间断有限元一维最简例子
一维浅水方程的Runge-Kutta间断有限元数值模拟与应用的开题报告
一维浅水方程的Runge-Kutta间断有限元数值模拟与应用的开题报告1.问题背景:随着人类社会的不断发展，各种工程问题对于海洋流动的研究越来越受到关注。
其中，利用数值模拟方法研究一维浅水方程变得越来越重要。
目前，数值模拟方法已经被广泛应用于海洋工程领域。
尤其是近年来，随着计算机技术的飞速发展，数值模拟方法的准确度和计算效率也得到了大幅提高。
然而，到目前为止，还没有一种普适的数值方法能够完美地解决海洋工程中各种复杂的流动问题。
因此，在这样的基础之上，本文将研究一维浅水方程的数值模拟计算方法，探究其在海洋工程领域的应用。
2.研究目的:对于海洋工程领域的问题，数值模拟方法被广泛应用。
因此，本文旨在探究一维浅水方程的数值模拟计算方法，并应用于实际问题中。
具体目的包括以下几点：（1）研究一维浅水方程的基本概念和模型；（2）探究一维浅水方程的有限元数值模拟方法；（3）使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算；（4）将有限元数值模拟方法应用于海洋工程领域的问题中，验证其实用性和可行性。
3.研究内容:（1）一维浅水方程的基本概念和模型本文将首先介绍一维浅水方程的基本概念和模型，包括基本方程和边界条件等内容。
（2）一维浅水方程的有限元数值模拟方法一维浅水方程的有限元数值模拟方法是本文的重点研究内容。
本文将介绍基于有限元方法的数值模拟方法，并探究其数值解的收敛性和稳定性等方面的问题。
（3）使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算本文将使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算，并详细分析计算结果。
（4）将有限元数值模拟方法应用于海洋工程领域的问题中本文将应用有限元数值模拟方法对海洋工程领域的问题进行研究，并详细探究其实用性和可行性。
4.研究方法:本文将主要采用以下研究方法：（1）文献调研：本文将通过查阅相关文献，深入了解一维浅水方程的基本概念和模型，并研究有关数值模拟方法的文献。
偏微分课程课件12_有限元离散方法(一维问题)
0
0
n1
则 uei Cei u, vei Cei v
n
n
v K u T
ei
ei ei
unvn
v F T ei ei
vn
i 1
i 1
uei Cei u, vei Cei v
vT
n i 1
CT ei
K C ei ei
u
unvn
vT
n i 1
C F T
ei
ei
2
i=1,2,3,4
Ku 0,L 0, un T F 0,L 0,1T
C K C T ei ei ei
xi
Kei
pBT B qN T N dx
xi1
O M M M M N
L 0 0
0
0
L
L L
0 0
k ei i 1,i 1
k ei i ,i 1
k ei i 1,i
k ei i ,i
0 L
0
L
2）转化为变分问题 考虑空间：
V S01 v
b a
v2
dv dx
2
dx
v(a)
0
任取v∈V, 乘方程两边
－ d ( p du) qu f , dx dx
－ddx
(
p
du dx
)
qu
v
fv
两边积分
b a
－d dx
(
p
du dx
)
qu
vdx
b a
fvdx
b － d
uh( x)
Nuei , 其中N
xi hi
x
,
x
有限元分析3.一维单元
2013-7-12
10
3. 实例
（a）悬臂梁在X＝4cm处的温度由单元（2）来表示：
T
(2)
X3 X X X2 S T S T T2 T3 l l
(2) 2 2 (2) 3 3
54 42 T 41 34 36.3 C 3 3
x
1
(1) 2
2cm
(2)
3cm
2x 1 l
这里x是局部坐标，局部坐标与自然坐标的关系如图所示。
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通过将由 表示的x带入形函数的表达式能够 得到自然线性形函数。自然线性形函数具有线性 形函数相同的性质。
1 si (1 ) 2
1 s j (1 ) 2
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30
3.4.2 一维自然二次和三次形函数
• 在形函数的性质中,二 次形函数关于X的导数 之和不为零.
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3.3 一维四节点单元
在有限元公式中，二次插值提供了较为精确的结果。然 而，如果需要更高的精度，可以使用更高阶的插值函数，例 如三次多项式。这样可以使用三次函数表示给定变量的空间 变化。用三次函数代替二次函数，要求使用四个节点来定义 一个单元，这是因为至少要有四个节点才能确定一个三阶多 项式。单元被分成等长的三段。四个节点的取法如图所示。 应用三次近似考虑上例，典型单元的温度分布可以表示为：
u a1 a 2 x a 3 x
u 1 x
2
a 1 x2 a2 a 3
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• 如单元的温度分布可 以表示 为:
T
e
c1 c 2 X c 3 X
间断有限元方法
2016 年夏季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:间断有限元方法及其应用学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:学生姓名:学号学生类别考核结果阅卷人1．引言间断Galerkin(DG)方法兼有有限元与有限体积方法的特征。
如同一般有限元方法那样，DG方法利用单元多项式空间作为近似解和检验函数空间，但是与传统的有限元方法不同,有限元函数空间基函数都是完全间断的分片多项式，各个单元之间的通信也需要像有限体积方法那样通过在单元边界上构造合适的数值流通量来实现。
因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限体积方法的优点，又克服了各自的不足。
该方法可采用局部高阶插值的方法构造基函数，具有灵活处理边界条件以及可显式求解间断问题的能力，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点,以及有限体积方法必须通过扩大模板进行重构来提高精度的不足。
因此间断Galerkin(DG)方法的出现拓展了传统有限元方法的应用范围,改善了人们对传统有限元方法的认识。
2．DG的基本概念间断Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年为解决中子输运方程问题而提出。
随后众多学者对间断有限元方法提出了改进和发展特别是90年代以来,以Cockbum和舒其望为代表提出了Runge-Kutta间断Galerkin(RKDG)方法，该方法结合TVD(TVD:Total Variation Diminishing) Runge-Kutta 时间离散方法和间断有限元求解一维双曲守恒律方程（组）以至于高维双曲守恒律方程（组），能够适合复杂计算区域和边界条件，可以精确的捕捉激波和接触间断。
它不但在光滑区域可以保证高精度，而且在间断区域可以保持数值无振荡，分辨率高，可以证明收敛到熵解。
这些优点使得RKDG成为计算流体力学流行的方法之一，并被广泛应用到气象学、海洋学、湍流、电磁学、石油勘探、水动力学等离子物理和图像处理等领域。
同样是在20世纪70年代,内惩罚(IP: Interior Penalty)类方法被独立地提出来求解摘圆和抛物方程。
第4章有限元法基础——一维单元
i
X X j
j
X X k
k
X X m
m
（注：上图中T参数代表参数）
将节点的值代入上面方程中，产生四个方程：
i c1 c2 X i c3 X c4 X
2 i
2 j
2 k
3 i
3 j
j c1 c2 X j c3 X c4 X
k c1 c2 X k c3 X c4 X
3 k
2 3 m c1 c2 X m c3 X m c4 X m
c 求解 c1 ，c 2 ， 3 和 c 4 ，整理后得到由节点的值 （自由度）和形函数表示的单元温度分布：
(e) Si i S j j Sk k Sm m
(e)
i X j j X i X j Xi
Xj X
j i X j Xi
X
对 i 项和 j 项进行分组，我们得到：
(由节点的值和形函数表示单元的物理量)
(e)
X Xi ) j ( ) i ( X j Xi X j Xi
定义形函数 S i 和 S j :
(1) 线性形函数在相应的节点上值为1， 在相邻的节点上为0。
(2) 线性形函数的和为1。 (3) 线性形函数对于X的导数和为零。
例：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置。
求悬臂梁在（a）X=4cm和（b）X=8cm处的位移。
解（a）在X=4cm处的位移由单元(2)来表示：
X3 X X X2 Y S y 2 S y3 y2 y3 l l 54 42 Y 0.06 0.3 0.22(cm) 3 3
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
一维有限元法
ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数 注意：关键是 设位移函数， 在很短范围内 认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =
计算结构力学有限元方法_一维结构
有限元法基本概念
有限元方法
有限元法的基本工作包括两大部分：
1. 单元分析：即探讨单元的力学特性。它包括选取单元的试 探函数、推导表征单元刚度或柔度特性的单元刚度，或者柔 度矩阵。
Ve
Se
∫ ∫ PVe
= Ve NTXdV，PSe
NTqdS 对应体力/面力的等价节点力
Se
令：Re = PVe + PSe + Pe
∑ ∑ = Π m 1UeT KeUe − m UeT Re
2 =e 1=e 1
由于整体序号和局部序号存在一一对应关系，将Ke和Re按结
构结点位移列阵的自由度数和排列顺序添零升阶，进行膨胀，
8
2
16
空间任意 六面体元
8
3
24
三角形环元
轴对称元
八节点 等参元
3
2
6
8
2
16
有限元通用方程
有限元方法
设作用某个单元各节点上的节点力和节点位移分别为：
Se = S1 S2 Sn T ； Ue U1 U2 Un T
构造单元的位移函数如下：
u = NUe
其中，u：单元内任一点的位移函数，Ue：单元的节点位移 列阵，N：形状函数。
Se
上式中，m：单元总数，X：作用在单元上的体力，q：作用
在单元上的分布面力，Se：单元的边界，Ve：单元的体积。 Pe：单元的节点外载荷列阵。
有限元方法
上式可以进一步写成：
∑ ∫ ∑ ∫ ∫ Π