第12讲代数式
第12讲 因式分解(四)
随 堂
练
习
1．求方程 xy−2x−2y+7=0 的整数解。 解：xy−2x−2y+4=−3，得到(x−2)(y−2)=−3，其中 x−2、y−2 都是整数，
所以有
x − 2 =1 x − 2 = −1 x − 2 = 3 x − 2 = −3 或 或 或 ， y − 2 = −3 y − 2 = 3 y − 2 = −1 y − 2 = 1
2 2 8 4 2 时，f( )= 3 + + − 2 =0，所以原式有因式为(3x−2)， 3 3 27 9 3
3x3+x2+x−2=(3x3−2x2)+(3x2−2x)+(3x−2) =x2(3x−2)+3x(x−2)+(3x−2)=(3x−2)(x2+3x+1)。 例 2． （1）分解因式：8x4+6x3−19x2+3x+2。 （2）分解因式：x6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1。 解： （1）当 x=1 时，f(1)=8+6−19+3+2=0，所以原式有因式(x−1)， 8x4+6x3−19x2+3x+2=(8x4−8x3)+(14x3−14x2)−(5x2−5x)−(2x−2) =8x3(x−1)+14x2(x−1)−5x(x−1)−2(x−1)=(x−1)(8x3+14x2−5x−2) =(x−1)[(8x3−4x2)+(18x2−9x)+(4x−2)]=(x−1)(2x−1)(4x2+9x+2) =(x−1)(2x−1)(4x+1)(x+2)。 6 （2）x +2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1=(x6+1)+(2x5+4x3+2x)+(3x4+3x2) =(x2+1)(x4−x2+1)+2x(x2+1)2+3x2(x2+1) =(x2+1)(x4+2x3+2x2+2x+1)=(x2+1)[(x4+2x2+1)+(2x3+2x)] =(x2+1)[(x2+1)2+2x(x2+1)]=(x2+1)4(x2+1+2x)=(x2+1)4(x+1)2。 例 3．阅读下列材料：已知二次三项式 2x2+5x+m 有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及 m 的值。 解：设另一个因式为(2x+n)，得 2x2+5x+m=(x+3)(2x+n)， 展开得 2x2+5x+m=2x2+(n+6)x+3n，
第12讲 角及余角、补角、对顶角(9大考点)(解析版)
第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）考点考向一、角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．二、角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
代数式 课件(共12张PPT)
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运算符号包括:
代数式的定义
加、减、乘、
除、乘方等.
由数或表示数的字母用运算符号连接所成
的式子，叫做代数式．单独一个数或一个字母
也是代数式．
“=”、“>”、“<'、“≤”、“≥”、“≠” 都不是运算符号，所有用这些符号连接而成的式子 都不是代数式.
例题讲解
5
两个答案都表示留在该机关单位工作的人数， 它们应该是相等的．以后我们能从数学运算
的角度认识这个事实．
(4)t h后，他们之间的距离是(at＋bt)km.
随堂演练
1 . 下列是代数式的是( C )
A．2x2－y＝z
B．x＞y
C．0
D．x2＋y2≥0
2.
下列各式：－x＋1，π＋3，9＞2，xx－＋yy ,
S＝ 1 ab, 2
其中，代数式有( C )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3. 火车站、机场等场所都有为旅客提供打包服务的 项目．现有一个长、宽、高分别为a，b，c的长 方体箱子，按如图所示的方式打包，则打包带的 长(不计接头处的长)至少应为( B ) A．a＋3b＋2c B．2a＋4b＋6c C．4a＋10b＋4c D．6a＋6b＋8c
例2 用代数式表示： (1)长为a cm、宽为b cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强a元，小强买文具用去了b元(a >b)，还
剩多少元？ (3)某机关单位原有工作人员m人，抽调20%下基层工作后，留
在该机关单位工作的还有多少人？ (4)甲每小时走a km，乙每小时走b km，两人同时同地出发反向
第2章 整式及其加减
知识回顾 例题讲解 课堂小结
人教版数学七年级上册第12讲 一元一次方程的实际应用(二)
第12讲一元一次方程的实际应用（二）知识导航1．列一元一次方程解决行程问题；2．列一元一次方程解决工程问题；3．列一元一次方程解决调配与配套问题；4．列一元一次方程解决利润问题．【板块一】行程问题方法技巧1．行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运动及曲线运动．2．相遇问题是相向而行，相遇时的总路程＝两运动物体的路程和．3．追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追．4．顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同．题型一一般行程问题【例1】一列匀速前进的火车，从它进入320米长隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，求这列火车的长为多少米？【练1】某人骑自行车由甲地驶向乙地，如果每小时比原来的速度快6公里，便可以早到5分钟；如果每小时比原来的速度慢5公里，便要迟到6分钟．求甲、乙两地的距离为多少公里？题型二相遇问题【例2】小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进．已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．求A，B两地间的路程．【练2】A，B两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km，甲车出发25min后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自按原来速度继续行驶，那么相遇以后，两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？题型三追及问题【例3】A，B两地相距480km，一列慢车从A地出发，每小时行走50km，一列快车从B地出发，每小时走70km．⑴两车同时出发，相向而行，出发后多少小时相遇？⑵若两车同时出发，同向而行，慢车在快车前面，相遇前经过多少小时两车相距200km?相遇后经过多少小时两车相距200km?【练3】甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．⑴求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）⑵若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？题型四 流水问题与上、下坡问题【例4】某船从A 地顺流而下到达B 地，然后逆流返回，到达A ，B 两地之间的C 地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时．A ，C 两地之间的路程为10千米，求A ，B 两地之间的路程.【练4】如图所示，折线AC －CB 是一条公路的示意图，AC ＝8km ．甲骑摩托车从A 地沿这条公路到B 地，速度为40km /h ，乙骑自行车从C 地到B 地，速度为10km /h ，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．求这条公路的长．针对练习11、 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（ ）A . 0.5小时B . 1小时C . 1.2小时D . 1.5小时2、我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载:“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”.如果设良马x 日追上驽马，那么根据题意，可列方程为 .3、已知A 、B 两地相距350千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行.若甲车速度为110千米/ 时，乙车速度为90千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t ＝ 小时.4、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相 同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内 可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，紧急情况时学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在5分钟通过这4道门安全撤离，假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生.问：建造的4道门是否符合安全规定？请说明理由.ACB5、为赴台湾考察学习，小颖的爸爸在元旦节的早晨7点自驾一辆小轿车(平均速度为60千米/时)从家里出发赶往距家45千米的重庆江北机场，此时，距规定到达机场的时间仅剩90分钟. 7点30分时小颖发现爸爸忘了带身份证，急忙通知爸爸返同，同时她乘坐出租车以40千米/时的平均速度直奔机场(打电话和上出租车的时间忽略不计)，与此同时，爸爸接到通知后继续往机场方向行驶了5分钟后返同，结果不到30分钟就遇上了小颖(拿身份证的时间忽略不计)，并立即赶赴机场，请问：（1）设小颖从7点30分出发经过x小时与爸爸相遇，则与爸爸相遇时小颖行驶千米，爸爸返回千米(均用含x的代数式表示)；（2）小颖的爸爸能否在规定的时间内赶到机场？6.有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5 km，水流速度为每小时2.5 km，A、C两地间的距离为10km.如果乙船由A地经过B地再到达C地共用了4h，问:乙船从B到到达C地时，甲船距离B地有多远？【板块二】工程问题方法技巧1、基本量之间的关系：工作量＝工作效率╳工作时间.2、当总工作量未给出具体数量时，常把总工作量当作整体1.常用的相等关系为：总工作量＝各部分工作量的和.题型一有具体数量作为工作量【例5】某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m.求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.【练5】有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及粉刷，同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面.（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；（2）张师傅现有36个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？题型二没有具体数量作为工作量【例6】检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合做完成，问乙中途离开了几天？【练6】一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨.问：（1）乙车每次所运货物是甲车每次所运货物量的几倍？(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这次货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）题型三牛吃草问题（总工作量发生变化）【例7】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？【练7】山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则 20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？针对练习21、完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是( )A. 2.8B. 3C. 6D. 122、为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要 .3、某农民在农贸市场卖鸡，甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好卖完，则该农民一共卖了只鸡.4、刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成.现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣 4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣.再绣多少天可以完成这件作品？5、甲、乙两个施工队在六安(六盘水一安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设 5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离.若设甲队每天铺设x米，则乙队每天铺设(x—100)米.(1)依题意列出一元一次方程；(2)求出甲、乙两个施工队每天各铺设多少米.6、—棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机，采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时.(1)一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？(2)—个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值.【板块三】调配及配套问题方法技巧1.调配问题的相等关系往往通过题目中的一句关键的语气呈现.2．产品配套问题的相等关系要抓住成套产品的两个部件之间固有的倍数关系．题型一调配问题【例8】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有14人，在乙处植树的有6人，现调70人去支援．(1)若要使在甲处植树的人数与在乙处植树的人数相等，应调往甲处人．(2)若要使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？(3)通过适当的调配支援人数，使在甲处植树的人数恰好是在乙处植树人数的n倍（n是大于1的正整数，不包括1．）则符合条件的n的值共有个．【练8】某工厂生产一批桌椅，甲车间有29人生产桌子，乙车间有17人生产椅子，现要赶工期，总公司调20人去支援，使甲车间的人数为乙车间人数的2倍，应调往甲、乙车间各多少人？题型二配套问题【例9】某儿童三轮车厂有95名工人，每人每天能生产车身9个或车轮30个．要使每天生产的车身和车轮恰好配套（一个车身配三个车轮），应安排生产车身和车轮各多少人？【练9】某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？针对练习31．食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输，为提高质量，做进一步研究，某饮料加工在厂需生产A，B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添剂3克，饮料加工厂生产了A，B两种饮料各多少瓶？2．某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可以加工上衣8件或裤子10条（一件上衣配一条裤子），应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？3．甲仓库和乙仓库分别存放着某种机器20台和6台．现在准备调运给A厂10台，B厂16台，已知从甲库调运一台机器到A厂的运费为400元，到B厂的运费为800无；从乙库调运一台机器到A厂的运费为300元，到B厂的运费为500元，如果总运费用了16000元．求：从甲库调给A厂，乙库调给B厂各为多少台机器？4．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件。
第12讲 探索与表达规律(基础)知识讲解
探索规律（基础）知识讲解【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】类型一、数式规律1．按某种规律在横线上填上适当的数：（1）1，3，5，7，9，11，，………；（2）3，6，12，24，48，96，，………；（3）1，4，9，16，25，36，，………；（4）0，3，8，15，24，35，，………；（5）2，-2，2，-2，2，-2，，……….【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.【解析】+=；解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：11213⨯=；（2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：962192(3) 这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：2=；749+=；(4) 这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：351348（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：2．【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数＋固定数值×（n -1）.（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q （q ≠0），则这列数的第n 个数为：从左往右数第一个数×1n q-.(3) 一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n 个数为：2n 或3n . （4）此数列满足：差值呈固定值2增长，第n 个数为21n -. （5）此数列中的第n 个数可表示为1(1)2n +-⨯.举一反三：【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数： (1) －5，－2，1，4， ； (2) 2，5，10，17， ，37； (3) 1，8，27，64， ，216 ．【答案】（1） 7 （2）， 26 （3） 125【变式2】（德州）一组数1，1，2，x ，5，y …满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为（ ） A ．8 B ．9 C ．13D ．15【答案】A ．解：∵每个数都等于它前面的两个数之和， ∴x =1+2=3， ∴y =x +5=3+5=8，即这组数中y 表示的数为8．2.（丹东）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 ．【思路点拨】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案． 【答案】﹣．【解析】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.举一反三：【变式】根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，… ．对于正整数n（n≥4），猜想：1+2+ … +（n-1）+n+（n-l）+ … +2+1=．【答案】n2类型二、图表规律3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.【答案与解析】解：（1）三角形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数 3 5 7 9 11 （2）搭n个这样的三角形需要2n+1 根火柴棒【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.举一反三：【变式】观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．n【答案】314．（泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A.135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】解：首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．举一反三：【变式】观察下列有序整数对：（1，1）．（1，2），（2，1）．（1，3），（2，2），（3，1）（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是【答案】（5,6）5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“♣”，共个．【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第503♣．【答案】503【解析】解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2012÷4＝503．所以共有503个♣．【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．举一反三：【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…【答案】五角星提示：6个一循环．。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第12讲全等三角形的综合(讲义)解析版
第12讲 全等三角形的综合本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大．模块一：全等三角形判定的综合知识精讲全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题．例题解析例1.已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ．【难度】★【解析】在△ABE 与△DBE 中，AE ED AB BD BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE DBE SSS ∴∆≅∆，AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠．在△ACE 与△DCE 中，AE ED AEC DEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEC DEC SAS ∴∆≅，CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例2.如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ．【难度】★【解析】在△ABC 和△DCB 中，AB DC AC DB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ）， ∴∠ABC=∠DCB ．在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABC DCB BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ）， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用．例3.已知：AB ∥CD ，OE ＝OF ，试说明：AB ＝CD ．【难度】★【解析】//AB CD ，A D B C ∴∠=∠∠=∠，．(..)A D B CA D AOE DOF AOE DOF OE OF AOE DOF A A S AO DO∴∠=∠∠=∠∠=∠⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=，在和中，，(..)AO DO AOB DOC A DB C AOB DOC A A S =⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆在和中，AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用．例4.如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB =CD ，AB ∥CD ．试说明：BD 平分EF ．【难度】★★【解析】∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ．在△AGB 和△CGD 中，A C AGB CGD AB CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔAGB ≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG ．∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEG=∠DFG=90°．在△BGE 和△DGF 中，BGE DGF BEG DGF BG DG ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴ΔBGE ≌ΔDGF (A .A .S )， ∴GE=GF ， 即BD 平分EF ．【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例5.如图，已知AD =AE ，AB =AC ．试说明：BF =FC ．【难度】★★【解析】ABE ACD ∆∆在和中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆， B C ∴∠=∠．BD AB AD CE AC AE BD CE =-=-∴=，，．BDF CEF ∆∆在和中，DFB EFC B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)BDF CEF A A S ∴∆≅∆ ， .BF CF ∴= 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用．例6．（2018·山东济南市·七年级期中）如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．例7．（2020·山东东营市·七年级期中）如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：ABE CBD ≅△△；（2）证明：∠1=∠3．【分析】（1）先根据角的和差可得ABE CBD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得A C ∠=∠，再根据对顶角相等可得AFB CFE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理、等量代换即可得证．【详解】（1）12∠=∠，12CBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE △和CBD 中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBD SAS ∴≅；（2）由（1）已证：ABE CBD ≅△△，A C ∴∠=∠，由对顶角相等得：AFB CFE ∠=∠，又11803180A AFB C CFE ∠=︒-∠-∠⎧⎨∠=︒-∠-∠⎩， 13∠∠∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．例8．（2020·山东济南市·七年级期末）已知Rt △ABC 和Rt △DBE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，DB ＝EB ， CE 所在的直线交AD 于点F ．(1)如图1，若点D 在△ABC 外，点B 在AB 边上，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(2)若将图1中的△DBE 绕点B 顺时针旋转，使点B 在△ABC 内部，如图2，求证：AD ＝CE ，AD ⊥CE ．(3)若将图1中的△DBE 绕点B 逆时针旋转，使点D 、E 都在△ABC 外部，如图3，请直出AD和CE 的数量和位置关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD CE =，AD CE ⊥【分析】（1）证明ABD CBE ≌，根据全等三角形的性质得到AD CE =，BAD BCE ∠=∠，根据垂直的定义证明即可；（2）证明ABD CBE ∠=∠，同（1）的方法证明；（3）证明ABD CBE ∠=∠，同（2）的方法证明结论．【详解】（1）证明：在ABD △和CBE △中，90DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABD ∠=︒，90ADB BAD ∴∠+∠=︒，90ADB BCE ∴∠+∠=︒，90CFD ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（2）证明：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠-∠=∠-∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥；（3）AD CE =，AD CE ⊥；理由如下：ABC DBE ∠=∠，ABC ABE DBE ABE ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBE ∠=∠，在ABD △和CBE △中，DB EB ABD CBE AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CBE SAS ∴△≌△AD CE ∴=，BAD BCE ∠=∠，90ABC ∠=︒，90BOC BAE ∴∠+∠=︒，BOC AOF ∠=∠，90BAD AOF ∴∠+∠=︒，90AFO ∴∠=︒，AD CE ∴⊥，AD CE ∴=，AD CE ⊥．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例9．（2020·山东枣庄市·七年级期末）如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上；（2）1t ＝；（3）不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得3BP CQ t ＝＝，则83CP t -＝，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，CP CQ ＝，∴833t t -＝， 解得，43t =， 则当43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上； （2）∵D 为AB 的中点，10AB AC ＝＝，∴5BD ＝，∵BPD CQP ≌，∴BD CP ＝，∴835t -＝，解得，1t ＝， 则当BPD CQP ≌时，1t ＝； （3）不存在，∵BPD CPQ △≌△，∴BD CQ BP CP ＝，＝，则35383t t t -＝，＝ 解得，53t =，43t =， ∴不存在某一时刻t ，使BPD CPQ △≌△．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．模块二：添加辅助线构造全等三角形知识精讲1、 倍长中线法；2、 添加平行线构造全等三角形；3、 截长补短构造全等的三角形；4、 图形的运动构造全等三角形．例题解析例1．（2018·江西吉安市·七年级期中）如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，连接AD ，并延长到点E 使DE=AD ，再连接CE. 若AC=10，AB=6，求中线AD 的取值范围.【答案】2＜AD ＜8.【分析】先证△ABD ≌△ECD(SAS),证得4＜AE ＜16，由此即可求得AD 的取值范围.【详解】∵D 是BC 边的中点，∴BD=CD.又∠ADB 与∠EDC 是对顶角，∴∠ADB=∠EDC.在△ABD 和△ECD 中，ADB EDC BD CD,AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ECD(SAS),∴CE=AB=6.在△ACE 中，AE ＞AC-CE,且AE ＜AC+CE,∴4＜AE ＜16，即4＜2AD ＜16，∴2＜AD ＜8.【点睛】此题考查三角形的中线的性质，根据全等证得中线的2倍线段AE 的取值范围是解题的关键.例2．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD 为△ABC 的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC 的取值范围.解：延长AD 到E,使DE = AD,连接BE.因为AD 为△ABC 的中线，所以BD=CD ．在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________).因为AB+BE>AE(_____________________)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>_______cm.【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE.因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD.在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).所以BE=AC(全等三角形的性质).因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>8cm.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.例3．（2020·辽宁锦州市·）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由；（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．【答案】（1）全等，见解析；（2）全等，见解析【分析】（1）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，再利用AAS 定理证明△DAC ≌△ECB ；（2）首先根据同角的余角证明∠DAC ＝∠BCE ，进而利用HL 定理证明△ACD ≌△CBE ．【详解】（1）如图1，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠DAC+∠DCA ＝∠BCE+∠DCA ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△DAC 与△ECB 中，∵90DAC BCE ADC CEB AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△ECB （AAS ）；（2）如图2，全等，理由：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥MN ，∴∠DAC+∠ACD ＝∠ACD+∠BCE ，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ACD 与△CBE 中，∵DAC ECB ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题．4．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）已知：如图1，在ABC ∆和ADE ∆中，C E ∠=∠，CAE DAB ∠=∠，BC DE =．（1）请说明ABC ADE ∆∆≌．（2）如图2，连接CE 和BD ，DE ，AD 与BC 分别交于点M 和N ，56DMB ∠=︒，求ACE ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若CN EM =，请直接写出CBA ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA =6°．【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD ，结合已知条件，用AAS 可判定△ABC ≌△ADE ；(2)由(1)中△ABC ≌△ADE 可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB 可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE ，可得∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒-︒=︒； (3) 连接AM ，先证NCA MEA ≅(SAS),得到AM=AN,EAM CAN ∠=∠,进而可得EAC MAN ∠=∠,由(2)可知=56EAC MAN ︒∠=∠,根据等腰三角形内角和可得ANM ∠= 1(18056)622︒︒︒-=，由三角形外角定理可得CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB ，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD ，即∠CAB =∠EAD ，在△ABC 和△ADE 中，C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （AAS ），（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =180︒，∠CBA +∠ANB +∠DAB =180︒，又∵ ∠MND=∠ANB ，∴ ∠DAB=∠DMB=56︒，∴∠CAE =∠DAB=56︒，∵AC=AE ，∴∠ACE =∠AEC=1(18056)622︒︒︒-=， ∴∠ACE =62︒，（3）∠CBA=6︒，如图所示，连接AM ，NCA MEA ∠=∠,CN=EM,CA=EA,∴NCA MEA ≅(SAS),∴AM=AN,EAM CAN ∠=∠,∴EAM CAM ∠-∠=CAN CAM ∠-∠即EAC MAN ∠=∠,由(2)可得：=56EAC MAN ︒∠=∠,∴ANM ∠=1(18056)622︒︒︒-=, ∠CAE =∠DAB=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠=62︒-56︒= 6︒.【点睛】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，较为综合，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.例5．（2020·山东济南市·七年级期中）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ， BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（2018·四川达州市·七年级期末）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，E 为BD 上的一点，EG AD ，分别交AB 和CA 的延长线于点F ，G ，AFG G ∠=∠.（1）试说明ABD ACD ∆≅∆；（2）若40B ∠=︒，求G ∠和FAG ∠的大小.【答案】（1）见解析（2）50°，80°【分析】（1）根据题意利用角边角判断定理，证明ABD ACD ∆≅∆即可.（2）若40B ∠=︒，再证明50G AFG ∠=∠=︒，即可计算FAG ∠的度数.【详解】（1）∵AD EG ，∴AFG BAD ∠=∠，G DAC ∠=∠，又∵G AFG ∠=∠，∴DAC DAB ∠=∠，又∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，又∵AD DA =，∴ABD ACD ∆≅∆.（2）∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，又∵AD EG ，∴90FEB ∠=︒，又∵40B ∠=︒，∴50EFB ∠=︒，又∵EFB AFG ∠=∠，∴50G AFG ∠=∠=︒，∴80FAG ∠=︒.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理. 例7．（2019·全国七年级单元测试）在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。
代数式的认识
②甲数的
1 2
与乙数的和的
1 2
：12
1
(2
x+y)
③甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积: (x+y)(x-y)
④甲、乙两数的立方和: x3 y3
例题精讲
（２）3月12日是植树节，甲班和乙班的同学参加了植树活动，甲班种了a棵树 ，乙班种的比甲班的2倍还多b棵.两班共种了__(3_a__b_)__棵树．
bac
agbgc 或 abc
（2）数字与字母相乘时，乘号省略，但应把数字写在字母前面;
ab5 5ab
（3）数字与数字相乘时，乘号不能省略；若是相同字母相乘，可以 写成幂的形式.
23
2g3或23 a a
a2
3．代数式书写要求
(4) 若是分数与字母相乘时，一定要把带分数化成假分数;
1 2 mn
5 mn
3
3
（5）两个代数式相除时，应写成分数形式;
nm
n
m
（6）代数式运算中结果是加减运算的式子,若需注明单位,那么必
须用括号把代数式括起来,后面再写单位.
x-2km (x-2)km
例题选讲
例2 下列式子中，符合书写要求的是（ D ）
A. a5b C. a b c
B.
5
1 6
a
2b
D.
mn 2
4. 代数式所表示的意义
不是
例题选讲
例1 下列式子中，是代数式的有： __②____③___⑤____
①ab cd ④ S vt
②0 ⑤ 3x 2
③ 2(a b) 1
⑥
1 2
1 3
3．代数式书写要求
. （1）字母与字母相乘时，乘号可以省略或写成 “ ·”，字 母之 间的顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.
2024《代数式》说课稿范文
2024《代数式》说课稿范文今天我说课的内容是《代数式》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《代数式》是人教版初中数学九年级上册第二章的内容。
它是在学生已经学习了整式的基本概念和运算规则的基础上进行教学的，是初中数学中的基础知识点，而且代数式在解决实际问题中有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解代数式的含义、组成和性质，掌握代数式的基本运算法则。
②能力目标：在代数式的运算和应用中，培养学生分析、推理和解决问题的能力。
③情感目标：在代数式的学习中，培养学生主动探究的兴趣和积极参与的态度。
3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解代数式的含义和组成，掌握代数式的基本运算法则。
难点是：能够正确运用代数式解决实际问题。
二、说教法学法为了培养学生的主动学习能力和解决问题的能力，我采用了以下的教法和学法：教法：启发式教学法、情景教学法学法：探究学习法、合作学习法三、说教学准备在教学过程中，我准备了多媒体教具和实物教具，以直观呈现教学素材，增加学生的参与度和理解度，提高教学效果。
同时，我还准备了一些实际问题，以让学生运用代数式解决实际问题，提升他们的实际运用能力。
四、说教学过程新课标强调学生的主体性，为了激发学生的学习兴趣和积极性，我设计了如下的教学环节。
环节一、导入新课我会通过一个生活中的实际问题引入新课，比如给学生一个方程式的例子：“如果一个长方形的长度是2x米，宽度是3米，求它的面积。
”让学生思考如何求解这个问题，从而引发他们对代数式的兴趣和好奇心。
环节二、引入代数式的定义和组成在学生对代数式存在一定了解的基础上，我会以幻灯片和实物教具的形式，介绍代数式的定义和组成要素，如字母、数字、运算符等。
通过举例、让学生观察和思考的方式，让他们深入理解代数式的含义和构成。
环节三、探究代数式的性质和运算法则通过一些例题的引导，我会让学生自己总结代数式的性质和运算法则，同时利用小组合作学习的方式，让学生们互相交流和讨论，促进他们的思维发展和合作能力的培养。
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第12讲 代数式
一、直击考点：
考点一、代数式的表示：
1．代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式.
注意：(1)单独的一个数或一个字母 如a ， 0 ， 2等也是代数式;
(2)代数式中不含= > < ≥ ≤ 符号；
2.代数式的规范写法：
(1)a ×b 写成ab 或a ·b(省略乘号)
(2)1÷a 写成1a
(除号用分数线表示) (3) 数字通常写在字母前面;如a ×3通常写成3a 。
（4）带分数一般写成假分数如 1
15a ⨯写成65
a （5）对于和、差的代数式后有单位时应将代数式用括号括起来。
如（t-3）米
（6）几个相同因式的积应用乘方表示。
如a ·a ·a 写成a 3
问题１、填空题：
1．下列式子中是代数式的有 。
（1）21
132
a +；（2）3>2；（3）13；（4）x=0；（5）3×4-a ；（6）3×4－5=7 2．下列式子符合代数式规范写法的是 。
（1）314a ；（2）a ·3；（3）10%x ；（4）a －b ÷c ；（5）22
23a b c
-；（6）m －3℃ 3．x 的5倍与y 的和的一半可表示为 。
4．a 与b 的差的3倍再与1的和可以表示为 。
5．a 与b 的3倍的差再与1的和可以表示为 。
6.下列各式哪些是代数式: .
(1)3x+7 (2)a 2+9 (3)x+5=m (4)9.72 (5)x>2
7.下列式子中,符合代数式书写格式的有哪些? .
(1)a ×b (2) 2123a (3)
1(2)(2)3a b a b ++ (4)t-50C (5)abc 米 (6)a ÷5+3
考点二、列代数式表示应用问题：
问题2、一种商品，每件成本m 元，将成本增加%n 定出售价，后因仓库积压降价，打9折出售，售价是 元；如果还要保持成本价出售，则n = 。
练习：某工厂2010年总产值a 万元，2011年比2010年总产值增加20%，则2011年总产值 是 万元；如果按照这样的增长率增长，预计2012年总产值是 万元；
问题3（1）某动物园的门票价格是 ：成人票每张10元，学生票每张5元。
一个旅游团有成人 x 人、学生 y 人，那么（1）该旅游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？
练习：1．汽车上有a 名乘客，中途下去b 名又上来c 名，现在车上有 名乘客。
2．一种商品，每件成本a 元，将成本增加25%定出售价，后因仓库积压降价，按价格的92%出售，每件还能盈利 元。
3．某班有x 个男生，并且男生人数占全班人数的45%，那么全班人数是（ ）
A ．45%x B.（1-45%）x C ．45%x D ．145%
x - 4.全班同学排成长方形队，每排同学数为n ，排数比每排同学数的4倍还多3，那么全班同学数为（ ）
A.4n+3
B.n(4n+3)
C.n+4n+3
D.4n(n+3) 5.某工厂原计划每天生产a 个零件,实际每天多生产b 个,那么生产m 个零件提前的天数是( )天.
A. m m a b -
B. m m a a b -+
C. m a b +
D. m m a b a
-+ 考点三、用代数式表示面积：
问题4 请用代数式表示如图所示中阴影部分的面积和周长。
练习.1、用代数式表示图中阴影部分的面积为 .
2、如图为我国古币的形状,厚度为h,圆的半径为R,中间正方形的边长为a,
这枚古币的体积为 .
3、 如图所给的条件完成下面题
（1） 求图中阴影部分图形的面积（用代数式表示）
（2） 求：当r=6时阴影部分的面积S= .（计算结果保留π） a
a 3题图 练习1图 练习2图
4. 如图，用字母表示图中阴影部分的面积：
5. 如图，某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r 米，长方形长为a 米，宽为b 米．
（１） 请用代数式表示空地的面积．
（２） 若长方形长为300米，宽为200米，圆形的半径为
10米，求广场空地的面积（计算结果保留 ）
考点四、用代数式表示数字：
问题5、一个4位正整数，个、十、百、千位的数字分别是a ，b ，c ，d 请用代数式表示出这个正整数。
问题6、 设n 为任意自然数，用代数式表示：
(1) 被5除余1的数；(2) 被7除余3的数；(3) 被b 除余r 的数．
练习：1. x 表示一个两位数，y 表示一个两位数，把x 放在y 的左面，末位再添上1得到一个五位数，这个五位数等于（ ）.
A ．1000x +y +1
B ．xy 1
C ．1000x +10y +1
D ．x +y +1
2. 已知三个连续奇数，最大的一个是m ，用代数式表示其他两个数应为（ ）. A ．m -1,m -2 B ． m -2,m -3 C ．m -3,m -4 D ．m -2,m -4
3. 设n 为任意自然数，用代数式表示：
(1)被3除余1的数；
(2)被5除余3的数；
(3)被b 除余r 的数．
a b
a
b m n 练习3图 练习4图
练习5图
二、能力提升：
问题7、 一张长为a 宽为b 的铁板(a>b )，从四个角截去四个边长为x 的小正方形 2b x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，做成一个无盖的盒子，用代数式表示：
(1)无盖盒子的外表面积；
(2)无盖盒子的容积．
三、当堂过关：
1. 下列语句不正确的是（ ）.
A ．0是代数式
B ．a 是代数式
C ．x 的3倍与y 的
14的差表示为134
x y - D ．S=πr 2是代数式 2. 下列各式：2m ，0，-2n ，b a ，221,,x x y a b ab x +-+=中，代数式有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个
3. 下列代数式：(1)2213x y ； (2)ab ÷c 2； (3) m n ； (4) 223
a b -；(5)2x (a+b )； (6)ab ·2. 其中符合代数式书写要求的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4. 用代数式表示a 与-b 的差的2倍是( ).
A ．a –2(-b )
B ．a +2(- b )
C ．2(a - b )
D ．2(a +b )
5. 某班共有x 个学生，其中女生占45%，那么男生人数是( )
A ．45%x
B ．(1-45%)x
C ．45%x
D ．145%
x - 6. 已知某数比a 大30%，则某数是（ ）.
A ．30%a
B ．(1-30%)a
C ． (1+30%) a
D ．a +30%
7. 若a 增加x %后得到b ，那么b =( ).
A ．ax %
B ．a (1-x %)
C ．a +x %
D ．a (1+x %)
8. 已知m 个人n 天的工作量为P ，则一人一天的工作量为（ ）.
A ．mnP
B ．mn P
C ．P mn
D ．Pm n
9、如图，已知正方形的边长是a ，请用含a 的式子表示阴影部分的面积： 。
10、如图，已知正方形的边长是a ，请用含a 的式子表示阴影部分的面积： 。
9题图 10题图
望子成龙学校家庭作业
第12 次课 姓 名：
第一部分：
1. 用语言叙述代数式a 2-b 2，正确的是（ ）
A ．a ，b 两数的平方差
B ．a 与b 差的平方
C ．a 与b 的平方的差
D ．b ，a 两数的平方差
2. 某养鸡专业户大力发展养鸡事业，前年养鸡x 只，去年比前年增加15%，则去年比前年增加了几只（ ）
A ．15%x 只
B ．（1+15%）x 只
C ．x +15%只
D ．75%x 只 3. 列出的代数式错误的是（ ）；
A ．a 与4的积的平方记为4a 2
B ．a 与b 的积的倒数为ab
1 C ．减去5等于x 的数是x +5 D ．比x 除以y 的商小3的数为3x y
- 4. 乙数为a ，甲数比乙数小40%，则甲数为（ ）
A ．a -40%
B ．40%a
C ．（1-40%）a
D ．（1+40%）a
5. a 是一个三位数，b 是一个两位数，若把b 放在a 的左边，组成一个五位数，则这个五位数为（ ）．
A ．b a +
B ．10b a +
C ．100b a +
D ．1000b a +
6. 把a 千克盐溶于b 千克水中，取这样的盐水c 千克.其中含盐（ ）
A ．a c b
千克 B ．a c a b ++千克 C ．bc a b +千克 D ．ac a b
+千克 第二部分： 7. 如果a 名同学b 小时内共运c 块砖，那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖，所需时间是多少 ？
8.小明从甲地到乙地用了a 小时，返回用了b 小时，小明来回的平均速度是多少？。