数学建模与日常生活

数学建模与日常生活

【摘要】数学是历史最悠久的人类知识领域之一。从远古的结绳记事到现代意义下的电子计算机的诞生；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在5000年的人类文明史进程中，无不体现了数学这个最富有理性魅力的重要角色。随着科学技术的发展，数学的应用范围日益广泛，不但在自然科学的各个分支中应用，而且在社会科学的很多分支中也有应用。让我们从这里重新认识数学

一、关于乌鸦喝水的问题

我们都知道，《乌鸦喝水》的故事，说的是：一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里的水不多，瓶子口有小，乌鸦喝不着水，怎么办呢？乌鸦看见瓶子旁边有许多小石子，想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里，瓶子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。问：这一只聪明的乌鸦，可是这只聪明的乌鸦真的能喝到水吗？

解构建数学模型，不妨假定所投入的石块都是大小相同的石球，其直径为 r，共有n 个。所有的小石球都紧密地排在一起，并且球心都在同一条直线上。再假定瓶了的形状是方柱体，其内部空间被分成 n个棱长为r 的小正方体。这样，瓶子里的总空隙就可以看作是每个小石子的外切正方体与小石球体积差的总和。由上面的假定可知：每一个小石球的体积为，其外切小正方体的体积为，所以瓶子里的总空隙为，

而就表示瓶子里所有空隙的总和等于瓶子总空隙的48﹪，也就是说，瓶子里所有空隙的总和比瓶子容积的一半稍小一些，因此，瓶子里的原有水量不及瓶子的一半时，乌鸦就不可能用投石块的方法把水面升到瓶口而喝到水。事实上，这个结论与小石块是不是球体，瓶子的形状是不是方柱体都无关。而且，生活中的瓶子一般都是中下部较大，瓶口较细，这也应该会减

少水面上升的高度，就更增加了乌鸦喝水的难度。所以说，当瓶子里的原有水量不到瓶子的一半时，乌鸦是不可能喝到水的

。

二、双曲线的导航

在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗?好，让我们的双曲线来

帮助你吧。它是大海的导航员。

先来看一看原理。假如你站在广场上，广场的东西两侧各装有一只喇叭，

并且放着欢快的音乐：

北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳，多么温暖……

我站在广场上，听见第一只喇叭把“金色的太阳”传到耳朵后的半秒钟，又听到了第二声“金色的太阳”。由于两个喇叭离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间差。再换一个地方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢?实际上，只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了。因此可以找到很多这样的点。这些点就构成了双曲线的一支。

轮船航行在海上时，它就处于人的位置。岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐。轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线。若再和另一对电台联系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上。这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白

了吗?船长们就是这样来导航的。

三、高跟鞋与黄金分割

女孩大都喜欢穿高跟鞋，若问她们原因何在，她们会说自己穿上高跟鞋后会

显得更漂亮、更有美感。颇为有趣的是，女孩凭直觉得出的这种结论可以被证实是有着科学道理的。为了解释这一点，需要涉及到数学中著名的黄金分割。

所谓黄金分割指的是：将一条线段分为两部分，让原线段与较长部分的比恰好等于较长部分与与较短部分的比。经过计算可以知道，黄金分割中较长部分与整个线段的比约为0.618。这个数相应地被称为黄金分割数。对于人体来说，优美的身段可以通过躯干与身高的比体现出来，这个长度与身高的比值愈接近黄金分割数0.618时，就愈会给人一种美的感觉。据说，古希腊女神维纳斯塑像的躯干与身高比恰为0.618，完全符合黄金分割，因而被认为是代表了最优美的身段。那么，对于一般人来说又怎么样呢？很可惜，一般人的躯干（肚脐到脚底的长度）与身高比都低于0.618这个数值，大约只有0.58~0.60左右，而穿上高跟鞋就可以增加、改善这一比值，使得躯干与身高的比值更接近黄金分割的标准，从而产生美的效应。比如，某女孩的身高为160 cm，她的原本躯干与身高比为0.60，那么当这位女孩穿上高度为4cm 的高跟鞋时，其躯干与身高的比值将被提高到0.61左右；当其高跟鞋高度为7.5cm时，可以使得这一比值恰好等于0.618，从而获到最佳美感！由此可见，女孩们相信穿高跟鞋使她们觉得更美是有数学根据的。

其实，以脚尖平衡为特色的芭蕾舞会给人一种美的感觉，其艺术的魅力也是与黄金分割密切联系的。当芭蕾演员踮起脚尖起舞时，正是为了展现符合0.618的身段比例的最优美的艺术形象。

四、荒谬的“电脑算命”

“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。

其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。

在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道：“余最不信星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）生一人，一日生十二人，以岁计之则有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而已，今只以一大郡计，其户口之数已不下数十万人（如咸丰十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人以至小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，又何贵贱贫富之不同也？”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为60×360×12＝259200。

所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命

运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。

五、生活中的趣味数学——抛物线反射镜和汽车前灯

你知道吗？当把汽车的前灯开关从亮转到暗时，就有数学在起作用。具体地说，是抛物线原理在玩花招。如果你留心会发现，汽车前灯后面的反射镜呈抛物线的形状。事实上，它们是抛物面(抛物线环绕它的对称轴旋转形成的三维空间中的曲面)。明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点上的光源产生的。

因此，光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出。当光变暗时，光源改变了位，它不再在焦点上，结果光线的行进不与轴平行。现在近光只向上下射