哈尔滨工业大学1993年量子力学试题

一 .设n 是粒子数算符a a N
ˆˆˆ+=的本征函数，相应之本征值为()0≥n ，算符+
a ˆ和a ˆ满足对易关系1ˆˆˆˆ=-++a a a a 。

证明：
n a ˆ（其中1≥n ）和n a +ˆ也是N
ˆ的本征函数其相应的本征值分别为()1-n 和()1+n 。

解：用粒子数算符N
ˆ作用到n a ˆ上，即 ()()n
a n n a n N a n a n a a a n a a a n a a a n a N
ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ-=-=-=-==+++
上式表明n a
ˆ是N ˆ的本征态，相应的本征值为()1-n 。

同样，用粒子数算符N ˆ作用到
n a +
ˆ上，即 ()
()n
a n n a n N a n a n a a a n a a a n a a a n a N
++++++++++++=-=+=+==ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ
上式表明
n a +
ˆ也是N ˆ的本征态，相应的本征值为()1+n 。

二. （类似2000年第二题）质量为m 的粒子在一维势阱
()⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤-<∞=a x a
x V x x V ,00 ,0
.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量20
V E -=的状
态，试确定此势阱的宽度a 。

解：对于020
<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为
()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03
21
其中，
E m V E m k 2 ;)
(20=
+=
α
在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()
()()a a a a '3
'2
32ψψψψ==
得到
()
()a B ka Ak a B ka A ααα--=-=ex p cos ex p sin 于是有
αk
ka -=tan 此即能量满足的超越方程。

当021
V E -=时，由于
1
tan 00
0-=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
mV mV a mV 故
4
0π
π-
=n a mV
， ,3,2,1=n
最后，得到势阱的宽度
41mV n a π⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=
三. （类似习题选讲）设作一维自由运得粒子0=t 时处于
()()kx kx A x cos sin 0,2
+=ψ 态上，求0=t 和0>t 时粒子动量与动能的平均值。

解：由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数
()()x k x k
'
i ex p 21
'
π
ϕ= 而0=t 时的波函数
()()()()()()()()()()()(){}()()()()(){}x x x x x A
kx kx kx kx A kx kx kx kx A kx kx A x k k k k 2022
222224
i2exp 2i2exp i exp 2i exp 24i exp i exp 21
i exp i exp i 21cos sin 0,---+-+=--+--+=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
+=ϕϕϕϕϕπψ
归一化常数为
π74
=A
动量的取值几率为
()1412=±= k p W ；()144=±= k p W ；()14
4
0==p W 动量的平均值为
()∑==p
p pW p 0
动能的平均值为
()()m k p W p m T p
742102
22
==∑
因为，动量算符合动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒量，而守恒量的取值几率和平均值不随时间改变，0>t 时的结果与
0=t 时完全一样。

四. （见习题选讲）对于类氢离子的任何一个本征态)(r nlm ψ，
利用维里定理、费曼-海尔曼定理计算r 1与21
r 。

解：已知类氢离子的能量本征值为
1 ,20
22
2++=-==l n n a n e Z E E r n nlm
（1）
式中，22
0e a μ =为玻尔半径。

由维里定理知
V T 21
-=
（2）
总能量
r Ze V V T E n 1
2212-==+=
（3）
所以，得到
,3,2,1 ,210
22==-=n a n Z
Ze E r n （4） 类氢离子的哈密顿算符为
r Ze r l l r r H 2222222)1(12ˆ
-++∂∂-=μμ
（5）
将l 视为参数，利用费曼-海尔曼定理，得到
22121ˆr l l H
l E n ⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∂∂=∂∂μ （6）
由于，
1++=l n n r
（7）
所以，
32
2a n e Z n E l E n n =∂∂=∂∂
（8）
将其代入（6）式，有
()20
2
322/111a Z n l r +=
（9）
五. （类似1996年第四题）设两个自旋为
2
1粒子构成的体系，
哈密顿量21ˆˆˆs s C H ⋅=， 其中，
C 为常数，1ˆs 与2ˆs 分别是粒子1和粒子2的自旋算符。

已知0=t 时，粒子1的自旋沿z 轴的负方向，粒子2的自旋沿z 轴的正方向，求0>t 时测量粒子1的自旋处于z 轴负方向的几率。

解： 体系的哈密顿算符为
()
2221221ˆˆˆ2ˆˆˆs s s
C s s C H --=⋅= 选择耦合表象，由于1,0=s ，故四个基底为
111=；112-=；103=；004= 在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛-=30000100001000
014
ˆ2 C H
可以直接写出它的解为
2
14 C E =，
++==111ϕ 2
24 C E =，
--=-=112ϕ
2
34 C E =，
[]+-+-+==21103ϕ
2
443 C E -=，
[]+---+==2
1004
ϕ 已知0=t 时，体系处于
()[]001021
0-=+-=ψ 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时刻的波函数为
()[][]⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t C t C E E t 43i exp 214i exp 2100i exp 10i exp 2143ψ
粒子1处于z 轴负方向的几率为
()
()
t
C t C t C t C t C t t t s W z 2
cos 2i exp 2i exp 2143i exp 4
i exp 21,22
2
2
2
2
1
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
+-+--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=ψψ
六． 粒子在一维势场()x V 中运动，非简并能级为() ,3,2,10
=n E n ，
如受到微扰x p W ˆˆμ
λ=的作用，求能量到二级修正，并与精确解比较。

解：已知0
ˆH 满足的本征方程为 n E n H n
00ˆ= 由
[]
μp H x ˆˆ,i 10=
可知
(
)mn
m
n mn x
E E p 00i -= μ
第k 个能级的一级修正为 ()
01===kk kk k p W E μ
λ
能量的二级修正为
()
()()
()2
02
2
000
00022
02i i nk
k
n k
n
k n n k
nk
n k kn
k
n
k n n
k nk
kn k
x
E
E
E
E x E E x
E
E E E W W E ∑∑∑≠≠≠--=
---=-=
λμ
μ
μλ
利用
()
μ22
2
0 =
-∑≠nk
k
n k n
x E E
得到
()μλμ
λ222
2222-
=-= k
E 近似到二级的解为
μλ220
-≈k k
E E
精确解可以利用坐标变换确定。

体系的哈密顿算符为
()x x p
x V p H ˆ2ˆˆ2μλμ++= 若令
λ+=x p P
ˆˆ 则哈密顿算符可以改写为
()μλμ22ˆˆ22-+=x V P H
故精确解为
μλ22
-=k k
E E
\。