形围绕 这些中心旋转特定角度后与原图重合。
旋转中心的确定
旋转中心通常位于图形的对称轴上，可以通过几 何推理或计算得出。
旋转对称图形的旋转轴
旋转轴
旋转对称图形有一个或多个旋转轴，这些轴是图形旋转对称的基准线。
旋转轴的特性
旋转轴通常与图形的对称轴重合，或者通过图形的对称中心。了解旋转轴有助于理解图形的对 称性质和几何特性。
《旋转对称图形》 ppt课件
目录
• 旋转对称图形的定义 • 旋转对称图形的性质 • 常见的旋转对称图形 • 旋转对称图形的应用 • 如何绘制旋转对称图形 • 总结与思考
01
旋转对称图形的定义
什么是旋转对称图形
01
旋转对称图形
指在旋转一定角度后与原图重合的平面图形。
02
旋转对称中心
图形旋转时所围绕的固定点称为旋转对称中心。
除了几何软件和手工绘制外，还 可以使用其他工具如图形编辑器 、画图板等来绘制旋转对称图形
。
操作步骤
打开相应的工具，选择合适的绘图 工具，然后按照相应步骤绘制出旋 转对称图形。
技巧提示
在使用其他工具绘制时，要注意工 具的特性和功能，以便更好地利用 它们来绘制出精美的旋转对称图形 。
06
总结与思考
总结旋转对称图形的性质和应用
使用手工绘制旋转对称图形
工具准备
技巧提示
准备纸、笔、尺、圆规等基本绘图工 具。
在绘制过程中，要保持线条的流畅和 直线的平行，以确保图形的准确性和 美观度。
操作步骤
先画出对称轴，然后使用圆规和尺子 在纸上绘制出对称的图形，最后将图 形进行旋转得到旋转对称图形。
旋转对称图形的定义
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合四次
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学
合五次
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合八次
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合八次
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合八次
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合无数次
结论： 两次翻折（对称轴相交）相当于一次旋转。 小小设计师：
1、请同学们设计三个旋转对称图形,旋转角度分别 为30°、45° 、 60° 2、欣赏一组灵活运用轴对称、平移与旋转或由它们 的组合得到的优美图案，而后请同学们课外寻找 和自己设计这方面的图案。
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正六边形
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想一想：
请大家欣赏下列图形，它们是旋转对称 图形吗？它们还是轴对称图形吗？如果 是旋转图形想一想它们的旋转中心在哪 里？旋转角度是多少？
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旋转对称图形与以前学过的轴对称图形相同 吗？
旋转对称图形与轴对称图形是两种不同的对称图形, 旋转对称图形不一定是轴对称图形,轴对称图形不一 定是旋转对称图形,它们是两个不同的概念. 一个是旋转一定的角度得到，一个是翻折得到。
旋一周重合兩次
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合兩次
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旋转对称图形的定义
旋转对称图形的定义一个平面图形L绕平面上某点O旋转α(0<α<360)后得到的新图形L*如果与L完全重合，则称L是平面旋转对称图形，并称L具有旋转对称性。
称点O为平面旋转图形L的旋转中心，称α为平面旋转图形L 的旋转角。
如果α是平面旋转图形L的旋转角，那么α的正整数倍nα(0<nα<360)也一定是平面旋转图形L的旋转角。
通常被称为平面旋转图形L的旋转角α是指最小旋转角，即对于任何一个在0到α之间的角度β都不是这个平面旋转图形L的旋转角。
圆是旋转对称图形中唯一没有确定正实数值α(0<α<360)为其旋转角的旋转对称图形。
如果平面旋转图形L的不是圆，α是平面旋转图形L的旋转角，那么α/360必是小于1的正有理数R。
如果这里的可以表示为既约分数m/n，则β=α/m=2π/n是平面旋转图形L的指最小旋转角。
（1）若函数f（θ）（θ∈R）满足f（θ+α）=f（θ）（0<α<360），则极坐标系中曲线L：ρ=f（θ）是旋转对称图形，α是平面旋转图形L 的旋转角。
（2）若函数f（θ）（θ∈R）满足f（θ+α）=﹣f（θ）（0<α<π），则极坐标系中曲线L：ρ=f（θ）是旋转对称图形，2α是平面旋转图形L 的旋转角。
例如：当f（θ）=sin3θ（θ∈R）满足f（θ+π/3）=﹣f（θ）。
极坐标系中曲线L：ρ=sin3θ是以2π/3为旋转角的旋转对称图形（三叶玫瑰线）。
定义（2）中的旋转角2α未必是平面旋转图形L的最小旋转角，例如：当f（θ）=sin2θ（θ∈R）满足f（θ+π/2）=﹣f（θ）。
极坐标系中曲线L：ρ=sin2θ是以π为旋转角的旋转对称图形，但是实际上π/2才是平面旋转图形L（四叶玫瑰线）的最小旋转角。
以上判定条件均是充分条件。
15.2.3旋转对称图形
15.2.3旋转对称图形教学目标：1.知道什么叫旋转对称图形；2.能找出图形的旋转中心和旋转角；3.知道旋转对称图形是具有旋转特征的特殊图形。
复习导学:回忆旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按 旋转方向旋转了 大的角度，对应点到旋转中心的距离 ，对应线段 ，对应角 ，图形的 与 都没有发生变化。
创设情景：观察下面图形旋转的特点：这两个图形绕着某一定点旋转一定的角度后都能与自身重合，这样的图形就是旋转对称图形，你能说说定义吗？ 概括：一个图形绕着某一 旋转一定的 后能与自身重合，这个图形就叫做旋转对称图形。
这个点就叫做 。
旋转的角度就叫 。
探索发现：无论ΔABC 顺时针旋转还是逆时针旋转3600，都能与自身重合。
那这个图形是不是旋转对称图形呢？你有何发现呢？是不是任意的图形旋转3600都能与自身重合呢？如：下面的图形旋转3600都能与自身重合吗？1Ａ由此可见，旋转对称图形是具有旋转特征的特殊图形。
旋转角应00<旋转角<3600旋转对称图形有何特征呢？图形中的每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大的角度。
试一试：1、这个图形是不是旋转对称图形？如果是，这个图形旋转多少度能与自身重合呢？想一想它的旋转中心在哪？2、找出下列图形的旋转中心和旋转角。
3、下列图形哪些不是旋转对称图形。
（）4、你能设计一个旋转300后能与自身重合的图形吗？5、如图,在纸上画∆ABC和经过点Ｐ的两条直线ＰＱ、ＰＲ。
画出∆ABC 关于直线ＰＱ对称的∆A′B′C ′ ,再画出∆A′B′C ′ 关于直线ＰＲ对称的∆A′′B′′C′′ .观察∆ABC和∆A′′B′′C′′,你能发现这两个三角形有什么关系吗?课堂作业：1.设计出一幅经过600旋转重合的图案.2.课本78页，习题15.2第1题；79页第4题课后反思：。
华师大版八年级上册电子课本 第15章 平移与旋转(新版)-
第15章平移与旋转§15.1平移1. 图形的平移2. 平移的特征§15.2旋转1. 图形的旋转2. 旋转的特征3. 旋转对称图形§15.3中心对称§15.4图形的全等阅读材料古建筑中的旋转对称——从敦煌洞窟到欧洲教堂小结复习题课题学习图案设计第15章平移与旋转世界充满着运动，从天体、星球的运行，到原子、粒子的作用，其中最基本的是平移、旋转及对称等运动．平移、旋转及对称等合成了大千世界许许多多千姿百态的运动．§15.1 平移1. 图形的平移在日常生活中，我们经常可以看到如图15.1.1所示的一些现象：滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，大楼电梯上上下下地迎送来客，火车在笔直的铁轨上飞驰而过，飞机起飞前在跑道上加速滑行，这些都给我们带来物体平行移动的形象．图15.1.1我们还可以注意到图15.1.2中一幅幅美丽的图案，它们都可以看成是某一基本的平面图形沿着一定的方向移动而产生的结果．图15.1.2这种图形的平行移动，简称为平移（translation）．它由移动的方向和距离所决定．图15.1.3当我们如图15.1.3所示的那样使用直尺与三角尺画平行线时，△ＡＢＣ沿着直尺PQ平移到△A′B′C′，就可以画出ＡＢ的平行线A′B′了．我们把点A与点A′叫做对应点，把线段ＡＢ与线段A′B′叫做对应线段，∠A与∠A′叫做对应角．此时：点B的对应点是点；点C的对应点是点；线段AC的对应线段是线段；线段ＢＣ的对应线段是线段；∠B的对应角是；∠C的对应角是．△ＡＢＣ平移的方向就是由点B到点B′的方向，平移的距离就是线段BB′的长度．试一试图15.1.4在图15.1.4中，△ＡＢＣ沿着由点A到点A′的方向，平移到△A′B′C′的位置．你知道线段 CA的中点M以及线段ＢＣ上的点N 平移到什么地方去了吗?请在图上标出它们的对应点M′和N′的位置．练习1. 举出现实生活中平移的一些实例．2. 如图所示的△ＡＢＣ和△DEF都是等边三角形，其中一个等边三角形经过平移后成为另一个等边三角形．指出点A、 B、 C的对应点，并指出线段ＡＢ、ＢＣ、 CA的对应线段，∠A、∠B、∠C的对应角．(第2题)3. 如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗?请补上．(第3题)2. 平移的特征如图15.1.5，在画平行线的时候，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置上．但不管怎样，我们总可以推得A′B′∥ＡＢ， A′B′＝ＡＢ，∠B′＝∠B．同时也有A′C′∥， A′C′＝，∠C′＝．这就告诉我们，平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．图15.1.5注意在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上(如图15.1.5中的B′C′与ＢＣ)．探索观察图15.1.6，△ＡＢＣ沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象?图15.1.6我们可以看到，△ＡＢＣ上的每一点都作了相同的平移：A→A′， B→B′， C→C′．不难发现AA′∥∥；AA′＝＝．即平移后对应点所连的线段平行并且相等．试一试将图15.1.6中的△A′B′C′沿RS方向平移到△A″B″C″的位置，其平移的距离为线段RS的长度．注意如图15.1.7所示，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上．图15.1.7例如图15.1.8(1)，△ＡＢＣ经过平移到△A′B′C′的位置．指出平移的方向，并量出平移的距离．图15.1.8解由于点A与点A′是一对对应点，因此，如图15.1.8(2)，连结AA′，平移的方向就是点A到点A′的方向，且平移的距离就是线段AA′的长度，约2.４厘米．试一试图15.1.9在如图15.1.9的方格纸中，画出将图中的△ＡＢＣ向右平移5格后的△A′B′C′，然后再画出将△A′B′C′向上平移2格后的△A″B″C″．△A″B″C″是否可以看成是△ＡＢＣ经过一次平移而得到的呢?如果是，那么平移的方向和距离分别是什么呢?做一做如图15.1.10，在纸上画△ＡＢＣ和两条平行的对称轴m、 n.画出△ＡＢＣ关于直线m对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″．图15.1.10观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?练习1. 如图，在长方形ＡＢCD中，对角线AC与BD相交于点O，画出△AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．(第1题) （第2题)2. 先将方格纸中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格．3. 将所给图形沿着PQ方向平移，平移的距离为线段PQ的长．画出平移后的新图形．(第3题)习题15.11. 在纸上任意画一个三角形，然后将此三角形沿着北偏东60°的方向平移2.8厘米，画出平移后的三角形．2. 平移方格纸中的图形(如图)，使点A平移到点A′处，画出平移后的图形．(第2题) (第3题)3. 如图，ＡＢ＝DC，画出线段ＡＢ平移后的线段DE，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．平移后所得的线段DE 与线段DC相等吗?连结EC，∠DEC与∠DCE相等吗?试说明理由．4. 利用如图所示的图形，通过平移设计图案．(第4题)§15.2 旋转1. 图形的旋转在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多如图15.2.1所示的物体的旋转现象：时钟上的秒针在不停地转动，大风车的转动给人们带来快乐，飞速转动的电风扇叶片给人们带来一丝丝的凉意．图15.2.1图15.2.2中的两个图形都可以看成是由一个或几个基本的平面图形转动而产生的奇妙画面．图15.2.2这些图形有什么共同特征呢?图15.2.3如图15.2.3，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，显然它是绕上面的悬挂点转动．像这样的运动，就叫做旋转(rotation)．这一悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心(centre of rotation)．显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定．试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形．然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉(即点O)逆时针转动45°，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A′、O、B′，我们可以认为△AOB逆时针旋转45°后变成△A′OB′（如图15.2.4）．在这样的旋转过程中，你发现了什么?图15.2.4从图15.2.4中，可以看到点A旋转到点A′， OA旋转到OA′，∠AOB旋转到∠A′OB′，这些都是互相对应的点、线段与角．此时：点B的对应点是点；线段OB的对应线段是线段；线段ＡＢ的对应线段是线段；∠A的对应角是；∠B的对应角是；旋转中心是点；旋转的角度是．做一做图15.2.5如图15.2.5，如果旋转中心在△ＡＢＣ的外面点O处，逆时针转动60°，将整个△ＡＢＣ旋转到△A′B′C′的位置．那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢?例1如图15.2.6，△ＡＢＣ是等边三角形，D是ＢＣ上一点，△ＡＢD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置．(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果M是ＡＢ的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置?图15.2.6解(1) 旋转中心是点A．(2) 旋转了60°．(3) 点M转到了AC的中点位置上．例2如图15.2.7(1)，点M是线段ＡＢ上一点，将线段ＡＢ绕着点M 顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置有何关系?如果逆时针方向旋转 90°呢?图15.2.7解顺时针方向旋转90°，如图15.2.7(2)所示，A′B′与ＡＢ互相垂直．逆时针方向旋转90°，如图15 2 7(3)所示，A″B″与ＡＢ互相垂直．练习1. 举出现实生活中旋转的一些实例．2. 如图，△ＡＢＣ按逆时针方向转动一个角后成为△ＡＢ′C′，图中哪一点是旋转中心?旋转了多少度?(第2题) (第3题)3. 如图，△ＡＢＣ与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在ＡＢ上，如果△ＡＢＣ经逆时针旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心?旋转了多少度?2. 旋转的特征探索观察图15.2.4与图15.2.5，你能发现有哪些线段相等?有哪些角相等?我们可以看到，图15.2.4中，线段OA、 OB都是绕点O逆时针旋转45°角到对应线段OA′、 OB′，而且OA＝OA′， OB＝OB′，ＡＢ＝A′B′；∠AOB＝∠A′OB′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．在图15.2.5中，旋转中心是点O，点A、 B、 C都是绕点O逆时针旋转60°角到对应点A′、 B′、 C′，而且OA＝， OB＝， OC＝；ＡＢ＝，ＢＣ＝， CA＝；∠CAＢ＝，∠ＡＢＣ＝，∠ＢCA＝．这就是图形旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．练习1. 确定图形中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转几次，每一次旋转多少度．(不计颜色)(第1题) (第2题) (第3题)2. 画出△ＡＢＣ绕点C逆时针旋转90°后的图形．3. 画出所给图形绕点O顺时针旋转90°后的图形．旋转几次后可以与原图形重合?3. 旋转对称图形在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合．如图15 2 8所示，电扇的叶片旋转120°、螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合．你能再举出一些这样的实例吗?图15.2.8试一试用一张半透明的薄纸，覆盖在如图15.2.9所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图15.2.9所示的图形重合．然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度(小于周角)后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合．图15.2.9 图15.2.10 图15.2.11 由上述操作可知，该图形绕圆心旋转60°后，能与自身重合，且绕圆心旋转120°或180°后，都能与自身重合．这种图形就称为旋转对称图形(a figure of rotation symmetry)．用类似上述的操作方法对如图15.2.10所示的图形进行探索，看看它是不是旋转对称图形?想一想旋转中心在何处?该图形需要旋转多少度后，能与自身重合?该图形是轴对称图形吗?图15.2.11所示的图形是轴对称图形．用类似上述的操作方法对图15.2.11所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重合吗?你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗?做一做如图15.2.12，在纸上画△ＡＢＣ和过点P的两条直线PQ、 PR．画出△ＡＢＣ关于PQ对称的三角形A′B′C′，再画出△A′B′C′关于PR对称的三角形A″B″C″．观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?图15.2.12练习1. 举出日常生活中旋转对称图形的几个实例．2. 找找看，下面图形中有几匹马?它们的位置关系大致如何?(第2题)3. 如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合?(第3题)4. 在纸上任意画一个△ＡＢＣ，再任意画一个点P，然后画出△ＡＢＣ绕点P逆时针方向旋转60°后的三角形．习题15.21. 如图所示的五角星绕哪一点旋转多少度后能与自身重合?(第1题) (第2题)2. 如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EＡＢ＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针方向旋转90°后的三角形．3. 如图，四边形ＡＢCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ＡＢF 重合．(第3题)(1) 旋转中心是哪一点?(2) 旋转了多少度?(3) 如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形?4. △ＡＢＣ是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ＡＢＣ以点O为旋转中心，旋转多少度后能与原来的图形重合?(第4题) (第5题)5. 仿照第７６页“试一试”的方法，分两种情况：考虑颜色和不考虑颜色，看看如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合?§15.3 中心对称在上一节，我们已经看到有不少图形绕某一中心点旋转一定角度后，可以与自身重合．如图15.3.1所示的三个图形都是这样的旋转对称图形．图15.3.1图15.3.1的中间一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形(a figure of central symmetry)，这个中心点叫做对称中心(centre of symmetry)．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．如图15.3.2所示，△ＡＢＣ与△ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心，点B的对称点为点，点C的对称点为点，点A的对称点为点．点B绕着点A旋转180°到达点D处，因此，B、 A、 D三点在同一条直线上，并且ＡＢ＝AD.图15.3.2探索在图15.3.3中，△A′B′C′与△ＡＢＣ关于点O是成中心对称的，你能从图中找到哪些等量关系?图15.3.3我们可以发现，点A绕中心点O旋转180°后到点A′，于是A、O、 A′三点在一直线上，并且ＡＯ＝ＯＡ′，另外分别在一直线上的三点还有、；并且BO＝， CO＝．归纳在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．例如图15.3.4，已知△ＡＢＣ和点O，画出△DEF，使△DEF和△ＡＢＣ关于点O成中心对称．图15.3.4解(1) 连结AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A关于点O的对称点D；(2) 同样画出点B和点C关于点O的对称点E和F；(3) 顺次连结DE、 EF、 FD．如图15.3.５，△DEF即为所求的三角形．图15.3.5练习1. 仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下页表中适当的空格内．(第1题)2. 如图(1)所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图(2)所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗?(第2题)读一读对弈策略两个人轮流在一张桌面(长方形或正方形或圆形)上摆放同样大小的硬币，规则是： 每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输．按照这个规则，你用什么办法才能取胜?初看起来，只能碰运气，其实不然．只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能取胜．取胜的秘诀是：你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚硬币．这样，由于对称性，只要对方能放下一枚硬币，你就能在其对称的位置上放下一枚硬币．你不妨试一试．试一试如图15.3.６所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗?图15.3.６做一做如图15.3.７，在纸上画△ＡＢＣ、点P，以及与△ＡＢＣ关于点P成中心对称的三角形A″B″C″．过点P任意画一条直线，画出△ＡＢＣ关于此直线对称的△A′B′C′，如图15.3.８．图15.3.７图15.3.８观察△A′B′C′和△A″B″C″，你发现了什么?练习1. 如图，已知四边形ＡＢCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ＡＢCD关于点O成中心对称．(第1题)2. 如图，已知△ＡＢＣ和过点O的两条互相垂直的直线x、 y，画出△ＡＢＣ关于直线x对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线y对称的△A″B″C″，△A″B″C″与△ＡＢＣ是否关于点O成中心对称?(第2题)习题15.31. 关于某一点成中心对称的两个图形，对称点所连的线段通过，被平分，对应线段与对应角都．2. 如图所示的图形是不是轴对称图形?是不是中心对称图形?(第2题) (第3题)3. 如图，已知AD是△ＡＢＣ的中线，画出以点D为对称中心、与△ＡＢD成中心对称的三角形．4. 如图所示的图形是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．(第4题)§15.4 图形的全等我们已经认识了图形的翻折、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后的图形对应线段相等，对应角相等，它们的形状和大小并没有改变．要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过翻折、平移和旋转等图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等图形(congruent figures)，图15.4.1中的图形(2)与(4)就是全等图形．图15.4.1一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．思考观察图15.4.2中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合?图15.4.2上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．如图15.4.3中的两个五边形是全等的，记作五边形ＡＢCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”)．点A与A′、点B与B′、点C与C′、点D与D′、点E与E′分别是对应顶点．图15.4.3依据上面的分析，我们知道：全等多边形的对应边、对应角分别相等．这就是全等多边形的特征．实际上这也是我们识别全等多边形的方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等．三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等．同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．如图15.4.4所示，△ＡＢＣ≌△DEF，且∠A＝∠D，∠B＝∠E．你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗?图15.4.4练习在日常生活中，处处可以看到全等的图形．例如：同一张底片印出的同样尺寸的照片；我们使用的数学课本的封面；我们班的课桌面等等．试尽可能多地举出生活中全等图形的例子，和同学比一比，看谁举出的例子多．习题15.41. 图中所示的是两个全等的五边形，ＡＢ＝8， AE＝5， DE＝11， HI ＝12， IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、 b、 c、 d、 e、α、β各字母所表示的值．2. 在下列方格图中画出两个全等的四边形．阅读材料古建筑中的旋转对称——从敦煌洞窟到欧洲教堂敦煌的佛教洞窟与欧洲的基督教堂相距数千里，文化和宗教背景截然不同，然而，在相距几百年的时间里，两地先后出现了完全相同的一种图案：三只兔子相互追逐形成一环．大英博物馆《国际敦煌学项目》(IDP News)披露了这一新发现．敦煌407窟窟顶上的图案，隋朝．16世纪早期，德国帕德波恩大教堂的玻璃镶花图案．敦煌佛教洞窟中，至少有16个洞窟出现了这一图案：三只兔子位于莲花的中心，朝着不同方向奔跑，有的是顺时针(如305窟)，有的是逆时针(如407窟)．这些洞窟建于隋朝和晚唐时期．但是，敦煌学文献中从来没有对这一图案的相关研究记录．19世纪欧洲一本谜语书中的图案．而到了13世纪，欧洲的德国、法国和英国基督教堂的屋顶浮雕等处，都发现了相同或相似的图案．这三只兔子是如何从中国传到欧洲的，一时成为敦煌学界的一大研究热点．有专家指出，这一图案是通过中国的纺织品经由丝绸之路传到欧洲的，但目前还没有确切的证据证实这一观点．专家们正在加紧研究，以期解开“三只兔子之谜”．小结一、知识结构二、概括本章从日常生活中常见的一些图形的位置关系，得出图形的平移与旋转以及旋转对称、中心对称的概念．通过动手操作，探索图形在平移、旋转的过程中有关点、线段、角的变化．平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，在这些变换下，线段的长度与角的大小都没有改变，图形的形状与大小都没有发生变化，变换前后的两个图形是全等图形，这是最主要的特征，是将来进一步研究图形全等及其有关性质的基础．复习题A组1. 观察下列图形，将其中的轴对称图形、旋转对称图形和中心对称图形所对应的编号填入相应的圈内．(1) (2)(3) (4) (5) (6)CX〖〗轴对称图形〖〗旋转对称图形〖〗中心对称图形2. 如图，△ＡＢＣ经过平移后成为△A′B′C′，画出平移的方向、量出平移的距离．(第2题)3. 在纸上画一个边长为1厘米的正方形，然后分别画出将该正方形向北偏东30°方向平移2厘米，以及将该正方形向正东方向平移2厘米后的图形．4 如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点?试用量角器测量旋转的角度．(第4题)5. 如图，半圆O绕着点P顺时针旋转后成为半圆O′，试量出旋转角度的大小．(第5题)6. 如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．(第6题)7. 如图，已知△ＡＢＣ≌△CDA，指出它们的对应顶点、对应边和对应角．(第7题)8. 如图，已知△ＡＢＣ≌△ADC，∠BAC＝60°，∠ACD＝23°，那么∠D＝度．(第8题)B组9. 画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的三角形．(第9题)10. 如图，不用量角器，将方格纸中的四边形绕着点O逆时针方向旋转90°，画出旋转后的四边形．(第10题)11. 如图所示的两个图形是不是轴对称图形?如果是，请画出对称轴．这两个图形能不能经过旋转与自身重合?如果能，分别需要旋转多少度?(第11题)12. 点D是等边三角形ＡＢＣ内的一点，将△BDC绕点C顺时针旋转60°，试画出旋转后的三角形，并指出图中的全等图形以及它们的对应顶点、对应边和对应角．(第12题)C组13. 这是在万花筒里所能看到的一些镜像，观察一下，这都是些什么样的对称图形，你能不能再想像一两个同样对称和谐的图形?万花筒里的镜像（第１３题）1４. 用硬纸板剪出两个全等的△ＡＢＣ和△A′B′C′，按照下列两种情况将△ＡＢＣ和△A′B′C′放在桌面上．(1)(2)(第1４题)动手试一试，如何通过平移、旋转与轴对称等变换将△ＡＢＣ运动到△A′B′C′上，使两者互相重合．与你的伙伴们交流一下，看看谁的方法多．课题学习图案设计我们已经认识了图形的三种基本变换：轴对称、平移和旋转．利用图形的这三种基本变换，可以设计出各种各样的漂亮图案．现有如图所示的６种瓷砖:１. 请用其中的４块瓷砖（允许有相同的），设计出美丽的图案．例如：２. 利用你设计的图案，通过平移、或轴对称、或旋转，设计出更加美丽、更加大型的图案．例如：（１）通过平移得：（２）通过轴对称得：。