职高复习教案第一轮03三角函数

三角函数一、高考要求：1. 理解正弦、余弦、正切函数的定义,了解余切、正割、余割函数的定义;2. 熟记三角函数在各象限的符号,牢记特殊角的三角函数值. 二、知识要点：1. 终边相同的角:两个角的始边重合,终边也重合时,称两个角为终边相同的角.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合: {360,}S k k Z ββα==+⋅∈.2. 弧度制:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制,用“度”作单位来度量角的制度叫做角度制. 任一已知角α的弧度数的绝对值rα=,其中为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径.3. 弧度与角度的换算:180180,10.01745,1()571857.30.180rad rad rad rad πππ'==≈=≈=1. 任意角三角函数的定义:直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P(x,y),它到原点的距离是r =那么sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x r rr r x y x yααααα======分别是α的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数,这六个函数统称三角函数. 2. 三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3. 特殊角三角函数值:4．同角三角函数的两个基本关系式:22sin cos 1αα+=,tan cos αα=. 1. 下列四个命题中正确的是( )A.第一象限角必是锐角B.锐角必是第一象限角C.终边相同的角必相等D.第二象限角必大于第一象限角 2. 若α、β的终边相同,则αβ-的终边在( )A.x 轴的正半轴上B. y 轴的正半轴上C. x 轴的负半轴上D. y 轴的负半轴上 3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )A.3πB.23π D.21. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限的角,则tan α的值等于( )A.43-B.34-C.34D.431. 已知58πα=,则点P(sin α,tan α)所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若sin α则实数m 的取值范围是( )A.1≤m≤9B.0≤m≤9C.0≤m≤1D.m=1或m=9 3. 函数cos cot sin tan sin cos tan cot x xx x y x x x x=+++的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2,0,4} C.{-2,0,2,4} D.{-4,-2,0,4}4. 已知23cos 4a a θ-=-,θ为第二、三象限的角,则a 的取值范围是 . 5. 已知:1tan 3α=,求221cos 2sin cos 5sin αααα-+的值.6. 已知5sin 12cos 0αα+=,求:sin 9cos 23sin ααα+-的值.诱导公式一、高考要求：掌握诱导公式. 二、知识要点：诱导公式: (一)sin(2)sin k παα+=,cos(2)cos k παα+=,tan(2)tan k παα+=;(二)sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-; (三)sin()sin παα+=-,cos()cos παα+=-,tan()tan παα+=; (四)sin()cos 2παα+=,cos()sin 2παα+=-,tan()cot 2παα+=-. 三、典型例题： 例1:已知1cos()2πα+=-,计算: (1)sin(2)πα-; (2)(21)cot[],2k k Z πα++∈.例2:化简: (1)cos(90)csc(270)tan(180)sec(360)sin(180)cot(90)αααααα+⋅+⋅--⋅+⋅-;(2)3sin(5)cos()tan()tan(2)22ππαπααπα--⋅---⋅-.四、归纳小结：1. 将诱导公式中的α用α-代替,即得到另外几组公式.2. 诱导公式可概括为:,2k k Z πα⋅±∈的各三角函数值,当k 为偶数时,得角α的同名三角函数值;当k为奇数时,得角α相应的余函数值;然后放上把角α看作锐角时的原函数所在象限的符号.即“奇变偶不变,符号看象限”.3. 解题思路是:负角化正角,大角化小角,最后化锐角. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. 100等于( )A.sin10-B.cos10-C.sin10D.cos10 2. 19sin()6π-的值是( )A.12 B.12- C.2 D.2-3. sin 600的值是( )A.12 B.12-C.2D.2-4. 若3cos 5θ=-,且32ππθ<<,则3cot()2πθ-的值是( ) A.34- B.34 C.43- D.435. 若81sin()log 4πα-=,且(,)2παπ∈-,则cot(2)πα-的值是( )A.C.D. 6. 若1cot()3πα+=-,那么3sin()2πα-的值是( ) A.13- B.13D.（二）填空题：7. 某电脑的硬盘在电脑启动后,每3分钟转2000转,则每分钟所转弧度数为20003π,其正弦值2000sin3π= . 8. 2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++= .9. tan1tan 2tan3tan88tan89⋅⋅⋅⋅⋅= .10. 计算4253sincos tan()364πππ-= . （三）解答题： 11.若sin(3)πθ+=,求cos()cos(2)cos [cos()1]cos cos()cos(2)πθθπθπθθπθθπ+-+---+-的值.12. 设3222cos sin (2)sin()32()22cos ()cos()f πθπθθθπθθ+-++-=+++-,求()3f π的值.和角公式一、高考要求：掌握和角公式. 二、知识要点：:sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=和角公式三、典型例题： 例1:化简:222cos 12tan()sin ()44αππαα--+.例2:已知12cos()()61362πππαα-=<<,求cos α.例3:求下列各式的值:(1)cos15sin15cos15sin15-+; (2)tan18tan 423tan18tan 42++;(3) sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8+-.四、归纳小结：要根据公式的形式特点会熟练地进行角的变形,如105=6045+,()ααββ=+-,2()()ααβαβ=++-,2()()βαβαβ=+--,(45)45αα=+-等.五、基础知识训练： （一）选择题：1. sin14cos16sin 76cos74+的值是( )A.12 B.12- C.- D.2. 13cos(),cos ,(0,),(0,)3422ππαββαββ-==-∈∈,则有( ) A.(0,)2πα∈ B.(,)2παπ∈ C.(,0)2πα∈- D.2πα= 3. 化简sin()cos cos()sin A B B B A B -+-的结果应为( )A.1B.cos AC.sin AD.sin cos A B4. 已知44cos(),cos()55αβαβ+=-=-,则cos cos αβ的值是( ) A.0 B.45 C.0或45 D.0或45±5. 在ABC ∆中,35sin ,cos ,cos 513A B C ==的值是( )A.5665或1665B.5665C.1665D.17656.1tan 75tan 45tan 75tan 45-+的值为( )B.-C.13D.13- 7. tan10tan 203(tan10tan 20)++等于( )B.1 8. 设(0,)2παβ∈、,且14tan ,tan 73αβ==,则αβ-等于( ) A.3π B.4πC.34πD.4π-9. 已知543tan ,tan ,(0,),(,)13322ππαβαβπ==∈∈,则sin()αβ+的值是( ) A.6365- B.6365 C.6465D.6465-（二）填空题：10. 计算sin(1665)cos16sin 61sin 29cos 74--⋅+⋅= . 11. 计算sin13cos17sin 77sin(163)--= .12. 计算722sin cos sin sin18999ππππ-= . 13. 147cos ,cos()1751ααβ=+=-,且0,2παβ<<,则cos β= .14. 已知11cos(),cos()35αβαβ+=-=,则tan tan αβ的值是 .15. 如果123cos ,(,)132πθθπ=-∈,那么cos()4πθ+的值等于 .16. （三）解答题： 17. 已知324ππβα<<<,123cos(),sin()135αβαβ-=+=-,求sin 2α的值.18. 已知12cos(),sin()2923βααβ-=--=,且,022ππαπβ<<<<,求cos2αβ+.倍角公式一、高考要求：掌握倍角公式. 二、知识要点：22222:sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 112sin ,2tan tan 21tan ααααααααααα==-=-=-=-倍角公式 三、典型例题： 例1:已知sin :sin 8:52αα=,求值:(1)cos α; (2)cot4α.四、归纳小结：掌握二倍角公式的变形:221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==,2222222222sin cos 2tan cos sin 1tan sin 2,cos 2cos sin 1tan cos sin 1tan αααααααααααααα--====++++. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (96高职)如果02πα<<,的最简结果是( )A.2sin2αB.2cos2αC.2sin2α- D.2cos2α-2. 已知:(,2)αππ∈,那么cos2α的值等于( )A. B. C. 3. 44cos sin αα-化简的结果是( )A.sin 2αB.cos2αC.2sin 2αD.2cos2α4. 一个等腰三角形的顶角的正弦值为2425,则它的底角的余弦值为( ) A.35 B.45 C.45± D.35或455. 已知(tan )cos 2f x x =,则f 的值等于( ) A.12 B.12- C.2 D.-2 6. 设2132tan131cos50cos 6sin 6,,221tan 13a b c -=-==+,则有( ) A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a （二）填空题：7. 已知tan ,tan αβ是方程27810x x -+=的两根,则tan 2αβ+= .8. 已知tan()34πα+=,则2sin 22cos αα-的值是 .9. 已知1sin 2x =,则sin 2()4x π-= . （三）解答题：10. 若2tan 3tan αβ=,证明:5sin 2tan()5cos 21βαββ+=-.11. 证明下列恒等式:(1)3sin33sin 4sin θθθ=-; (2)3cos34cos 3cos θθθ=-;12. 已知:αβ、为锐角,且223sin 2sin 1,3sin 22sin 20αβαβ+=-=,求证:22παβ+=.三角函数的图象和性质一、高考要求：1. 熟练掌握正弦函数的的图象和性质,了解余弦、正切函数函数的图象和性质;2. 理解周期函数与最小正周期的意义;3. 掌握正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质;4. 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数、正弦型函数的简图. 二、知识要点：1. 周期函数的概念:如果存在一个不为零的常数T,使函数()y f x =,当x 取定义域内的每一个值时,()()f x T f x +=都成立,就把()y f x =叫做周期函数,其中常数T 叫做周期.如果一个周期函数的所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫做最小正周期.一般所说三角函数的周期就是它的最小正周期. 2. 三角函数的图象和性质:sin y x = cos y x = tan y x = cot y x =sin ,[0,2]y x x π=∈cos ,[0,2]y x x π=∈tan ,(,)22y x x ππ=∈-cot ,(0,)y x x π=∈3.正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕϕ=+>>的图象和主要性质:定义域:R;值域:[-A,A];最大值是A,最小值是-A;周期:2T πω=.它的图象,可通过把函数sin y x =的图象,沿x 轴或y 轴进行压缩或伸长,或沿x 轴平移而得到.4. 用“五点法”作正弦函数、余弦函数、正弦型函数的图象:关键在于选出五个点:5. 可化为正弦型函数的函数sin cos y a x b x =+(a 、b 是不同时为零的实数)的解法: 设cos θθ==则sin cos )sin sin cos ))y a x b x x x x x x θθθ=+==+=+三、典型例题：例1:求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域.例2:已知函数3sin(2)3y x π=+,(1) 用五点法作出该函数的简图(坐标系的长度单位用1cm 表示,并写出作图简要说明);(2) 求该函数的周期、最值、单调区间;(3) 说明该函数是通过sin y x =的图象作怎样的变换得到的?四、归纳小结：1.解决非正弦函数、余弦函数、正弦型函数这三种形式的函数问题,要先通过诱导公式、同角三角函数的基本关系式、和角公式、倍角公式等变形为这三种形式.2.函数图象的变化规律:(1)sin y x =的图象向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕ个单位得到sin()y x ϕ=+的图象;(2)sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(1)ω<到原来的1ω倍(纵坐标不变)得到sin y x ω=的图象;(3)sin y x =的图象上所有点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(1)A <到原来的A 倍(横坐标不变)得到sin y A x =的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 函数y=sinx+cosx 的周期是( )A.2πB.πC.2π D.4π 2. (已知(,)42ππα∈,且sin ,cos ,tan a b c ααα===,则a 、b 、c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.b<c< a C.c>a>b D.c>b>a3. (函数y=3sin2x-4cos2x 的周期与最小值是( )A.π;-5B.π;-7C.2π;-5D.2π;-74. 下列命题: 其中正确的是( )①函数sin y x =在区间(,)2ππ内是增函数; ②函数tan y x =在区间3(,)2ππ内是增函数;③函数ln y x =在区间(0,)+∞内是减函数; ④函数2x y -=在区间(,0)-∞内是减函数.A.①③B.②④C.①②D.③④5. 若αβ、为锐角,且cos sin αβ>,则下列关系式成立的是( )A.αβ<B.αβ>C.2παβ+< D.2παβ+>6. 函数2sin()4y x π=+在[0,2]π上的单调递减区间是( )A.5[,]44ππB.3[,]22ππC.37[,]44ππD.5[,2]4ππ7. 函数sin(2)y x =-的单调递增区间是( )A.3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈ B.3[2,2]()44k k k Z ππππ++∈C. [2,32]()k k k Z ππππ++∈D.3[,]()44k k k Z ππππ++∈8. 设θ是锐角,则的值可能是( )A.43 B.58 C.34 D.19. 函数cos()43ky x π=+的周期不大于2,则正整数k 的最小值应是( )A.10B.11C.12D.1310. 2sin y x =是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数11. 函数sin cos y x x =+的一个对称中心是( )A.(4πB.5(,4πC.(,0)4π- D.(,1)2π12. 由函数1sin 22y x =的图象得到函数1cos(2)26y x π=-的图象的原因是原函数图象() A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移3π个单位D.向右平移6π个单位13. 在下列函数中,以2π为周期的函数是( )。