求概率(列举法)
25.2 用列举法求概率
教师： 教师：刘慧 乌苏市头台乡中心学校
复习引入
必然事件； 必然事件； 在一定条件下必然发生的事件， 在一定条件下必然发生的事件， 不可能事件； 不可能事件； 在一定条件下不可能发生的事件 随机事件； 随机事件； 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件， 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件， •事件 发生的频率 事件A发生的频率 事件 发生的频率m/n接近于某个常 接近于某个常 2.概率的定义 概率的定义 事件A的 数，这时就把这个常数叫做事件 的 概率，记作P（ ） 概率，记作 （A）.
当一次试验涉及两个因素时，且可能 出现的结果较多时， 出现的结果较多时，为不重复不遗漏地 列出所有可能的结果， 列出所有可能的结果，通常用列表法
个因素或3个以上 当一次试验涉及3个因素或 个以上 个因素或 列表法就不方便了， 的因素时，列表法就不方便了，为不 重复不遗漏地列出所有可能的结果， 重复不遗漏地列出所有可能的结果， 通常用 通常用树形图
所有可能出现的结果: 所有可能出现的结果
（正、正） （正、反） （反、正） （反、反）
解(1)所用的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上 (1)所用的结果中， 所用的结果中 记为事件A 的结果只有一个， 正正” （记为事件A）的结果只有一个，即“正正”，所以 1 4 (2)满足两枚硬币全部反面朝上 记为事件B 满足两枚硬币全部反面朝上（ (2)满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B） 的结果只有一个， 反反” 的结果只有一个，即“反反”，所以 1 4 (3)满足一枚硬币正面朝上 满足一枚硬币正面朝上， (3)满足一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上 记为事件C 的结果共有2 正反” 反正” （记为事件C）的结果共有2个，即“正反” “反正” 所以
例2：抛掷一枚均匀的硬币 次，2次抛掷的结果都是正面朝 ：抛掷一枚均匀的硬币2次 次抛掷的结果都是正面朝 上的概率有多大？ 上的概率有多大？ (1)两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上； 两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上； 两枚硬币全部正面朝上 两枚硬币全部反面朝上 (3)一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上. (3)一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上 一枚硬币正面朝上
3 4 5 6
改动后所有可能出现的结 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 果没有变化
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
列表法。 列表法。
第 第 一次 二次
2、如果把上一个例题中的 、 1 2 3 4 5 6 同时掷两个骰子”改为“ “同时掷两个骰子”改为“把 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 一个骰子掷两次”，所有可能 一个骰子掷两次” 出现的结果有变化吗？ 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 出现的结果有变化吗？
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6
记为事件B）的结果有4个 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) （记为事件 ）的结果有 个，则
4 P（B）= （ ） (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 36
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) P（C）= （ ） (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
P(A)=
P(B)=
P(C)=
1 2
口袋中一红三黑共4个小球， 口袋中一红三黑共 个小球，一次从中取出 个小球 两个小球， 取出的小球都是黑球” 两个小球，求 “取出的小球都是黑球”的概 直接列举 率
解：一次从口袋中取出两个小球时， 所有可能出现的 一次从口袋中取出两个小球时， 结果共6个 结果共 个，即 ）（红 ）（红 （红，黑1）（红，黑2）（红，黑3） ）（ ）（ ） ）（黑 ， ）（黑 ， （黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， ）（ ）（ ） 且它们出现的可能性相等。 且它们出现的可能性相等。 满足取出的小球都是黑球（记为事件 ）的结果有3个 满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有 个， ）（黑 ， ）（黑 ， 即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则 ， ）（ ）（ ） 3 1 P（A）= = （ ） 6 2
列举法就是把要数的对象一一列举出来分
析求解的方法． 析求解的方法．
区有8格 个雷 个雷， 如图： 解：A区有 格3个雷， 区有 例1.如图：计算机扫 如图 遇雷的概率为3/8， 雷游戏， 遇雷的概率为 ， 雷游戏，在9×9个小 × 个小 B区有 ×9-9=72个小方格， 方格中，随机埋藏着 区有9× 个小方格， 方格中， 区有 个小方格 10个地雷，每个小方 个地雷， 个地雷 还有10-3=7个地雷， 个地雷， 还有 个地雷 格只有1个地雷，，小 个地雷，， 格只有 个地雷，，小 由于3/8大于 大于7/72， 由于 大于 ， 王开始随机踩一个小 所以第二步应踩B区 所以第二步应踩 区 遇到地雷的概率为7/72， 方格，标号为3， 遇到地雷的概率为7/72， 方格，标号为3，在3 的周围的正方形中有3 的周围的正方形中有 个地雷， 个地雷，我们把他的 去域记为A区 去域记为 区，A区外 区外 记为B区，，下一步 记为 区，，下一步 小王应该踩在A区还 小王应该踩在 区还 是B区？ 区
12
12
6
想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图” 想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便
第 第 一 个 二个
1
2
3
4
5
6
C H I H
A D I H E I H C I HB D I Hຫໍສະໝຸດ E I1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) A A A A A A B B B B B B (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) C C D D E E C C D D E E H I H I H I H I H I H I (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 必然事件的概率是 ，不可能事件的概率是
问题1.掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 问题 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 掷一枚硬币
正反面向上2种可能性相等 正反面向上 种可能性相等
问题2.抛掷一个骰子， 问题 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几 抛掷一个骰子 种可能？ 种可能？ 6种等可能的结果 种等可能的结果 问题3.从分别标有 问题 从分别标有1.2.3.4.5.的5根纸签中随机抽 的 根纸签中随机抽 从分别标有 取一根，抽出的签上的标号有几种可能？ 取一根，抽出的签上的标号有几种可能？ 5种等可能的结果。 种等可能的结果。 种等可能的结果
甲口袋中装有2个相同的小球 例4.甲口袋中装有 个相同的小球，它们分别写有字 甲口袋中装有 个相同的小球， 个相同的小球， 母A和B； 乙口袋中装有 个相同的小球，它们分 和 ； 乙口袋中装有3个相同的小球 别写有字母C、 和 ；丙口袋中装有2个相同的小球 个相同的小球， 别写有字母 、D和E；丙口袋中装有 个相同的小球， 它们分别写有字母H和 。 它们分别写有字母 和I。 个口袋中各随机地取出1个小球 从3个口袋中各随机地取出 个小球。 个口袋中各随机地取出 个小球。 （1）取出的 个小球上恰好有 个、2个和 个元音字 个小球上恰好有1个 个和3个元音字 ）取出的3个小球上恰好有 个和 母的概率分别是多少？ 母的概率分别是多少？ 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ （2）取出的 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ ）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少
第 第 一个 二个
解：由列表得，同时掷两个骰子， 由列表得，同时掷两个骰子， 可能出现的结果有36个 可能出现的结果有 个，它们出现 的可能性相等。 的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同（记 ）满足两个骰子的点数相同（ 为事件A）的结果有6个 为事件 ）的结果有 个，则
6 1 P（A）= = （ ） 36 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) （2）满足两个骰子的点数之和是 ）满足两个骰子的点数之和是9
同时掷两个质地均匀的骰子， 例3. 同时掷两个质地均匀的骰子，计算 下列事件的概率： 下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 ） （2）两个骰子的点数之和是 ）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2 ）至少有一个骰子的点数为
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 ） （2）两个骰子的点数之和是 ）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为 ）至少有一个骰子的点数为2
甲
A C I H D I H E I H C I H
B D I H
解：由树形图得，所有可能出现的 由树形图得， 结果有12个 结果有 个，它们出现的可能性相 等。 ） E （1）满足只有一个元音字母的结果 5 有5个，则 P（一个元音）= 个 （一个元音）
乙
丙 H
满足只有两个元音字母的结果有4个 满足只有两个元音字母的结果有 个， 4 1 I 则 P（两个元音）= = （两个元音） 12 3 A A A A A A B B B B B B 满足三个全部为元音字母的结果有1 满足三个全部为元音字母的结果有 C C D D E E C C D D E E 1 个，则 P（三个元音）= （三个元音） H I H I H I H I H I H I 12 （2）满足全是辅音字母的结果有 ）满足全是辅音字母的结果有2 个，则 P（三个辅音）= 2 = 1 （三个辅音）
教师： 教师：刘慧 乌苏市头台乡中心学校
复习引入
必然事件； 必然事件； 在一定条件下必然发生的事件， 在一定条件下必然发生的事件， 不可能事件； 不可能事件； 在一定条件下不可能发生的事件 随机事件； 随机事件； 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件， 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件， •事件 发生的频率 事件A发生的频率 事件 发生的频率m/n接近于某个常 接近于某个常 2.概率的定义 概率的定义 事件A的 数，这时就把这个常数叫做事件 的 概率，记作P（ ） 概率，记作 （A）.
当一次试验涉及两个因素时，且可能 出现的结果较多时， 出现的结果较多时，为不重复不遗漏地 列出所有可能的结果， 列出所有可能的结果，通常用列表法
个因素或3个以上 当一次试验涉及3个因素或 个以上 个因素或 列表法就不方便了， 的因素时，列表法就不方便了，为不 重复不遗漏地列出所有可能的结果， 重复不遗漏地列出所有可能的结果， 通常用 通常用树形图
所有可能出现的结果: 所有可能出现的结果
（正、正） （正、反） （反、正） （反、反）
解(1)所用的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上 (1)所用的结果中， 所用的结果中 记为事件A 的结果只有一个， 正正” （记为事件A）的结果只有一个，即“正正”，所以 1 4 (2)满足两枚硬币全部反面朝上 记为事件B 满足两枚硬币全部反面朝上（ (2)满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B） 的结果只有一个， 反反” 的结果只有一个，即“反反”，所以 1 4 (3)满足一枚硬币正面朝上 满足一枚硬币正面朝上， (3)满足一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上 记为事件C 的结果共有2 正反” 反正” （记为事件C）的结果共有2个，即“正反” “反正” 所以
例2：抛掷一枚均匀的硬币 次，2次抛掷的结果都是正面朝 ：抛掷一枚均匀的硬币2次 次抛掷的结果都是正面朝 上的概率有多大？ 上的概率有多大？ (1)两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上； 两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上； 两枚硬币全部正面朝上 两枚硬币全部反面朝上 (3)一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上. (3)一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上 一枚硬币正面朝上
3 4 5 6
改动后所有可能出现的结 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 果没有变化
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
列表法。 列表法。
第 第 一次 二次
2、如果把上一个例题中的 、 1 2 3 4 5 6 同时掷两个骰子”改为“ “同时掷两个骰子”改为“把 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 一个骰子掷两次”，所有可能 一个骰子掷两次” 出现的结果有变化吗？ 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 出现的结果有变化吗？
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记为事件B）的结果有4个 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) （记为事件 ）的结果有 个，则
4 P（B）= （ ） (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 36
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) P（C）= （ ） (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
P(A)=
P(B)=
P(C)=
1 2
口袋中一红三黑共4个小球， 口袋中一红三黑共 个小球，一次从中取出 个小球 两个小球， 取出的小球都是黑球” 两个小球，求 “取出的小球都是黑球”的概 直接列举 率
解：一次从口袋中取出两个小球时， 所有可能出现的 一次从口袋中取出两个小球时， 结果共6个 结果共 个，即 ）（红 ）（红 （红，黑1）（红，黑2）（红，黑3） ）（ ）（ ） ）（黑 ， ）（黑 ， （黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， ）（ ）（ ） 且它们出现的可能性相等。 且它们出现的可能性相等。 满足取出的小球都是黑球（记为事件 ）的结果有3个 满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有 个， ）（黑 ， ）（黑 ， 即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则 ， ）（ ）（ ） 3 1 P（A）= = （ ） 6 2
列举法就是把要数的对象一一列举出来分
析求解的方法． 析求解的方法．
区有8格 个雷 个雷， 如图： 解：A区有 格3个雷， 区有 例1.如图：计算机扫 如图 遇雷的概率为3/8， 雷游戏， 遇雷的概率为 ， 雷游戏，在9×9个小 × 个小 B区有 ×9-9=72个小方格， 方格中，随机埋藏着 区有9× 个小方格， 方格中， 区有 个小方格 10个地雷，每个小方 个地雷， 个地雷 还有10-3=7个地雷， 个地雷， 还有 个地雷 格只有1个地雷，，小 个地雷，， 格只有 个地雷，，小 由于3/8大于 大于7/72， 由于 大于 ， 王开始随机踩一个小 所以第二步应踩B区 所以第二步应踩 区 遇到地雷的概率为7/72， 方格，标号为3， 遇到地雷的概率为7/72， 方格，标号为3，在3 的周围的正方形中有3 的周围的正方形中有 个地雷， 个地雷，我们把他的 去域记为A区 去域记为 区，A区外 区外 记为B区，，下一步 记为 区，，下一步 小王应该踩在A区还 小王应该踩在 区还 是B区？ 区
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想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图” 想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便
第 第 一 个 二个
1
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3
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C H I H
A D I H E I H C I HB D I Hຫໍສະໝຸດ E I1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) A A A A A A B B B B B B (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) C C D D E E C C D D E E H I H I H I H I H I H I (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 必然事件的概率是 ，不可能事件的概率是
问题1.掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 问题 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 掷一枚硬币
正反面向上2种可能性相等 正反面向上 种可能性相等
问题2.抛掷一个骰子， 问题 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几 抛掷一个骰子 种可能？ 种可能？ 6种等可能的结果 种等可能的结果 问题3.从分别标有 问题 从分别标有1.2.3.4.5.的5根纸签中随机抽 的 根纸签中随机抽 从分别标有 取一根，抽出的签上的标号有几种可能？ 取一根，抽出的签上的标号有几种可能？ 5种等可能的结果。 种等可能的结果。 种等可能的结果
甲口袋中装有2个相同的小球 例4.甲口袋中装有 个相同的小球，它们分别写有字 甲口袋中装有 个相同的小球， 个相同的小球， 母A和B； 乙口袋中装有 个相同的小球，它们分 和 ； 乙口袋中装有3个相同的小球 别写有字母C、 和 ；丙口袋中装有2个相同的小球 个相同的小球， 别写有字母 、D和E；丙口袋中装有 个相同的小球， 它们分别写有字母H和 。 它们分别写有字母 和I。 个口袋中各随机地取出1个小球 从3个口袋中各随机地取出 个小球。 个口袋中各随机地取出 个小球。 （1）取出的 个小球上恰好有 个、2个和 个元音字 个小球上恰好有1个 个和3个元音字 ）取出的3个小球上恰好有 个和 母的概率分别是多少？ 母的概率分别是多少？ 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ （2）取出的 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ ）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少
第 第 一个 二个
解：由列表得，同时掷两个骰子， 由列表得，同时掷两个骰子， 可能出现的结果有36个 可能出现的结果有 个，它们出现 的可能性相等。 的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同（记 ）满足两个骰子的点数相同（ 为事件A）的结果有6个 为事件 ）的结果有 个，则
6 1 P（A）= = （ ） 36 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) （2）满足两个骰子的点数之和是 ）满足两个骰子的点数之和是9
同时掷两个质地均匀的骰子， 例3. 同时掷两个质地均匀的骰子，计算 下列事件的概率： 下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 ） （2）两个骰子的点数之和是 ）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2 ）至少有一个骰子的点数为
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 ） （2）两个骰子的点数之和是 ）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为 ）至少有一个骰子的点数为2
甲
A C I H D I H E I H C I H
B D I H
解：由树形图得，所有可能出现的 由树形图得， 结果有12个 结果有 个，它们出现的可能性相 等。 ） E （1）满足只有一个元音字母的结果 5 有5个，则 P（一个元音）= 个 （一个元音）
乙
丙 H
满足只有两个元音字母的结果有4个 满足只有两个元音字母的结果有 个， 4 1 I 则 P（两个元音）= = （两个元音） 12 3 A A A A A A B B B B B B 满足三个全部为元音字母的结果有1 满足三个全部为元音字母的结果有 C C D D E E C C D D E E 1 个，则 P（三个元音）= （三个元音） H I H I H I H I H I H I 12 （2）满足全是辅音字母的结果有 ）满足全是辅音字母的结果有2 个，则 P（三个辅音）= 2 = 1 （三个辅音）
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用列举法求概率
出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少?
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
用列举法求概率
第 第 一个 二个
解：由列表得，同时掷两个骰子， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同（记 为事件A）的结果有6个，则
6 1 P（A）= = 36 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) （2）满足两个骰子的点数之和是 9
巩固练习
1. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率： （1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左 左 直 右 左 直 直 右 左 右 直 右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 左 左 左 左 左 左 左 左直 直 直直 直 直 直 直 直 右 右 右右 右 右 右 右 右 左 左 左 直 直 直 右 右 右左 左 左直 直 直 右 右 右 左 左 左直 直 直 右 右 右 左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
用列举法求概率
例题2
例2：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2
用列举法求概率
例题2
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
A
正
反
B
正
反
(正,正)
(反,正)
(正,反)
(反,反)
总共4种结果,每种结果出现的可能性相同.
解：由列表得，同时掷两个骰子， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同（记 为事件A）的结果有6个，则
6 1 P（A）= = 36 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) （2）满足两个骰子的点数之和是 9
巩固练习
1. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率： （1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左 左 直 右 左 直 直 右 左 右 直 右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 左 左 左 左 左 左 左 左直 直 直直 直 直 直 直 直 右 右 右右 右 右 右 右 右 左 左 左 直 直 直 右 右 右左 左 左直 直 直 右 右 右 左 左 左直 直 直 右 右 右 左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
用列举法求概率
例题2
例2：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2
用列举法求概率
例题2
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
A
正
反
B
正
反
(正,正)
(反,正)
(正,反)
(反,反)
总共4种结果,每种结果出现的可能性相同.
用列举法求概率
用列举法求概率
列举法是一种基于所有可能性的方法，用于求解概率。
对于一个随机试验，可以通过列举出所有可能的结果，然后计算感兴趣事件发生的次数，再除以总的可能性数目来计算概率。
以下是使用列举法求解概率的步骤：
1.确定随机试验的所有可能结果。
这些结果应该是互不相同
且穷尽的。
2.计算感兴趣事件发生的次数。
根据实际情况，确定符合感
兴趣条件的结果个数。
3.计算总的可能性数目。
确定随机试验的总结果数目。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) 计算概率。
其中，P(A)表示感兴
趣事件发生的概率，n(A)表示感兴趣事件发生的次数，n(S)表示总的可能性数目。
例如，考虑一枚标准硬币的抛掷，求得正面向上的概率。
1.所有可能的结果是正面向上和反面向上。
2.感兴趣事件是正面向上。
3.总的可能性数目是2。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) ，其中 n(A) = 1（因为正面向上
只有一种可能），n(S) = 2。
P(正面向上) = 1 / 2 = 0.5
因此，得到正面向上的概率为0.5或50%。
使用列举法求解概率可以简单直观地计算概率，尤其适用于样
本空间较小且结果可列举的情况。
然而，对于复杂的问题或较大的样本空间，列举法可能不切实际，此时可以选择其他概率计算方法，如频率法或概率模型。
25.2 用列举法求概率 课件(共38张ppt)
堆牌,分别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小 明建议:”我从红桃中抽取一张牌,你从黑 桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时 ，你得1分，为偶数我得1分,先得到10分 的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这 个游戏的规则吗?
这个游戏对小亮和小明公 平吗？怎样才算公平 ? 你能求出小亮得分的概率吗?
共有12种不同结果，每 种结果出现的可能性相 同，其中数字和为偶数 的有 6 种
∴P（数字和为偶数） 6 1 = 12 2
3．运用新知
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计 算下列事件的概率： （1）两枚骰子的点数相同； （2）两枚骰子点数的和是 9； （3）至少有一枚骰子的点数为 2．
思考1:小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两
解：根据题意，画出如下树形图： 1 2 3 4 第一个
第二个
5
6
123456 123456 123456 123456 123456 123456 （1）P(两次骰子的点数相同)= 6 1
36 6 （2）P(两次骰子的点数和为9)= 4 1 36 911 （3）P(至少有一次骰子的点数为3)= 36
第1枚 第2枚
1
1
2
3
4
5
6
（ 1， 1） （ 2， 1） （ 3， 1） （ 4， 1） （ 5， 1） （ 6 ， 1）
2
3 4 5 6
（ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） （ 4， 2） （ 5， 2） （ 6 ， 2）
（ 1， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 4， 3） （ 5， 3） （ 6 ， 3） （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） （ 4， 4） （ 5， 4） （ 6 ， 4） （ 1， 5） （ 2， 5） （ 3， 5） （ 4， 5） （ 5， 5） （ 6 ， 5） （ 1， 6） （ 2， 6） （ 3， 6） （ 4， 6） （ 5， 6） （ 6 ， 6）
这个游戏对小亮和小明公 平吗？怎样才算公平 ? 你能求出小亮得分的概率吗?
共有12种不同结果，每 种结果出现的可能性相 同，其中数字和为偶数 的有 6 种
∴P（数字和为偶数） 6 1 = 12 2
3．运用新知
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计 算下列事件的概率： （1）两枚骰子的点数相同； （2）两枚骰子点数的和是 9； （3）至少有一枚骰子的点数为 2．
思考1:小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两
解：根据题意，画出如下树形图： 1 2 3 4 第一个
第二个
5
6
123456 123456 123456 123456 123456 123456 （1）P(两次骰子的点数相同)= 6 1
36 6 （2）P(两次骰子的点数和为9)= 4 1 36 911 （3）P(至少有一次骰子的点数为3)= 36
第1枚 第2枚
1
1
2
3
4
5
6
（ 1， 1） （ 2， 1） （ 3， 1） （ 4， 1） （ 5， 1） （ 6 ， 1）
2
3 4 5 6
（ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） （ 4， 2） （ 5， 2） （ 6 ， 2）
（ 1， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 4， 3） （ 5， 3） （ 6 ， 3） （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） （ 4， 4） （ 5， 4） （ 6 ， 4） （ 1， 5） （ 2， 5） （ 3， 5） （ 4， 5） （ 5， 5） （ 6 ， 5） （ 1， 6） （ 2， 6） （ 3， 6） （ 4， 6） （ 5， 6） （ 6 ， 6）
用列举法求概率
用列举法求概率在概率论中，列举法是一种常用的求解事件概率的方法。
该方法的核心思想是通过列举事件的可能出现情况并计算这些情况的频率，来推断事件出现的概率。
下面将通过一个例子详细说明如何使用列举法来计算概率。
例子假设一家公司有5个员工，其中3个是男性，2个是女性。
现在从这5个员工中随机选择1个人，求该人是男性的概率。
首先，我们列举可能的情况，即从5个人中选择1个人，共有5种可能：1.选择第1个员工，是男性2.选择第2个员工，是男性3.选择第3个员工，是男性4.选择第4个员工，是女性5.选择第5个员工，是女性接下来，我们计算每种情况的概率。
1.选择第1个员工，是男性的概率为3/52.选择第2个员工，是男性的概率为3/53.选择第3个员工，是男性的概率为3/54.选择第4个员工，是女性的概率为2/55.选择第5个员工，是女性的概率为2/5最后，根据概率的定义，该人是男性的概率为选择男性的情况数除以所有情况数，即3/5，约为0.6。
通过以上例子，我们可以看出，列举法是一种非常简单有效的求解事件概率的方法。
对于一些简单的问题，我们可以通过列举可能的情况并计算概率来快速得出答案。
当然，在实际应用中，我们也需要注意一些问题，比如是否考虑了所有可能的情况、每种情况的概率是否正确等。
只有在全面准确考虑了所有问题，我们才能得出可靠的概率结果。
最后，需要注意的是，在更加复杂的情况下，列举法可能不能很好地处理问题，此时我们可以尝试其他方法，比如概率公式法、贝叶斯法等。
掌握各种求解概率的方法，可以让我们更加准确、高效地解决问题。
25.2用列举法求概率--上课用
2.小王将一黑一白的两双相同号码的袜子一只一只
地扔进抽屉里，当他随意地从抽屉里拿出两只袜子时，恰
好成双的概率是多少？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
思考：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两
次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结
果一样吗？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变 化吗？为什么?
思考：如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
2.在一个不透明的布袋中有4个完全相同的乒乓球， 把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个乒乓球，
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
练习3.有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着
1,2,3,4,5,6.随机抽取1张后,放回并混在一起,再随机抽
取1张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字
的概率是多少?
三.课堂小结：
1.用列表法求概率时要注意些什么? 2.什么时候用列表法?
反思：用列表法求概率 1.步骤： ①列表：分清一次试验所涉及的两个因素，一个为横行， 一个为竖行，制作表格；
②计数：通过表格中的数据，分别求出某事件发生的数量
m与该试验的结果总数m的值；
③计算：利用概率公式
2.适用条件：
P ( A)
m n
计算出事件的概率．
如果事件中各种结果出现的可能性均等，含有两次操作 (如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件．
练习3.在一个不透明的口袋中装有红球2个，黑球2
地扔进抽屉里，当他随意地从抽屉里拿出两只袜子时，恰
好成双的概率是多少？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
思考：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两
次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结
果一样吗？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变 化吗？为什么?
思考：如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
2.在一个不透明的布袋中有4个完全相同的乒乓球， 把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个乒乓球，
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
练习3.有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着
1,2,3,4,5,6.随机抽取1张后,放回并混在一起,再随机抽
取1张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字
的概率是多少?
三.课堂小结：
1.用列表法求概率时要注意些什么? 2.什么时候用列表法?
反思：用列表法求概率 1.步骤： ①列表：分清一次试验所涉及的两个因素，一个为横行， 一个为竖行，制作表格；
②计数：通过表格中的数据，分别求出某事件发生的数量
m与该试验的结果总数m的值；
③计算：利用概率公式
2.适用条件：
P ( A)
m n
计算出事件的概率．
如果事件中各种结果出现的可能性均等，含有两次操作 (如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件．
练习3.在一个不透明的口袋中装有红球2个，黑球2
列表法求概率课件
首先需要列出试验中所有可能的结果 。
将所有结果的概率相加，得到总概率 。
计算每个结果的概率
根据每个结果的等可能性和试验的限 制条件，计算每个结果的概率。
03
CATALOGUE
列表法求概率的实例
抛硬币实验
总结词：简单直观
详细描述：抛硬币实验是一种常见的概率实验，通过抛硬币的方式，我们可以观 察到正面和反面的出现情况，并利用列表法计算出概率。
06
CATALOGUE
总结与展望
概率计算的重要性
概率计算是决策分析的基础
概率计算在决策分析中扮演着重要的角色，它可以帮助我 们评估各种可能性的发生概率，从而做出更明智的决策。
概率计算在统计学中的应用
在统计学中，概率计算是不可或缺的一部分。通过概率计 算，我们可以对数据进行更深入的分析，从而得出更准确 的结论。
概率计算在金融领域的应用
在金融领域，概率计算被广泛应用于风险评估和投资决策 。通过计算各种可能性的发生概率，投资者可以更好地评 估潜在的风险和回报。
列表法的应用前景
列表法在概率计算中的优势
列表法是一种简单而直观的概率计算方法，它通过列出所有可能的结果和相应的概率来计 算事件的概率。这种方法适用于一些简单的情况，但对于复杂的问题，可能需要更高级的 方法。
列表法求概率课 件
目 录
• 概率的基本概念 • 列表法求概率 • 列表法求概率的实例 • 列表法与其他方法的比较 • 列表法的优缺点 • 总结与展望
01
CATALOGUE
概率的基本概念
概率的定义
概率
表示随机事件发生的可能性大小 的数值，记作P(A)。
概率的取值范围
0≤P(A)≤1，其中P(A)=0表示事 件A不可能发生，P(A)=1表示事 件A必然发生。
用列表法求概率课件课件(共22张PPT)
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子的点数和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
两枚骰子分别记为第一枚和第二枚，列表如下
第一枚
1
第二枚
1
(1,1)
2
3
4
5
6
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
球，记下标号. 若两次取的乒乓球标号之和为 4，小林赢；若标号之和为
5，小华赢. 请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
解：列表得：
第一个
将“标号之和为 4”记
第二个
1
1
2
3
4
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
一列出.
【注意】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两
步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
思考
“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后抛掷一枚质地均匀的硬币”，
这两种试验的所有可能结果一样吗？
分步思考：(1)在第一枚为正面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况；
(2)第一枚为反面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况. 所有的结果共
2 1
即“正正”“反反”,所以P(A)= 4 2
（2）一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上(记为事件C)有2种结果；
（2）两枚骰子的点数和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
两枚骰子分别记为第一枚和第二枚，列表如下
第一枚
1
第二枚
1
(1,1)
2
3
4
5
6
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
球，记下标号. 若两次取的乒乓球标号之和为 4，小林赢；若标号之和为
5，小华赢. 请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
解：列表得：
第一个
将“标号之和为 4”记
第二个
1
1
2
3
4
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
一列出.
【注意】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两
步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
思考
“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后抛掷一枚质地均匀的硬币”，
这两种试验的所有可能结果一样吗？
分步思考：(1)在第一枚为正面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况；
(2)第一枚为反面的情况下第二枚硬币有正、反两种情况. 所有的结果共
2 1
即“正正”“反反”,所以P(A)= 4 2
（2）一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上(记为事件C)有2种结果；
初二数学下册：概率类问题3大解题方法
初二数学下册：概率类问题3大解题方法
概率计算
概率计算是全国中考的高频考点，三大题型都会考查，且在解答题中多数会涉及游戏公平性问题，下面王老师带大家聊聊一般情形下的概率计算方法（如下图所示）：
方法一：列举法
1.列表：适用于一步概率计算
例1一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为____．
1/4【解析】由于袋子不透明,且小球都是相同的,因此每次摸球摸到每一个球的概率均相同，列表如下:
从表格中发现,共有16种等可能的结果且其中两次白色一共出现了4次，所以两次摸出的小球都是白色的概率为
2.画树状（形）图：适用于两步及以上概率计算
例2在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（）
方法二：频率估计概率
例3林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为____．
方法三：几何面积概型
例4如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的，若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为____．
应用：游戏公平性问题
例5一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，
规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．
end。
列举法求概率
6 8 A 1 4 7 B 5
探究活动2
解：在表格里列举为
解：拔动两个转盘的可能结果在表格里列举 出来的可能性共有九个． 事件A盘胜的可能性有（6，4）、（6，5）、 （8，4）、（8，5）、（8，7），共五个； 事件B盘胜的可能性有（1，4）、（1，5）、 （1，7）、（6，7），共四个；
5 P（A盘胜）＝ 9
探究活动3
同时掷两个质地均匀的骰子活动，
1、两个骰子的点数相同的概率． 2、两个骰子点数的和是9的概率． 3、至少有一个骰子点数为2的概率．
解：由列表法列举得
事件掷两个骰子发生的可能性共有36个
1、两个骰子的点数相同发生的可能性共有6个
6 1 P（两个骰子的点数相同）＝ ＝ 6 36
2、两个骰子点数的和是9发生的可能性共有4个
１ 个
．
P（向上的面点数是2）＝ 6
1、在九（5）班计算概率中，有一道练习题有部分的 同学是这样做的： 掷两枚硬币，求两枚硬币全部正面向上的概率？ 解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正反，反反， 共3个；
事件两枚硬币全部正面向上发生的可能有1个；
1 P（两枚硬币全部正面向上）＝ 3
探究
这道题解题过程和结果对不对？如果不 对，错在哪里？并把其改正。
正确解题
解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正 反，反正，反反，共4个； 事件两枚硬币全部正面向上发生的可能 有1个； P（两枚硬币全部正面向上）＝ 1
4
有一个游戏活动，两名同学分别拔动A、 B两个转盘，使之转动，指针指数大的一方 为获胜者，。 由于两个转盘上的数字不同，如果你上 来，你会选哪一个转盘？说说你的理由
4 1 6 7
3
2
9
8
练习
探究活动2
解：在表格里列举为
解：拔动两个转盘的可能结果在表格里列举 出来的可能性共有九个． 事件A盘胜的可能性有（6，4）、（6，5）、 （8，4）、（8，5）、（8，7），共五个； 事件B盘胜的可能性有（1，4）、（1，5）、 （1，7）、（6，7），共四个；
5 P（A盘胜）＝ 9
探究活动3
同时掷两个质地均匀的骰子活动，
1、两个骰子的点数相同的概率． 2、两个骰子点数的和是9的概率． 3、至少有一个骰子点数为2的概率．
解：由列表法列举得
事件掷两个骰子发生的可能性共有36个
1、两个骰子的点数相同发生的可能性共有6个
6 1 P（两个骰子的点数相同）＝ ＝ 6 36
2、两个骰子点数的和是9发生的可能性共有4个
１ 个
．
P（向上的面点数是2）＝ 6
1、在九（5）班计算概率中，有一道练习题有部分的 同学是这样做的： 掷两枚硬币，求两枚硬币全部正面向上的概率？ 解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正反，反反， 共3个；
事件两枚硬币全部正面向上发生的可能有1个；
1 P（两枚硬币全部正面向上）＝ 3
探究
这道题解题过程和结果对不对？如果不 对，错在哪里？并把其改正。
正确解题
解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正 反，反正，反反，共4个； 事件两枚硬币全部正面向上发生的可能 有1个； P（两枚硬币全部正面向上）＝ 1
4
有一个游戏活动，两名同学分别拔动A、 B两个转盘，使之转动，指针指数大的一方 为获胜者，。 由于两个转盘上的数字不同，如果你上 来，你会选哪一个转盘？说说你的理由
4 1 6 7
3
2
9
8
练习