数学实验教程实验(级数)

合集下载

最新实验1无穷级数(基础实验)

实验1无穷级数(基础实验)项目四无穷级数与微分方程实验1 无穷级数（基础实验）实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Mathematica求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1. 求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和. 例如,输入Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]则输出无穷级数的和为«Skip Record If...»命令Sum与数学中的求和号«Skip Record If...»相当.2. 将函数展开为幂级数的命令Series该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0,n}]它将«Skip Record If...»展开成关于«Skip Record If...»的幂级数. 幂级数的最高次幂为«Skip Record If...»余项用«Skip Record If...»表示. 例如,输入Series[y[x],{x,0,5}]则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数«Skip Record If...»3. 去掉余项的命令Normal在将«Skip Record If...»展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用Normal命令. 例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}]Normal[%]则输出«Skip Record If...»«Skip Record If...»4. 强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]]Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输出去掉余项后的展开式«Skip Record If...»而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]则输出上述函数的图形.5. 作散点图的命令ListPlotListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为«Skip Record If...»的散点图(图1.1).图1.16. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入Clear[g,gf];g[x_]:=x/;0<=x<1g[x_]:=-x/;-1<=x<0g[x_]:=g[x –2]/;x>=1则得到分段的周期函数«Skip Record If...»再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]则输出函数«Skip Record If...»的图形1.2.图1.2注:用Which 命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)”来定义周期性分段函数更方便些. 用Plot 命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica 命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which 定义的分段函数可以求导但不能积分. Mathematica 内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica 命令来求导和求定积分. 因此在求分段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1 (教材例1.1)(1)观察级数«Skip Record If...»的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数«Skip Record If...»的部分和序列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)例1.2 (教材例1.2) 画出级数«Skip Record If...»的部分和分布图.输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形（图1.5）,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.例1.3 求«Skip Record If...»的值.输入Sum[x^(3k),{k,1,Infinity}]得到和函数«Skip Record If...»例1.4 (教材例1.3)设«Skip Record If...»求«Skip Record If...».输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出«Skip Record If...»的散点图（1.6）,从图中可观察«Skip Record If...»的变化趋势. 输入 Sum[a[n],{n,l,Infinity}]图1.6求幂级数的收敛域例1.5 (教材例1.4)求«Skip Record If...»的收敛域与和函数.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1);stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出«Skip Record If...»再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity]则输出«Skip Record If...»这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收敛; 大于1 时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入ydd=Solve[steptwo==1,x]zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出«Skip Record If...»由此可知,当«Skip Record If...»时,级数收敛,当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时,级数发散.为了判断端点的敛散性, 输入Simplify[a[n]/.x->(49/16)]则输出右端点处幂级数的一般项为«Skip Record If...»因此,在端点«Skip Record If...»处,级数发散. 再输入Simplify[a[n]/.x->(47/16)]则输出左端点处幂级数的一般项为«Skip Record If...»因此,在端点«Skip Record If...»处, 级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}]则输出«Skip Record If...»函数的幂级数展开例1.6 (教材例1.5)求«Skip Record If...»的6阶麦克劳林展开式.输入Series[Cos[x],{x,0,6}]则输出«Skip Record If...»注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.例1.6 (教材例1.6)求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的6阶泰勒展开式.输入Series[Log[x],{x,1,6}]则输出«Skip Record If...»例1.7 (教材例1.7) 求«Skip Record If...»的5阶泰勒展开式.输入仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}];Poly=Normal[serl]则输出«Skip Record If...»的近似多项式«Skip Record If...»通过作图把«Skip Record If...»和它的近似多项式进行比较. 输入Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形（图1.7.例1.9 求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多项式.输入Clear[f];f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2];poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.75,1.75},PlotRange->{-2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]}]则得到近似多项式和它们的图1.8.«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127图1.8例1.10 求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的«Skip Record If...»阶泰勒展开, 通过作图比较函数和它的近似多项式, 并形成动画进一步观察.因为«Skip Record If...»所以输入Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!,{j,0,k}],Sin[x]},{x,-40,40},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]则输出为«Skip Record If...»的3阶和91阶泰勒展开的图形. 选中其中一幅图形,双击后形成动画. 图1.9是最后一幅图.例1.11 利用幂级数展开式计算«Skip Record If...»(精确到«Skip Record If...»).因为«Skip Record If...»根据«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的展开式有«Skip Record If...»故前«Skip Record If...»项部分和为«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127输入命令s[n_]=3(1-1/(5*3^4)-Sum[Product[5i-1,{i,1,k-1}]/(5^k k!3^(4k)),{k,2,n-1}]);r[n_]=Product[5i-1,{i,1,n-1}]/5^n/n!3^(4n-5)/80;delta=10^(-10);n0=100;Do[Print["n=",n,",","s[n]=",N[s[n],20]];If[r[n]<delta,Break[]];If[n==n0,Print["failed"]],{n,n0}]则输出结果为«Skip Record If...»傅里叶级数例1.12 (教材例1.8) 设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数,它在«Skip Record If...»的表达式是«Skip Record If...»将«Skip Record If...»展开成傅里叶级数.输入Clear[g];g[x_]:=-1/;-Pi<=x<0g[x_]:=1/;0<=x<Pig[x_]:=g[x-2Pi]/;Pi<=xPlot[g[x],{x,-Pi,5 Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}];则输出«Skip Record If...»的图形 (图1.10).因为«Skip Record If...»是奇函数, 所以它的傅里叶展开式中只含正弦项. 输入b2[n_]:=b2[n]=2 Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;fourier2[n_,x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];tu[n_]:=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]}, {x,-Pi,5 Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunction->Identity];(*tu[n]是以n为参数的作图命令*)tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];(*tu2是用Table命令作出的6个图形的集合*)toshow=Partition[tu2,2];(*Partition是对集合tu2作分割, 2为分割的参数*)Show[GraphicsArray[toshow]](*GraphicsArray是把图形排列的命令*)则输出6个排列着的图形（图1.11）,每两个图形排成一行. 可以看到«Skip Record If...»越大, «Skip Record If...»的傅里叶级数的前«Skip Record If...»项和与«Skip Record If...»越接近.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127实验习题1.求下列级数的和:(1)«Skip Record If...» (2)«Skip Record If...» (3)«Skip Record If...» (4)«SkipRecord If...»2. 求幂级数«Skip Record If...»的收敛域与和函数.3. 求函数«Skip Record If...»的6阶麦克劳林多项式.4. 求«Skip Record If...»的6阶麦克劳林多项式.5. 设«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的图形作在一个坐标系内.6. 设«Skip Record If...»在一个周期内的表达式为«Skip Record If...», 将它展开为傅里叶级数(取6项), 并作图.7. 设«Skip Record If...»在一个周期内的表达式为«Skip Record If...», 将它展开为傅里叶级数(取8项), 并作图.8. 求级数«Skip Record If...»的和的近似值.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127。

数学实验-数列与级数

数学实验-数列与级数实验四数列与级数⼀．实验名称: 数列与级数。

⼆．实验⽬的: 学习使⽤Mathematica 发现数列与级数的极限与规律以及极限状态的性质,通过作出Fibonacci 数列的折线图，考察Fibonacci 数列的极限与规律。

三．实验环境: Mathematica 系统，Word ⽂档，课本。

四．实验的基本理论和⽅法：⽤计算机计算出Fibonacci 数列每⼀项的值，并在⼆维平⾯上画出顺次连接点()n F n ,，观察其单调性以及增加速度；猜测通项公式满⾜n n cr F =，并进⾏尝试，带⼊差分⽅程，从中解出特征根。

3n+1问题只需对奇数进⾏分析，如果对每个n ，数列中有某⼀项⼩于n ，从n 开始产⽣的数列最后都落于124→→中。

五．实验内容和步骤：1. Fabonacci 数列的极限规律（1）递推关系式为n n n F F F +=++12 ， .,2,1 =n .2,121==F F的数列被称为Fibonacci 数列。

（2）画Fibonacci 数列折线图输⼊程序：FibShow n _Integer :Modulet ,i ,For i 1,i n,i ,AppendTo t , i ,Fibonacci i ListPlot t ,PlotJoined True FibShow 20运⾏结果得：510151000200030004000（3）⽤直线去拟合（i,)log(i F ），i=1，2，….的函数。

输⼊程序：FibFit n _Integer :Modulet ,i ,For i 1,i n,i ,AppendTo t , i ,Log Fibonacci i Fit t , 1,x ,x FibFit 1000运⾏结果得：0.8039010.481（4）演奏Fibonacci 数列的函数输⼊程序：FibPlay n _Integer :Modulet ,i ,For i 1,i n,i ,AppendTo t ,Mod Fibonacci i ,n ;ListPlay t ,PlayRange 0,n ,SampleRate FibPlay 50运⾏结果得：（5）显⽰点列()()i i sin ,，n i ,,2,1 =的函数输⼊程序：PlotList n _Integer :Modulet ,i ,For i 1,i n,i ,AppendTo t , i ,Sin i ListPlot t ,PlotStyle P ointSize 0.005 PlotList 100运⾏结果得： 20406080-1-0.50.512. 3n+1问题3n+1问题起源于20世纪50年代，⼜称为Syracuse 猜想，⾓⾕猜想，Collatz 问题，Hasse 算法问题，Ulamw 问题，Thwaites 猜想等等，⽬前有⼈验证50237.1?≤n ，猜想仍然成⽴。

实验八、级数及运算

实验八级数及运算【实验类型】验证性【实验学时】1学时【实验目的】1．掌握用MA TLAB 判定常数项级数的敛散性的方法。

2．掌握用MA TLAB 进行幂级数求和的方法。

3．掌握用MA TLAB 将函数展开成幂级数的方法；【实验内容】1．熟悉有关级数收敛、发散的判定方法和级数求和； 2．利用MATLAB 判断常数项级数的敛散性； 3．熟悉有关幂级数的各种运算；4．利用MATLAB 进行幂级数的求和运算； 5．利用MATLAB 进行函数的幂级数展开；【实验方法与步骤】一、实验的基本理论与方法 1、常数项级数的审敛法：（1）级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u 。

（2）比较审敛法的极限形式：设有正项级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v ，若ρ=∞→nnn v u lim，)0(+∞<<ρ，则级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 同时收敛或发散。

（3）比值审敛法：设有正项级数∑∞=1n n u ，若ρ=+∞→nn n u u 1lim，当1<ρ时级数收敛；当1>ρ时级数发散。

（4）条件收敛与绝对收敛：若级数∑∞=1n nu收敛（级数∑∞=1n nu必收敛），则称级数绝对收敛；若级数∑∞=1n nu发散，而级数∑∞=1n nu收敛，则称级数条件收敛。

2、幂级数展开的唯一性：若函数)(x f 在含点0x 的某一区间内能展开为幂级数，则必为Taylor 级数+-++-''+-'+=n n x x x f n x x x f x x x f x f x f ))((!1))((!21))(()()(00)(200000 二、实验使用的MATLAB 函数1、 taylor(f,x,k) 将)(x f 按x=0进行Taylor 幂级数展开taylor(f,x,k,a) 将)(x f 按x=a 进行Taylor 幂级数展开其中，f 为函数的符号表达式，x 为自变量，若函数只有一个自变量，则x 可以省略。

实验8 无穷级数与数值计算

西安理工大学应用数学系
（2）相应的Matlab代码为 syms x taylor((1+x)^0.5, x, 7, 1)
运行结果为 ans =2^(1/2) + (2^(1/2)*(x - 1))/4 - (2^(1/2)*(x - 1)^2)/32 +
(2^(1/2)*(x - 1)^3)/128 - (5*2^(1/2)*(x - 1)^4)/2048 + (7*2^(1/2)*(x - 1)^5)/8192 - (21*2^(1/2)*(x 1)^6)/65536
(n
3
1)!

105,取
n8
即可。
西安理工大学应用数学系
同理取 x 1
2
,令误差
2n
1
3 (n

1)!

105
,取 n 6 即可。
计算e的Matlab代码为
syms x y y=taylor(exp(x),x,9)
a=subs(y,x,'1') %将符号表达式y中的变量x换成变量1 e=vpa(a,10) % 将符号表达式a转化成10位精度的近似解
1 x 1 1 x 1 x2 1 3 x3 (1)n1 1 35 (2n 3) xn （6.6）
2 24 246 取
2 46 2n
于是有
, 代入(6.6), 有
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 (1)n1 1 3 5 (2n 3) xn
西安理工大学应用数学系
hold on for i=1:length(x)
y(i)=x(i)-x(i)^3/6+x(i)^5/120; plot(x(i),y(i),'.'),pause(.005) end hold on for i=1:length(x) y(i)=x(i)-x(i)^3/6+x(i)^5/120-

数学实验一

数学实验报告册姓名：马会兰学号：200771010423班级：07级数4实验一：（微积分基础）一．实验目的：学会使用Mathematica 的一些基本功能，验证或观察得出微积分的几个基本结论。

二．实验环境：在Mathematica 环境下结合教材进行实验。

三．实验的基本理论和方法：Mathematica 能够进行初等数学和高等数学的数值计算、符号计算、画图等各种事情。

四．实验的内容和步骤：练习1：泰勒（Taylor ）级数⑴在同一坐标系里作出函数36x y x =-及其导数'sin y x =，0.8y x =，y x =与1.2y x =的图像。

Mathematica 语句如下：321321 （图1-1）结果分析：从上图中可以发现，在具有不同斜率k 的过原点的直线y kx =中，k=1时的直线y x =与正弦曲线sin y x =在原点附近最接近，如上图所示。

观察发现：从原点出发沿直线y x =前进与沿正弦曲线sin y x =前进的方向时一致的，在原点的附近的很小一段旅程中两条路线几乎一样，但继续下去，就分开了，因此能不能用越来越高次的多项式函数去逼近sin y x =呢？请看下面。

⑵在同一坐标系里作出区间[,]x ππ∈-上正弦函数s i n y x =及多项式函数36x y x =-，356120x x y x =-+，3573!5!7!x x x y x =-+-的图像。

3211.00.5Mathematica 语句如下：运行的结果：n a ，n A 的值为：结果分析：可以看出n a 的值与n A 的值越来越接近，最后而这达到相等的地步。

⑵在同一坐标系中画出下面三个函数的图象：101(1)10x x y =+，1011(1)10x x y +=+，y e = 观察当x 增大时图像的走向。

Ⅰ.函数在区间[1，4]内的图象 Mathematica 语句如下：图像如下：（图2-1）Ⅱ. 函数在区间[3，5]内的图象Mathematica 语句如下：图像如下：（图2-2）Ⅲ. 函数在区间[5，6]内的图象 Mathematica 语句如下：图像如下：（图2-3）结果分析：通过观察可以看出，当n 增大时1(1)n n an =+递增，11(1)n n A n+=+递减。

数学物理实验第三节(泰勒级数展开)

复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则一样，但要注意复数运算和实数运算的异同，在计算的时候，考虑全面！
13
展开公式
2 3 n z z z ez 1 z 2! 3! n! z3 z5 z 2 n1 n sin z z 1 3! 5! 2n 1!
m m
可求得收敛半径为1，由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
9
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
由 R lim | ak | k a k 1
可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z
是有限的，则泰勒级数就是收敛的！
例2
在z0＝0的邻域上把 f1 ( z) sin z, f 2 ( z) cos z 展开
( z) sin z 解： f1 ( z) sin z 的前四阶导数是 f1( z) cos z, f1
iz iz
例
1 在 z 1上有一个奇点 z 1, 而它在 z 1 内处处解析 . 解 2 1 z
它在 z 1 内可展开成 z的幂级数 .
1 把函数展开成z的幂级数. 2 1 z
1 z 1 1 z z 2 1n z n , z
依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有密切的关系。
4
二、解析函数展为泰勒级数举例：例1 在z0＝0的邻域上把 f ( z) e z 展开

实验数列与级数

实验3 数列与级数级数是微积分乃至整个数学分析最重要的基本内容之一。

远在公元前三世纪，古希腊人Archimedes 就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。

本实验的目的是通过计算机发现数列的规律、极限状态的性质。

所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一串数字1a ,2a ,... ,n a , (1)而一个无穷级数则是用无穷项数字构成的和式∑∞=1n n a= 1a +2a + (2)数列与级数有密不可分的关系。

给定一个无穷级数（2），它唯一地确定了一个无穷数列 1S , 2S ,…其中n S = 1a +2a +…+n a , n = 1,2 ,… .反过来，给定一个无穷数列（1），它也唯一地确定了一个无穷级数∑∞=1n n b这里1b = 1a ,1--=n n n a a b ,n = 2 ,3 ,… 。

并且，无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限。

因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。

给定的数列{n a } ,人们最关心的问题是：1．数列n a 有什么规律与性质？2．当n →∞时，数列n a 的极限是什么？3．极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？4．如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是什么？5．如果数列的极限根本不存在，那么在无穷大的极限状态又怎么样？对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。

本实验将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列的规律及其极限行为。

我们以Fibonacci 数列为例来探讨上述问题。

3.1 Fibonacci 数列给定如下的数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……其递推关系式由n n n F F F +=++12, 1=n ，2，…， 11=F ,12=F (3)给出，该数列被称为Fibonacci 数列。

Fibonacci 数列经常以著名的养兔问题提出来。

某人养了一对兔子（公母各一只）。

一月后，这对兔子生了一对小兔。

实验三级数

实验三级数【实验目的】 1．了解级数的有关理论。

2．了解函数的Taylor 展开式3．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

【实验内容】1．求函数x y sin =的Taylor 级数，并考察它的Taylor 展开式的前几项构成的多项式函数向x y sin =的图形的逼近的情况2．计算级数∑∞=121n n的值3．验证Euler 公式 5771.0)ln 131211(lim =-++++=∞→n nC n【实验准备】1．级数的基本概念数项级数：称用加号将数列n a 的项连成的式子+++++n a a a a 321为（常数项）无穷级数，简记为∑∞=1n na。

称级数∑∞=1n na前n 项构成的和∑==++++=nk k n n a a a a a S 1321为级数的部分和。

若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n na收敛，其和为S 。

Taylor 级数：设函数)(x f 在包含a x =的区域内具有各阶导数，则称幂级数+-++-+-+=-∑∞=n n n n n a x n a f a x a f a x a f a f a x n a f )(!)()(!2)())((')()(!)()(2)2(0)(为函数)(x f 在a x =的Taylor 级数，当0=a 时称为Maclaurin(麦克劳林)级数。

2．级数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用symsum,taylor 求级数的和及进行Taylor 展开。

【实验方法与步骤】练习1求函数x y sin =的Taylor 级数，并考察它的Taylor 展开式的前几项构成的多项式函数向x y sin =的图形的逼近的情况clearsyms x;taylor(sin(x),0,1)ans = 0clear syms x;taylor(sin(x),0,2)ans = x clear syms x;taylor(sin(x),0,3)ans = xclear syms x;taylor(sin(x),0,4)ans =x-1/6*x^3clear syms x;taylor(sin(x),0,5)ans =x-1/6*x^3clear syms x;taylor(sin(x),0,6) ans =x^5/120 - x^3/6 + x在区间[0,]π上做出函数sin()y x =和其泰勒展开式的前几项构成的多项式335,,3!3!5!x x x y x y x y x ==-=-+的图形clearx=0:0.01:pi; y1=sin(x); y2=x;y3=x-x.^3/6;y4=x-x.^3/6+x.^5/120;plot(x,y1,x,y2,'r:',x,y3,'k-.',x,y4,'c--')练习2 利用幂级数计算指数函数2312!3!!nxx x x e x n =++++++ 建立M 脚本文件ex0302x=input('x='); n=input('n='); y=1;for i=1:ny=y+x^i/prod(1:i); endvpa(y,10)取x=1;n=10,对比vpa(exp(1),10) 再取x=2;n=10,对比vpa(exp(2),10) 发现计算精度不高。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

实验9 级数
实验目的
1．理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数 2．理解Fourier 级数的概念，并将函数展开成Fourier 级数
实验准备
1．数项级数、幂级数的收敛性判断； 2．幂级数的展开、级数求和； 3．Fourier 级数的概念、展开方法；
实验内容
1．函数的幂级数展开 2．收敛级数的和 3．Fourier 级数展开
软件命令
表9-1 Matlab 级数操作命令
实验示例
【例9.1】级数观察
观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。

1. 11n n ∞
=∑； 2. 1
1(1)n n n ∞
=-∑。

【步骤】：
Step1：计算部分和n S ； Step2：描点观察。

【程序】：
clear
clc clf
for n=1:100 for k=1:n
p1(k)=1/k;
p2(k)=(-1)^k/k; end
s1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2); end
plot(s1) plot(s2) syms i;
symsum(1/i,i,1,inf))
symsum((-1)^i/i,i,1,inf))
【输出】：
图 9-1 部分和序列收敛性观察
级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。

【例9.2】调和级数实验—欧拉常数
记11
()n
i H n i
==
∑，()()ln C n H n n =-，研究C(n)的极限值是否存在。

【程序】：%图形观察
h(1)=1;
for i=2:10^5
h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i); end plot(c)
% 求极限
syms k n
limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开
将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。

1
．0(),f x x = 2．011
()arctan
,1,arctan 12
x f x x x -==+； 3．0()sin(1),0,sin1f x x x =+=。

【步骤】：
Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开； Step2：利用函数subs(s)求出近似值。

【输出】：略。

【例9.4】级数求和
求下列幂级数的和函数。

1．21121n n x n -∞
=-∑（积分）； 2． 1(1)
n
n x n n ∞=+∑（微分）；3．1(1)n n n n x ∞
=+∑（积分）。

【步骤】：
Step1：定义通项 f(n)；
Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。

【程序】：
clear
clc
syms n x ;
f1=x^(2*n-1)/(2*n-1); s1=symsum(f1,n,1,inf);
f2=x^n/(n*(n+1));
s2=symsum(f2,n,1,inf); f3=n*(n+1)*x^n;
s3=symsum(f3,n,1,inf);
【输出】：
s1 =1/2*log((1+x)/(1-x)) s2 =1-(x-1)/x*log(1-x) s3 =-2*x/(x-1)^3
【例9.5】Fourier 级数展开及其和函数的逼近
设()f x 是以2π为周期，振幅为1的方波函数，它在[,]ππ-上的表达式为
1,0
()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨
<≤⎩
试将()f x 展开成Fourier 级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近()f x 的情形。

【原理】：
以2l 为周期的函数()f x 的Fourier 级数为
01()
(cos sin )2n n n a n x n x f x a b l l
ππ∞=++∑，
其中 1()cos
,0,1,2,l n l n x
a f x dx n l l
π-==⎰，1()sin
,1,2,l n l n x
b f x dx n l l
π-==⎰。

【步骤】：
Step1：求出f(x)的Fourier 系数；
由于函数f(x)为奇函数，由Fourier 系数的公式知道，a n =0，因此它的Fourier 级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数
2
2(1(1))
()sin(),1,2,
n n b f x nx dx n n π
π
π
--=
==
⎰
Step2：绘制逼近图形【程序】：参见Exm09Demo05.m 。

【输出】：如下图。

图9-2 Fourier 级数逼近
实验练习
1．求下列级数的和：
（1）121(1)(21)
n n n x n n -∞
=--∑（提示：微分，2
2arctan ln(1),||1x x x x -+≤）；
（2）221
(21)2n n n n x ∞
-=-∑
（提示：积分，2
22
2,||(2)x x x +≤-；（3）123n n n ∞
=∑（提示：考虑幂级数1
n
n nx ∞
=∑，32）。

2．求下列函数在指定点处的幂级数展开式：
（1）01(),1(3)f x x x x =
=+；参考：1011
(1)(1)(1),|1|134
n n n n x x ∞+=----<∑；（2）00
()cos ,0x
f x t tdt x ==⎰；参考：22
0(1),||(22)(2)!
n n n x x n n +∞
=-<+∞+∑。

3．设()f x 是以2π为周期的函数，它在[,]ππ-上的表达式为
,0
(),0x x f x x x ππππ
+-≤≤⎧=⎨
-<≤⎩ 试将()f x 展开成Fourier 级数，并绘图观察部分和逼近()f x 的情形。