东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10
一、填空题(本题20分,每小题4分)
1.已知==??
?
??-+∞→a a x a x x
x ,则9lim
2.设函数?????>+≤+=1
1
12)(2x b ax x x x f ,,,当a = ,b = 时,f (x )在x =1处可导。
3.方程017
=-+x x 共有 个正根。
4.当=x 时,曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。
5.
?=20sin π
xdx x 。
二、选择题(本大题24分,共有6小题,每小题4分)
1.下列结论中,正确的是( )
(A )若a x n n =∞
→2lim ,a x n n =+∞
→12lim ,则a x n n =∞
→lim ;
(B )发散数列必然无界;
(C )若a x n n =-∞
→13lim ,a x n n =+∞
→13lim ,则a x n n =∞
→lim ;
(D )有界数列必然收敛。
2.函数)(x f 在0x x =处取得极大值,则必有( )。 (A )0)(0='x f ; (B )0)(0<''x f ;
(C )0)(0='x f 或)(0x f '不存在; (D )0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3.函数?=
x
a dt t f x F )()(在][
b a ,上可导的充分条件是:)(x f 在][b a ,上( )
(A )有界; (B )连续; (C )有定义; (D )仅有有限个间断点。
4.设?-+=2242
cos 1sin π
πxdx x x M ,?-+=22
43)cos (sin π
πdx x x N ,?--=22432)cos sin (π
πdx x x x P ,则必有关系式( )
(A ) M P N <<;(B )P M N <<;(C )N P M <<;(D )N M P <<。
5.设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数,如果0)()(00=''='x f x f ,而0)(0≠'''x f ,则必有( )。
(A )0x 是极值点,))((00x f x ,不是拐点; (B )0x 是极值点,))((00x f x ,不一定是拐点; (C )0x 不是极值点,))((00x f x ,是拐点; (D )0x 不是极值点,))((00x f x ,不是拐点。
6.直线3
7423z
y x L =-+=-+:
与平面3224=--z y x :π的位置关系是( ) (A )L 与π平行但L 不在π上; (B )L 与π垂直相交; (C )L 在π上; (D )L 与π相交但不垂直。
6.微分方程x x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为( )
(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=; (B )x x e c x b ae y 32)(*++=;
(C )x x ce e b ax y 32)(*++=; (D) x x cxe e b ax y 32)(*++= 三、计算下列各题(每小题7分,共28分) 1.计算
?++4
.1
22dx x x
2.求
dx x x x
?
++5
42
3.设???-=+=t
t y t x arctan )1ln(2,求2
2dx y d 。 4.求??
????
+
-∞→)11ln(lim 2x x x x 。 四、解答下列各题(每小题7分,共21分)
1.在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体,求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。
2.计算由椭圆122
22=+b
y a x 所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。
3*.在由平面0232=+-+z y x 和平面03455=+-+z y x 所决定的平面束内求两个相互垂直的平面,其中一个经过点)1,3,4(0-M 。
3.在曲线上每一点),(y x M 处切线在y 轴上的截距为22xy ,且曲线过点)2,1(0M 。求此曲线方程。
五、(7分)设函数)(x f 在[]30,上连续,在(0,3)内可导,且有?=1
)3()(31f dx x xf 。试证:必有)3,0(-∈ξ使
ξ
ξξ)
()(f f -
='。
答案 一、1.ln3;2.a =-1,b =2;3.1;4.a
b
2-
;5.1. 二、1.A ;2.C ;3.B ;4.D ;5.C ;6.A.
三、1.322;2.C x x x ++-++)2arctan(2)54ln(212
;3.t
t 412+;4.21.
四、1. R r R H 36
,3
1=
=
,R V 3
34max π=
;2.234ab π; 九、高等数学试题 2006/1/10
一、选择题(本大题24分,共有6小题,每小题4分) 1.下列结论中,正确的是[ ]
(A )有界数列必收敛; (B )单调数列必收敛;(C )收敛数列必有界;(D )收敛数列必单调。 2.设函数f (x )在U (x 0,δ)内有定义,对于下面三条性质:
① f (x )在x 0点连续;② f (x )在x 0点可导;③f (x )在x 0点可微. 若用“P ? Q ”表示由性质P 推出性质Q ,则应有[ ]
(A) ②?③?①;(B) ②?①?③;(C)③?①?②; (D) ①?②?③。 3.曲线x
x
y -=
3[ ] (A)既有水平渐近线,又有垂直渐近线;(B)仅有水平渐近线;(C)仅有垂直渐近线;(D)无任何渐近线。
4.设函数 f (x )在[a ,b ]上有定义,则
?
b
a
dx x f )(存在的必要条件是[ ]
(A) f (x )在[a ,b ]上可导;(B) f (x )在[a ,b ]上连续;(C) f (x )在[a ,b ]上有界;(D) f (x )在[a ,b ]上单调。 5. y = y (x )是微分方程y " + 3y '=e 2x 的解,且y '(x 0) = 0,则必有[ ] (A) y (x )在x 0某邻域内单调增加; (B) y (x )在x 0某邻域内单调减少; (C) y (x )在x 0取极大值;(D) y (x )在x 0取极小值.
6.若f (x )的导函数是sin x ,则f (x )有一个原函数是[ ]
(A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1-; (D) x cos 1+.
二、填空题(将正确答案填在横线上,本大题共9小题, 每小题4分, 共36分)
1..________)1
1(
lim =-+∞
→x
x x x 2.=+
=x x
x f 的可去间断点是111)(__________.
3.______________
,1
arctan ==dy x
y 则设 . 4.的值是dx xe x ?-10_________. 5..________sin tan lim
20=-→x
x x x x 6..________,~sin 02=α→α
+则时,x x x x
7.
.____________)3)(2(0
=++?
+∞
x x dx
8..____________,32223
2=???-=-=dx
y
d t
t y t t x 则设
9.._________________1)1(41
==-=-y y y x
dx dy 的特解是满足条件微分方程
三、(8分)计算不定积分dx x
x
x ?+2
21arctan . 四、(8分)求曲线41262
3
++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分)求微分方程x
xe
y y y -=+'+''323的通解.
六、(10分)在[0,1]上给定函数2
x y =,问t 为何值时,如图所示 阴影部分的面积1S 与2S 的和最小,何时最大?并求此时两图形 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
七、(6分)设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数内可微在又),()(b a x f ,
)()(b f a f =且.试证:.0)(),(>ξ'∈ξ?f b a 使
一、1.(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)
二、1.2
e 2.0=x 3.dx x
dy 2
11+-
= 4.e 21- 5.31
6..25=α
7. 23ln
8..)
1(43
22t dx y d -= 9.)ln 41(x x y -=
9*.k j i b a
35--=?
三、2211
arctan ln(1)(arctan )22
x x x x C -
+-+
四、),(+∞-∞内为上升曲线. 所以凸区间为]2,( -∞ , 凹区间为),2[∞+ , 拐点为)12,2( .
五、)32
3
(2221x x e e C e C y x x x
-++=---.
六、1,()2t S t =
最小 所求体积为 =316
π
十、高等数学试题 2007/1/14
一、选择题(本大题20分,共有5小题,每小题4分) 1.设数列{x n }收敛,{y n }发散,则必有[ ]成立。 (A )lim n n n x y →∞
存在; (B )lim
n n n y x →∞
存在;(C )lim()n n n x y →∞+不存在;(D )lim n n n
x y →∞存在。
2.设1
1,0,()2,0,1
1sin ,0,
x e x f x x x x x ??+
==???+>?
则x = 0是f (x )的[ ]。 (A)可去间断点;(B) 跳跃间断点;(C) 无穷间断点; (D) 连续点。
3.设x 在点x 0处有增量?x ,函数y = f (x )在x 0处有增量?y ,又f '(x 0) ≠ 0,则当?x →0时,?y 是该点微分d y 的[ ] (A)高阶无穷小;(B) 等价无穷小;(C) 低阶无穷小;(D) 同阶但不是等价无穷小。
4.设f (x )在(-∞, +∞)上二阶可导且为奇函数,又在(0, +∞)上f '(x 0) > 0,f ''(x 0) > 0,则在(-∞, 0)上必有[ ] (A) f '(x 0) < 0, f ''(x 0) < 0;(B) f '(x 0) > 0, f ''(x 0) > 0;(C) f '(x 0) < 0, f ''(x 0) > 0;(D) f '(x 0) > 0, f ''(x 0) < 0。
5.
设0
α=
?
,120
x dx β=?
,0
γ=?
,则有关系式[ ]成立。
(A)γ > α > β; (B) α > γ > β ;(C) γ > β > α;(D) β > α > γ.
二、填空题(将正确答案填在横线上,本大题共6小题, 每小题4分, 共24分)
1.120
lim(1sin 3)
________x
x x →+=. 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)内共有______个根.
3.
7
222
(1)sin x
xdx π
π-+=?_________.
4.
________=.
5.球体半径的增长率为0.02m/s ,当半径为2 m 时,球体体积的增长率为_________.
6.微分方程y '' + 2y ' - 3y = 0的通解为y = _________. 三、计算题(6分?4 = 24分)
1.设23
21ln ,.t x t d y y t
dx ==??=?求 2.求2011lim tan x x x x →??-
???
. 3.
求
2.
4.求微分方程(x – y )y d x – x 2d y = 0的通解.
四、(10分)设y = x e -x (0 ≤ x < +∞),求函数的极大值,函数曲线的拐点,并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积.
五、(8分)在曲线上任一点M (x , y )处切线在y 轴上的截距为2xy 2, 且曲线经过点M 0(1, 2),求此曲线的方程.
六、(8分)设2,01
(),
1,x x f x ax b x ?≤≤=?+>?适当选取a , b 值,使f (x )成为可导函数,令0
()()x x f t dt ?=?,并求出
?(x )的表达式.
七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数,且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证:?ξ∈(a , b ),使f ''(ξ) = 0. 答案:一、1.(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32
e 2.1 3.
2
π
4.2C +
5. 0.32π
6.C 1e -3x + C 2e x . 三、1. 9. 2.13. 3.
12arcsin 22
x C -. 4.x
y x Ce =.
四、极大值1(1)y e =
, 拐点222,e ??
???
,面积223A e e =-,体积245134V e e π??=- ???。 五、2
221
x y x =
-. 六、a = 2, b = -1, 3
2,1
3()1,1
3?≤??=?
?-+>??
x x x x x x ?.
十、高等数学试题 2008/1/14
一.单项选择题(本题共4小题,每小题4分,共计16分)
1.数列???????+=为偶数为奇数n n
n n n
n n f 1 2)(,当∞→n 时,)(n f 是 [ ].
(A) 无穷大;(B) 无界但非无穷大;(C) 无穷小; (D) 有界但非无穷小. 2.设cos(2)4
y x π
=+,则()n y = [ ].
(A) 2n 21cos[2]4n x π++
; (B) 2cos[2]4n n x π
+; (C) cos[2]2n x π+; (D) 21cos[2]4
n x π++. 3.设2sin ()sin d x t x
F x e t t π+=
?
,则()F x 为 [ ].
(A) 正常数; (B) 负常数; (C) 恒为零 (D) 不为常数.
4.设y =()y x 是方程23x
y y e '''+=的解,且0()0y x '=,则()y x 在 [ ]. (A) 0x 的某个邻域内单调增加; (B) 0x 的某个邻域内单调减少; (C) 0x 处取极小值; (D) 0x 处取极大值. 二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共计16分) 1. 3
2sin()0x
y e
xy -+=在0x =处的切线方程是 .
2. 一个圆锥形容器,深度为10m ,上面的顶圆半径为4m ,则灌入水时水的体积V 对水面高度h 的变化率
为 .
3.曲线326124y x x x =-++的拐点为 .
4.满足微分方程初值问题20
d (1)d 1 x x y y e
x y =?=+???=? 的解为y = .
三、(7分)设 2
3, 01;2
()1, 1 2.x x f x x x
?-≤≤??=??<≤?? 试研究函数()f x 在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.
四、计算下列各题(本题共6小题,每小题6分,共计36分). 1.
x →.
2. 10
sin lim x
x x x →??
???
. 3.
设ln arctan
x y t ??=?=??, 计算22d d y x .
4. 计算积分
ln(x x ?. 5.
计算积分
1x . 6. 求微分方程4cos y y x x ''+=的通解.
五、(7分)由曲线0y =,8x =,2y x =围成曲边三角形OAB ,其中A 为0y =与8x =的交点,B 为2
y x =与
8x =的交点.在曲边OB 上求一点,过此点作2y x =的切线,使该切线与直线段OA ,AB 所围成的三角形面积
为最大.
六、(7分)求心形线(1cos )r a θ=+与圆3cos r a θ=所围图形公共部分. 七、(7分)设当1x >-时,可微函数()f x 满足
1()()()d 01x
f x f x f t t x '+-
=+?, (0)1
f =. 1. 求()f x ';
2. 证明:当0x ≥时,()x
f x e -≥.
八、(4分)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且()0f x ''>,证明()d ()(
)2
b a
a b
f x x b a f +≥-?
. 答案:一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.
二、1. 113y x =
+. 2. 2425h π. 3. (2,12). 4.tan(1)4
x y e π=+-. 四、1.2. 2.1, 3. 2223
1d y t dx t
+=-,
4. ln(x x C
5. 14π-,
6. 1212
cos 2sin 2cos sin 39
y C x C x x x x =+++. 五. 16256
(
,)39. 六. 2
54
a π。
七。提示:两边求导解微分方程。
八.提示:()f x 在2
a b
x +=
处的一阶Taylor 公式为
十一、高等数学试题 2009/1/16
一.单项选择题(本题共5小题,每小题3分,共计15分)
1.f '(x 0) = 0, f ''(x 0) > 0是函数y = f (x )在x 0 = x 0处取得极小值的一个[ ].
(A) 必要充分条件;(B) 充分条件非必要条件;(C) 必要条件非充分条件; (D) 既非必要条件也非充分条件. 2.设C 为任意常数,且F '(x ) = f (x ), 则[ ]. (A) ()()f x dx F x C =+?; (B) ()()F x dx f x C '=+?;
(C)
()()F x dx f x C '=+?; (D) ()()f x dx F x C '=+?.
3.设x →0时,(1 – cos x )ln(1 + x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小,而x sin x n 是比2
(1)x e -高阶的无穷小,则正整数n =[ ]. (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.
4.设函数f (x )在区间(a , b )内可导,x 1 , x 2是(a , b )内任意两点,且x 1 < x 2, 则至少存在一点ξ使的下列等式成立的是 [ ].
(A) f (b ) – f (a ) = f '(ξ)(b – a ), ξ ∈ (a , b ); (B) f (b ) – f (x 1) = f '(ξ)(b – x 1), ξ ∈ (x 1, b ); (C) f (x 2) – f (x 1) = f '(ξ)(x 2 – x 1), ξ ∈ (x 1, x 2); (D) f (x 2) – f (a ) = f '(ξ)(x 2 – a ), ξ ∈ (a , x 2). 5.设函数()bx
x
f x a e =
+在(-∞, +∞)上连续,且lim ()0x f x →-∞=,则常数a , b 满足[ ]
(A)a < 0, b < 0; (B) a > 0, b > 0; (C) a ≤ 0, b > 0; (D) a ≥ 0, b < 0. 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共计15分)
1. 已知2
1
(cos )0()0
x x x f x a x ?
?≠=?
?=?
在0x =处连续,则a = .
2. 设函数f (x )可导,y = f (sin 2x ),则d y = . 3.函数f (x ) = e x 的3阶麦克劳林公式为 . 4.质点以速度t sin t 2(米/秒)
做直线运动,则从时刻1t =
秒)
到2t =
秒)内质点所经过的路程等于___(米).
5.以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为____.
三、(8分)设函数 2
1sin 0()sin 0
x x f x x
x x
x ?>?
=??≤?,求f '(x ).
四、计算下列各题(本题共6小题,每小题6分,共计36分). 1. lim (
arctan )2
x x x π
→+∞
-.
2.
2x ?
.
3. 设函数y = y (x )由y = 1 + xe y
确定,求22d d y
x
.
4. 设函数f (x )连续,且
310
()d x f x x x -=?
,求f (7).
5. 4cos y y x x ''+=的通解.
五、(8分)求解微分方程的初值问题:2(1)2(0)1,(0) 3
x y xy y y '''
?+=?'==?.
六、(8分)设函数,
0()1,
x xe x f x x x -?≥=?
+,计算
20
(1)d f x x -?
.
七、(8分)在抛物线y = – x 2 + 1(x > 0)上求一点P , 过P 点作抛物线的切线,使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小.
八、(8分)设函数f (x )在[1, +∞)上连续,由曲线y = f (x ),直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为
2()[()(1)]3
V t t f t f π
=
-,
又已知2
(2)9
f =
,求f (x ). 九、(6分)设函数y =()f x 在(-1, 1)内具有二阶连续导数且()0f x ''≠, (1)证明对于(-1, 1)内任一x ≠ 0, 存在惟一的θ (x ) ∈ (0, 1),使
f (x ) = f (0) + xf '[θ (x )?x ]
成立;
(2)求0
lim ()x x θ→.
答案:一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D
二、1. 1
2
a e -
=. 2. 3
sin 2(sin )dy xf x dx '=. 3. 23
3()1()26
x x f x x o x =++
++. 4.12. 5.y ''+ 4y = 0.
三、112sin cos ,0()sin cos ,
000
x x x x f x x x x x x ?->??'=+?=?? 四、1.1.
2. 2arcsin 2x C ,
3. 2223
(3)
(2)
y d y e y dx y -=-, 4. 1(7)12f = 五. y = x 3 + 3x + 1. 六.
1322e --。 七.
2
)3
P 八.3
1x
y x =
+
十二、高等数学试题 2010/01/16
一.单项选择题(本题共5小题,每小题4分,共计20分)
1.x = 0是函数32sin ()||
1e
=
+
+x
x
f x x 的[ ]间断点. (A) 可去;(B) 跳跃;(C) 震荡; (D) 无穷.
2.设 f (x ) = 2x , 则2ln[(1)(2)()]
lim →∞???n f f f n n = [ ].
(A) ln2; (B) ln 22 ; (C) 2; (D) e
2
.
3.函数sin ()e sin x t x f x tdt π
π
+-=
?
,则f (x ) = [ ].
(A) 正常数; (B) 负常数; (C) 零; (D) 非常数.
4.设y 1 , y 2是二阶线性方程y " + P (x )y ' + Q (x )y = 0的两个解, 那么y = C 1y 1 + C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ].
(A) 12210''+=y y y y ; (B) 12210''+≠y y y y ; (C) 12210''-=y y y y ; (D) 12210''-≠y y y y . 5.若f (x )在[a , b ]上有二阶导数,且f (x ) > 0, 能使不等式()()
()()()()
2
+-<
<-?
b
a
f b f a f b b a f x dx b a 成立的是
[ ]
(A)f '(x ) < 0, f "(x ) < 0; (B) f '(x ) > 0, f "(x ) > 0; (C) f '(x ) > 0, f "(x ) < 0; (D) f '(x ) < 0, f "(x ) > 0. 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共计24分)
1. 若函数1
(1)
0()0
??
+≠=??=?x x x f x a
x 在0x =处连续,则a = .
2. 函数
()sin 22
=
-+x f x x 在(0,)2π内的极小值为 .
3.函数f (x )在(-∞, +∞)是可导的偶函数,且0
(3)(3)
lim 1,2→--=x f x f x
则y = f (x )在点(-3, f (-3))处的切线斜率
为 . 4.若
4
1()2
=
?
x
f t dt x ,则f (1) =___. 5.若f (x )在[,]22ππ
-
上连续,则222
[()()]sin π
π---=?f x f x xdx
6.若方程y ' + y tan x = -2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则0
()
lim →=x f x x
____. 三、计算下列各题(本题共6小题,每小题6分,共计36分).
1.
若2arcsin 2=
a x y a
(a > 0), 求dy dx . 2. 求极限23
1lim(sin )→∞
-x x x x
.
3. 计算不定积分2
(arcsin )?
x dx .
4.
计算定积分
50
?
x . 5
.若3
3,, x t y t ?=???=?,求224
π
=t d y dx
6.如果y = f (x )
满足()?=
+?y x o x ,且f (1) = 1, 求f (x ).
四、(8分)摆线(sin ),
(1cos ),=-??
=-?
x a t t y a t (a > 0)的第一拱(0 ≤ t ≤ 2π), 求(1)该摆线的弧长;(2)该摆线与x 轴围成的平面图
形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.
五、(8分)若? (x )连续,且满足方程0
()e ()()???=+-?
?x x
x x t t dt x t dt ,(1)写出与该方程等价的二阶微分方程
初值问题;(2)求? (x ).
六、(4分)若f (x )在[0, a ]上连续,且
()0=?
a
f x dx ,证明至少存在一点ξ∈(0, a ),使得0
()()0ξ
ξ+=?f f x dx .
答案:一、1. A. 2. B. 3. A. 4.D. 5. D
二、1. e . 2. 6
π
. 3. 2. 4.2. 5.0 6. -2. 三、
1.
2. 16,
3. 2(arcsin )2+-+x x x x C ,
4.6,
5. 4
3
6.
十三、高等数学试题 2011/01/14 一.单项选择题 1.x = 0是函数(1)sin ()||
+=
x x
f x x 的[ ]间断点.
(A) 可去;(B) 跳跃;(C) 震荡; (D) 无穷. 2.下列结论中,正确的是[ ]
(A )有界数列必收敛; (B )单调数列必收敛;(C )收敛数列必有界;(D )收敛数列必单调。 3.设C 1, C 2是任意常数, 则函数y = C 1e x + C 2e -2x + x e x 满足的微分方程式[ ].
(A) y " + y ' - 2y = 3e x ; (B) y " + y ' - 2y = 3x e x ; (C) y " - y ' - 2y
. 4.设函数设f (x )在(-∞, +∞)内连续,其导函数f '(x )(A) 一个极小值点和两个极大值点; (B) 两个极小值点和一个极大值点; (C) 三个极小值点和一个极大值点; (D) 两个极小值点和两个极大值点.
5.设f (x )连续,f (0) = 0, f '(0) ≠ 0, 220
()()()x
F x x t f t dt =-?
, 且当x → 0时,F '(x )与x 是同阶无穷小, 则k = [ ]
(A)1; (B)2; (C)3; (D)4. 二、填空题
1. 设y = ln x , y (n )(1) = .
2.
x = .
3.
121
(cos )x x xdx -+=?
.
4.位于y 轴右侧,x 轴上方,曲线2
1
1y x =
+下方的平面图形的面积为___. 5.水坝中有一直立矩形闸门,宽为3米,高为4米,闸门的上边平行于水面,顶部与水面相齐,则闸门所受到的
水压力为____. 三、计算下列各题
1.
求极限0
x →2. 求函数. ln(1),0,
()sin ,
0,x x f x x x -=?
≥?的导数. 3. 2ln(1),()arctan ,x t f x y t t ?=+=?=-?求221
t d y
dx =.
4. 确定曲线20
()(1)(2)dt x f x t t =--?
的凹凸区间与拐点.
四、求下列积分 1.2cos dx x x ? 2
.
10
x ?
.
五、解微分方程
1.求解初值问题32,
(1)1,(1)2,
xy y x y y '''?-=?'==?
2.求32sin y y y x '''-+=的通解.
六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高 七、设f (x )在[0, 1]上可微,且2
1
120
(1)2
e ()x
f f x dx -=?
,证明至少存在一点ξ∈(0, 1),使得()2()f f ξξξ'=.
答案:一、1. B. 2. C. 3. A. 4.D. 5. C
二、1. 1
(1)
(1)!n n ---. 2. arcsine x + C . 3.
23. 4. 2
π
. 5. 24g(KN). 三、1. 34. 2. 1
,0,()1cos ,0,
x f x x x x ?
'=-??>?, 3. 12, 4.拐点41124(,),(2,)3813-
- 四、1. 2
sin 2cos 2sin x x x x x C +-+. 2.
32
π
五、1. 421
424
x x y =
++. 2. 21231e e cos sin 1010x x y C C x x =+++ 六、max 324,813
V h π==。
十四、高数2012/01/09 一、单项选择题
1.若f (x )在(-∞,+∞)内可微,当?x → 0时,在任意点x 处的?y - d y 是关于?x 的[ ] (A)高阶无穷小; (B)等价无穷小;(C)同阶无穷小;(D)低阶无穷小。
2.1
5|1|
11lim 1
x x x e x -→--
(A)等于5; (B)等于0;(C)为+∞;(D)不存在但不为∞。 3.0tan (1cos )
lim
2ln(12)(1)
x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中a 2 + c 2 ≠ 0, 则必有 (A)b = 4d ; (B) b = -4d ;(C) a = 4c ;(D) a = -4c 。
二、计算
1.求星形线3
3
cos ,
sin ,
x a t y a t ?=??=??在6t π=时的切线方程。 2
.求
?
(a > 0)。
3.求2
2
4
0cos lim
x x x e x -
→-。
4.求解初值问题00|,
t dy
ky
dt y y =?=???=?。
5.设f (x ) ∈ C [-a , a ] (a > 0), 证明:
()[()()]a
a
a
f x dx f x f x dx -=+-?
?,并计算44
1sin dx
x π
π
-+?。
6.确定常数a 和b ,使得当x → 0时,f (x ) = x – (a + b cos x )sin x 是关于x 的5阶无穷小。 7
.求序列1,
n
n 的最大项。
三、计算由椭圆22
221x y a b +=所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的椭球体的体积。
四、函数210()0
x e
x f x x -??
≠=??=?,判断函数f (x )在x = 0处是否可导,如不可导请给出理由;如可导,请求出一阶和
二阶导数,并对n (n ≥ 3)阶导数值给出猜测。
五、设物体A 从点(0,1)出发以常速度v 沿y 轴正向运动,物体B 以常速度2v 从点(-1,0)与A 同时出发,方向始终指向A ,建立物体B 运动轨迹所满足的微分方程。
六、证明:对于每个正整数n ,21
21
222121()135(21)()n n n n n e e
-+-+???-<。
七、f (x )是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式,并且对任意实数x ,f (x ) - f ''(x ) ≥ 0,证明:对任意实数x ,f (x ) ≥ 0。
八、对任意一个定义在[0, 1]上的连续函数f (x ),定义1
20
()()A f x f x dx =?
,1
20
()(())B f x f x dx =?,求f (x )取遍所
有连续函数时,A (f ) – B (f )的最大值。 答案
一、1.A; 2.C; 3.D. 二、
1. )8a y x -
=;
2. ln(x C +;
3. 112-;
4. 0kt y y e =;
5.2;
6. 41,33a b =-=;
7.
三、2
43
ab π。四、()
(0)(0)(0)0n f f f
'''==
==
。五、20
(1)0,(1)1
xy y y ?''+=??
'-=-=??。 六、1
ln[135(21)]ln(21)n
i n i =???
?-=-∑
21
21
1
3
1
ln ln(21)ln n
n n i xdx i xdx -+=<-<∑?
?
七、因f (x )是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式,则存在最小值,设为f (x 0)。
若f (x 0) < 0,因为f (x 0)为最小值,则f ''(x 0) ≥ 0,故f (x 0) - f ''(x 0) < 0, 矛盾 八、1
1
2
2
00
()()[()(())]()[()]A f B f x
f x x f x dx xf x x f x dx -=
-=-??
31
1200()()1
(
)2416
f x x f x x x dx dx +-≤==??。 十五、高数2013/01/08
一、单项选择题
1.当x → 0时,下列4个无穷小中比其它3个更高阶的无穷小是[ ]
(A) ln(1)x +; (B) e 1x
-;(C) tan sin x x -;(D) 1cos x -。
2.设321()3
1
x x f x x x ?≤?
=??>?
,则f (x )在x = 1处[ ]
(A)左、右导数都存在; (B) 左导数存在,但右导数不存在; (C) 右导数存在,但左导数不存在; (D) 左、右导数都存在。 3.设C 为任意实数,F '(x ) = f (x ), 则下列各式中正确的是[ ] (A) ()()F x dx f x C '=+?; (B) ()()f x dx F x C =+?;
(C)
()()d
f x dx f x C dx =+?
;(D) ()()f x dx F x C '=+?。
4.方程e e 4cos x
x
x -+=+在(-∞, +∞)内[ ]
(A)无实根;(B)有且仅有一个实根;(C) 有且仅有两个实根;(D) 有无穷多个实根。 5.微分方程y " + y = sin x 的一个特解的形式为[ ]
(A) sin Ax x ;(B) cos sin A x B x +;(C) cos sin Ax x B x +;(D) cos sin Ax x Bx x +。 二、填空题
1.已知1
1sin sin 0()0
x x x f x x x
b x ?+≠?
=??=?
在0x =处连续,则b =
2.曲线y = ln x 在点 处的切线平行于y = 2x - 3. 3.已知F (x )是sin x 2的一个原函数,则2
(())d F x = 4.微分方程10250y y y '''-+=的通解是 。
5.设()lim x
x x t f x t x t →∞
+??
= ?-??
,则(0)f ''= 。
三、计算题 1.求2
2
ln sin lim
(2)
x x
x π
π→
-。 2.设33
cos sin x a t y a t ?=?=?
,求22d y dx 。 3.已知方程22
1
cos y x
x x
t x e dt tdt ++-=?
?
确定函数y = y (x ),求
x dy dx
=。
四、计算积分
1.求2
cos x xdx ?
。
2
.求
1。 五、求曲线2
1
y x x
=+
的凹凸区间、拐点及渐近线。 六、一密度为2.5?103(单位:kg/m 3),底半径为r (单位:m),高为h(单位:m)的金属圆柱体放入水中,上底面与水面相切,求将这个圆柱体捞出水面所做的功。
七、设函数f (x )满足方程2()3()6xf x f x x '-=-,且由曲线y = f (x ),直线x = 1与x 轴围成的平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小,试求D 的面积。 八、设函数f (x )在[0, 1]上非负连续,证明:
(1)存在0(0,1)x ∈,使在0[0,]x 上以f (x 0)为高的矩形面积S 1等于在0[,1]x 上以y = f (x )为曲边的曲边梯形面积S 2。 (2)若函数f (x )在(0, 1)内可导,且2()
()f x f x x
'>-,则(1)中的x 0是唯一的。 答案
十六、高数2014/01/13
一 单项选择题(每小题4分,共24分) 1 若函数)(x f 满足
)()('x f e x f =,且1)0(=f ,则 =)0()(n f ( ).
A: n
e n ?-)!1(, B: n
e n ?!, C: 1
)!1(-?-n e
n , D: 1
!-?n e
n .
2 对于积分 2sin sin 0(2
2),x
x I dx π
-=-? 则 I ( ).
A :=2π B: 0= C :0< D :0> .
3 设 ??
?
??<-+≥=111)(,,2
3
x x x x x x f ,则)(x f 在]20[,上满足的Lagrange 中值定理的ξ =( ).
A :
23, B : 47, C :2
3
或47, D :23± 或47.
4 极限
=+?→)
1ln(1
)sin (lim
x x x x
x ( ).
A :61e
B :6
1-e C :3
1-e
D :3
1e
5 若)(x f 连续,且
?
->0
1
0)(dx x xf , 1
()0xf x dx >?, 则( ).
A :当)1,1(-∈x 时,0)( B :当)1,1(-∈x 时,0)(>x f , C :)(x f 在)1,1(-至少有一个零点. D: )(x f 在)1,1(-必无零点. 6 若函数 dt t f x t x F x )()2()(0 ?-= ? , 其中)(x f 在)1,1(-二阶可导, 并且0)('>x f ,当)1,1(-∈x 时, 则( ). A: )(x F 在0=x 取极大值 ; B: )(x F 在0=x 取极小值 ; C: )(x F 在0=x 不取极值 , 点)0,0(也不是曲线)(x F y =的拐点; D: )(x F 在0=x 不取极值, 但是点)0,0(是曲线)(x F y =的拐点. 二 填空题(每小题4分,共24分) 7 函数 32()61f x x x =-+ 在(1,1)x ∈-的极大值是 ( ). 8 反常积分 =-? ∞ dx x x 2 1 1( ). 9 曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线经过原点,则常数=2 k ( ). 10 曲线 ?=x tdt y 0 tan 位于4 0π ≤≤x 的弧长是( ). 11 若(),()f x g x 在(,)-∞+∞连续,且 2 ()()10,g x f x dx x ? =? 则 1 2 ()()g x dx f x dx ?=? ? ( ). 12 若二阶常系数线性非齐次方程 )('"x f qy py y =++ 的三个解是: )(21x x e e x y --+=,x x e xe y 22--+=,x x e x xe y 23)1(--++=, 则q p 42 -=( ). 三 解答下列各题,应有必要的步骤或说明(共52分) 13 (8分)求) sin(1 )(2x x x f ?-=π 的间断点,并指出其类型. 14 (8分)若()f x 非负连续,且40 ()()sin ,x f x f x t dt x ? -=? 求()2 f π 的值. 15 (8分) 确定ξ,,b a 的值,使得x x b x a x x f 22 34)(2 34+++= 在2-=x 处 取极值,在ξ=x (2-≠ξ)处使0)('=ξf ,但)(ξf 不是极值. 16 (8分)求解二阶初值问题:?? ? ? ??? ==+=+0)0('0)0()2cos (214"y y x x y y . 17 (8分)设 2 11,0 ()0,t x e dt x f x e x --?≥?=?? ?, 计算 dx x f x )1()1(0 2 2++? -. 18 (8分)求在上半平面由曲线 x =,22y x =-和y x =-所围成 的平面图形, (1)面积,(2)围绕 y 轴旋转一周的立体体积. 19 (4分)若x ∈[0,1]时,"()0f x >,证明:对任意正常数α, 1 1 ()( )1 f x dx f αα≥+? . 参考答案 一 A B A B C D ; 二 7: 1, 8: 2π, 9: 32 1, 10: )12ln(+, 11: 5, 12: 0. 三 13 间断点是 k x =, (k 是整数) ,……….. 2分 ππππ2 cos 2sin 1lim lim 121 -=?=-→→x x x x x x ,…..x=1是第一类(可去)间断点…. 4分, π πππ2 cos 2sin 1lim lim 121 =?=--→-→x x x x x x ,….. x= -1是第一类(可去)间断点…..6分, ∞=-±≠→x x k k x πsin 1 2)1(lim ,….. k x = 1(±≠k )是第二类(无穷)间断点 ….. 8分. 14 解 ()()x x f x t dt x t u f u du F x --=? ? 记为() , ……… 2 分 则'()()F x f x =, 于是 440 ()()sin '()()sin x f x f x t dt x F x F x x ? -=???=? , 24 ()2sin ()dF x xdx F x ∴=??=4分 4()'()f x F x ∴== ……………………6分 取 ,2 x π = 则4 sin ()2f π π== =… 8分 15 解 显然 2)('23+++=bx ax x x f …………… 1分 由题意知道 2)()2()('ξ-?+=x x x f ……. 4分, 比较 22 3 +++bx ax x 2)()2(ξ-?+≡x x , 则 1,4, 2222=-=+-=ξξξξb a , 301-===?????b a ξ……. 6分 , 541==-=?? ? ??b a ξ…………8分 . 16 解 特征方程 042 =+r , i r 22,1±=, 齐次方程 04"=+y y 的通解是x C x C y h 2sin 2cos 21+= ……… 2分 显然非齐次方程 x y y 214"=+ 的特解8 1x y p =, ……. 3分 非齐次方程 x y y 2cos 2 1 4"= + 的特解)2cos 2sin (2x b x a x y p +=, 不难求出0,81==b a , 则 x x y p 2sin 8 2= ……………. 4分 原方程通解为 x x x x C x C y 2sin 8 82sin 2cos 21+++= …….6分 代入?? ? ?? 0 '0, 0===y y x , 则 01=C , 1612-=C , 所求初值问题是 x x x x y 2sin 8 82sin 161++-=,……………………… 8分 17 dx x f x )1()1(0 2 2++? - t x =+1令 dt t f t )(?-112 ……………. 2分 = )()(3 3 1 1 1 2t d t f dt e t ? ?+-- ………… 4分 = +e 31?---1031032313dt e t t f t t )()( = )(21 026 1031t e d t e -?-+ = 1 010*********t t e e t e ---- = 6 1 . ………. 8分 18 解 2 2y x x =-??=?,交点 A (1, 1), 22y x y x =-??=-? 交点B (-1,1) …………….2 分 (1) 1 2 1 1512(2)022A x dx x dx -= --=-?? ………………..6分 (2) 1 1 2 30 2(2)2y V x x dx x dx ππ=--?? = π ………8分. ( 或 12 1 (2)y V ydy y dy πππ =+-=?? …….8分) 19 证明(法1) 利用Taylor 定理 211111()( )'()()"()()1112!1f x f f x f x ξαααα=+-+-++++ 111( )'()()111 f f x ααα≥+-+++ ………. 2分 ()f x α ∴≥111( )'()()111 f f x αααα+-+++ ……….. 3 分 1 1 10 01111 ()( )'()()().1111 f x dx f dx f x dx f αααααα≥+-=++++? ??……4分 证明 (法2) 左-右= 11110 1 11[()( )][()()]11f x f dx f x f dx αααααα++-+-++? ? =11110 1 11'()()'()()11f x dx f x dx α αααξηαα++? -+?-++? ?, 01ξη<<<, = 2 (1)1 ['()'()](1) f f αααηξα++-?-+ = 2 (1)1 ''()()0(1)f αααδηξα++-?-≥+ . 八、高等数学试题 2005/1/10 一、填空题(本题20分,每小题4分) 1.已知==?? ? ??-+∞→a a x a x x x ,则9lim 2.设函数?????>+≤+=1 1 12)(2x b ax x x x f ,,,当a = ,b = 时,f (x )在x =1处可导。 3.方程017 =-+x x 共有 个正根。 4.当=x 时,曲线c bx ax y ++=2 的曲率最大。 5. ?=20sin π xdx x 。 二、选择题(本大题24分,共有6小题,每小题4分) 1.下列结论中,正确的是( ) (A )若a x n n =∞ →2lim ,a x n n =+∞ →12lim ,则a x n n =∞ →lim ; (B )发散数列必然无界; (C )若a x n n =-∞ →13lim ,a x n n =+∞ →13lim ,则a x n n =∞ →lim ; (D )有界数列必然收敛。 2.函数)(x f 在0x x =处取得极大值,则必有( )。 (A )0)(0='x f ; (B )0)(0<''x f ; (C )0)(0='x f 或)(0x f '不存在; (D )0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3.函数?= x a dt t f x F )()(在][ b a ,上可导的充分条件是:)(x f 在][b a ,上( ) (A )有界; (B )连续; (C )有定义; (D )仅有有限个间断点。 4.设?-+=2242 cos 1sin π πxdx x x M ,?-+=2243)cos (sin π πdx x x N ,?--=22 432)cos sin (π πdx x x x P ,则必有关系式( ) (A ) M P N <<;(B )P M N <<;(C )N P M <<;(D )N M P <<。 5.设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数,如果0)()(00=''='x f x f ,而0)(0≠'''x f ,则必有( )。 (A )0x 是极值点,))((00x f x ,不是拐点; (B )0x 是极值点,))((00x f x ,不一定是拐点; (C )0x 不是极值点,))((00x f x ,是拐点; (D )0x 不是极值点,))((00x f x ,不是拐点。 6.直线3 7423z y x L =-+=-+: 与平面3224=--z y x : π的位置关系是( ) (A )L 与π平行但L 不在π上; (B )L 与π垂直相交; (C )L 在π上; (D )L 与π相交但不垂直。 6.微分方程x x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为( ) (A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=; (B )x x e c x b ae y 32)(*++=; 2008~2009学年第二学期 试题 一、单项选择题(本题共4小题,每小题4分,共计16分) 1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义,且(0,0)3x f =,(0,0)1y f =-,则[ ] (A)(0,0) 3dz dx dy =-; (B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-; (C)曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3); (D) 曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1) 2. 设1 0 (1,2,)n u n n ≤< =L ,则下列级数中必收敛的是[ ] (A)1 n n u ∞ =∑; (B) 1 (1)n n n u ∞ =-∑; (C) 1 n ∞ = (D) 21 (1)n n n u ∞ =-∑. 3. 如果81 lim 1=+∞→n n n a a ,则幂级数∑∞ =03n n n x a [ ] (A) (B) (C) (D) . 4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域,则222x y z dv Ω ++???= [ ] . (A) 545a π; (B) 44a π; (C) 543a π; (D) 52 5 a π. 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共计24分) 1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 . 2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 . 3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段,则曲线积分 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无 穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x , 则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且 →=0 () lim x f x A x ,A 为常数. 求'() g x 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 一、高等数学试题 2007/1/14 二、填空题(将正确答案填在横线上,本大题共6小题, 每小题4分, 共24分) 1.120 lim(1sin 3) ________x x x →+=. 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)共有______个根. 3. 7 222 (1)sin x xdx π π-+=?_________. 4. ________dx =. 5.球体半径的增长率为0.02m/s ,当半径为2 m 时,球体体积的增长率为_________. 6. 幂级数0!n n n n x n ∞ =∑的收敛半径R = . 三、计算题(6分?4 = 24分) 1.设23 21ln ,.t x t d y y t dx ==??=? 求 2.求201 1lim tan x x x x →??- ?? ?. 3. 求 2. 4.已知 ,2) 1(1 1 =-∑∞ =-n n n u ,51 1 2=∑∞ =-n n u 求1 n n u ∞ =∑ 四、(10分)设y = x e -x (0 ≤ x < +∞),求函数的极大值,函数曲线的拐点,并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所 围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数3 41 )(2 ++= x x x f 展开成(x -1)的幂级数.并给出收敛域。 六、(8分)设2,01 (), 1,x x f x ax b x ?≤≤=?+>?适当选取a , b 值,使f (x )成为可导函数,令0 ()()x x f t dt ?=?,并求 出?(x )的表达式. 七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数,且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证:?ξ∈(a , b ),使f ''(ξ) = 0. 答案:一、1.(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32 e 2.1 3.2 π 4.2 (arctan C + 5. 0.32π 6.e. 三、1. 9. 2. 13. 3. 1 2arcsin 22 x C -. 4.8. 四、极大值1(1)y e =, 拐点222,e ?? ??? ,面积223A e e =-,体积245134V e e π??=- ???。 五、2 221 x y x = -. 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂,则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小; (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小;(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小>0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值; (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值; (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线>'=F(x)的拐点; (D) 函数F(x)在* = °处没有极值,点(°,F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数,-W(x) = x + 2j o* f(t)dt,贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定,求0(兀)以及以。). ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 汇编语言程序设计试题 注意:本试卷的一、二大题的答案涂在答题卡上,三、四、五、六大题的答案答在答题纸上。并且要正确地书写站点、班级、学号及姓名。 一、单项选择题(从四个备选答案中选出一个正确的答案涂在答题卡上)(20分) 1. 指令MOV AL,100H[SI]的源操作数的寻址方式为()。 A. 基址寻址 B. 寄存器间接寻址 C.变址寻址 D.基址变址寻址 2.确定下列哪些数据在汇编语言中的表示是合法的()。 A. AL+3 B. 25D AND 36H C. 108Q D. 102B 3.若栈顶的物理地址为20100H,当执行完指令PUSH AX后,栈顶的物理地址为()。 A. 20098H B. 20102H C. 200FEH D. 20100H 4. JMP WORD PTR[SI] 的目标地址偏移量为()。 A. SI的内容 B. SI所指向的内存字单元的内容 C. IP+SI的内容 D. IP+[SI] 5. NEXT是程序中某指令语句标号,下述哪个程序段不能实现转移到NEXT语句执行()。 A. JMP NEXT B. MOV BX,OFFSET NEXT JMP BX C. MOV BX,NEXT D. LEA AX,NEXT JMP BX JMP AX 6. 已知AX=8065H,BX=103AH,则指令ADD BL,AL执行后,OF和CF的值分别为()。 A. 0,0 B. 0,1 C. 1,0 D. 1,1 7. 已知AL,BX中各存放一个带符号数,计算AL*BX的积,用下述程序段()。 A. XOR AH,AH B. CBW MUL BX MUL BX C. XOR AH,AH D. CBW IMUL BX IMUL BX 8. 当CX=0时,REP MOVSB执行的次数为。 ( ) A. 1次 B. 0次 C. 25535次 D. 25536次 9. 已知CALL DWORD PTR[BX]执行前SP=100H, 执行后SP的内容为 ( ) A. 0FEH B. 0FCH C. 104H D. 96H 10. 下面各组语句在语法上正确的是() A. X EQU 100 B. X EQU 100 X EQU X+X X = X+X C. X = 100 D. X = 100 X EQU X+X X = X+X 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 ππ-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 201lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设2,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. (6分)求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 方法、知识点总结(知识重点和考题重点) 前三章重点内容(知识重点): 1、蕴含(条件)“→”的真值 P→Q的真值为假,当且仅当P为真,Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真,推出后件也为真。 <2>假设后件为假,推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用 4、重要公式 重言蕴涵式:P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式:幂等律P∧P=P P∨P=P 吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法(最方便就是真值表法) 6、派遣人员、课表安排类算法: 第一步:列出所有条件,写成符号公式 第二步:用合取∧连接 第三步:求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证:其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意:任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式 量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式, 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充); 2)如果量词前有“﹁ ”,则用量词否定公式﹁ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式,将“﹁ ”后移到原子谓词公式之前; 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备); 4)用量词辖域扩充公式提取量词,使之成为前束范式形式。 简要概括:1、去-> ,<-> 2、移﹁ 3、换元 4、量词辖域扩充 高等数学上(1) 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 高等数学I 1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1 (B ) e (C ) a e cot (D ) a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1 (B ) 0 (C ) e (D ) 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f ' (C) )(a f ' (D ) ) (31 a f ' 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) . 三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分) 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-. 东北大学高等数学(上)期末考试试卷 2006.1. 一、选择题(本大题24分,共有6小题,每小题4分) 1.下列结论中,正确的是( ) (A )有界数列必收敛; (B )单调数列必收敛; (C )收敛数列必有界; (D )收敛数列必单调. 2.函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义,对于下面三条性质:≠)(x f 在0x 点连续;≡)(x f 在0x 点可导;≈)(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ?”表示由性质P 推出性质Q ,则应有( ). (A )≡?≈?≠; (B )≡?≠?≈ ; (C )≈?≠?≡ ; (D )≠?≡?≈ . 3. 曲线3x y x = -( ). (A )既有水平渐近线,又有垂直渐近线; (B )仅有水平渐近线; (C )仅有垂直渐近线; (D )无任何渐近线. 4.函数)(x f 在[,]a b 上有定义,则()()b a f x f x dx = ? 存在的必要条件是( ) (A ))(x f 在[,]a b 上可导; (B ))(x f 在[,]a b 上可导连续; (C ))(x f 在[,]a b 上有界; (D ))(x f 在[,]a b 上单调. 5.()y y x =是微分方程23x y y e ''+=的解,且0()0y x '=. 则必有( ) (A )()y x 在0x 某邻域内单调增加; (B )()y x 在0x 某邻域内单调减少; (C )()y x 在0x 取极大值; (D )()y x 在0x 取极小值. 6.若)(x f 的导函数是sin x ,则)(x f 有一个原函数是( ). (A )1sin x +; (B )1sin x -; (C )1cos x -; (D )1cos x +. 二、填空题(本题36分,每小题4分) 1.1lim 1x x x x →∞+?? = ?-?? . 2.1()11f x x = + 的可去间断点是x = . 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) . 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) . 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) .求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 .y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) (2010至2011学年第一学期) 课程名称: 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查): 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、 如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷 分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分) 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1; (B) 0; (C) 2; (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ,则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(; (B) c e F x +--)(; (C) c e F x +-)(; (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ; (B)dx x ? -1 11; (C) dx x x ?+∞∞-+2 1; (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数,则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导,则)(x f 一定连续; (B) )(x f 可微,则)(x f 不一定 可导; (C) )(x f 可积(常义),则)(x f 一定有界; (D) 函数)(x f 连续,则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ,则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点; (B) 存在间断点1=x ; (C) 存在间断点0=x ; (D) 存在间断点1-=x 二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分) 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ,则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续,且22 ) (lim 2=-→x x f x ,则_____)2(='f 5.由实验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s 成正比,即ks F =(k 为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm 时,所作的功为_________焦耳。 6.曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时,)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小,求常数c b a ,,的值(6分) 2011 学年第一学期 《高等数学( 2-1 )》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1.请在试卷正面答题,反面及附页可作草稿纸; 2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁; 3.本试卷共五道大题,满分100 分;试卷本请勿撕开,否则作废. 本页满分 36 分 本 页 得 一.填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共计 20 分) 分 1 lim( e x x) x 2 . 1. x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2. 1 . x y t 2 dy 3.设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定,则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ,则 f x 可导,且 1 , f (0) . 5.微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二.选择题(共 4 小题,每小题 4 分,共计 16 分) . f ( x) ln x x k 1.设常数 k e 0 ,则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2. 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为( ( A ) y Acos2 x ; ( B ) y ( C ) y Ax cos2 x Bx sin 2x ; ( D ) y * 3.下列结论不一定成立的是( ) . ) 内零点的个数为( 个 ; (D) 0 个 . ) . Ax cos2x ; A sin 2x . ) . d b x dx ( A )若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 (B )若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T ( C )若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt (D )若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的( ). (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三.计算题(共 5 小题,每小题 6 分,共计 30 分) 东北大学网络教育入学测试机考模拟题 高起点数学 1、题目B1-1:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 2、题目B1-2:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 3、题目B1-3:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 4、题目B1-4:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 5、题目B1-5:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:A 6、题目B1-6:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 7、题目B1-7:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 8、题目B1-8:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 9、题目B1-9:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 10、题目D1-1(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 11、题目B1-10:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 12、题目D1-2(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 13、题目B1-11:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 14、题目D1-3(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 15、题目D1-4(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 16、题目D1-5(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 17、题目D1-6(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 18、题目D1-7(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 19、题目D1-8(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 20、题目D1-9(3)( ) 一.填空题(共5小题,每小题4分,共计20分) 1. 2 1 lim() x x x e x →-= .2. ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3.设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定,则 x dy dx == .4. 设()x f 可导,且1 ()()x tf t dt f x =?,1)0(=f , 则()=x f .5.微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二.选择题(共4小题,每小题4分,共计16分) 1.设常数0>k ,则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为( ). (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2. 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为( ). (A )cos2y A x *=; (B )cos 2y Ax x * =; (C )cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; (D ) x A y 2sin *=.3.下列结论不一定成立的是( ). (A )若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;(B )若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;(C )若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;(D )若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的( ). (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三.计算题(共5小题,每小题6分,共计30分) 1. 计算定积分 2 30 x e dx - 2.2.计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程. 大一高等数学期末考试试卷 (一) 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 π π -?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 2 1lim sin x x x →= . 4. (3分) 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设1 y x = +求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? (二) 一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数()2 312 2 +--= x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2.函数()2 1ln x y +=,则= 'y . 3. =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4.曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .东北大学历年期末高等数学试题
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