原创三角函数的概念图像及性质.ppt
① asin□与bcos□之间是“+”连接
② a,b分别是sin□与cos□的系数 注3.辅助角φ的确定方法：
(a,b)
方法甚多凭爱好 坐标定义是基础
φ
数形结合两限制 注释说明一般角
O
X
（2） a sin □ bcos□ a2 b2 cos(□ )
（其中 tan a，Φ与点(b,a)同象限）
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
三角式运算公式总述
1.公式：
①同角关系 ②异角关系
2.作用：
一角二名三结构……
世上本无路三角走运的算人公多式了关便联有图了路
半角
作用
商数 平方 关系 关系
倒数
关系
同角
基本
1、同角基本关系式
(1)公式：
①平方关系 sin 2 cos2 1
②商数关系 sin tan cos③倒数关系 tan Fra bibliotekot 1 sinx
注：记忆图
①平方关系：阴影三角形…
tanx
②商数关系：边上左右邻居…
③倒数关系：对角线……
secx
cosx
1
cotx
cscx
1、同角基本关系式
(1).公式：……
(2).作用： 变名变结构
注：经典题型：同角两弦的和差商积可互化.即“知一有n”
桥梁： (sin x cos x)2 1 2sin x cos x 1 sin 2x
sin x n1 sin x cos x n3 sin x cos x n5 sin 2 x cos2 x n7
五点做图象 “代
一角表二”名+k三T 结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
2.解三角形：正余弦定理 知三有三
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2 b2 c2 2bc cos A b2 a 2 c2 2ac cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
(2)作用： 变角变名变结构
（两弦式） （余弦式） （正弦式）
降幂公式
(1)公式： ① sin 2□ 1- cos 2□
2
(2)作用： 降幂倍角
② cos2□ 1 cos 2□
2
升幂公式
(1)公式： ① 1 cos□ 2cos2 □
2
② 1 cos□ 2sin 2 □
2
③ 1 sin □ (sin □ cos □ )2
T
2
函数 y =Atan(ωx+φ)的最小正周期 T
2、诱导公式——分公式（共9组）
（2）奇偶性公式
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
注：正弦函数 y =sinx 是奇函数 余弦函数 y =cosx 是偶函数 正切函数 y =tanx 是奇函数
（3）补角公式
(,)
奇偶性 [0,)
周期性
[0,
]
补角公式
[0,
2
]
余角公式
[0,
4
]
2、诱导公式——分公式（共9组）
（1）周期性公式
sin( k ) (1)k sin( )
cos(k ) (1)k cos()
tan( k ) tan( )
注：函数 y =Asin(ωx+φ)的最小正周期 T 2
函数
y
=Acos(ωx+φ)的最小正周期
§47 三角函数的概念、图像及性质
一、三角函数的概念 二、三角函数的图像 三、三角函数的性质
1.定义域 2.值域 ①范围②最值③极值④零点⑤正负值 3.性质
①周期性 ②单调性 ③对称性 (1)奇偶性(2)对称中心(3)对称轴 ④凸凹性 ⑤渐近性
1.四个三：
三角概述
三角函数 三角方程 三角不等式 三角式
b
注.与正相反是余弦 纵横相反+变-
① 万能公式
倍角公式正切式 勾股定理来记忆 证明技巧数式换 三角代数可互换
注1.记忆
①
tan 2
2 tan 1 tan 2
2t 1t2
②
sin
2
1
2
tan tan
2
2t 1t2
③
cos 2
1 tan 2 1 tan 2
关系
一角二名三结构
降幂
和差 化积
和差倍半是变角
万能
升幂
基本诱导是变名
积化 和差
辅助升降变结构
倍角
辅助角
异角
加法 公式
诱导
三角式的定义
三角式的运算公式分论
1.同角基本关系式
2.诱导(归约)公式
3.和角及差角(加法)公式
4.倍角公式
异 角
5.升幂及降幂公式
6.辅助角公式
7.其他公式
①万能公式②三倍角公式③和差化积与积化和差公式……
cos x n2
sin x cos x n4
tan
x
sin x cos x
n6
1 sin
x
1 cos
x
n8
2、诱导(归约)公式
周期性公式
奇偶性公式
分公式
(1).公式：
总公式
补角公式 余角公式
……
(2).作用： 变角变名
①总公式 ②分公式
f ( k )
2
符号看象限 奇变偶不变
f ( )
2
⑥ cos2□ 1 cos 2□
2
（正弦式） （升幂公式） （降幂公式）
注1.余弦倍角1变6 同+异-三个2
注2.降幂公式两端同时开方，即得半角公式
6.辅助角公式
（1） a sin □ bcos□ a2 b2 sin( □ )
（其中 tan b ，Φ与点(a,b)同象限）
a 注1.使用前提是同角 少式多角成和谐 注2. a，b的确定方法：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
（4）余角公式
sin( ) cos cos(2 ) sin
2
tan( ) cot
2
同名互补正弦等 同名互补其他反
互余异名值相等
3.和角与差角公式(加法公式)
(1)公式：
sin □○ sin□cos○ cos□sin○
cos□○ cos□cos○ sin□sin○
tan
□○
tan□ tan○ 1 tan□tan○
(2)作用： 变角变名变结构
4.倍角公式
(1)公式：
sin 2□ 2sin□cos□
cos 2□ cos2□ - sin 2□
2 cos2□-1
1- 2sin 2□
tan
2□
2 tan□ 1 - tan 2□
(2)作用： 升幂半角
2
2
注：余弦倍角1变6 同＋异－三个2
cos 2□ cos2□ - sin 2□ （两弦式）
① cos 2□ 2 cos2□-1 （余弦式）
② cos 2□ 1- 2sin 2□
③ 1 cos□ 2cos2 □ 2
④ 1 cos□ 2sin 2 □ 2
⑤ sin 2□ 1- cos 2□
合集下载
2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
三角函数图像ppt
VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。
知识影响格局，格局决定命运！ 多端互通
抽奖特权
VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。 开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！
福利特权
开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
其他特 VIP专享精彩活动
权
VIP专属身份标识
开通VIP后可以享受不定期的VIP随时随地彰显尊贵身份。
专属客服
VIP专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服Q全部权益：1.海量精选书免费读2.热门好书抢先看3.独家精品资源4.VIP专属身份标识5.全站去广告6.名
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
p
3p
2 p 2 2p
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
x0 cosx 1
p 2
3p
三角函数的图象和性质-PPT课件
3
2
2
x
14
y
(3
2
)
1
-1
2
-2
y=2sinx, x[0, 2
]
3
2
2 x
15
10
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
11
y 2
1
o
2
-1
y
1
o
2
-1
y=1+sinx x[0, 2 ]
3
2
x
2
y=sinx x[0, 2 ]
y=cosx x [0, 2 ]
3
2
x
2
y=-cosx
●
3
y
●
1
●
0
2
-1
●
3
●
2
x
2
●
练习：用“五点画图法”画出正弦函数
y=sinx x∈ [0, 2 ]的图象
4
一、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+
2
)= cosx
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x
5
余弦函数的“五点画图法”
x [0, 2
]
12
小结：
正弦函数、余弦函数图象的五点法
练习：（1）画出函数y=-sinx x∈ [0,2π]
(2)画出函数y=1+cosx x∈ [0,2π] (3)画出函数y=2sinx x∈ [0,2π]
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
三角函数的图象PPT
交流电
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模 拟和分析各种振动现象，如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数，其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π； 对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)； 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模 拟和分析各种振动现象，如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数，其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π； 对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)； 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
数学精华课件：三角函数的图象和性质
正切函数的图象
正切函数是奇函数，其图像关于原点对 称。
正切函数的图像是一个连续的曲线，它 在每一个开区间$(-frac{pi}{2}+kpi, frac{pi}{2}+kpi)$内是单调递增的。
正切函数的定义域为除去所有形如 $kpi+frac{pi}{2}$的点，其中$k$为整 数。正切函数没有最大值和最小值，因
06
总结与回顾
重点回顾
三角函数的基本概念
三角函数是描述三角形边长和角度之间关系的数学函数，包括正 弦、余弦、正切等。
三角函数的图象
三角函数的图象是周期性的，呈现波浪形状，具有对称性。
三角函数的性质
三角函数具有一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
学习反馈
01
02
03
学生掌握情况
通过课堂练习和课后作业， 了解学生对三角函数图象 和性质的掌握情况。
学习目标
掌握三角函数的图象 绘制方法。
能够运用三角函数解 决实际问题，如物理、 工程等领域的问题。
理解三角函数的性质， 如周期性、奇偶性、 振幅和相位等。
02
三角函数的基本概念
正弦函数
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为y=sinx，
x∈R。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，因 为f(-x)=sin(-x)=sinx=-f(x)。
布。
在工程学中的应用
01
三角函数在工程学中广 泛应用于信号处理、控 制系统等领域。
02
在信号处理中，三角函 数可以用于实现滤波、 调制和解调等操作。
03
在控制系统中，三角函 数可以用于实现PID控制、 模糊控制等算法。
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质课件ppt.ppt
则同时具有以下两个性质的函数是( A ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论
中正确的是( D) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
](kZ)上单调递增, 在
6
是 (k ,k ],k z 使 g(x) 0 且递减的区间是
12
6
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
∴当 0 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
当 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是 (k ,k ],k z .
且f (0) 3 , f ( ) 1 .
2 42
(1)求 f (x) 的最小正周期； (2)求 f (x) 的单调递减区间； (3)函数 f (x) 的图象经过怎样的平移才能 使所得图象对应的函数成为奇函数？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程