圆柱和圆锥体积中的典型题__等积变形
六年级下册数学试题--圆柱与圆锥-03-人教新课标
六年级下册数学试题--圆柱与圆锥-03-人教新课标一、填空题（共1题；共2分）1.一块圆柱形橡皮泥的底面积是20cm2，高是15cm。
如果把它捏成底面积相同的圆锥，这个圆锥的高是________cm；如果把它捏成同样高度的圆锥，这个圆锥的底面积是________ cm2。
【答案】45；60【考点】圆柱与圆锥体积的关系【解析】【解答】解：圆锥的高=15÷=45（cm）；圆锥的底面积=20÷=60（cm2）。
故答案为：45；60。
【分析】圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆锥的体积=×圆锥的底面积×圆锥的高；圆柱与圆锥的体积和底面积相同时，圆柱的高=×圆锥的高；圆柱与圆锥的体积和高相同时，圆柱的底面积=×圆锥的底面积，代入数值计算即可。
二、解答题（共8题；共45分）2.在日常生活中，我们要节约用水。
常用的自来水龙头内直径是0.2dm，打开一个水龙头，水的流速是5分米/秒，现有一个底面半径是1dm、高是3dm的圆柱形水桶，水龙头1分钟能将这个水桶放满水吗？【答案】解：1分钟流水的量=3.14×（0.2÷2）2×（5×60）=3.14×0.01×300=9.42（立方分米）；水桶的体积=3.14×12×3=3.14×1×3=9.42（立方分米）；因为9.42=9.42，所以能装满。
答：水龙头1分钟能将这个水桶放满水。
【考点】圆柱的体积（容积）【解析】【分析】圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆柱的底面积=π×（圆柱的直径÷2）2；1分钟流水的量=水龙头的底面积×（水的流速×1分钟化成的秒数）；再根据圆柱的体积计算出水桶的体积，比较即可得出答案。
3.一个圆柱形水槽（如下图），底面积是400 ，内盛有12cm深的水。
圆柱和圆锥等积变形
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添加目录项标题 圆柱和圆锥等积变形的性 质 圆柱和圆锥等积变形的实 例分析
圆柱和圆锥等积变形的基 本概念
圆柱和圆锥等积变形的实 现方法
圆柱和圆锥等积变形的未 来发展
01
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02
圆柱和圆锥等积变 形的基本概念
圆柱和圆锥的体积公式
圆柱的体积公式：V=πr²h 圆锥的体积公式：V=(1/3)πr²h 等积变形：在保持体积不变的情况下，将圆柱或圆锥进行形状变化
基本概念：等积变形是几何学中一个重要的概念，涉及到形状的变化而不改变其体积
等积变形的定义和条件
定义：在几何形状的变换过程中，保持体积不变的变形称为等积变形。
条件：等积变形需要满足一定的条件，即变形前后体积相等。
应用：等积变形在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
举例：圆柱和圆锥等积变形是等积变形的一个实例，通过变换可以得到圆锥的体积等于圆柱的 体积。
理论计算方法
圆柱和圆锥的体积公式 等积变形的条件：体积不变 变形前后体积相等的证明 变形过程中的变量关系和调整方法
实验测试方法
准备等积变形所需的圆柱和圆 锥模型
测量并记录圆柱和圆锥的初始 体积
对圆柱和圆锥进行变形操作， 使其变为等积形状
再次测量并记录变形后的体积， 验证是否相等
数值模拟方法
定义：通过数 学模型和计算 机技术模拟物 理现象的方法
案例分析结果和结论
圆柱和圆锥等积变形的实例分析表明，等积变形是可能的，但需要满足一定的条件。
实例分析中，我们发现变形后的圆锥体积与原圆柱体积相等，证明了等积变形的可行性。
实例分析还表明，等积变形的过程需要保持连续性和稳定性，以避免产生裂缝或变形。
新人教版六年级下册《第3章_圆柱与圆锥》小学数学-有答案-同步练习卷(1)
新人教版六年级下册《第3章圆柱与圆锥》小学数学-有答案-同步练习卷（1）一、填空1. 如图所示，把底面周长18.84cm、高10cm的圆柱切成若干等分，拼成一个近似长方体。
这个长方体的底面积是________c㎡，体积是________cm3．2. 数学老师的教具里有一个圆柱和一个圆锥，老师告诉陈明，圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是12厘米。
请你算算，这个圆柱的高是________厘米。
3. 一个圆柱形的木料，底面半径是3厘米，高是8厘米，这个圆柱体的表面积是________平方厘米。
如果把它加工成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是________立方厘米。
4. 图的圆柱杯子与圆锥杯子底面积相等，把圆锥装满水后倒进圆柱里，至少要倒________杯才能把圆柱装满。
5. 小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是________立方厘米，圆锥的体积是________立方厘米。
二、选择下面第（）个图形是圆柱的展开图。
A. B. C. D.把长1.2米的圆柱形钢材按1:2:3截成三段，表面积比原来增加56平方厘米，这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多（）A.560立方厘米B.1600立方厘米C.840立方厘米D.980立方厘米把一个圆锥的底面半径和高都扩大3倍，则它的体积扩大（）A.6倍B.9倍C.18倍D.27倍下列图形中体积相等的是（）（单位：厘米）A.(1)和(2)B.(1)和(3)C.(1)和(4)D.(3)和(4)一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是()cm3．A.80B.70C.60D.50三、解答如图是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径2米的半圆。
（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？（3）大棚内的空间大约有多大？一个圆锥形容器，底面半径是4厘米，高9厘米，将它装满水后，倒入底面积是12.56平方厘米的圆柱形容器中，水的高度是多少？蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居，下图中的蒙古包是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的（单位：米）．这个蒙古包占地多少？内部的空间约是多少？（得数保留整数。
圆柱与圆锥的等积变形(课件)北师大版六年级下册数学
度。
S底=3.14×52=78.5(cm2)
V圆锥=13×3.14×62h×=130 76.8÷78.5
= 37.68×10 =4.8(cm)
=376.8(cm3)
答:圆柱内水面的高度为4.8厘米。
变式1： 在一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱 形量杯内放入一些水，水面高是8厘米。把 一个小球浸没在量杯里，水满后还溢出 12.56克。求小球的体积。（每立方厘米水 重1克）
分析:放入小球前水的高度是8cm，还没达到量 杯的高度，放入小球后，水满溢出，水不仅升高 了10-8=2（cm）,还有水溢出，
溢出水的体积：12.56÷1=12.56（cm³）
3.14×（8÷2）²×（10-8）+12.56
=100.48+12.56 =113.04（cm³）
答：小球的体积是113.04cm³。
1250 20 100（0 毫升)
5 厘米
20 5
答：瓶内有饮料1000毫升。
20
厘 米
8、把一个正方体木块削成一个最大的圆 锥。正方体木块的棱长是6 dm，被削 去部分的体积是多少立方分米？
63－
1 3
×3.14×(6÷2)2×6＝159.48(dm3)
答：被削去部分的体积是159.48 dm3。
半径:15.7÷3.14÷2=2.5（dm） 体积：3.14×2.5²×2=39.25（dm³） 高：39.25×3÷10=11.775（dm）
答：圆锥的高是11.775 分米。
3、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔
铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零
件，求圆锥零件的高。
282.6÷（3.14×62× 1 ）
3-2.4= 0.6（分米）
圆柱与圆锥的等积变形问题
圆柱与圆锥的等积变形问题1.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？2.把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？3.一个圆锥形钢锭，底面直径6分米，高5分米，体积多少？如果每立方分米重3千克，这个钢锭重几千克？4.两个盛满水的底面半径为10厘米、高30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器中，求水深。
5、有一个圆柱形钢材。
它的高是1.2米，它的侧面积是7.536平方米。
问：它的质量是多少吨？（每立方厘米钢重7.8克，得数保留整数吨）6、有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，以知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的长度为多少厘米？7 、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？8、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为15厘米，水桶底面直径厘米。
皮球又4/5的体积浸在水里，问：皮球吊进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（半径为r的球的体积是4/3∏r³。
）9、有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内的液面高度是7厘米。
当将这个容器倒过来放时，从圆锥的见到液面的高是多少厘米？10有一种酒瓶，容积为495立方厘米，当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是15厘米，瓶口向下时，余下部分的高是5厘米，求瓶内酒有多少立方厘米？11、一个封闭的圆柱体容器横放时长12厘米，侧面圆直径4厘米，现里面水位高2厘米，若竖放水位多高？12.一个圆锥与一个圆柱的底面积比是3:2，体积比是2:5，如果圆柱的高与圆锥之和是36厘米，求圆锥的高是多少厘米？。
《第2章_圆柱与圆锥》小学数学-有答案-人教版六年级(下)数学同步练习(31)
《第2章圆柱与圆锥》小学数学-有答案-人教版六年级（下）数学同步练习（31）一、填空．1. 8.5平方米=________平方分米；7.2升=________毫升；3600立方厘米=________立方分米=________升。
2. 底面积是64平方厘米，高为9厘米的圆柱的体积是________立方厘米，和它等底等高的圆锥的体积是________立方厘米。
3. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是80立方厘米，圆柱的体积是________立方厘米。
4. 将62.8毫升水倒入底面半径为2厘米的圆柱形量筒内，水深________厘米。
5. 有一段圆柱形木头，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的()，()是圆锥体积的________倍。
6. 把一根长15米的圆木截成3段小圆木，表面积增加24平方分米，这根圆木原来的体积是________立方分米。
7. 一个圆锥的体积是16立方分米，如果高不变，底面半径缩小2倍，这时圆锥的体积是________立方分米。
8. 用塑料绳扎一个圆柱形的礼盒（如图），打结处刚好是底面圆心，打结用去绳长20厘米。
（1）在它的整个侧面贴上商标及说明，这部分面积是________平方厘米。
（2）做这个礼盒至少要用________平方厘米的铁皮。
（3）这个礼盒的体积是________立方厘米。
（4）扎这个礼盒共用去塑料绳________厘米。
9. 把一张边长为a分米的正方形铁皮，围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是________平方分米。
10. 一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是________．二、判断．两个圆柱的体积相等，它们的表面积也相等。
________．（判断对错）沿着圆锥底面直径和高把圆锥切成两部分，切面是一个三角形。
________．（判断对错）圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。
等积变形题目圆锥熔铸成圆柱
等积变形题目圆锥熔铸成圆柱
等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。
这种变形可以发生在多种几何图形之间，其中最常见的是圆锥熔铸成圆柱，即将一个圆锥体通过熔铸变形成一个圆柱体，而且它们的体积保持不变。
这种等积变形的原理是，圆锥体和圆柱体的体积公式是相同的，即V = π r2 h，其中r 是圆的半径，h是高度。
因此，如果圆柱的高度和圆锥的高度相同，那么两者的体积也必须相同，也就是说，在高度h相同的情况下，圆柱的半径必须与圆锥的半径r相同，这就是等积变形的原理。
圆锥熔铸成圆柱的实际变形过程是，首先将圆锥放入熔炉内，熔炉的温度调到适当的温度，当圆锥融化时，将圆锥熔铸成圆柱。
这种过程需要调整熔炉的温度，以保证圆锥和圆柱的体积相等。
熔铸成圆柱的过程具有许多优势，例如，可以节省材料，可以减少制造时间，可以降低成本等。
由于圆锥和圆柱的体积相等，因此可以在不改变体积的前提下，将原材料熔铸成更加结实坚固的圆柱，从而节省材料，减少制造时间，降低成本。
等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。
本文主要讨论了将圆锥熔铸成圆柱的等积变形，并介绍了它的原理以及实际变形过程，以及其优点。
希望本文能够对读者有所帮助。
圆柱与圆锥难题解析
二、切割问题 1、一根长4米,底面直径4厘米的圆柱形钢
材,把它锯成同样长的3段,表面积比原来增加了
多少平方厘米?
五、图形题 3、如图, 你能否求它的体积?( 单位:厘米)
3.14×(2÷2)2×(4+6) ÷2 = 15.7(cm3)
4
2
6
五、图形题 解法二： 4
2
6
3.14×(2÷2)2×4=12.56(cm3) 3.14×(2÷2)2×(6-4)÷2 =3.14(cm3)
12.56+3.14= 15.7(cm3)
五、图形题
2、如下图所示，有一块长方形铁皮，把其中 的阴影部分剪下，正好制成一个圆柱形油桶。求 这块长方形铁皮的面积是多少？
12.56cm
8÷2=4(cm)
3.14×4=12.56(cm)
8cm
12.56+4=16.56(cm)
16.56cm
16.56×8=132.48(cm 2)
V沙= 14V锥
11
4× ×33.14×12 ×0.6 = 0.157(m3)
六、动态几何
1、一个直角梯形，以它的下底为轴旋转一周，
形成一个图形（如图），你能算出这个图形的体积
吗？（单位：厘米解）法一：13×3.14×62×(4-2)
2
=75.36(cm3)
3.14×62×2
6
4 6 2=226.08(cm3)
五、图形题 1、如图，在一个棱长是20厘米的正方体铸铁
中，以相对的两个面为底，挖出一个最大的圆柱
体。求剩下的铸铁的体积是多少立方厘米？
解法一：20×20×20-3.14×（20÷2）2×20
解法二：
20×20 ÷4×（4-3.14）×20 = 17S正20(cm3S)底
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【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
·10
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
10 4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10 20
14
10
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
5
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
解：正方体的体积： 10×10×10=1000（cm3）
圆柱的底面积： 3.14×52 =78.5（cm3）
圆柱的高： 1000 ÷78.5 ≈13（cm）
答：圆柱形零件的高是13厘米。
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
北师大版小学数学六年级下册第一单元
圆柱和圆锥中的典型题
讲解：数学老师
【例1】把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面 积为28.26cm2Байду номын сангаас圆柱形水桶内，水面上升了2cm，这 个圆柱形钢坯的底面积是多少平方厘米？
解：上升的水的体积： 26.26×2=50.24（cm3）
圆锥的底面积： 50.24 ×3÷9=18.84（ cm2）
4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10
20
14
解：长方体的体积： 20×10×4=800（cm3）
圆锥的底面积： 3.14×（14÷2）2 =153.86（cm2）
圆锥的高：
800 ×3 ÷153.86 ≈16（cm）
答：圆锥形零件的高是16厘米。
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