平面体系的几何构造特性和分析
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第2章平面体系的几何组成分析小结
第二章平面体系的几何组成分析一、名词解释1．几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系称为几何不变体系。
体系的几何不变性应当满足：具有足够的、布置合理的约束(联系)。
2．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系称为几何可变体系。
几何可变体系包括几何常变体系和几何瞬变体系。
几何常变体系是指缺少约束或约束布置不合理，体系没有确定的几何形状和空间位置，可发生持续的刚体位移。
几何瞬变体系是指具有足够数量的约束，但是约束布置不合理，在发生微小位移后，即成为几何不变体系。
瞬变体系在很小荷载作用下，也会产生很大的内力。
3．刚片在平面体系中，不考虑材料应变的几何不变部分称为刚片。
如一根梁、一根链杆、一个铰结三角形等。
4．自由度自由度是指物体或体系运动时可以独立变化的几何参数的数目。
即确定物体或体系位置所需的独立坐标数。
平面上的一个点有两个自由度，平面上的一个刚片有三个自由度。
5．约束(联系)用于限制体系运动的装置称为约束(或联系)。
(1)等效链杆的概念链杆为两端为铰的刚性直杆或曲杆。
只用两个铰与外界相连的刚片称为等效链杆。
等效链杆的作用与链杆相同。
(2)单约束和复约束连接两个刚片的铰称为单铰，一个单铰相当于两个约束。
连接两个以上刚片的铰称为复铰，连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；连接两个刚片的刚结点称为单刚结点，一个单刚节点相当于三个约束。
连接两个以上刚片的刚结点称为复刚结点，连接n个刚片的复刚结点相当于n—1个单刚结点。
(3)虚铰(瞬铰)虚铰也称为瞬铰，它是连接两个刚片的两链杆延长线的交点，与单铰具有相同的约束作用。
(4)必要约束和多余约束能够起到影响体系实际自由度数目的约束为必要约束。
必要约束具有布置合理的特点，用以组成几何不变体系的最少约束都是必要约束。
不改变体系实际自由度的约束称为多余约束。
6．体系的计算自由度用计算自由度公式方法求得的体系自由度，称为计算自由度W。
结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
平面体系几何组成分析的方法(静定的概念)(建筑力学)
当使用判定规则进行判定时，可以使用如下技巧，使问题简化： ①去二元体； ②地基可以当作特殊的刚片； ③扩大刚片法：将整个体系的几何不变部分看作刚片，并考察其与周 围部分的连接方式，逐步扩大刚片，减少杆件数目； ④刚片与链杆灵活转换：根据需要可以将链杆当作刚片使用，也可以 将刚片（包括地基）或几何不变部分当作链杆使用； ⑤巧用虚铰：链杆数目较多时，使用虚铰可以使体系简化。
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下 地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此 原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系 构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体； （2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系， 判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个 杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。 （2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。 （3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。 （4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交
例题分析
例1.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 4244 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 进一步判断，依次去掉二元体DFE、BDC、BEC、BCA后，整个体系只剩下 地基了，为几何不变体系。由于去掉二元体并不改变原体系的几何构造性，因此 原体系也是几何不变体系。
二元体规则是非常好用的规则，特别是去二元体，可以大大简化体系 构件数目，使判断简化，其主要有以下几个技巧：
（1）根据需要进行链杆与刚片之间的转化，巧妙使用二元体； （2）当体系比较复杂时，可以先考虑其中的一个它部分之间的连接关系， 判定整个体系的几何构造性。
例题分析
例2.分析图示体系的几何构造性。 解析：（1）计算自由度
W 72 113 0
自由度为0，说明体系具有成为几何不变体系的最少约束数目。 体系没有二元体，但体系本身是有二元体的，去掉所有二元体，只剩下一个 杆件，所以体系本身几何不变，再考虑其与地基的连接方式，判定体系几何不变。
总结与技巧
示例
例1.分析图示体系的几何构造性。
解析：（1）计算自由度
W 7277 0
体系具有成为几何不变体系的最少约束数目，需进一步判断。 （2）依次去掉二元体FAB、IED、FBJ、IDC如图所示。 （3）三角形GCH看作刚片Ⅰ，地基看作特殊刚片Ⅱ。 （4）刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过三根链杆相连，三链杆汇交
第7章 平面体系的几何组成分析概况
例10．
刚片I、II由5，6杆虚铰于A（无穷远）； 刚片II、III由3，4虚铰于3； 刚片I、III由1，2杆虚铰于2； 三铰A、3、2不共线，构成几何不变，且无多余约束的体系。
例11
图示刚片I、II、III 刚片I、II由1，2杆虚铰于A； 刚片II、III由5，6虚铰于C； 刚片I、III由3，4杆虚铰于B； 三铰A、B、C不共线，构成内部几何不变，且无多余约束 的体系。 注意：几何构造分析中，由于每一杆是一个约束，因而 每根杆只能用一次。．
实铰A,B效果相同,C为虚铰, 因此, 两刚片的连接可归结 为一个铰和一个链杆的连接
或：两个刚片由一个实铰和不过该铰的一根 链杆连接，构成几何不变，且无多余约束 的体系。
规则二：三个刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，则所 组成的体系是几何不变的。
几 何 不 变 铰结三角形，几何不变
三铰各由两链杆构成实铰， 构成几何不变，无多余约束
例6
去除二元片，如图所示。 I、II实铰于A； I、III由1，2虚铰于B； II、III由3，4虚铰于C； A、B、C三铰不共线， 构成几何不变，且无多余约束的体系。
例7．
刚片I与地基III由不彼此平行，又不交于同一点的三杆1，2， 3连接，构成几何不变，且无多余约束的部分。I与III一起视 为扩展的地基刚片IV。 II与IV由实铰A及不过该铰的杆4连接，构成几何不变，且无 多余约束的部分。 所以，原体系构成几何不变，且无多余约束的体系。 从基础部分(几何不变部分)依次添加扩展地基刚片
把II 看作链杆，由两刚片法 则，构成几何不变，无多 余约束
三刚片由不共线的三个虚 铰连接，构成几何不变， 无多余约束体系
三铰不共线，几何不 变，无多余约束
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
不完全铰节点 1个单铰
13/73
2-1 几何构造分析的几个概念
四、约束 两个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 则两者被连为一体成为一个刚片，自由 度由6减少为3。 一个单刚结点相当于3个约束。 单刚结点
三个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 自由度由9减少为3。
由此类推:
复刚节点
连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n－1 个单刚结点或3(n－ 1)个约束。
A A
1 B
2 C B
1
3
2 C
B 1
A 2
C
几何可变 几何不变 有多余约束
几何不变 无多余约束
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
23/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律
二、两个刚片之间的联结方式
A 2 B I 3 C
A II B I 3 C
16/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I
C
A
II
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
17/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
20/73
2-1 几何构造分析的几个概念
八、无穷远处的瞬铰
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
结构力学之平面体系的几何组成分析
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论： 两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
ΙΙ
C
A
B
例三、
C
A
分析图示体系的几何构造：
D
解法一： 1、找刚片：
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
（二）二元体规则：
增加或去掉二元体不改变原体系的几何
组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A
D
E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
B
束的几何不变体系；依次
C
F
G
在其上增加二元体A-D-C、
C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
一、几何构造特性：
（一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
任意取消一个约束，体系就变成了
几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性：
（一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
精品课件
例2-4-3
精品课件
分析图:
(a)
精品课件
(b)
(c)
精品课件
(d)
(e)
精品课件
说明：
1、通过本题中的两例可知，当上 部体系和大地之间的联系符合两刚 片规则时，体系几何组成分析的结 论只与上部体系的几何组成有关。 因此，当符合此条件时，可仅分析 上部体系。
精品课件
2、(a)所示体系先去掉与大地的支 座约束后，对上部体系可依次去掉 二元体213、453、563后，体系简化 成一铰接三角形，所以原体系是无 多余约束的几何不变体系。
结构力学
结构力学教研组 青岛理工大学工管系
精品课件
第二章 平面体系的几何组成分析
精品课件
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
精品课件
其目的在于:
❖ 了解和掌握结构的基本组成规律和
合理组成形式。正确区分各类体系， 判定结构；选择合理的结构形式。 ❖ 根据各类结构的几何组成，选择 正确的计算方法和简捷的解题途径。
几何不变体系
精品课件
(2)内部几何不变体系
若作为几何组成分析的结论， 内部几何不变体系指仅除大地 外的体系的整体。
精品课件
(a)
(b)
精品课件
(c)
(3)刚片
在平面问题中，刚性体化为平面 内的一个不会有变形的面，则称 这个面为刚片.刚片在其平面内， 任意两点间的距离都保持不变。
精品课件
(4)几何瞬变体系
对体系加载时，体系在瞬时内发 生微小位移，然后便成为几何不 变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）
精品课件
(a)
精品课件
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
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自由度：3
自由度：2 自由度：1 自由度：0
约束(restraint)
内部约束 （体系内各杆之间或结点之间的联系） 外部约束 （体系与基础之间的联系)
常见约束装置
单约束 仅连接两个刚片的约束.
单链杆 单刚结点
链杆：两端用铰与其它 物体相连的刚片。链杆 可以是曲的、折的杆， 只要保持两铰间距不变， 起到两铰连线方向约束 作用即可
变的前提下，体系若能
保证几何形状、位置不
变，称为几何不变体系
§2-1 概述
几何组成分析的目的：
1、判别某一体系是否为几何不变，从而 决定它能否作为结构。
2、区别静定结构、超静定结构，从而选 定相应计算方法。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决 定合理的计算顺序。
§2-2 平面体系几何不变的必要条件
1个单链杆 = 1个约束
1个单刚结点=3个约束
单铰 连接两个刚片的铰
1个单铰=2个约束=2个的单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不 定，这是虚铰和实铰的区别。通 常我们研究的是指定位置处的瞬 时运动，因此，虚铰和实铰所起 的作用是相同的都是相对转动中 心。
图示2结个构有 几个单铰？
II
O是铰O不是吗虚？
自由度(degrees of freedom)
1）刚 片：可以看成是几何形状不变体系（刚体） 的物体。（可以是杆、由杆组成的结构、支撑结 构的地基）
刚片 Ⅱ
刚片 Ⅰ
刚片 Ⅲ
杆系结构是由结点和杆件构成的，我们可以抽象为点
和线，分析一个体系的运动，必须先研究构成体系的点
和线的运动。
2.自由度
人的身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由
分 体无 体 几
析 举
系多 余 的约 组束 的 成几 规何 不
系 的 计 算 自 由
个 基 本 概
例 则变 度 念
§2-1 概 述
问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？
目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如
何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才 可以作为结构。
1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构 能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
注意：多余约束将影响结构的受力与变形。
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数 和未知力的个数的比较找出多余约束的。
多余约束 必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
§2-3 平面几何不变体系的组成规则
规律1. 点与刚片两杆连，二杆不共线
（三铰不共线）
规律2. 两个刚片铰、杆连，铰不过杆 规律3. 三个刚片三铰连，三铰不共线 规律4. 两个刚片三杆连，三杆不共点
平面体系的几何构 造特性和分析
Chapter 2 Geometric construction analysis
基本要求：
•领会几何不变体系、几何可变 体系、瞬变体系和刚片、约束、 自由度等概念。 •掌握体系的计算自由度的概念 及计算 无多余约束的几何不变 体系的几何组成规则，及常见 体系的几何组成分析。 •了解结构的几何特性与静力特 性的关系。
发生微小位移
FP
FP
体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系， 则称几何瞬变体系。
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
2-3-2 三刚片组成规则
三刚片用不在一直线上的三个铰两两相联，其内部是几何不 变的，并且没有多余的约束。
2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择 适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解 题途径。
第2章 平面体系的几何构造（组成）分析
§2-1 概述 平面杆系：体系的所有杆件和联系
及外部作用在一个平面内。
几何构造分析：按照几何学的原理对体系发 生运动的可能性进行分析。
几何不变体系
几何可变体系
A A
B
B
AC B
组成没 有多余 约束的 几何不 变体系
A
B
§2-3 平面几何不变体系的组成规则 2-3-1 两刚片组成规则
常变体系 瞬变体系 常变体系 瞬变体系
几何可变体系又可分为两种
（1）几何常变体系
(constantly changeable system)
发ously changeable system)
几何可变体系
(geometrically changeable system)
FP
FP
体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 为几何可变体系。
几何不变体系
(geometrically unchangeable system)
FP
体系受到任意荷载
作用，在不考虑材料应
O
复约束 连接两个以上刚片的约束
复铰 复刚 复链杆
一个连接 n个刚片的复铰相当 于(n-1)个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
一个连接 n个刚片的复刚相当 3(n-1)个约束。
连接n个结点的复链杆相当于 2n-3个单链杆
必要约束、多余约束
必要约束 ( necessary restraints)：体系中 增加一个或减少一个该约束，将改变 体系的自由度数。 多余约束 ( redundent restraints)：体系 中增加一个或减少一个该约束并不 改变体系的自由度数。
x
约束(restraint)
体系有自由度，就不能承受荷载，因此就应想办法 减少其自由度。当对体系添加了某些装置后，限制了 体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少 ，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减 少体系自由度数的装置。能减少几个自由度就称为几 个约束。
约束：对体系各部分之间的位置关系形成几何限制的联系。
实铰相联：
虚铰相联：
当三个铰在一直线上时：
瞬变体系
两刚片和三刚片组成规则都是基于同一简单的事实，即边长 给定的三角形的几何形状是惟一确定的。因此，平面几何不变体 系的基本组成规则可称为三角形规则。
∑Y=0， N=0.5P/sinβ→∞
度顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内
一点的自由程度、一刚体的自由程度……
点
的y
自
A
由
程
x
度
刚
片y
自
A
由
程
x
度
自由度(degrees of freedom)
自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的 数目，即确定体系空间位置所需要独立坐标(广义坐 标)的数目
A
y
y
A x
y x
1动点= 2自由度 1刚片= 3自由度
自由度：2 自由度：1 自由度：0
约束(restraint)
内部约束 （体系内各杆之间或结点之间的联系） 外部约束 （体系与基础之间的联系)
常见约束装置
单约束 仅连接两个刚片的约束.
单链杆 单刚结点
链杆：两端用铰与其它 物体相连的刚片。链杆 可以是曲的、折的杆， 只要保持两铰间距不变， 起到两铰连线方向约束 作用即可
变的前提下，体系若能
保证几何形状、位置不
变，称为几何不变体系
§2-1 概述
几何组成分析的目的：
1、判别某一体系是否为几何不变，从而 决定它能否作为结构。
2、区别静定结构、超静定结构，从而选 定相应计算方法。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决 定合理的计算顺序。
§2-2 平面体系几何不变的必要条件
1个单链杆 = 1个约束
1个单刚结点=3个约束
单铰 连接两个刚片的铰
1个单铰=2个约束=2个的单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不 定，这是虚铰和实铰的区别。通 常我们研究的是指定位置处的瞬 时运动，因此，虚铰和实铰所起 的作用是相同的都是相对转动中 心。
图示2结个构有 几个单铰？
II
O是铰O不是吗虚？
自由度(degrees of freedom)
1）刚 片：可以看成是几何形状不变体系（刚体） 的物体。（可以是杆、由杆组成的结构、支撑结 构的地基）
刚片 Ⅱ
刚片 Ⅰ
刚片 Ⅲ
杆系结构是由结点和杆件构成的，我们可以抽象为点
和线，分析一个体系的运动，必须先研究构成体系的点
和线的运动。
2.自由度
人的身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由
分 体无 体 几
析 举
系多 余 的约 组束 的 成几 规何 不
系 的 计 算 自 由
个 基 本 概
例 则变 度 念
§2-1 概 述
问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？
目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如
何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才 可以作为结构。
1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构 能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
注意：多余约束将影响结构的受力与变形。
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数 和未知力的个数的比较找出多余约束的。
多余约束 必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
§2-3 平面几何不变体系的组成规则
规律1. 点与刚片两杆连，二杆不共线
（三铰不共线）
规律2. 两个刚片铰、杆连，铰不过杆 规律3. 三个刚片三铰连，三铰不共线 规律4. 两个刚片三杆连，三杆不共点
平面体系的几何构 造特性和分析
Chapter 2 Geometric construction analysis
基本要求：
•领会几何不变体系、几何可变 体系、瞬变体系和刚片、约束、 自由度等概念。 •掌握体系的计算自由度的概念 及计算 无多余约束的几何不变 体系的几何组成规则，及常见 体系的几何组成分析。 •了解结构的几何特性与静力特 性的关系。
发生微小位移
FP
FP
体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系， 则称几何瞬变体系。
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
2-3-2 三刚片组成规则
三刚片用不在一直线上的三个铰两两相联，其内部是几何不 变的，并且没有多余的约束。
2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择 适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解 题途径。
第2章 平面体系的几何构造（组成）分析
§2-1 概述 平面杆系：体系的所有杆件和联系
及外部作用在一个平面内。
几何构造分析：按照几何学的原理对体系发 生运动的可能性进行分析。
几何不变体系
几何可变体系
A A
B
B
AC B
组成没 有多余 约束的 几何不 变体系
A
B
§2-3 平面几何不变体系的组成规则 2-3-1 两刚片组成规则
常变体系 瞬变体系 常变体系 瞬变体系
几何可变体系又可分为两种
（1）几何常变体系
(constantly changeable system)
发ously changeable system)
几何可变体系
(geometrically changeable system)
FP
FP
体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 为几何可变体系。
几何不变体系
(geometrically unchangeable system)
FP
体系受到任意荷载
作用，在不考虑材料应
O
复约束 连接两个以上刚片的约束
复铰 复刚 复链杆
一个连接 n个刚片的复铰相当 于(n-1)个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
一个连接 n个刚片的复刚相当 3(n-1)个约束。
连接n个结点的复链杆相当于 2n-3个单链杆
必要约束、多余约束
必要约束 ( necessary restraints)：体系中 增加一个或减少一个该约束，将改变 体系的自由度数。 多余约束 ( redundent restraints)：体系 中增加一个或减少一个该约束并不 改变体系的自由度数。
x
约束(restraint)
体系有自由度，就不能承受荷载，因此就应想办法 减少其自由度。当对体系添加了某些装置后，限制了 体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少 ，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减 少体系自由度数的装置。能减少几个自由度就称为几 个约束。
约束：对体系各部分之间的位置关系形成几何限制的联系。
实铰相联：
虚铰相联：
当三个铰在一直线上时：
瞬变体系
两刚片和三刚片组成规则都是基于同一简单的事实，即边长 给定的三角形的几何形状是惟一确定的。因此，平面几何不变体 系的基本组成规则可称为三角形规则。
∑Y=0， N=0.5P/sinβ→∞
度顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内
一点的自由程度、一刚体的自由程度……
点
的y
自
A
由
程
x
度
刚
片y
自
A
由
程
x
度
自由度(degrees of freedom)
自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的 数目，即确定体系空间位置所需要独立坐标(广义坐 标)的数目
A
y
y
A x
y x
1动点= 2自由度 1刚片= 3自由度