2019版高考数学一轮复习 第六章 不等式课时训练
2019版高考数学(理)一轮狂刷练：第6章不等式6-3a含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋2x 的最小值是( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2答案 D解析 由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.故选D.2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C.3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立， 所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥15.故选A.4．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x ，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A.12B.13C.14D.18答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝12时，等号成立，故z 的最大值为14.故选C.5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1D ．2 答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x ＋2≥2a ＋2，当且仅当x＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取。
2019-2020年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第35讲基本不等式课件理
件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品
的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是
800 x
元，仓储费用是
x 8
元，总的费用是80x0＋8x≥2 80x0·8x＝20，当且仅当80x0＝8x，即x＝80时取等号．
• 解析：(1)错误．因为x没有确定符号，所以不能说最 小值为2.
• (2)错误．利用基本不等式时，等号不成立．
• (3)错误．不是充要条件，当x<0，y<0时也成立．
• (4)错误．最小值不是定值，故不正确．
• 2为．( 已知)m＞0，n＞0，且mn＝81，则mA＋n的最小值
• A解．析：1D8∵．m>20，43n>0，∴mB＋．n≥326 mn＝18.当且仅当mC＝．n＝891时，等号成立．
又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2， 当且仅当a2b＝ab时等号成立，所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2，
当且仅当a12＝b12， a2b＝ab，
即a＝b＝4 2时取等号．
(3)∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．
【例2】 (1)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( B )
A．13
B．12
C．34
D．23
(2)若函数f(x)＝x＋x－1 2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( C )
2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第六章不等式
2 ③ 当 a＜ 0 时，原不等式化为 x－ a (x ＋1) ≤０.
2
2
当 a＞－ 1，即 a＜－ 2 时，解得－ 1≤x≤ a；
2 当 a＝－ 1，即 a＝－ 2 时，解得 x＝－ 1；
2
2
当 a＜－ 1，即 a＞－ 2 时，解得 a≤ x≤－ 1.
综上所述，当 a＝ 0 时，不等式的解集为 {x|x ≤－ 1} ；当 a＞ 0 时，不等式的解集为
1 答案： x|x< － 2或x>1
解析：∵
2x
2－ x － 1>0，∴
(2x
＋ 1)(x
－1)>0 ，∴ x>1
1 或 x<－ .
2
2
3. ( 必修 5P77 练习 3(1) 改编 ) 不等式－ x － 2x＋ 3>0 的解集为 __________ ．
答案： {x| － 3<x<1}
2
解析：原不等式可化为 x ＋ 2x－3<0，得－ 3<x<1. 4. ( 必修 5P80 习题 8(2) 改编 ) 已知不等式 x2－ 2x＋ k 2－ 3>0 对一切实数 x 恒成立，则实数
ax2＋ bx ＋ c ＝
0(a ≠0) ．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜” ，便得到一元二次不等式 ax2＋ bx＋ c＞
0( 或＜ 0) ．因此，可以通过 y ＝ax2＋ bx＋c(a ≠0) 图象与 x 轴的交点求得一元二次不等式的
解，具体如表所示：
2. 用一个流程图来描述求解一元二次不等式
k 的取值范围是 ________．
答案： k>2 或 k<－ 2
2
解析：由 Δ ＝ 4－ 4(k － 3)<0 ，解得 k>2 或 k<－ 2.
高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第6节数学归纳法教师用书
第六节 数学归纳法1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 2．数学归纳法的框图表示1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( ) (2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( )(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2017·杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [因为凸n 边形最小为三角形，所以第一步检验n 等于3，故选C.]3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2，且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 B [k 为偶数，则k ＋2为偶数．]4．(教材改编)已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2，则a 2＝__________，a 3＝__________，a 4＝__________，猜想a n ＝__________.3 4 5 n ＋15．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)”由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是__________.【导学号：51062209】2k[当n ＝k 时，不等式为1＋12＋13＋…＋12k －1<k .则n ＝k ＋1时，左边应为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，则左边增加的项数为2k ＋1－1－2k＋1＝2k.]设f (n )＝1＋2＋3＋…＋n(n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立.4分(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，8分那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f k ＋－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，12分 ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *).15分[规律方法] 1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．由n ＝k 时命题成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．[变式训练1] 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边.4分 (2)假设n ＝k 时等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，8分 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2.13分 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立.15分用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立.4分(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12.8分则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝k ＋＋12.14分∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立.15分[规律方法] 1.当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立，再证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．[变式训练2] 已知数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .[证明] (1)当n ＝1时，∵a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根， ∴a 1>a 2.4分(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ，6分∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0， ∴a 2k ＋1－a 2k >0.10分又∵a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0，∴a k ＋2<a k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n .15分已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2＋a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．[解] (1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1>0).2分当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *).7分(2)证明：①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.10分 由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式，整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1， 即n ＝k ＋1时通项公式成立.14分由①②可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立.15分[规律方法] 1.猜想{a n }的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a 1，a 2，a 3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明a k ＋1时，a k ＋1的求解过程与a 2，a 3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．[变式训练3] (2017·绍兴调研)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论. 【导学号：51062210】[解] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列.4分 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，已证命题成立.6分 (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即x 2k >x 2k ＋2，易知x k >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x2k＋3－x2k＋1＋x2k＋1＋x2k＋3＝x2k－x2k＋2＋x2k＋x2k＋1＋x2k＋2＋x2k＋3>0，12分即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)(2)知，对∀n∈N*命题成立.15分[思想与方法]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要弄清n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法．[易错与防范]1．第一步验证当n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．2．由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法．3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．课时分层训练(三十五) 数学归纳法A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明2n>2n ＋1，n 的第一个取值应是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [∵n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n ＋1不成立；n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立．∴n 的第一个取值应是3.]2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) 【导学号：51062211】A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对B [本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]3．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋C [由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1n －n ＋.]4．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2C [边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n －1)条．]5．用数学归纳法证明3(2＋7k)能被9整除，证明n ＝k ＋1时，应将3(2＋ 7k ＋1)配凑成( ) 【导学号：51062212】A ．6＋21·7kB ．3(2＋7k)＋21 C ．3(2＋7k)D ．21(2＋7k)－36D [要配凑出归纳假设，故3(2＋7k ＋1)＝3(2＋7·7k)＝6＋21·7k＝21(2＋7k)－36.]二、填空题6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝__________时，命题亦真．2k ＋1 [n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．] 7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为__________. 【导学号：51062212】(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2[当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2，则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2， 故增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.]8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为__________________．f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) [因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．]三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立.4分(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k .7分 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2<2－1k＋1k ＋2<2－1k ＋1kk ＋＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立.14分 由(1)(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立.15分10．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝λa n＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{a n}的通项公式，并加以证明. 【导学号：51062213】[解](1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.6分(2)由(1)可猜想数列通项公式为：a n＝(n－1)λn＋2n.8分下面用数学归纳法证明：①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，即a k＝(k－1)λk＋2k，10分那么当n＝k＋1时，a k＋1＝λa k＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想成立，由①②知数列的通项公式为a n＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0).15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是( )A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立D[∵f(k)≥k2成立时，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，∴f(4)≥16时，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立．]2．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．5 12(n＋1)(n－2)(n≥3)[f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)(n ≥3)．] 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式. 【导学号：51062214】 [解] (1)由题意知S 2＝4a 3－20， ∴S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.2分又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.6分(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，结论显然成立；7分 ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1， 则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋k ＋2＝k (k ＋2)．又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， ∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， 解得2a k ＋1＝4k ＋6，13分∴a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.15分。
2019-2020年高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明作业理
2019-2020年高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明作业理2019-2020年高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明作业理基础热身1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有()A.M>NB.M≥NC.M<n< bdsfid="83" p=""></n<>D.M≤N2.[xx·襄阳五中模拟]设a,b∈R,则“a>b”是“|a|>|b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A.<b< bdsfid="92" p=""></b<>B.a2>b2C.>D.a|c|>b|c|4.已知-1≤a≤3,-5<b<3,则a+|b|的取值范围是.< bdsfid="97" p=""></b<3,则a+|b|的取值范围是.<>5.有外表相同,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>c+b,a+c<b,则a,b,c,d由大到小的排列顺序为.< bdsfid="100" p=""></b,则a,b,c,d由大到小的排列顺序为.<> 能力提升6.已知下列四个关系:①若a>b,则ac2>bc2;②若a>b,则<;③若a>b>0,c>d>0,则>;④若a>b>1,c<0,则a cA.1个B.2个C.3个D.4个7.[xx·潮州二模]已知a>b,则下列各式一定正确的是()A.a lg x>b lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a·2x>b·2x8.[xx·广西玉林质检]已知a=log23,b=,c=log53,则()A.c<a<b< bdsfid="127" p=""></a<b<>B.a<b<c< bdsfid="130" p=""></b<c<>C.b<c<a< bdsfid="133" p=""></c<a<>D.b<a<c< bdsfid="136" p=""></a<c<>9.[xx·南阳一中月考]设a>b>0,x=-,y=-,则x,y的大小关系为()A.x>yB.x<y< bdsfid="143" p=""></y<>C.x=yD.x,y的大小关系不定10.若a<b,d<c,且(c-a)(c-b)0,则a,b,c,d的大小关系是()</b,d<c,且(c-a)(c-b)A.d<a<c<b< bdsfid="153" p=""></a<c<b<>B.a<c<b<d< bdsfid="156" p=""></c<b<d<>C.a<d<b<c< bdsfid="159" p=""></d<b<c<>D.a<d<c<b< bdsfid="162" p=""></d<c<b<>11.[xx·北京东城区二模]据统计,某超市两种蔬菜A,B连续n天的价格(单位:元)分别为a1,a2,a3,…,a n和b1,b2,b3,…,b n.令M={m|a mA.若A?B,B?C,则A?CB.若A?B,B?C同时不成立,则A?C不成立C.A?B,B?A可同时不成立D.A?B,B?A可同时成立12.[xx·南京一模]已知a,b为实数,且a≠b,a<0,则a 2b-(填“>”“<”或“=”).13.[xx·咸阳模拟]已知函数f=ax+b,0<f<2,-1<f<1,则2a-b的取值范围是.< bdsfid="184" p=""></f<2,-1<f<1,则2a-b的取值范围是.<>14.[xx·河南天一大联考]已知实数a∈(-3,1),b∈,,则的取值范围是.难点突破15.(5分)[xx·杭州质检]若实数a,b,c满足对任意实数x,y有3x+4y-5≤ax+by+c≤3x+4y+5,则()A.a+b-c的最小值为2B.a-b+c的最小值为-4C.a+b-c的最大值为4D.a-b+c的最大值为616.(5分)[xx·盐城一模]已知-1≤a+b≤3,2≤a-b≤4,若2a+3b的最大值为m,最小值为n,则m+n= .课时作业(三十四)第34讲一元二次不等式及其解法基础热身1.不等式-x2+3x+10>0的解集为 ()A.(-2,5)B.(-∞,-2)∪(5,+∞)C.(-5,2)D.(-∞,-5)∪(2,+∞)2.[xx·上饶四校联考]设x∈R,则“0<x<2”是“x2-x-2<="" bdsfid="233" p=""></x<2”是“x2-x-2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.[xx·淮北一中四模]若(x-1)(x-2)<2,则(x+1)(x-3)的取值范围是()A.(0,3)B.C.D.4.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是.5.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m= .能力提升6.如果关于x的不等式x2<ax+b的解集是{x|1<x<="" bdsfid="270" p=""></ax+b的解集是{x|1<xA.-81B.81C.-64D.647.若存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,-8]C.[1,+∞)D.[-8,+∞)8.[xx·岳阳质检]设函数f(x)=若不等式xf(x-1)≥a的解集为[3,+∞),则实数a的值为()A.-3B.3C.-1D.19.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是()A.a<-2B.a>-2C.a>-6D.a<-610.[xx·银川二中一模]已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是()A.B.C.D.11.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减少耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元,则t的取值范围是()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f[f(x)]<0的解集为空集,则实数a的取值范围是.13.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,则x的取值范围是.14.[xx·惠州二调]已知函数f(x)=则不等式f[f(x)]≤3的解集为.难点突破15.(5分)[xx·苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模]已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.16.(5分)[xx·湖州、衢州、丽水三市联考]已知函数f=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若存在实数a ∈[1,2],对任意x∈[1,2],都有f≤1,则7b+5c的最大值是.课时作业(三十五)第35讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础热身1.(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域为()图K35-12.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则实数a的取值范围为()A.(-24,7)B.(-∞,-7)∪(24,+∞)C.(-7,24)D.(-∞,-24)∪(7,+∞)3.[xx·阜阳质检]不等式|x|+|3y|-6≤0所对应的平面区域的面积为()A.12B.24C.36D.484.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的形状是.5.[xx·桂林、崇左、百色一模]设x,y满足约束条件则x2+y2的最大值为.能力提升6.已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=x-2y的最小值为()A.-1B.1C.3D.77.[xx·南充三诊]若实数x,y满足不等式组则z=2x+y的最大值是()A.B.C.14D.218.设x,y满足约束条件则的最大值为()A.B.2C.D.09.[xx·惠州二模]设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.10.[xx·宁德质检]已知约束条件表示的平面区域为D,若存在点P(x,y)∈D,使x2+y2≥m成立,则实数m的最大值为()A.B.1C.D.11.[xx·大庆实验中学一模]已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是.12.[xx·淮南二模]已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-mx 取得最大值时有唯一的最优解(1,3),则实数m的取值范围是.13.(15分)[xx·天津河东区二模]制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问:投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大?最大盈利额是多少?14.(15分)某人有一套房子,室内面积共计180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元.装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天才能获得最大的房租收益?难点突破15.(5分)[xx·衡阳二联]集合M={(x,y)|x+y≤1,y≤x,y≥-1},N={(x,y)|(x-2)2+y2=r2,r>0},若M∩N≠?,则r的取值范围为()A.B.C.D.16.(5分)[xx·九江模拟]已知实数x,y满足若z=mx+y的最大值为 3,则实数m的值是()A.-2B.3C.8D.2课时作业(三十六)第36讲基本不等式基础热身1.[xx·北京海淀区一模]若m<n<0,则下列不等式中正确的是()< bdsfid="561" p=""></n<0,则下列不等式中正确的是()<>A.>B.>C.+>2D.m+n>mn2.[xx·青岛质检]已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y 有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2003.[xx·赤峰模拟]若函数f=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a=()A.1+B.1+C.3D.44.[xx·天津河东区二模]已知a>0,b>0,且2a+b=4,则的最小值是.5.[xx·成都九校联考]设正数a,b满足a+2b=1,则+的最小值为.能力提升6.[xx·郑州三模]若实数a,b,c均大于0,且(a+c)·(a+b)=6-2,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.2+2D.2-27.[xx·雅安三诊]对一切实数x,不等式x2+a+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是() A.B.C.D.8.[xx·乌鲁木齐三模]已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2-xy 的最小值是()A.35B.105C.140D.2109.[xx·泉州模拟]已知2a+2b=2c,则a+b-2c的最大值为()A.-2B.-1C.D.-10.[xx·深圳调研]若函数f=x+(m为大于0的常数)在(1,+∞)上的最小值为3,则实数m的值为.11.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是.12.[xx·日照三模]已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为.13.(15分)[xx·盐城三模]已知a,b,c为正实数,且a+b+c=3,证明: ++≥3.14.(15分)[xx·黄冈中学模拟]某公司生产一批A产品需要原材料500吨,每吨原材料可创造利润12万元.该公司通过设备升级,生产这批A产品所需原材料减少了x(x>0)吨,且每吨原材料创造的利润提高了0.5x%.若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品,每吨原材料创造的利润为12a-x万元,其中a>0.(1)若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产这批A产品的利润,求x的取值范围;(2)若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润,求a的最大值.难点突破15.(5分)[xx·河南豫南六市联考]已知函数f=ax2+bx+c(b>a),对任意的x∈R,f≥0恒成立,则的最小值为()A.3B.2C.1D.016.(5分)[xx·湛江二模]已知a>b,二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又存在x0∈R,a+2x0+b=0,则的最小值为.课时作业(三十七)第37讲合情推理与演绎推理基础热身1.[xx·鹰潭一模]用“三段论”推理:任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0.你认为这个推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的2.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体()A.各正三角形内的点B.各正三角形的中心C.各正三角形某高线上的点D.各正三角形各边的中点3.观察图K37-1中各正方形图案,则所有圆点总和S n与n的关系式为()图K37-1A.S n=2n2-2nB.S n=2n2C.S n=4n2-3nD.S n=2n2+2n4.[xx·兰州模拟]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,….由以上式子可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1= .5.[xx·烟台二模]在正项等差数列中有=成立,则在正项等比数列中,类似的结论为.能力提升6.[xx·郑州一中调研]“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.xx年是“干支纪年法”中的丙申年,那么xx年是“干支纪年法”中的()A.丁酉年B.戊未年C.乙未年D.丁未年7.下面说法正确的是()①数列{a n}的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式为a n=n;②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理;③在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适;④“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.A.①②B.②③C.③④D.②④8.[xx·临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学联考]已知[x]表示不大于x的最大整数,设函数f(x)=log2,得到下列结论:结论1:当2<x< bdsfid="827" p=""></x<>结论2:当4<x< bdsfid="831" p=""></x<>结论3:当6<x< bdsfid="835" p=""></x<>……照此规律,结论6为.9.如图K37-2甲所示,在直角三角形ABC中,AC⊥AB,AD⊥BC,D 是垂足,则有AB2=BD·BC,该结论称为射影定理.如图乙所示,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O为垂足,且O在△BCD内,类比直角三角形中的射影定理,则有.图K37-2难点突破10.(5分)[xx·郑州、平顶山、濮阳二模]设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'(0)(x),f(2)(x)=f'(1)(x),…,f(n)(x)=f'(n-1)(x),则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(xx)(15°)的值是 ()A.B.C.0D.111.(5分)[xx·江南十校二模]某地突发地震后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队分别从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.(1)甲轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向;(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么丁所在方向就不是A方向.有下列判断: ①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.课时作业(三十八)第38讲直接证明与间接证明基础热身1.[xx·莱芜一中模拟]用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0没有实数根”时,应假设()A.方程x2+ax+b=0至多有一个实根B.方程x2+ax+b=0至少有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1≤C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.[xx·南昌二模]已知等差数列的前n项和为S n,若S2k+1>0,则一定有()A.a k>0B.S k>0C.a k+1>0D.S k+1>04.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设≥1.其中正确说法的序号是.能力提升5.[xx·大连模拟]“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名.下面讲到的人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化.在这些医务人员中:①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是()A.男护士B.女护士C.男医生D.女医生6.[xx·福建师大附中一模]若O为△ABC平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为()A.钝角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形7.设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,M=sin A+sin B+sinC,N=cos A+2cos B,则()A.M<n< bdsfid="997" p=""></n<>B.M=NC.M>ND.M,N大小不确定8.[xx·武汉模拟]已知f=,a≠b,则|f-f|与|a-b|的大小关系为()A.>B.<C.=D.不确定9.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是(填序号).①假设三个角都不大于60°;②假设三个角都大于60°;③假设三个角至多有一个大于60°;④假设三个角至多有两个大于60°.难点突破10.(5分)[xx·山西运城调研]在△ABC中,AC=5,+-=0,则BC+AB=()A.6B.7C.8D.911.(5分)[xx·北京海淀区二模]已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图K38-1所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是()A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数图K38-1课时作业(三十九)第39讲数学归纳法基础热身1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N*)”,在验证n=1时,左端所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明“凸n边形对角线的条数f=”时,第一步应验证()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立3.用数学归纳法证明“1+++…+=”时,由n=k到n=k+1,等式左边需要添加的项是()A.B.C.D.4.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N*),可以猜想数列的通项公式为.5.用数学归纳法证明“1+++…+<2-(n≥2,n∈N*)”时第一步需要验证的不等式为.能力提升6.已知n为正偶数,用数学归纳法证明“1-+-+…+=2++…+”时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立()A.k+1B.k+2C.2k+2D.2(k+2)7.用数学归纳法证明“1+++…+< bdsfid="1143" p=""><>A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+18.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总可推出f(k+1)≥k+2成立.那么,下列说法正确的是()A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立9.设平面内有n(n≥3)条直线,它们任何2条不平行,任何3条不共点,若k条这样的直线把平面分成f个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f+ .10.用数学归纳法证明“2n>2n2-2n+1对于n≥n0的正整数n均成立”时,第一步证明中的起始值n0应取.11.设f(n)=1-+-+…+,则f(k+1)=f+ .(不用化简)12.用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+”时,假设n=k时等式成立,则n=k+1时,等式右边为.13.(10分)[xx·山西孝义质检]数列满足a n+5a n+1=36n+18,且a1=4.(1)写出的前3项,并猜想其通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.难点突破14.(5分)如果命题P(n∈N*)对n=k(k∈N*)成立,则它对n=k+1也成立,现已知P对n=4不成立,则下列结论中正确的是 ()A.P对任意n∈N*成立B.P对n>4成立C.P对n<4成立D.P对n≤4不成立15.(5分)已知f(m)=1+++…+(m∈N*),用数学归纳法证明f>时,f-f= .课时作业(三十三)1.A[解析] 因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N,故选A.2.D[解析] 因为“a>b”不能推出“|a|>|b|”成立,且“|a|>|b|”也不能推出“a>b”成立,所以“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件.故选D.3.C[解析] 取a=1,b=-1,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然>0,则不等式a>b的两边同时乘,所得不等式仍成立.故选C.4.[-1,8)[解析] 因为-5<b<3,所以0≤|b|<5,又因为-1≤a≤3,所以-1≤a+|b|<8,所以< bdsfid="1228" p=""></b<3,所以0≤|b|<5,又因为-1≤a≤3,所以-1≤a+|b|<8,所以<>a+|b|的取值范围是[-1,8).5.d>b>a>c [解析] ∵a+b=c+d,a+d>c+b,∴2a>2c,即a>c,∴b<d.∵a+c<b,∴a<b.综上可得< bdsfid="1235" p=""></d.∵a+c<b,∴a<b.综上可得<>d>b>a>c.6.B[解析] c=0时,①错误;a>0>b时,②错误;根据不等式的性质知③正确;根据指数函数的性质可知④正确.故正确的有2个.7.D[解析] A中,当x=1时,不成立;B中,当x=0时,不成立;C中,当a=0,b=-1时,不成立;D 中,因为2x>0,所以a·2x>b·2x成立.故选D.8.A[解析] 由题可知a=log2<a<b.故选a.< bdsfid="1248" p=""><a<b.故选a.<>9.B[解析] ∵x>0,y>0,==<1,∴x<y,故选b.< bdsfid="1252" p=""></y,故选b.<>10.A[解析] ∵a<b,(c-a)(c-b)0,∴a<c<b,且db,结合d<c,知< bdsfid="1258" p=""></c,知<></c<b,且d</b,(c-a)(c-b) d<a<c<b.故选a.< bdsfid="1262" p=""></a<c<b.故选a.<>11.C[解析] 特例法:例如蔬菜A连续10天的价格分别为1,2,3,4,…,10,蔬菜B连续10天的价格分别为10,9,…,1时,A?B,B?A 同时不成立,故选C.12.< [解析] ∵a≠b,a<0,∴a-2b-=<0,∴a<2b-.13. [解析] 由函数的解析式可知0<a+b<2,-1<-a+b< bdsfid="1272" p=""></a+b<2,-1<-a+b<>14.(-24,8)[解析] 当-3<a<="">15.A[解析] 当x=1,y=-1 时,-6≤a-b+c≤4,所以a-b+c的最小值为-6,最大值为4,故B,D 错误;当x=-1,y=-1 时,-12≤-a-b+c≤-2,则2≤a+b-c≤12,所以a+b-c的最小值为2,最大值为12,故A正确,C错误.故选A.16.2[解析] 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得因为-≤(a+b)≤,-2≤-(a-b)≤-1,所以-≤(a+b)-(a-b)≤,即-≤2a+3b≤,所以m+n=2.课时作业(三十四)1.A[解析] 由x2-3x-10<0,解得-2<x<5.< bdsfid="1289" p=""></x<5.<>2.A[解析] 由x2-x-2<0,得-1<x<2,故选a.< bdsfid="1293" p=""></x<2,故选a.<>3.C[解析] 由(x-1)(x-2)<2,解得0<x< bdsfid="1297" p=""></x<>4.(-∞,-6]∪[2,+∞)[解析] 由已知得方程x2-ax-a+3=0有实数根,即Δ=a2+4(a-3)≥0,故a≥2或a≤-6.5.2[解析] 由题意知,a≠0,方程ax2-6x+a2=0的根为1,m,且m>1,则所以m=2.6.B[解析] 不等式x2<ax+b可化为x2-ax-b<0,其解集是{x|1<x</ax+b可化为x2-ax-b<0,其解集是{x|1<x7.A[解析] 设f(x)=2x-x2,则当x∈[-2,3]时,f(x)=-(x-1)2+1∈[-8,1],因为存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,所以a≤f(x)max,所以a≤1,故选A.8.B[解析] 由题意知3是方程xf(x-1)=a的一个根,则a=3f(3-1)=3×(2-1)=3,故选B.9.A[解析] 令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),易得g(x)<-2.< bdsfid="1317" p=""><-2.<>10.B[解析] 由题意有(1-a i x)2<1?x2-2a i x<0?xx-<0,所以不等式的解集为0,.又0<<<,所以x的取值范围为0,,故选B.11.B[解析] 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-t万亩,则税收收入为20-t×24 000×t%万元,由题意有20-t×24 000×t%≥9000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5,∴当耕地占用税税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元.∴t的取值范围是3≤t≤5,故选B.12.(-∞,-2][解析] f(x)=x2-2ax+a2-1=[x-(a+1)][x-(a-1)],则f(x)<0?a-1<x<a+1,则f[f(x)]<0?a-1<f(x)< bdsfid="1327" p=""></x<a+1,则f[f(x)]<0?a-1<f(x)<>13.,[解析] 记f(m)=mx2-2x-m+1=(x2-1)m+1-2x(|m|≤2),则f(m)<0恒成立等价于解得<x<.< bdsfid="1334" p=""></x<.<>14. [解析] 由题意,f[f(x)]≤3,则f(x)≥0或∴f(x)≥-3,∴x<0或∴x≤.15.B[解析] 设f(x)=x2-2(a-2)x+a,当Δ=4(a-2)2-4a<0,即1<a0对x∈R恒成立.当Δ=0时,a=1或a=4,当a=1时,f=0,不合题意;当a=4时,f(2)=0,符合题意.当Δ>0时,</a需满足即即4<a≤5.综上,实数a的取值范围是(1,5].< bdsfid="1345" p=""></a≤5.综上,实数a的取值范围是(1,5].<>16.-6[解析] 因为x∈[1,2],所以ax2+bx+c≤1等价于a≤,由题意知存在a∈[1,2],使得不等式a≤对任意x∈[1,2]恒成立,所以≥1,即x2+bx+c-1≤0对x∈[1,2]恒成立,所以即所以7b+5c=3(b+c)+2(2b+c)≤-6,即7b+5c的最大值为-6.课时作业(三十五)1.C[解析] 原不等式等价于不等式组或分别画出两个不等式组所表示的平面区域(图略),观察可知选C.2.C[解析] ∵点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,∴(-9+2-a)(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24,故选 c.< bdsfid="1358" p=""></a<24,故选c.<>3.B[解析] 如图,不等式+-6≤0所对应的平面区域为一个菱形及其内部,菱形的对角线长分别为12,4,所以其面积为×12×4=24,故选B.4.正方形[解析] 不等式组表示的平面区域由四条直线x=1,x=-1,y=2,y=4围成,其形状为正方形.5.5[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,由得得A(2,-1).由图可知x2+y2的最大值为22+(-1)2=5,故答案为5.6.B[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数z=x-2y可化为y=x-z,其中-z表示斜率为的直线在y轴上的截距,通过平移可知,当直线经过点A(3,1)时-z取到最大值,即z 取得最小值,最小值为1.故选B.7.B[解析] 作出可行域如图所示,目标函数z=2x+y可化为y=-2x+z,其中z表示斜率为-2的直线在y轴上的截距,由图可知,当直线过点A,时z取得最大值,故选B.8.A[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又表示区域内的点与原点连线的斜率,由图知,==,故选A.。
2019版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时分层作业四十6.6数学归纳法理
课时分层作业四十数学归纳法一、选择题(每小题5分,共35分)1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=4<22+1=5,当n=3时,23=8<32+1=10,当n=4时,24=16<42+1=17,当n=5时,25=32>52+1=26,当n=6时,26=64>62+1=37,故起始值n0应取5.2.(2018·淄博模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命题总成立的是( )A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立【解析】选D.当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n时,f(n)≥n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)≥5成立,那么当k≥4时,f(k)≥k+1也成立.3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( )A. B.-C.-D.+【解析】选C.因为当n=k时,左端=1-+-+…+-,当n=k+1时,左端=1-+-+…+-+-.所以,左端应在n=k的基础上加上-.4.观察下列各等式:+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,归纳出一般性的等式为( )A.+=2B.+=2C.+=2D.+=2【解析】选A.各等式可化为:+=2,+=2,+=2,+=2,可归纳得一般等式:+=2.5.(2018·沈阳模拟)设n为正整数,f(n)=1+++…+,经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,观察上述结果,可推测出一般结论( ) A.f(2n)> B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对【解析】选C.f(2)=f(21)==,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>,由此可推知f(2n)≥.6.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项数是( )A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D. 运用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)当n=k时,则有1+2+3+…+2k=2k-1+22k-1(k∈N*)左边表示的为2k项的和.当n=k+1时,则左边=1+2+3+…+2k+(2k+1)+…+2k+1,表示的为2k+1项的和,因此,增加了2k+1-2k=2k项.7.(2018·商丘模拟)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a,b,c的值为( )A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c【解题指南】根据数学归纳法的要求,只需代入前三个数即可.【解析】选A.因为等式对一切n∈N*均成立,所以n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·洛阳模拟)用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是________.解析】由n∈N*,n>1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1++<2.答案:1++<2.9.设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的自然数n都有(S n-1)2=a n S n,通过计算S1,S2,S3,猜想S n=______. 【解析】由(S1-1)2=S1·S1,得S1=,由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=,依次得S3=,猜想S n=.答案:10.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.导学号12560630【解析】不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案:.1.(5分)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2(++…+)时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B. k为偶数,则k+2为偶数.2.(5分)用数学归纳法证明“1+++…+<n(n≥2)”时,由n=k的假设证明n=k+1时,不等式左边需增加的项数为( )A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1【解析】选C.当n=k时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…+,所以左边增加的项数为2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k.3.(5分)(2018·武汉模拟)已知数列{a n}满足条件a n=,设f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-a n),计算f(1),f(2),f(3),f(4)的值,由此猜想f(n)的通项公式为________.【解析】f(1)=,f(2)=,f(3)=,f(4)=.由此可猜想f(n)=.答案:f(n)=4.(12分)(2018·东莞模拟)已知S n=1+++…+(n>1,n∈N*),求证:>1+(n≥2,n∈N*).【证明】(1)当n=2时,=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即=1+++…+>1+,则当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式>1+都成立.5.(13分)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想{a n}的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,。
高考数学一轮复习必备 第51课时 第六章 不等式-含绝对值的不等式
第51课时：第六章 不等式——含绝对值的不等式课题：含绝对值的不等式一．复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 时，左边等号成立；当 时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法： ①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 （ ）()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10)2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 （ ）()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （ ）()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0)4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是 ．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)x f x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++．例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x +<．五．课后作业：1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则 （ ）()A ||||||a b c <+ ()B ||||||a b c >- ()C a b c <+ ()D a b c >-2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，则集合M 、N 的关系是 （ ）()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂4．不等式||22x x x x ≥++的解集是 ． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是 ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）． 8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12x x x +-->+．9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，（1）当1a =时，解这个不等式；（2）当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤， 求证：（1）||1a c +≤；（2）对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
一轮复习课时训练§6.4：基本不等式
第六章§4：基本不等式：ab ≤a ＋b2(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ＝(x －1,1)，b ＝(1，1－xx)，则|a ＋b|的最小值是A ．1B ． 2C ． 3D ．2 2．若0<x<1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为A ．13B ．12C ．34D ．233．已知f(x)＝x ＋1x－2(x<0)，则f(x)有A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 4．已知y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．1125．如果x>1，那么3x ＋3x －1的最小值是A ．6B ．9C ．12D ．14二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知x>1，y>1，且lnx,1，lny 成等差数列，则x ＋y 的最小值为______．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨． 8．已知点P(a ，b)与点Q(1,0)在直线2x －3y ＋1＝0的两侧，则下列说法正确的是______．①2a －3b ＋1>0；②a ≠0时，ba 有最小值，无最大值；③∃M ∈R ＋，使a 2＋b 2>M 恒成立；④当a>0且a ≠1，b>0时，则b a －1的取值范围为(－∞，－13)∪(23，＋∞)．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）(1)求函数y ＝x(a －2x)(x>0，a 为大于2x 的常数)的最大值； (2)设x>－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值．10．（本小题满分18分）某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：a ＋b ＝(x ，1x )．∴|a ＋b|＝x 2＋1x2≥2，(当且仅当x 2＝1时，等号成立)．故选B项． 答案：B2．解析：∵0<x<1，∴4－3x>0，∴f(x)＝x(4－3x)＝13·3x·(4－3x)≤13(3x ＋4－3x 2)2＝43.当且仅当3x ＝4－3x ，x ＝23时取“＝”号．∴x ＝23时，x(4－3x)取得最大值．答案：D3．解析：∵x<0，∴f(x)＝x ＋1x －2＝－(－x －1x)－2≤－2(－x )(－1x)－2＝－4.当且仅当－x ＝－1x >0，即x ＝－1时，f(x)取最大值－4.答案：C4．解析：∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0， ∴－1<x<8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，此时x ＝2，y ＝1，故选B 项．答案：B5．解析：∵x>1，x －1>0，∴3x ＋3x －1＝3(x －1)＋3x －1＋3≥9. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知lnx ＋lny ＝2，∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e.当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e. 答案：2e7．解析：购买次数为400x，∴总费用为400x·4＋4x ≥2 6 400＝160.当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20.答案：208．解析：由已知(2a －3b ＋1)(2－0＋1)<0，即2a －3b ＋1<0，∴①错；a ≠0时，由3b>2a ＋1可知a>0时，b a >23＋13a ，不存在最小值，∴②错；可判断P(a ，b)与原点O 在直线2x －3y ＋1＝0 的两侧 ∴a 2＋b 2>|1|4＋9＝1313恒成立，∴③正确； 由线性规划知识如图可知④正确． 答案：③④三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵x>0，a>2x ，∴y ＝x(a －2x)＝12×2x(a －2x)≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28，当且仅当x ＝a4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)∵x>－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝z>0，则x ＝z －1， ∴y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5≥2z·4z＋5＝9， 当且仅当z ＝2即x ＝1时上式取等号， ∴x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值． 10.（本小题满分18分）解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元(x ≥10，x ∈N *)，则f(x)＝(560＋48x) ＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x≥560＋248x ×10 800x ＝2 000.当且仅当48x ＝10 800x ，即x ＝15时等号成立．即当x ＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．。
一轮复习课时训练§6.3：二元一次不等式(组)与简单的线性规划
第六章§3：二元一次不等式（组）与简单的线性规划(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数f(x)＝x 2－5x ＋4，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4表示的平面区域为2．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2，则z ＝x ＋yA ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 3．设x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0x ＋y －1≥0，则实数对(x ，y)表示的区域在直线y ＝4的下侧部分的面积是A ．4B ．8C ．92D ．94．已知平面区域D 由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m 等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 5．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是______． 7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2y ≤2x ＋y ≥2，则目标函数z ＝yx ＋1的最大值是________．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D ，若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 的面积的最大值是______．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．10．（本小题满分18分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 1．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －5≥01≤x ≤4，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y －5≤01≤x ≤4，故其对应平面区域应为图C. 答案：C2．解析：由图象可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值z min ＝2，无最大值．答案：B 3．解析：如图所示，三角形为等腰直角三角形，且腰长为3，面积为92.答案：C4．解析：由目标函数z ＝x ＋my 得y ＝－1m x ＋zm.当m>0时，－1m <0，1m >0，可得－1m ＝k AC ＝3－11－3＝－1，∴m ＝1时有无穷多个点(x ，y)可使z ＝x ＋my 取得最小值．当m<0时，－1m >0，1m <0，则z ＝x ＋my 在点A 处取得最小值不合题意．∴m ＝1时符合题意．故选C 项．答案：C 5．解析：画出可行域如图由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＋2y －19＝0， 得交点A(1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －14＝0x ＋2y －19＝0，得交点B(3,8)，当y ＝a x 的图象过点A(1,9)时，a ＝9， 当y ＝a x 的图象过点B(3,8)时，a ＝2. ∴2≤a ≤9.故选C 项． 答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1，表示的可行域如图所示，则y ＝x －z 表示的直线过点A(1,0)时，z ＝x －y 取最大值，且z max ＝1.答案：1 7．解析：根据约束条件作出可行域如图所示．目标函数z ＝yx ＋1＝y －0x ＋1可以看做定点(－1,0)与可行域内的点(x ，y)连线斜率的最大值．可知当目标函数线过点A(0,2)时有最大值，即z max ＝2－00＋1＝2. 答案：28．解析：画出可行域如图：⊙O 的所有点都在△ABC 内，圆心O 到直线BC 的距离 d ＝|－2|5＝25为⊙O 半径的最大值，∴圆O 面积的最大值为S max ＝π(25)2＝45π.答案：45π 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.10.（本小题满分18分）解：设搭载产品A x 件，产品B y 件，预计总收益z ＝80x ＋60y. 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤30010x ＋5y ≤110x ∈N ，y ∈N，作出可行域，如图：作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝302x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝4，即M(9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)． 所以搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。
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第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法一、 填空题1. 函数f(x)＝3－2x －x 2的定义域为__________． 答案：[－3，1]解析：由3－2x －x 2≥0，解得－3≤x≤1.2. 不等式x ＋5x －1≥0的解集是 ____________．答案：(－∞，－5]∪(1，＋∞)解析：由x ＋5x －1≥0，得(x ＋5)(x －1)≥0且x －1≠0，解得x ≤－5或x>1.3. 不等式2x 2－x<4的解集为________． 答案：{x|－1＜x ＜2}解析：由题意得x 2－x<2⇒－1<x<2，解集为{x|－1＜x ＜2}．4. 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴ a ＜－4或a ＞4.5. 若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：(－2，2]解析：原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴ －2<m<2.综合①②，得m ∈(－2，2]．6. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x 2－4x ，因此f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x<0.不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－x 2－4x>x ，解得x>5或－5<x<0. 7. 已知函数f(x)＝x 2＋mx －1.若对于任意x∈[m，m ＋1]都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：二次函数f(x)对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0.8. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x<0，则不等式f(x)<f(4)的解集为________．答案：{x|x<4}解析：f(4)＝42＝2，不等式即为f(x)<2，当x≥0时，由x2<2，得0≤x<4；当x<0时，由－x 2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.综上，f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}．9. 在R 上定义运算：x ⊗y ＝x(1－y)，若∃x ∈R 使得(x －a)⊗(x ＋a)＞1成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：∵ ∃x 使得(x －a)⊗(x ＋a)＞1⇒(x －a)(1－x －a)＞1，即∃x 使得x 2－x －a 2＋a＋1＜0成立，∴ Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＞0⇒4a 2－4a －3＞0，解得a ＞32或a ＜－12.10. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0），则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________．答案：{x|－1＜x ＜2}解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)＝12，从而x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.二、 解答题11. 已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6. (1) 解关于a 的不等式f(1)＞0；(2) 若不等式f(x)＞b 的解集为{x|－1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值．解：(1) 由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋23，∴ 不等式的解集为{a|3－23＜a ＜3＋23}． (2) ∵ f(x)＞b 的解集为{x|－1＜x ＜3}，∴ 方程－3x 2＋a(6－a)x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝6－b －3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3，即a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12. 已知a∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解：原不等式等价于(ax －2)(x －2)>0，以下分情况进行讨论： (1) 当a ＝0时，x<2.(2) 当a<0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x －2)<0，由2a <0<2知2a <x<2. (3) 当a>0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x －2)>0，考虑2a －2＝2·1－a a 的正负： ① 当0<a<1时，2a >2，故x<2或x>2a ；② 当a ＝1时，2a ＝2，故x≠2；③ 当a>1时，2a <2，故x<2a或x>2.综上所述，当a<0时，该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ＜x ＜2；当a ＝0时，该不等式的解集为{x|x ＜2}；当0<a<1时，该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜2或x ＞2a ；当a≥1时，该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜2a 或x ＞2.13. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.(1) 若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1) 对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f(x)＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方，当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝4－4m （m －2）<0，解得m<1－2，综上可知m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2) 设g(m)＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x<1，所以x 的取值范围是(0，1)．第2课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 一、 填空题1. 若点(m ，1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是____________．答案：(1，＋∞)解析：由2m ＋3－5>0，得m>1.2. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为 _______________.答案：14解析：作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.3. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤4，x ＋3y≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案：7解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时z ＝3x ＋2y 的最大值为7.4. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x －y≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D.若直线y ＝kx －3与平面区域D有公共点，则k 的取值范围是________．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴ 斜率的两个端点值为－3，3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，∴ k 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．5. 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．答案：－1解析：目标函数即y ＝34x －14z ，其中z 表示斜率为k ＝34的直线系与可行域有交点时直线的截距值的14，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(1，1)处取得最小值z ＝3x －4y ＝－1.6. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1，y ≤2x －1x ＋y≤m.，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝________．答案：5解析：画出可行域便知，当直线x －y －z ＝0通过直线y ＝2x －1与x ＋y ＝m 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13时，函数z ＝x －y 取得最小值， ∴ m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.7. 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．答案：10解析：可行域如图所示，设z ＝x 2＋y 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，由图可知，当圆x 2＋y 2＝z 过点(3，－1)时，z 取得最大值，即(x 2＋y 2)max ＝32＋(－1)2＝10.8. 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．答案：(－4，2)解析：可行域为△ABC，如图，当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a 2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综合得－4＜a ＜2.9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．答案：18解析：设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A(2，3)， 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．10. 设m 为实数，若{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x －2y ＋5≥0，3－x≥0，mx ＋y≥0⊆{(x ，y)|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是________．答案：[0，43]解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果－m>0，则可行域取到x ＜－5的点，不在圆内，故－m≤0，即m≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴ m ＝43，∴ 0≤m ≤43.二、 解答题11. 某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解：设A 型、B 型车辆分别为x ，y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y.由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y≥900，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y≤300，4x ＋5y≤200，3x ＋10y≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为z ＝7x ＋12y ，作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．13. 变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1) 设z ＝yx ，求z 的最小值；(2) 设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3) 设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y)的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1，1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5，2)． (1) ∵ z＝y x ＝y －0x －0，∴ z 的值是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2) z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC|＝2，d max ＝|OB|＝29， 故z 的取值范围是[2，29]．(3) z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8，故z 的取值范围是[16，64]．第3课时 基本不等式一、 填空题1. 已知x>54，则函数y ＝4x ＋14x －5的最小值为________．答案：7解析：y ＝4x ＋14x －5＝(4x －5)＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．2. 设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为________．答案：9解析：因为x>－1，所以x ＋1>0.设x ＋1＝z ＞0，则x ＝z －1，所以y ＝（z ＋4）（z ＋1）z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5≥2z·4z ＋5＝9，当且仅当z ＝2，即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y 有最小值9.3. 若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．答案：2 2解析：依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时等号成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab≥22，所以ab 的最小值为2 2.4. 已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为__________．答案：26－3解析：由xy ＋2x ＋y ＝4，解得y ＝4－2x x ＋1，则x ＋y ＝x －2＋6x ＋1＝(x ＋1)＋6x ＋1－3≥26－3，当且仅当x ＋1＝6x ＋1，即x ＝6－1时等号成立．所以x ＋y 的最小值为26－3.5. 已知正实数x ，y 满足(x －1)(y ＋1)＝16，则x ＋y 的最小值为__________． 答案：8解析：由题知x －1＝16y ＋1，从而x ＋y ＝16y ＋1＋(y ＋1)≥216＝8，当且仅当y ＋1＝16y ＋1，即y ＝3时取等号．所以x ＋y 的最小值为8.6. 已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________．答案：9解析：x ＋8y xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x (x ＋2y)＝12(2＋8＋x y ＋y x ·16)≥12(10＋216)＝12×18＝9，当且仅当x y ＝4，x ＋2y ＝2，即y ＝13，x ＝43时等号成立．7. 若x>0，y>0，则x x ＋2y ＋yx的最小值为________．答案：2－12解析：(解法1)设t ＝y x (t>0)，则x x ＋2y ＋y x ＝11＋2t ＋t ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12－12≥212－12＝2－12，当且仅当t ＝2－12，即y x ＝2－12时等号成立. (解法2)设t ＝x y (t>0)，令x x ＋2y ＋y x ＝t t ＋2＋1t ＝f(t)，则f′(t)＝（t －2）2－8t 2（t ＋2）2，易知当t ＝2＋22时，f(t)min ＝2－12.8. 已知x ＞0，y ＞0，若不等式x 3＋y 3≥kxy(x ＋y)恒成立，则实数k 的最大值为________． 答案：1解析：由题设知k≤（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）（x ＋y ）xy，∴k ≤x 2－xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x－1恒成立．∵x y ＋yx－1≥2－1＝1，当且仅当x ＝y 时等号成立，从而k≤1，即k 的最大值为1. 9. 已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________．答案：25解析：由1x ＋1y ＝1，得x ＋y ＝xy ，4x x －1＋9y y －1＝4（x －1）＋4x －1＋9（y －1）＋9y －1＝13＋4x －1＋9y －1＝13＋9x ＋4y －13xy －x －y ＋1＝9x ＋4y ＝(9x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋236＝25，当且仅当x y ＝23时等号成立．10. 若不等式x 2－2y 2≤cx(y －x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22－4解析：由题意可得c≤x 2－2y 2xy －x 2＝x 2－2y 2x 2xy －x 2x 2＝1－2y2x 2y x－1，令y x ＝t ，则0<t<1，故c ≤1－2t2t －1＝2t 2－11－t ；令u ＝1－t ，则0<u<1，故c ≤2t 2－11－t ＝2（1－u ）2－1u ＝－4＋2u ＋1u ，得－4＋2u ＋1u 的最小值为22－4，故实数c 的最大值为22－4.二、 解答题11. 设x≥0, y ≥0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解： ∵ x≥0, y≥0, x 2＋y 22＝1，∴ x 1＋y 2＝x 2（1＋y 2）＝2x 2×1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324.当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时， x 1＋y 2取得最大值324.12. 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m 2)．(1) 求S 关于x 的函数解析式； (2) 求S 的最大值．解：(1) 由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2) 因为8<x<450，所以2x ＋7 200x ≥22x×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立．从而S≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.13. 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0，x ∈N )户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50(a>0)万元． (1) 在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求x 的取值范围；(2) 在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a 的最大值．解：(1) 由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50. 因为x>0，所以0<x≤50，x ∈N .(2) 从事蔬菜加工的农民的年总收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x 万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入为3(100－x)(1＋2x%)万元，根据题意，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x ≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x ＋x 225恒成立．又x>0，所以a≤100x ＋x 25＋1恒成立，而100x ＋x25＋1≥5(当且仅当x ＝50时取等号)，所以a 的最大值为5.第4课时 不等式的综合应用一、 填空题1. 已知log 2x ＋log 2y ＝1，则x ＋y 的最小值为________． 答案：2 2解析：由log 2x ＋log 2y ＝1得x>0，y>0，xy ＝2，x ＋y≥2xy ＝2 2.2. 若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 答案：(－∞，－2]解析：∵ 2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1，∴ 2x ＋y≤14，∴ x ＋y ≤－2.3. 设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________．答案：5－12解析：由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝1－x 22x .故x 2＋y 2＝x 2＋x 4－2x 2＋14x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2＋1x 2－12≥5－12. 4. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x －y －1≤0，x ＋y ＋1≥0，则z ＝yx ＋1的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，z ＝yx ＋1的几何意义为区域内的点与点P(－1，0)的连线的斜率k ，由图象，得－1≤k≤12.5. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P ，Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．答案：4解析：P ，Q 两点关于原点O 对称，设P(m ，n)为第一象限内的点，则m ＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以PQ 2＝4OP 2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16，当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时取等号．故线段PQ 长的最小值是4.6. 若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a ＞1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 答案：27解析：∵ ab－4a －b ＋1＝0，∴ b ＝4a －1a －1，ab ＝4a ＋b －1.∴ (a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋4a －1a －1·2＋1＝6a ＋[4（a －1）＋3]×2a －1＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.∵ a＞1，∴ a －1＞0.∴ 原式＝6(a －1)＋6a －1＋15≥26×6＋15＝27.当且仅当(a －1)2＝1，即a ＝2时等号成立．∴ (a＋1)(b ＋2)的最小值为27.7. 已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为______．答案：43解析：设m ＝4x ＋y ＞0，n ＝x ＋y ＞0，则x ＝m －n 3，y ＝4n －m 3，4x 4x ＋y ＋y x ＋y ＝83－13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n m ＋m n ≤83－43＝43. 8. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≤b)的值域为[0，＋∞)，则b －a a ＋b ＋c的最大值是________．答案：13解析：由题意可得b 2－4ac ＝0，且b≥a>0，则c a ＝b 24a2.令y ＝b －a a ＋b ＋c ，则y ＝b －a a ＋b ＋c ＝b a －1c a ＋b a ＋1＝b a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋b a ＋1，令t ＝ba ，则t≥1，则y ＝4（t －1）t 2＋4t ＋4，再令t －1＝u ，则y ＝4u u 2＋6u ＋9，当u>0时，y ＝4u ＋9u＋6≤412＝13，当且仅当u ＝3时等号成立，即b －a a ＋b ＋c 的最大值是13.9. 已知函数f(x)＝|x|＋|x －2|，则不等式f(x 2＋6)>f(5x)的解集是________．答案：(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞) 解析：因为当x>2时，f(x)单调递增，当x<0时，f(x)单调递减，且f(x)＝f(2－x)．因此不等式f(x 2＋6)>f(5x)等价于2－(x 2＋6)<5x<x 2＋6，解得x>3或x<－4或－1<x<2，即所求不等式的解集为(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞)．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2，x ≤2，log 2x ，x>2，若∃x 0∈R ，使得f(x 0)≤5m－4m 2成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2，x ≤2，log 2x ，x>2，当x≤2时，f(x)＝(x －1)2＋1≥1；当x>2时，f(x)＝log 2x>1，故函数f(x)的最小值为1，所以5m －4m 2≥1，解得14≤m ≤1.二、 解答题11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f(x)≥x，且当x∈(1，3)时，有f(x)≤18(x ＋2)2成立．(1) 求证：f(2)＝2；(2) 若f(－2)＝0，求f(x)的解析式．(1) 证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c≥2恒成立，又取x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c≤18×(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2) 解：∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c≥0恒成立．∴ a>0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12－4a(1－4a)≤0，解得a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.12. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．(1) 求利润L(x)的函数解析式，并写出定义域．(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－x －2x ＝64－48x ＋1－3x(0≤x≤5)． (2) L(x)＝64－48x ＋1－3x ＝67－⎣⎢⎡⎦⎥⎤48x ＋1＋3（x ＋1）≤67－248x ＋1·3（x ＋1）＝43.当且仅当48x ＋1＝3(x ＋1)，即x ＝3时取等号．故L(x)max ＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元．13. 如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P)，再沿直线PE 裁剪．(1) 当∠EFP＝π4时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．解：(1) 当∠EFP＝π4时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝π4.所以∠FPE＝π2.所以FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．所以四边形MNPE 的面积S ＝PN·MN＝2 m 2.(2) (解法1)设∠EFD＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ. 所以PF ＝2sin （π－2θ）＝2sin 2θ，NP ＝NF －PF ＝3－2sin 2θ，ME ＝3－2tan θ.由⎩⎪⎨⎪⎧3－2sin 2θ＞0，3－2tan θ＞0，0＜θ＜π2，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＞23，tan θ＞23，（*）0＜θ＜π2. 所以四边形MNPE 的面积S ＝12(NP ＋ME)·MN＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2tan θ×2＝6－2tan θ－2sin 2θ＝6－2tan θ－2（sin 2θ＋cos 2θ）2sin θcos θ＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋3tan θ≤6－2tan θ×3tan θ＝6－2 3.当且仅当tan θ＝3tan θ，即tan θ＝3，θ＝π3时取等号．此时，(*)式成立．故当∠EFD＝π3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6－23)m 2.(解法2)设BE ＝t m ，3＜t ＜6，则ME ＝6－t.因为∠EFP＝∠EFD＝∠FEP，所以PE ＝PF ，即（3－BP ）2＋22＝t －BP.所以BP ＝13－t 22（3－t ），NP ＝3－PF ＝3－PE ＝3－(t －BP)＝3－t ＋13－t22（3－t ）.由⎩⎪⎨⎪⎧3＜t ＜6，13－t22（3－t ）＞0，3－t ＋13－t22（3－t ）＞0，得⎩⎨⎧3＜t ＜6，t ＞13，t 2－12t ＋31＜0.(*)所以四边形MNPE 的面积S ＝12(NP ＋ME)·MN＝12{[3－t ＋13－t22（3－t ）]＋(6－t)}×2＝3t 2－30t ＋672（3－t ）＝6－[32(t －3)＋2t －3]≤6－2 3.当且仅当32(t －3)＝2t －3，即t ＝3＋233时取等号．此时，(*)式成立．故当点E 距B点⎝⎛⎭⎪⎫3＋233m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6－23)m 2.。