高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式3

3.4基本不等式2b a ab +≤ 一、三维目标： 1、知识与技能： 理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题 2、过程与方法：能够理解并建立不等式的知识链3、情感、态度与价值观：通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识4、本节重点：应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程5、本节难点：应用基本不等式求最值二、课程引入：第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：四个以a ，b 为直角边的直角△ABC ，组成正方形ABCD则22b a DA CD BC AB +====22b a S ABCD += ab S ABE 21=∆ 如图可知：ABE ABCD S S ∆≥4 即ab b a 222≥+当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号，即b a b a ==-,0时取得等号三、新课讲授：（一）基本不等式的推证：1、重要不等式与基本不等式由引入中提到的重要不等式ab b a 222≥+，将其中的b a ,用b a ,代换，得到基本不等式2b a ab +≤，当且仅当b a =时，即b a =时取得等号。

特别注意，重要不等式ab b a 222≥+的适用范围是全体实数，而基本不等式2b a ab +≤的使用需要0,0>>b a 2、基本不等式的几种表述方式平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理） 数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长3、分析法推证基本不等式要证2b a ab +≤，只需证明ab b a 2≥+（2）。

要证明（2）只需证明02≥-+ab b a （3）。

要证明（3）只需证明0)(2≥-b a （4）。

（4）式显然成立，故得证。

（二）基本不等式的应用与提高：1、你是设计师！（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。

有以下两种方案：圆形花圃：造价12元/米 矩形花圃：造价10元/米你觉得哪个方案更省钱呢？分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。

但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。

圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。

在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。

圆形花圃：元花费约为圆432,202,10,1002ππππ=====r C r r S矩形花圃：设两边为x ，y ，404)(2=≥+=xy y x C ，故当x=y 时花费最少为400元（2）现在只有36米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？ 解：281m 81,218218,36)(2时，面积有最大值为当且仅当y x xy S xy xy y x y x y x C =≤=∴≥∴≥+=+=+=（3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。

那么发挥你的聪明才智，用这36米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？2、看谁算得快！3、大家来挑错！ 分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。

2162m S 2162223622有最大值为时，当且仅当解：的最大值的问题为定值，求分析：已知y x xy y x y x xy S y x =∴≤∴⋅≥=+=+______,4)1(值为有最则若y x y x ⋅=+______,4)2(值为有最则若y x y x +=⋅_______,___,82)3(==⋅=+y x y x y x 此时值为有最则若__________326)4(==+=⋅y x y x y x 此时值为有最则若________4,0)5(=+>a a a a 此时值为有最则已知________4,0)6(=-->a a a a 此时值为有最则已知________4,0)7(=+<a aa a 此时值为有最则已知的值域求函数xx y 4)1(+=)4[4424∞+∴=⋅≥+=，函数值域为解：x x x x y 的最小值求已知34,3)2(-+>a a a 834,4,34,34234,03,3取得最小值为时即当解：-+=-=-⋅≥-+∴>-∴>a a a a a a a a a a a本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。

提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。

本题的解答没有注意αsin 本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。

提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。

（三）小结：1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。

2、积定和最小、和定积最大。

3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”四、作业：1、书后练习题。

2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。

五、课后反思：1、多媒体的运用。

在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。

2、 应该引导学生多种思路考虑问题 比如y x xy S 221⋅==这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。

3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。

因此上在这个阶段不应该做过难的题目。

一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。

本课中设计了一些基本可以口答的小题，让学生在很短的时间中完成。

这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提高学生解题效率。

4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。

本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。

同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。

天津市二十中学归娜 的最小值，（其中求函数]20sin 4sin )3(πααα∈+=y 。

函数的最小值为解：44sin 4sin 2sin 4sin ∴=⋅≥+=ααααy 的最大值的问题为定值，求已知xy S y x =+2小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？01学习内容的自主性1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。