广东省揭阳一中2015-2016学年高二上学期第二次段考数学试卷(理科)Word版含解析

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广东省揭阳市2016届高考第二次模拟数学试题理含答案

绝密★启用前揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数23()=ln(2)1xf x x x x +--的定义域为（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2] （2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若2a b -与c 共线，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题（D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A ）1415（B ）815 （C ）25 （D ）415（6）已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（A ）(2,)+∞（B ）(,0)-∞ （C ）(,0)(2,)-∞+∞ （D ）(0,2)（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为（A ）4cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）1 cm（8）已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为（A ）20152016 （B ）20162017 （C ）20142015 （D ）20172018（9）函数()(1cos )sin f x x x =+在[,]ππ-的图象的大致形状是（10）实数,x y 满足条件20,40,3.x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22y x 的取值范围为（A ）[4,)+∞ （B ）1[,2]3 （C ）[0,4] （D ）1[,4]9（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2π (B) 206π+ (C) 142π+ (D)16（12）在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2x y e-=交于不同的两点A 、B ，分别过A 、B 作x 轴的垂线，与曲线ln y x =交于点C 、D ，则直线CD 的斜率为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12ABCDb年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________． (附：若Z ～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.)(14)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为 .(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (16)已知等差数列{}n a 满足18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg . 当年产量低于450 kg 时，单位售价为 12元/ kg ，当年产量不低于450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X （单位：元）的分布列；图5 （Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， AB=PC=2，PA=PB=2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成最大角的正切值.图6（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为63，若动点A 在椭圆C 上，动点B 在直线62ab y c ==上.（c 为椭圆的半焦距）（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥(O 为坐标原点)，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数，（Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =；（Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）OPAB DC E图7(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ) 求关于x 的不等式|()|2f x ≤的解集．揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCCDACBBADAC解析：（6）如右图，易得所求不等式的解集为(,0)(2,)-∞+∞，（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. (8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-12016120172017=-=．（9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由33()134f π=>可排除（B ）,故选(A).(10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤.（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.(12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e-=12221211,x x x e x e k k--⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln (2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.ABCDE二、填空题：题号 131415 16 答案0.8413233或2621解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413=(16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-，由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤，所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故n S 取最大值时，n 的值为21.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分 (Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得35sin 532sin 714AB BAC ACD BC ⨯∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠< ∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得192AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】（18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分（Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==， ∴X 的分布列为X 3600 4800 5000 6000 P0.10.40.350.15-------------------------8分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分 5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ，∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分（19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分由PA=PB=2，AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO ⊥AB ，-----------------------------------2分由AB=BC=2，60ABC ∠=，知△ABC 为等边三角形， ∴3CO =，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO ⊥CO ，-------------------------------------------------------4分又ABCO O =，∴PO ⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分（Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴CO ⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠=3OH=，-----------8分要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分故当CHO ∠最大时，tan 6CHO ∠=.即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.------------------------------12分【解法2：由（Ⅰ）知PO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分则(3,1,)HC λλ=--，(3,0,0)OC =为平面PAB 的法向量，设CH 与平面PAB 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||OC HC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅22333(1)()λλ=⨯+-+-23172()22λ=-+,------10分当12λ=时，sin θ取最大值，max 6(sin )7θ=，-------------------------11分又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan 6θ=，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.-----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：63c a =-----① 62ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分（Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，（1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则由222233113A AA A A y kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分由2213262B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分 ∵222223(1)||1||31AAA k OA x y k x k +=+=+=+，--------------------------------8分∴222213(1)||1()||2BBB k OB x y x k +=+=+-=,-----------------------------9分设点O 到直线AB 的距离为d ，则22222222223(1)3(1)2||||31)312==1||3(1)||+||3(1)3(1)312AOB k k S OA OB k k d AB k OA OB k k k ∆++⋅⋅++===+++++（.---------10分 (2)若0k =，则A 点的坐标为(3,0)-或(3,0)，B 点的坐标为6(0,)2，这时，6321634d ⋅==+，---------------------------------------------------------------------------11分综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分【解法二：设A 、B 的坐标00(,)A x y 、6(,)2B t ，------------------------------------------5分由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和00602tx y +=，--------6分设点O 到直线AB 的距离为d ，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分 2022********2222266200000000602222111111112||||3()()()x d OA OB x y x y x y x y t y x ∴=+=+=+=+⋅++++++220022220000323213()3(1)3x x x x y x ++===++--------------------------------------------------------------------11分所以点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】(21)（Ⅰ）证明：∵()()2x g x f x e ax '==+，()2x g x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210a e --<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分（Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分（2）当0a =，由x e b ≥，得0b ≤，∴0a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >；即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <， ∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020x b e ax -≥--，于是0020001122x x x a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分记1()(1)22x x h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x=-+，-----------------10分由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增， ∴min 1()(1)h x h e=-=-，综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分 28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分 3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为32.--------10分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

广东省揭阳一中2015-2016学年高一数学上学期第二次段考试卷(含解析)

2015-2016学年广东省揭阳一中高一（上）第二次段考数学试卷一、选择题（单选题，每小题各5分，共50分）1．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）若点M在直线l上，l在平面α内，则M，l，α间的上关系为（）A．M∈l，l∈αB．M∈l，l⊂αC．M⊂l，l⊂αD．M⊂l，l∈α2．（5分）（2014春•石嘴山校级期末）函数f（x）=的定义域是（）A．[4，+∞）B．（10，+∞）C．（4，10）∪（10，+∞）D．[4，10）∪（10，+∞）3．（5分）（2014秋•汪清县校级期末）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．log0.76＜0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．0.76＜log0.76＜60.7D．log0.76＜60.7＜0.764．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）式子2的值是（）A．2B．9 C．9+D．8+5．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）若y=a x（a＞0且a≠1）的反函数 f （x）过点（），则 f （x）=（）A．log2xB．（）x C． D．2x﹣26．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（）A．3B．4C．5D．67．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）如图所示，在正方体ABC﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与AB1所成角（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）已知正三棱锥的正视图和俯视如图所示，则其侧视图的面积为（）A． B． C． D．19．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）函数y=1﹣的值域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）10．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）函数f（x）=2x﹣x2的零点的个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）已知正方体的外接球的半径为3，则该正方体的棱长为．12．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）已知y=a x﹣1﹣2（a＞0且a≠1）恒过定点P，则P点的坐标为．13．（5分）（2014秋•茂名期末）已知函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）下列说法：①函数y=（）x的反函数是y=﹣log2x；②若函数f（x）满足f（x+1）=2x，则f（x）=2x+2；③若函数f（x）的定义域是[﹣1，3]，则函数f（2x﹣1）的定义域是[0，2]；④不等式log2（x+1）＞log2（2x﹣3）的解集是（﹣∞，4），其中正确的是．三、解答题（第15、16题各12分，其余每题各14分，共80分）15．（12分）（2015秋•揭阳校级月考）已知A={x|y=}，B={y|y=2x+3}，C={k|y=}在（0，+∞）上为增函数}．（1）求集合 A，B，C；（2）求集合A∩（∁R B），C∪（∁R B）．16．（12分）（2015秋•揭阳校级月考）如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知AB=4，BC=5，AD=2，以顶点A 为圆心，AD 为半径剪去一个扇形，剩下的部分绕AB 旋转一周形成一个几何体，指出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积V 和表面积S．17．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）据气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l 左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）求速度v 关于时间t 的函数解析式；（2）求路程s 关于时间t 的函数解析式．18．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）已知幂函数f（x）=（m∈N）图象关于原点对称，且在[0，+∞）上为增函数．（1）求函数 f （x）的解析式；（2）若f（2x2﹣1）＞f（3x﹣2），求x的取值范围．19．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）已知函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞1）是定义在R 上的奇函数．（1）求k 的值并判断函数 f （x）单调性；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．20．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b（1）证明：a＞0且b＜0；（2）证明：函数 f （x）在区间（0，2内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数 f （x）的两个零点，证明：．2015-2016学年广东省揭阳一中高一（上）第二次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（单选题，每小题各5分，共50分）1．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）若点M在直线l上，l在平面α内，则M，l，α间的上关系为（）A．M∈l，l∈αB．M∈l，l⊂αC．M⊂l，l⊂αD．M⊂l，l∈α【分析】点在直线上，称点属于直线，直线在平面内，称作直线真包含于平面，利用集合中元素与集合的关系符号、集合与集合的关系符号表达即得．【解答】解：点M在直线l上，记 M∈l，直线l在平面α上，记l⊂α，用符号表示M，l，α间的关系：M∈l，l⊂α，故选：B．【点评】本题主要考查了点、线、平面的位置关系的表示．点与直线的关系式元素与集合的关系，包括属于、不属于两种关系，直线和平面的关系是2个集合间的关系，包括真含于、不真含于两种关系．2．（5分）（2014春•石嘴山校级期末）函数f（x）=的定义域是（）A．[4，+∞）B．（10，+∞）C．（4，10）∪（10，+∞）D．[4，10）∪（10，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得x≥4且x≠10．∴函数f（x）=的定义域是[4，10）∪（10，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．3．（5分）（2014秋•汪清县校级期末）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．log0.76＜0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．0.76＜log0.76＜60.7D．log0.76＜60.7＜0.76【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）式子2的值是（）A．2B．9 C．9+D．8+【分析】直接利用有理指数幂的化简与求值及对数的运算性质得答案．【解答】解：2==9．故选：B．【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．5．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）若y=a x（a＞0且a≠1）的反函数 f （x）过点（），则 f （x）=（）A．log2xB．（）x C． D．2x﹣2【分析】求出y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，再由反函数 f （x）过点（）求得a 值得答案．【解答】解：由y=a x，得x=log a y，把x，y互换，可得y=log a x，即y=a x（a＞0且a≠1）的反函数 f （x）=log a x，又y=a x（a＞0且a≠1）的反函数 f （x）过点（），∴，解得：a=2，∴f （x）=log2x．故选：A．【点评】本题考查函数的反函数的求法，训练了函数解析式的求解方法，是基础题．6．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由题意知每次清洗后所留下的污垢是原来的四分之一，由此知，剩余污垢的量是关于洗涤次数的指数型函数，由此给出洗x次后存留的污垢的函数解析式，再由限制条件存留的污垢不超过1%，建立不等式关系解不等式即可【解答】解：由题意可知，洗x次后存留的污垢为y=（1﹣）x，令（1﹣）x≤，解得x≥≈3.32，因此至少要洗4次．答案 B【点评】本题考查指数函数的实际运用，根据题设中的数量关系建立指数模型是解答的关键7．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）如图所示，在正方体ABC﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与AB1所成角（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由A1D∥B1C，得∠AB1C是异面直线A1D与AB1所成角，由此能求出异面直线A1D与AB1所成角．【解答】解：∵A1D∥B1C，∴∠AB1C是异面直线A1D与AB1所成角，∵AC=AB1=B1C，∴∠AB1C=60°，∴异面直线A1D与AB1所成角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）已知正三棱锥的正视图和俯视如图所示，则其侧视图的面积为（）A． B． C． D．1【分析】根据三视图的对应关系得出侧视图三角形的底和高，求出面积．【解答】解：由俯视图可知底面等边三角形的边长为1，∴俯视图中三角形的高为，即侧视图的底边为，∵主视图三角形的高为，∴侧视图三角形的高为．∴侧视图三角形的面积为=．故选C．【点评】本题考查了三视图的对应关系，属于基础题．9．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）函数y=1﹣的值域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）【分析】由4x＞0便可求出4x+1的范围，进而求出的范围，从而得出y的范围，即得出原函数的值域．【解答】解：4x＞0；∴4x+1＞1；∴；∴﹣1＜y＜1；∴该函数的值域为（﹣1，1）．故选：D．【点评】考查函数值域的概念，指数函数的值域，以及根据不等式的性质求函数值域的方法．10．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）函数f（x）=2x﹣x2的零点的个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】这道题可先在同一个坐标系中画出函数y=2x与y=x2的图象，然后问题可转化为该两个函数图象交点的个数问题，结合计算可解决问题．【解答】解：f（x）=2x﹣x2的零点，即为2x﹣x2=0的根，也就是函数y=2x与y=x2的图象交点的横坐标，作出这两个函数的图象如下：由图可知，当x＜0时，必有一个交点，当x≥0时，结合图象，且x=2及x=4都是该方程的解，故原函数共有3个不同的零点．故答案：C【点评】本题考查了函数零点的概念及性质．此例的关键在于能够将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，然后画出图象结合计算解决问题．二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）已知正方体的外接球的半径为3，则该正方体的棱长为2．【分析】球的直径就是正方体的对角线的长度，然后求出正方体的棱长．【解答】解：正方体外接球的半径R=3，正方体的对角线的长为6，棱长为a，则a=6，∴a=2．故答案为：2．【点评】本题考查球的内接正方体问题，解答的关键是利用球的直径就是正方体的对角线．是基础题．12．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）已知y=a x﹣1﹣2（a＞0且a≠1）恒过定点P，则P点的坐标为（1，﹣1）．【分析】根据指数函数过定点的性质，即a0=1恒成立，即可得到结论．【解答】解：∵y=a x﹣1﹣2，∴当x﹣1=0时，x=1，此时y=1﹣2=﹣1，即函数过定点（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，直接解方程即可．比较基础13．（5分）（2014秋•茂名期末）已知函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．【分析】先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=log a t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．【解答】解：令y=loga t，t=2﹣ax，（1）若0＜a＜1，则函y=loga t，是减函数，由题设知t=2﹣ax为增函数，需a＜0，故此时无解；（2）若a＞1，则函数y=loga t是增函数，则t为减函数，需a＞0且2﹣a×1＞0，可解得1＜a＜2综上可得实数a 的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．14．（5分）（2015秋•揭阳校级月考）下列说法：①函数y=（）x的反函数是y=﹣log2x；②若函数f（x）满足f（x+1）=2x，则f（x）=2x+2；③若函数f（x）的定义域是[﹣1，3]，则函数f（2x﹣1）的定义域是[0，2]；④不等式log2（x+1）＞log2（2x﹣3）的解集是（﹣∞，4），其中正确的是①③．【分析】由反函数的求法即可判断①；由换元法即可求出f（x）的表达式，即可判断②；由函数的定义域的定义，即可求出所求的定义域，即可判断③；运用对数函数的性质，得到x+1＞2x﹣3＞0，解出即可判断④．【解答】解：对于①，函数y=（）x的反函数为y=，即为y=﹣log2x，故①对；对于②，若函数f（x）满足f（x+1）=2x，则f（x）=2x﹣2，故②错；对于③，令2x﹣1=t，则﹣1≤t≤3，解得0≤x≤2，故③对；对于④，由x+1＞2x﹣3＞0，解得，故④错．故答案为：①③【点评】本题考查函数的反函数的求法、函数的解析式的求法和函数的定义域的求法，考查对数不等式的解法，属于基础题和易错题．三、解答题（第15、16题各12分，其余每题各14分，共80分）15．（12分）（2015秋•揭阳校级月考）已知A={x|y=}，B={y|y=2x+3}，C={k|y=}在（0，+∞）上为增函数}．（1）求集合 A，B，C；（2）求集合A∩（∁R B），C∪（∁R B）．【分析】（1）求出对应函数的定义域和值域，得出集合A、B和C；（2）根据并集、交集与补集，求出∁R B与A∩（∁R B）、C∪（∁R B）即可．【解答】解：（1）A={x|y=}={x|2x﹣3＞0}={x|x＞}，B={y|y=2x+3}={y|y＞3}，C={k|y=在（0，+∞）上为增函数}={k|k﹣1＜0}={k|k＜1}；（2）∵∁R B={y|y≤3}∴A∩（∁R B）={x|＜x≤3}，C∪（∁R B）={x|x≤3}．【点评】本题考查了函数的定义域和值域的应用问题，也考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．16．（12分）（2015秋•揭阳校级月考）如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知AB=4，BC=5，AD=2，以顶点A 为圆心，AD 为半径剪去一个扇形，剩下的部分绕AB 旋转一周形成一个几何体，指出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积V 和表面积S．【分析】根据题意，得出该几何体是一个圆台挖去半个球，结合图中数据求出它的体积与表面积．【解答】解：该几何体是由一个圆台挖去半个球，（2 分）由题意知，该圆台的上下底面的半径分别为2和5，高为4，母线为5，（4 分）挖去半球的半径为2；（5 分）所以该几何体的体积为V=π（22+52+2×5）×4﹣××23=52π﹣=；（8分）该几何的表面积为S=π×52+π（5+2）×5+×4×π×22=68π．（12分）【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）据气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l 左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）求速度v 关于时间t 的函数解析式；（2）求路程s 关于时间t 的函数解析式．【分析】（1）由图象可知：直线OA的方程是：v=3t，直线BC的方程是：v=﹣2t+70；分段求函数解析式；（2）求函数在每一段上的函数的取值，从而确定路程s 关于时间t 的函数解析式．【解答】解：（1）当0≤t≤10时，设v=kt，因为函数过点（10，30）（（2分）所以k=3 此时v=3t当10＜t＜20时，设v=a，因为函数也过点（10，30）（2分）所以v=30当20≤t≤35时设v=kt+b，因为函数点（20，30），（30，0），所以：，解得综上：v=（2）由图象可知：直线OA的方程是：v=3t，直线BC的方程是：v=﹣2t+70；当t=4时，v=12，所以s=×4×12=24；当0≤t≤10时，s=t•3t=t2；当10＜t≤20时，s=30t﹣150，当20＜t≤35时，s=﹣t2+70t+550；综上可知，s随t变化的规律是s=；【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）已知幂函数f（x）=（m∈N）图象关于原点对称，且在[0，+∞）上为增函数．（1）求函数 f （x）的解析式；（2）若f（2x2﹣1）＞f（3x﹣2），求x的取值范围．【分析】（1）根据幂函数的图象与性质，列不等式求出m的值，从而求出f（x）的解析式；（2）根据f（x）为奇函数且为增函数，把f（2x2﹣1）＞f（3x﹣2）化为2x2﹣1＞3x﹣2，求出解集即可．【解答】解：（1）因为 f （x）为幂函数且在[0，+∞）上为增函数，所以﹣m2+2m+3＞0，即m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3；又因为m∈N，所以m=0或m=1或m=2；又函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，经检验m=0或m=2满足题意，所以f（x）=x3；（2）由题意知，f（x）为奇函数且为增函数，所以由f（2x2﹣1）＞f（3x﹣2）可得2x2﹣1＞3x﹣2，即2x2﹣3x+1＞0，解得x＜或x＞1；所以x的取值范围是x＜或x＞1．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是中档题．19．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）已知函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞1）是定义在R 上的奇函数．（1）求k 的值并判断函数 f （x）单调性；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【分析】（1）由奇函数的性质：f（0）=0，可得k=2；求得f（x）的导数，即可判断f（x）的单调性；（2）由f（1）=，可得a=2，再令t=f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t≥f（1）=，讨论对称轴t=m，和区间[，+∞）的关系，求得最小值，解方程即可得到m的值．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∴a0﹣（k﹣1）•a0=0，即有k﹣1=1，∴k=2；∴f（x）=a x﹣a﹣x（a＞1），又f'（x）=a x lna+a﹣x lna=（a x+a﹣x）lna＞0∴f（x）在R上单调递增；（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去），∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，令t=f（x）=2x﹣2﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴g（x）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m≥时，当t=m时，g（x）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2；当m＜时，当t=时，g（x）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去．综上可得，m=2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的问题，考查单调性的判断，注意运用导数，考查换元法的运用，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．20．（14分）（2015秋•揭阳校级月考）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b（1）证明：a＞0且b＜0；（2）证明：函数 f （x）在区间（0，2内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数 f （x）的两个零点，证明：．【分析】（1）根据f（1）=0，可得a，b，c的关系，再根据3a＞2c＞2b，将其中的c代换成a与b表示，即可证明：a＞0且b＜0；（2）求出f（2）的值，根据已知条件，分别对c的正负情况进行讨论即可；（3）根据韦达定理，将|x1﹣x2|转化成用两个根表示，然后转化成用表示，运用（1）的结论，即可求得|x1﹣x2|的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴3a+2b+2c=0．又3a＞2c＞2b．（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．下面对c的正负情况进行讨论：①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；②当c≤0时，∵a＞0，∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根．故x1+x2=﹣，x1x2===从而|x1﹣x2|===．∵由（1）知a＞0，b＜0，又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2•，即﹣3＜＜﹣，∴|x1﹣x2|．【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；难度较大．。

广东省揭阳一中高二数学下学期第二次阶段考试试题理

广东省揭阳一中2012-2013学年高二数学下学期第二次阶段考试试题理选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1、若f ( x ) = x 3，f ′( x 0) =3，则x 0的值为A ．1B ．－1C ．±1D ．33 2、复数32322323i ii i+--=-+ A ．0 B.2 C.-2i D.23、在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++4、若函数)0(||)(2≠++=a c x b ax x f 的定义域R 被分成了该函数的四个单调区间，则实数c b a ,,满足A ．042>-ac b 且0>a B 。

02>-a bC ．042>-ac b D 。

02<-ab5、x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件6、经过抛物线y 2= 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是A ．y 2=x －1 B ．y 2=2(x －1) C ．y 2=x －21 D.y 2=2x －1 7、编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为A ．120 B.119 C.110 D.1098、设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9、若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.10、过圆外一点P （5，－2）作圆x 2+y 2－4x －4y=1的切线，则切线方程为__________。

广东省揭阳市第一中学2015-2016学年高二上学期第二次段考理科数学试题 Word版含答案

揭阳一中2015-2016学年度第一学期第二次阶段考试高二级理科数学试题命题人：黄纯洁审题人：陈林锋一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．） 1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞ 2.下列函数中为偶函数的是（）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =3. 已知如右程序框图，则输出的i 是( ) A ．9B ．11C ．13D ．154. 若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是 A ．a b a b -=- B ．22a b <C ．2b aa b+> D ．2b ab <5. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B. 172 C. 314 D. 3346.下列结论，不正确．．．的是（） A ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题q p ∨为真命题． B ．若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题． C ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为假命题．D ．命题“0,,22≥+∈∀y x R y x ”的否定是“0,,202000<+∈∃y x R y x ”.7.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 49.设定点F 1 (0,－3)、F 2 (0,3)，动点P 满足)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段10.方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ )A. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.)41,0( C. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. )0,41(-11.已知θ是三角形的一个内角，且1sin cos 2θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线12.如图，F 1、F 2是椭圆C 1：2214x y +=与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1与C 2 在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是A B C ．32 D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 13.在△ABC 中∠A=60°，b=1，S △ABC =3，则Aacos =________.13. 132 14. 64 15.01232=-+y x 16. ②14.为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为 . 6415．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线方程为 . .01232=-+y x16．若方程11422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：分①若C 为椭圆，则1<t<4; ②若C 为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C 不可能是圆； ④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则231<<t . 其中真命题的序号为 ② （把所有正确命题的序号都填在横线上）.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（10分）已知命题p ：0,x R ∃∈使得200210ax x -->成立；命题q ：方程()032=+-+a x a x 有两个不相等正实根；（1）若命题p ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.18.（10分）已知n a ＞0，n S 为数列{n a }的前n 项和，且满足22n n a a +=n 43S +（1）求{n a }的通项公式；（2）设11+⋅=n n n a a b 求b n 的前n 项和n T .19.（12分）已知)cos 3,(sin ),sin ,cos 3(x x x x ==，函数x f ⋅+⋅=)(．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知3)2(=αf ，且(0,)απ∈，求α的值．[来源:21世纪教育网]20.（12分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.21.（12分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.22.（14两点，（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.揭阳一中2015-2016学年度第二次阶段考试高二级理科数学试题（参考答案）1-12 ABCAC CACDD BD13. 132 14. 64 15.01232=-+y x 16. ②17.解:（1）p ⌝: x ∀R ∈,2210ax x --≤不恒成立.. ……………1分由0a <⎧⎨∆≤⎩得1a ≤-. ……………4分（2）设方程()032=+-+a x a x 两个不相等正实根为1x 、2x命题q 为真⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆0002121x x x x ⇔01a << ……………6分由命题“p 或q”为真，且“p 且q”为假，得命题p 、q 一真一假 ①当p 真q 假时，则101a a a >-⎧⎨≤≥⎩或得10a -<≤ 1a ≥或……②当p 假q 真时，则101a a ≤-⎧⎨<<⎩ 无解； ………………………………9分∴实数a 的取值范围是10a -<≤ 1a ≥或.……………………………………………10分18.（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3…………1分当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2， ……………3分所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++……………7分{n b }的前n 项和T n =12n b b b +++ =1111111[()()()]235572123n n -+-++-++=11646n -+………10分 19.解：22()3cos sin cos f x x x x x =++……2分2cos22x x =++……4分＝π2sin(2)26x ++．……6分 ∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==．…………8分（Ⅱ）由32f α⎛⎫=⎪⎝⎭，得π2sin()236α++=．∴π1sin()62α+=． ……10分 ()0,πα∈，∴7π,666ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭………… 11分 ∴566ππα+=∴2π3α=．…………… 12分20.（1）证明：∵ PD PC =且点E 为CD 的中点，∴ PE DC ⊥，………………1分又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD CD =，PE ⊂平面PDC ， ∴ PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD………4分 ∴ PE FG ⊥；………5分（2）如下图所示，连接AC ， ∵ 2AF FB =，2CG GB =即2AF CGFB GB==， ∴ //AC FG ，………7分∴ PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角，……8分在PAC ∆中，5PA ==，AC ==……10分由余弦定理可得22222254cos 2PA AC PC PAC PA AC +-+-∠===⋅，……11分∴ 直线PA 与直线FG ．……12分PABCDEFG21.（12分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21.（1）设(),M x y ，∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--，(x 0x 3≠≠且)………2分，得2239x y (x 0)24⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭,又由221:650C x y x +-+=，2239x y (x 0)24⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭得533X X ＝或＝ ………4分∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；………5分（2）由（1）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，………6分当直线L 与圆C32=得34k =±，又0543DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，………10分结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦ 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．………12分22.解：（1）由已知得a=2，b=1，所以，………2分所以椭圆G的焦点坐标为，………4分离心率为……5分（2）由题意知，|m|≥1，当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为，此时；当m=-1时，同理可得；……6分当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），由，得，设A、B两点的坐标分别为，则，……8分又由l与圆相切，得，即，……9分所以，……12分由于当m=±3时，，且时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.……14分。

广东省揭阳一中2016-2017学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年广东省揭阳一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．直线的倾斜角α=（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．在等差数列{a n}中，a20l5=a2013+6，则公差d等于（）A．2 B．3 C．4 D．64．已知向量=（1，2），=（x，4），若向量∥，则x=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣85．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）A．B．C．D．6．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S67．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④8．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣110．函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．11．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．212．已知数列{a n}中，a n=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）+1A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为．14．已知正项等比数列{a n}的公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为．15．已知变量x，y满足，则的取值范围是．16．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足．（1）若命题p的解集为P，命题q的解集为Q，当a=1时，求P∩Q；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．19．等差数列{a n}中，a2=8，S6=66（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=，T n=b1+b2+b3+…+b n，求T n．=S n+3n（n∈N*）．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且首项a1≠3，a n+1（1）求证：{S n﹣3n}是等比数列；（2）若{a n}为递增数列，求a1的取值范围．21．已知向量=（，cos2ωx），=（sin2ωx，1），（ω＞0），令f（x）=，且f（x）的周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若时f（x）+m≤3，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b 的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳一中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．2．直线的倾斜角α=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．【解答】解：直线的斜率等于﹣，即直线倾斜角的正切值是﹣，又倾斜角大于或等于0度且小于180°，故直线的倾斜角为150°，故选D．3．在等差数列{a n}中，a20l5=a2013+6，则公差d等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】等差数列的通项公式．【分析】在等差数列中，直接利用求得公差．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a20l5=a2013+6，得2d=a20l5﹣a2013=6，即d=3．故选：B．4．已知向量=（1，2），=（x，4），若向量∥，则x=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量=（1，2），=（x，4），向量∥，得到4﹣2x=0，求出x 的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，4），向量∥，则4﹣2x=0，x=2，故选A．5．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：D．6．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S6【考点】等差数列的性质．【分析】先根据d＜0，|a3|=|a9|确定a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，进而根据等差中项性质可知a6=0，进而可推断a5＞0，a7＜0；最后根据S6=S5+a6进而推断出S6=S5【解答】解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，∴a6=0，a5＞0，a7＜0；∴S5=S6．故选D7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．8．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．9．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵，∴f（x）∈[﹣1，2]，故选D10．函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．【考点】基本不等式；指数函数的图象变换．【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3++，由基本不等式可得．【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，由m＞0，n＞0可得=（）（m+n）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等号，故选：D．11．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）12．已知数列{a n}中，a n+1A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．=4S n，对S1分类讨论，即可得出结论．【分析】由条件可得S n+1=3S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，∴S n+1若S1=0，则数列{a n}为等差数列；若S1≠0，则数列{S n}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴S n=S1•4n﹣1，此时a n=S n﹣S n﹣1=3S1•4n﹣2（n≥2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．综上，数列{a n}可能为等差数列，但不会为等比数列．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13．不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3] ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对x分x＜﹣1，﹣1≤x≤2与x＞2范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集．【解答】解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔﹣x﹣1+2﹣x≤5，解得：﹣2≤x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+2﹣x=3≤5恒成立，∴﹣1≤x≤2；当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|≤5⇔x+1+x﹣2=2x﹣1≤5，解得：2＜x≤3．综上所述，不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为[﹣2，3]．故答案为：[﹣2，3]．14．已知正项等比数列{a n}的公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【分析】正项等比数列{a n}的公比q=2，由于存在两项a m，a n，使得=4a1，可得=4a1，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比q=2，∵存在两项a m，a n，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则+=（m+n）（）==，当且仅当n=2m=4时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．15．已知变量x，y满足，则的取值范围是[，] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A （﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]16．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2a3，化为=3=q．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足．（1）若命题p的解集为P，命题q的解集为Q，当a=1时，求P∩Q；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）分别求出P，Q，求出P，Q的交集即可；（2）分别求出￢p，￢q，根据￢p是￢q的充分不必要条件，求出a的范围即可．【解答】解：（1）若a=1，由x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，∴P=（1，3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由≤0得：2＜x≤3；∴Q=（2，3]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴P∩Q=（2，3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a的取值范围为：（1，2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．19．等差数列{a n}中，a2=8，S6=66（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=，T n=b1+b2+b3+…+b n，求T n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，则有，解之可得a1=6，d=2，进而可得通项公式；（2）把（1）的结果代入可得b n的通项，由列项相消法可得答案．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则有…解得：a1=6，d=2，…∴a n=a1+d（n﹣1）=6+2（n﹣1）=2n+4 …（2）b n===﹣…∴T n=b1+b2+b3+…+b n=﹣+﹣+…+﹣=﹣=…=S n+3n（n∈N*）．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且首项a1≠3，a n+1（1）求证：{S n﹣3n}是等比数列；（2）若{a n}为递增数列，求a1的取值范围．【考点】等比数列的性质；等比关系的确定；数列递推式．=S n+3n（n∈N*），可得数列{S n﹣3n}是公比为2，首项为a1【分析】（1）由a n+1﹣3的等比数列；（2）n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，利用{a n}为递增数列，即可求a1的取值范围．=S n+3n（n∈N*），【解答】证明：（1）∵a n+1=2S n+3n，∴S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）∴S n+1∵a1≠3，∴数列{S n﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列；（2）由（1）得S n﹣3n=（a1﹣3）×2n﹣1，∴S n=（a1﹣3）×2n﹣1+3n，n≥2时，a n=S n﹣S n=（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，﹣1∵{a n}为递增数列，∴n≥2时，（a1﹣3）×2n﹣1+2×3n＞（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，∴n≥2时，，∴a1＞﹣9，∵a2=a1+3＞a1，∴a1的取值范围是a1＞﹣9．21．已知向量=（，cos2ωx），=（sin2ωx，1），（ω＞0），令f（x）=，且f（x）的周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若时f（x）+m≤3，求实数m的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（I）根据向量数量积坐标运算公式，结合辅助角公式化简整理可得f（x）=2sin（2ωx+），用三角函数周期公式即可得到ω=1，从而得到函数f（x）的解析式；（II）利用正弦函数的图象与性质，得到当时f（x）+m的最大值为2+m，结合不等式恒成立的等价条件，即可解出实数m的取值范围．【解答】解：（I）∵向量=（，cos2ωx），=（sin2ωx，1），（ω＞0）∴=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵函数的周期T==π，∴ω=1即函数f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+）；（II）当时，2x+∈[，]∴﹣≤sin（2ωx+）≤1因此，若时，f（x）∈[﹣1，2]∴f（x）+m≤3恒成立，即2+m≤3，解之得m≤1即实数m的取值范围是（﹣∞，1]．22．已知函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，求实数a，b 的值；（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；（2）由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0，讨论a的取值，求出对应实数a的取值范围；（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）=x2+（3﹣a）x+2a ﹣10，求出h（x）＜0解集中恰有3个整数时a的取值范围即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，又f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}，所以﹣4，2方程x2+（3﹣a）x+2+2a+b=0的两根，由，解得a=1，b=﹣12；…（2）因为函数f（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a+b，a，b∈R，由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x2+（3﹣a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）=x2+（3﹣a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）min≤0；①，即得a≤﹣6；…②，即；有，解得a∈∅；…③，即，解得a≥20；…综上，由①②③知，实数a的取值范围是a≤﹣6或a≥20．…【注：由x2+（3﹣a）x+2+2a≤0得（x﹣2）a≥x2+3x+2，然后分离出a，进行求解，则参照给分】（3）由f（x）＜12+b得x2+（3﹣a）x+2a﹣10＜0，令h（x）=x2+（3﹣a）x+2a﹣10，则h（x）=（x﹣2）[x﹣（a﹣5）]，知h（2）=0，故h（x）＜0解集中的3个整数只能是3，4，5或﹣1，0，1；…①若解集中的3个整数是3，4，5，则5＜a﹣5≤6，得10＜a≤11；…②解集中的3个整数是﹣1，0，1；则﹣2≤a﹣5＜﹣1，得3≤a＜4；…综上，由①②知，实数a的取值范围为3≤a＜4或10＜a≤11．…2017年1月18日。

广东省揭阳市第一中学高二数学上学期第二次阶段考试试题文

广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二数学上学期第二次阶段考试试题文A ．{}23x x <≤ B ．{}02x x x ><-或 C ．{}23x x -<≤ D ．{}02x x <<2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能．．．的是（）3.两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a 千米, 灯塔A 在C 的北偏东30°, B 在C 的南偏东60°，则A ，B 之间的相距（）千米. A ．a B ．a 3 C ．2aD ．a 24.已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-r r且a b ⊥r r ，则32a b +r r =（）A.（－4,－10）B.（－4,7）C.（－3,－6）D.（7,4） 5.设定点F 1 (0,－3)、F 2 (0,3)，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 6.下列结论，不正确．．．的是（） A ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题q p ∨为真命题． B ．若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题． C ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为假命题．D ．命题“0,,22≥+∈∀y x R y x ”的否定是“0,,202000<+∈∃y x R y x ”.7.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，ABCD[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（） A ．45 B ．50 C ．55 D ．608.在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是（） A.24 B.48 C.60 D.849.已知椭圆()222109x y a a+=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点, 则a 的值为（）A ．2B ．10C ．4D ．1010.已知椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P . 若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是（） A. 12 B. 22 C. 32 D. 13二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上).11.在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为_________.12.若方程13322=++-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是________.13.已知x >0，y >0且20x y +=，则lg lg x y +的最大值是_________.14.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=_________. 三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=2，点(1,0)在函数f ( x ) =2a n x 2– a n +1x 的图像上.（1）求数列{a n }的通项；（2）设221log n n b a -=，求数列{b n }的前n 项和T n .A 1B 1C 1D 1ABC DE16.（本小题满分12分）在△ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足222a c b ac +-=．（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),m A A n ==--u r r ，n),(6,1)m A A n ==--u r r ，求n m ⋅的最小值，并求此时角A 的大小.17.（本小题满分14分）如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.（1）求证：直线//1BB 平面DE D 1；（2）求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1；（3）求三棱锥DE A A 1-的体积.18．（本小题满分14分）设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值.19.（本小题满分14分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(, 数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?20.（本小题满分14分）已知),0,3(),0,3(21F F -动点P 满足,421=+PF PF记动点P 的轨迹为.E （1）求E 的方程；（2）曲线E 的一条切线为,l 过21,F F 作l 的垂线，垂足分别为,,N M 求N F M F 21⋅的值；（3）曲线E 的一条切线为,l l 与x 轴，y 轴分别交于B A ,两点，求AB 的最小值，并求此时切线的斜率.揭阳一中2014-2015学年度高二级第一学期第二次阶段测试16.解：(1)∵222a cb ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==，……………3分又∵0B π<<，∴3B π=． ………………………………5分（2）6sin cos 2m n A A ⋅=--u r r………………………………………………………6分223112sin 6sin 12(sin )22A A A =--=--， ………………………8分∵203A π<<，∴0sin 1A <≤． ……………10分∴当2π=A 时，sin 1A =，m n ⋅u r r 取得最小值为5-． …………11分即m n ⋅u r r 的最小值为5-，此时 2π=A …………12分∴直线AE ⊥平面DE D 1, ………………………8分而⊆AE 平面AE A 1,所以平面AE A 1⊥平面DE D 1.………………………10分 (3)=-DE A A V 1 =⨯=∆-ADE ADE A S AA V 1311312121131=⨯⨯⨯⨯. ………………………14分 18．解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =，即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=，解得23b =，于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y += ………………………6分 (2).设(,)P x y ，则22143x y +=，22443x y ∴=- …………………….8分222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++…10分又33y -≤≤Q .....................................12分∴当32y =-时，max 5PQ = ………………………14分∴12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，*n N ∈；...................5分∵1111n n n n n n n n S S S S S S S S -----==Q()2n ≥又0n b >0n S >, 11n n S S -=； ∴数列{nS 构成一个首相为1公差为1的等差数列. ....................7分()111n S n n =+-⨯=，即2n S n =∴当2n ≥，()221121n n n b S S n n n -=-=--=-；又b 1=c =1满足上式21n b n ∴=-(*n N ∈) .....................9分（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K …1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭....................12分由1000212009n n T n =>+得10009n >，即满足10002009n T >的最小正整数为112. ........14分20.解：（1）可知.3221=F F 又因为,32421>=+PF PF所以点P 的轨迹是以21F F 、为焦点的椭圆。

广东省揭阳一中高二数学上学期第二次阶段考试题理新

揭阳一中93届13-14学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)一．选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)1．已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |=5，则|AF 1|+|BF 1|等于( )A ．2 B ．10 C ．9 D ．162．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 3．如果实数x ,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是( )A ．21B ．33C ．23D ．34．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－45．已知a r 、b r均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a r ＋3b r|=( ) A ．7 B 10 C ．13 D ．46．一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为( )A ．－24 B ．84 C ．72 D ．367．已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是( )A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11( )A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．不等式0121>+-x x的解集是． 10．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是．11． “若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是． 12．某算法流程图如右图，输入x =1，得结果是________． 13．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直．其中正确命题的个数为14．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．(12分)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．16．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若s1n B ·s1n C ＝s1n 2A ，试判断△ABC 的形状．17. (14分)等比数列}{n a ，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+(1,2,3...n =)，求数列}{n b 的前n 项和n S . 18．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)(1)设b n ＝a n －1(n ＝1,2,3…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝2na n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n ＜13.19．(14分)已知长方形ABCD , AB =22,BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由．20．(14分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=. (1)求)1(-f 的值；(2)求函数)(x f 的值域A ； (3)设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域OxyA BCD图8A ，求实数a的取值范围. 为集合B，若B揭阳一中93届13-14学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)答案一、选择题：1~8：ABDC CDBC 二、填空题：9．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 10．y 2＝－20x ； 11．若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P ；12．92-； 13．3； 14．22．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15．(12分)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解析：(1)圆心C (1,2)，半径r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.(2)由题意，有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0，或a ＝43.16．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若s1n B ·s1n C ＝s1n 2A ，试判断△ABC 的形状．解析：(1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3．(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc ．∴(b －c )2＝0，即b ＝c ．∴△ABC 是等边三角形．17. (14分)在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+(1,2,3...n =)，求数列}{n b 的前n 项和n S . 解析：(1)设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =， ……………………………………1分因为0n a >，所以22a = ……………………………………2分依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q == …………………3分因为30a >，所以，2=q …………………………………..4分所以数列}{n a 通项为12-=n n a ……………………………………...6分(2)12log 21n n n n b a a n +=+=+-……………………………………....8分可得232(12)(1)(222...2)[123...(1)]122n nn n nS n --=+++++++++-=+- .......12分 1(1)222n n n +-=-+…………………………………....14分18．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)(1)设b n ＝a n －1(n ＝1,2,3…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝2na n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n ＜13.解析：(1)由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，即a n ＋1－1a n －1＝2 b n ＝a n －1，b n －1＝a n －1－1 故b n ＋1b n＝2， ∴数列{b n }是等比数列．(2)由(1)知{b n }是b 1＝3－1＝2，q ＝2的等比数列；故b n ＝b 1qn －1＝2·2n －1＝2n＝a n －1∴a n ＝2n＋1. (3)∴c n ＝2na n a n ＋1＝2n2n＋12n ＋1＋1＝2n ＋1＋1－2n＋12n ＋12n ＋1＋1＝12n ＋1－12n ＋1＋1∴S n ＝(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n ＋1－12n ＋1＋1)＝13－12n ＋1＋1＜13.19．已知长方形ABCD , AB =22,BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由．解析：(1)由题意可得点A ,B ,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-．设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by ax ．()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a 224222=-=-=∴c a b ． ∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (2)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y ．Oy A BC D 图8设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx x k 有221221214,218k x x k k x x +=+-=+ 若以M N 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k所以,()0421*******222=++-++k k k k ，即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y ．所以存在过P (0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点． 20．(14分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=. (1)求)1(-f 的值； (2)求函数)(x f 的值域A ； (3)设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.解析：(1)Θ函数)(x f 是定义在R 上的偶函数)1()1(f f =-∴ ...........1分又 0≥x 时，xx f )21()(=21)1(=∴f ...........2分 21)1(=-f ...........3分(2)由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时，)(x f 的取值范围. ..........5分当0≥x 时，1)21(0≤<x...........7分故函数)(x f 的值域A =]1,0( ...........8分 (3)a x a x x g +-+-=)1()(2Θ∴定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分方法一：由0)1(2≥+-+-a x a x 得0)1(2≤---a x a x ，即 0)1)((≤+-x a x ...........2分 ΘB A ⊆],,1[a B -=∴且1≥a ...........13分 ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分方法二：设a x a x x h ---=)1()(2B A ⊆当且仅当⎩⎨⎧≤≤0)1(0)0(h h ...........2分即⎩⎨⎧≤---≤-0)1(10a a a ...........13分∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分。

广东省揭阳市世铿中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年广东省揭阳市世铿中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一.选择题（共8题每题5分，共40分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．63．若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．24．若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A．B．C．D．=a n+2n，则a10=（）5．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1A．1024 B．1023 C．2048 D．20476．“”是“a，x，b成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件7．在△OAB中，，若，=（）则S△OABA．B．C． D．8．已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线9．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A．B．C． D．10．若在△ABC中，∠A=30°，b=3，S△ABC=，则=（）A． B．C．D．11．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log3512．设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f （x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二.填空题（共6题每题5分，满分20分）13．不等式组所表示的平面区域的面积等于，z=3x﹣2y的最大值为．14．关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）15．若数列{a n}满足：a1=1，a n=2a n（n∈N*），则前6项的和S6=．（用数字+1作答）16．已知椭圆（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为．三．解答题（共70分）17．在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，试判断△ABC的形状并求角B的大小．18．P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°（1）求△F1PF2的面积；（2）求P点的坐标．19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a1+b2=3，a2+b3=7（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．21．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）已知AP=1，AD=，设EC 与平面ABCD 所成的角为α，且tanα=，求二面角D ﹣AE ﹣C 的大小．22．（1）已知，求xy 的最小值（2）已知x 、y ∈R +，且2x +5y=20，求xy 的最大值．2015-2016学年广东省揭阳市世铿中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（共8题每题5分，共40分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，解指数不等式即可得到原函数的定义域．【解答】解：由1﹣2x≥0，得：2x≤1，所以x≤0．所以原函数的定义域为（﹣∞，0]．故选D．2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为等腰直角三角形，直角边为1，高为1的直三棱柱，所以几何体的表面积为：S=2S 底+S 侧=2×+=3+．故选C ．3．若b 为实数，且a +b=2，则3a +3b 的最小值为（）A ．18B ．6C ．2D ．2【考点】基本不等式．【分析】3a +3b 中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a +b ．【解答】解：∵a +b=2，∴3a +3b故选B4．若△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】通过正弦定理求出，a ：b ：c=2：3：4，设出a ，b ，c ，利用余弦定理直接求出cosC 即可．【解答】解：因为sinA ：sinB ：sinC=2：3：4 所以a ：b ：c=2：3：4，设a=2k ，b=3k ，c=4k 由余弦定理可知：cosC===﹣．故选A ．5．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=a n +2n ，则a 10=（） A ．1024B ．1023C ．2048D ．2047【考点】数列递推式．【分析】由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n 项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n +1=a n +2n ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故选B．6．“”是“a，x，b成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质．【分析】“”⇒“a，x，b成等比数列”或“x=0，且a与b中至少一个为0”，“a，x，b成等比数列”⇒x=±．【解答】解：“”⇒“a，x，b成等比数列”或“x=0，且a与b中至少一个为0”，“a，x，b成等比数列”⇒x=±，∴“”是“a，x，b成等比数列”的既非充分又非必要条件．故选D．7．在△OAB中，，若，=（）则S△OABA．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得向量的模长和夹角的余弦值，进而可得正弦值，代入面积公式可得．【解答】解：由题意可得==2，==5设向量，的夹角为θ，则=cosθ=10cosθ=﹣5，解之可得cosθ=﹣，所以sinθ=，故S △OAB =sinθ==故选D8．已知点A （﹣2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足，则点P 的轨迹是（） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【考点】轨迹方程．【分析】由题意知（﹣2﹣x ，y ）•（3﹣x ，y ）=x 2，化简可得点P 的轨迹．【解答】解：∵动点P （x ，y ）满足，∴（﹣2﹣x ，﹣y ）•（3﹣x ，﹣y ）=x 2， ∴（﹣2﹣x ）（3﹣x ）+y 2=x 2，解得y 2=x +6． ∴点P 的轨迹方程是抛物线．故选：D ．9．方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1（|m |＞|n |＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A ．B ．C ．D ．【考点】曲线与方程．【分析】当 m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程mx 2+ny 2=1（|m |＞|n |＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m 和n 异号时，抛物线 y 2=﹣开口向右，方程mx 2+ny 2=1（|m |＞|n |＞0）表示双曲线．【解答】解：方程mx +ny 2=0 即 y 2=﹣，表示抛物线，方程mx 2+ny 2=1（|m |＞|n |＞0）表示椭圆或双曲线．当 m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程mx 2+ny 2=1（|m |＞|n |＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选A．10．若在△ABC中，∠A=30°，b=3，S△ABC=，则=（）A． B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】又A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b 的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．【解答】解：由∠A=30°，得到sinA=，cosA=，=，又b=3，S△ABC∴bcsinA=×3×c×=，解得c=，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+﹣12=，解得a=，根据正弦定理==，则=．故选：C．11．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=log 3（a 5a 6）5答案可得．【解答】解：∵a 5a 6=a 4a 7， ∴a 5a 6+a 4a 7=2a 5a 6=18 ∴a 5a 6=9∴log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=log 3（a 5a 6）5=5log 39=10 故选B12．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对于任意的x ∈R ，都有f （x ﹣2）=f （2+x ），且当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）=﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程f（x ）﹣log a （x +2）=0恰有3个不同的实数解，则a 的取值范围是（）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．（1，）D ．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上的偶函数，对于任意的x ∈R ，都有f （x ﹣2）=f （2+x ），我们可以得到函数f （x ）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f （x ）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f （x ）﹣log a x +2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f （x ）的与函数y=）﹣log a x +2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a 的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x ∈R ，都有f （x ﹣2）=f （2+x ）， ∴函数f （x ）是一个周期函数，且T=4又∵当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）=﹣1，且函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，故函数f （x ）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程f （x ）﹣log a x +2=0恰有3个不同的实数解则log a4＜3，log a8＞3，解得：＜a＜2故选D二.填空题（共6题每题5分，满分20分）13．不等式组所表示的平面区域的面积等于4，z=3x﹣2y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由三角形面积公式求得平面区域的面积；再化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，进而求得最优解的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，﹣1），B（0，﹣3），联立，解得C（4，3）．∴平面区域△ABC的面积为；化目标函数z=3x﹣2y为．由图可知，当直线与3x﹣2y﹣6=0重合时，z有最大值为6．故答案为：4；6．14．关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是②．（把你认为正确的命题序号都填上）【考点】三角函数的周期性及其求法；命题的真假判断与应用；运用诱导公式化简求值；正弦函数的对称性．【分析】首先根据函数求出最小正周期，然后根据诱导公式求出对称中心，然后根据图象分别求出最大值和最小值，最后综合判断选项．【解答】解：函数f（x）=4sin的最小正周期T=π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错．利用诱导公式得f（x）=4cos=4cos=4cos，知②正确．由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x=代入得f（x）=4sin≠0，因此点（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故命题③错误．曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x=﹣时y=0，点（﹣，0）不是最高点也不是最低点，故直线x=﹣不是图象的对称轴，因此命题④不正确．故答案为：②=2a n（n∈N*），则前6项的和S6=63．（用数15．若数列{a n}满足：a1=1，a n+1字作答）【考点】数列递推式．【分析】由数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n，可以判断数列{a n}是一1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式进行求和．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是一1为首项，2为公比的等比数列∴故答案为6316．已知椭圆（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据BF⊥BA，可知|AB|2=a2+b2，根据椭圆的定义可知，|BF|=a，|FA|=a+c，进而代入上式中求得c2+ac﹣a2=0，等式两边同除以a2即可得到关于离心率e的一元二次方程，求得答案．【解答】解：∵|AB|2=a2+b2，|BF|=a，|FA|=a+c，在Rt△ABF中，（a+c）2=a2+b2+a2化简得：c2+ac﹣a2=0，等式两边同除以a2得：e2+e﹣1=0，解得：e=．故答案为三．解答题（共70分）17．在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，试判断△ABC的形状并求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出角A的大小；（Ⅱ）已知等式利用正弦定理化简，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，由A的度数即可求出B的度数．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，∴cosA=，又∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=，∵A为三角形内角，∴A=；（Ⅱ）已知等式sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理得a2+b2=c2，∴△ABC是以角C为直角的直角三角形，又A=，∴B=．18．P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°（1）求△F1PF2的面积；（2）求P点的坐标．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面积公式求解．（2）先设P（x，y），由三角形的面积得∴，将代入椭圆方程解得求P点的坐标．【解答】解：∵a=5，b=3∴c=4（1）设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则t1+t2=10①t12+t22﹣2t1t2•cos60°=82②，由①2﹣②得t1t2=12，∴（2）设P（x，y），由得4∴，将代入椭圆方程解得，∴或或或19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a1+b2=3，a2+b3=7（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且，解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ）=．前n项和S n=1+++…++，①2S n=2+3++…++，②②﹣①得S n=2+2+++…+﹣=2+2（1+++…+）﹣=2+2•﹣=6﹣．20．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=1，AD=，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=，求二面角D﹣AE﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明PB∥平面AEC；（2）方法1：根据线面所成的角的定义结合二面角的求解方法，进行求解．方法2：利用向量法或定义法进行求解即可．【解答】证明：（1）连结BD交AC于点O，连接EO．∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又E为PD的中点，∴EO∥PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）过点E作EF∥PA交AD于F，连结FC，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，且∴∠ECF=α﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法一：过D作DQ⊥AE交AE于点Q，连结CQ，∵PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥面PAD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AQ⊂面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，∴AQ⊥面CDQ，故AQ⊥CQ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∠DQC是二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AP=1，，∴又∵E为PD的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在Rt△AQD中，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵0＜∠CQD＜π，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，﹣则A（0，0，0），，，，P（0，0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故，，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由条件可知，为平面ADE的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面AEC的一个法向量为，则由，得，取x=2，得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设二面角D﹣AE﹣C的大小为θ，则=，∴，即二面角D﹣AE﹣C的大小为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．（1）已知，求xy 的最小值（2）已知x 、y ∈R +，且2x +5y=20，求xy 的最大值．【考点】基本不等式．【分析】（1）由于x ＞0，y ＞0，则2=+≥2，变形即可得出．（2）由题意和基本不等式可得xy=•2x•5y ≤•（）2=10，验证等号成立即可．【解答】解：（1）∵x ＞0，y ＞0，∴2=+≥2，当且仅当x=2，y=3时取等号， ∴xy ≥6，∴xy 的最小值为6，（2）∵x ＞0，y ＞0，且2x +5y=20，∴xy=•2x•5y ≤•（）2=10，当且仅当2x=5y 即x=5且y=2时取等号， ∴xy 的最大值为10．2017年1月15日。

2015-2016学年广东省揭阳市第一中学高一上学期第二次段考数学试题 word版

揭阳一中2015-2016 年度高一第一学期第二次段考数学试卷一、选择题（单选题，每小题各5 分，共50 分）1．若点M 在直线l 上，l 在平面α内，则M, l, α间的上述关系为（）A.M ∈l, l∈αB.M ∈l,2.函数的定义域为（）10.函数的零点的个数为（）A. 1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题（每小题5分，共20 分）11.已知正方体的外接球的半径为3，则该正方体的棱长为.12.已知恒过定点P，则P 点的坐标为13.已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围为14.下列说法:①函数的反函数是；②若函数f (x)满足f (x＋1) ＝2x，则f (x) ＝2x＋2；③若函数f (x)的定义域为，则函数f (2x－1)的定义域为；④不等式的解集是(－∞,4) .其中正确的是.三、解答题（第15、16 题各12 分，其余每题各14 分，共80 分）15.已知在(0,＋∞)上为增函数} .⑴求集合A,B,C ;⑵求集合.16.如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知AB=4,BC=5,AD=2,以顶点A 为圆心，AD 为半径剪去一个扇形，剩下的部分绕AB 旋转一周形成一个几何体，指出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积V 和表面积S 。

17.据气象中心观察和预测：发生于 M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/ h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T(t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km) .⑴求速度v 关于时间t 的函数解析式；⑵求路程s 关于时间t 的函数解析式.18.已知幂函数的图像关于原点对称，且在[0,＋ )上为增函数.⑴求函数f (x)的解析式；⑵若，求x的取值范围.19.已知函数是定义在R 上的奇函数。

⑴求k 的值并判断函数f (x)单调性；⑵若上的最小值为－2，求m的值.20.设函数⑴证明：a ＞ 0且b ＜0；⑵证明：函数f (x)在区间(0,2)内至少有一个零点；⑶设是函数f (x)的两个零点，证明：揭阳一中2015-2016 年度高一第一学期第二次段考数学试卷(参考答案)一、选择题（单选题，每小题5 分，共50分）1-5：BDCBA 6-10：BCCDC二、填空题（每小题5 分，共20 分）；12. (1,－1) ； 13.1＜a＜2 ; 14. ①③.三、解答题（第15、16 题各12 分，其余每题各14分，共80 分）15．解：16.解：该几何题是由一个圆台挖去半个球。

广东省揭阳一中2012-2013学年高二上学期第二次段考数学理试题

揭阳一中92届12-13学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．过点(1，1)只存在3条直线与下面曲线只有1个交点的是( )A ．222212x y y x -==和B ．2221214x y y x -==和 C ．222114x y y x -==和 D ．2221412x y y x -==和 2．若数列{a n }满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，且a 1＝67，则a 2011的值为( ) A ． 57 B ． 67 C ． 17 D ． 373．已知,x y 满足约束条件03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则222x y x ++的最小值是( )A ．25B1 C ．2425 D ．14．若数列{a n }(n ∈N *)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 6．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =则C 的实轴长为( ) AB． C ．4 D ．87．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦AB ，满足1()2OP OA OB =+，则这条弦所在的直线方程是( ) AA ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝08．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．“111222a b c a b c ==”是“不等式1110a x b y c ++>与2220a x b y c ++>表示同个平面区域”的条件．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．11．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，N 为1BB 的靠近B 的三等分点，若11A B =a ， 11A D =b ，1A A =c ，则MN 等于 (用a,b,c 表示)．12．已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为． 13．已知直线l ：143x y+=，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，点P 是线段AB 的靠近点A 的一个三等分点，点P 的轨迹方程为．14 ．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM = ．ks5u三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(12分)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sinB ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)且m ∥n ．(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S△ABC 的最大值．16．(12分)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF ．17．(14分)已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于A 、B 两点，(1)求证;OA OB ⊥;(2)当OAB ∆k 的值18．(14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =，121n n a S +=+()*n ∈N ．(1)当t 为何值时，数列{}n a 是等比数列；(2)在(1)的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +成等比数列，求n T ．19．(14分)已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q ．(1)若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围．ks5u(2)若方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围．20．(14分)已知长方形ABCD ， AB =22，BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程; (2)过点P (0，2)的直线l 交(1)中椭圆于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在，求出直线l 的方程;若不存在，说明理由．揭阳一中92届12-13学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)答案一、选择题：1~8：BBDCA CAD二、填空题：9．既不充分也不必要； 10．23； 11．111223--a b c ； 12．220x -25y =1； 13．3x ＋8y －8＝0； 14．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15．解析：(1)∵m ∥n ，∴2sinB ⎝⎛⎭⎫2cos 2B2－1＝－3cos 2B ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3．(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac得，ks5ua 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，16．解析：证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC BD N =，连接NE ．则点N ，E的坐标分别为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1．所以22NE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．又点A，M 的坐标分别是)，⎫⎪⎪⎝⎭，所以,,122AM ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭．所以NE AM =且NE 与AM 不共线．所以NE AM ∥．又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ．所以AM ∥平面BDE ．(2)由(1)知AM ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，因为)D，)F，所以()DF =．所以0AM DF ⋅=．所以AM DF ⊥．同理AM BF ⊥．又DFBF F =，所以AM ⊥平面BDF ．17．解析：(1)证明:设 221122(,),(,)A y y B y y --;(1,0)N -221122(1,)(1,)NA y y NB y y =-=-，由A ，N ，B 共线ks5u22112221y y y y y y -=- 211212()()y y y y y y ∴-=-，又12y y ≠ 121y y ∴=-2212121212(1)0OA OB y y y y y y y y OA OB ∴∙=+=+=∴⊥(2)解：21112OABS y y ∆=⋅⋅-，由2(1)y x y k x ⎧=-⎨=+⎩得20ky y k +-=2111126OAB S y y k ∆∴=⋅⋅-=∴=±ks5u 18．解析：(1)由121n n a S +=+，知121n n a S -=+，当n …2时两式相减得()1122n n n n n a a S S a +--=-=，即13.n n a a +=所以当n …2时，数列{}n a 是公比为3的等比数列．要想n …1时，数列{}n a 为等比数列，则有213a a =，即11213a a +=，即11a =，即当1t =时，数列{}n a 为等比数列；当1t ≠时，数列{}n a 不为等比数列.(2)由(1)得知13n n a -=，11a =，23a =，39a =，由315T =，得2315b =，2 5.b =设等差数列{}n b 的公差为d ，则15b d =-，35b d =+，11a b b d +=-，228a b +=，3314a b d +=+，由题意可得()()28614d d =-+，即28200d d +-=，所以2d =或10.d =-又因为数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，故0d <，所以10.d =-21520i nn i T b n n ===-+∑()*.n ∈N19．解析：(1)若φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解x x a 222+->∴令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u所以a >-4，所以a 的取值范围是{}4->a a ks5u(2)方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，则0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解。

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2015-2016学年广东省揭阳一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A． B．（0，1] C．2．下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x3．已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．154．若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b25．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．6．下列结论，不正确的是（）A．若p是假命题，q是真命题，则命题p∨q为真命题B．若p∧q是真命题，则命题p和q均为真命题C．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆命题为假命题D．命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x0，y0∈R，x02+y02＜0”7．设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．9．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆 B．线段 C．不存在D．椭圆或线段10．方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦在点y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．14．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为B．（0，1] C．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选B【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数．3．已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15【考点】循环结构．【专题】计算题．【分析】写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C【点评】解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．4．若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b2【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】不妨令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【解答】解：由于，不妨令a=﹣1，b=﹣2，可得a2＜b2，故A正确．|a|﹣|b|=﹣1，|a﹣b|=1，故B不正确．=2+＞2，故C正确．ab=2，b2=4，故D正确．故选B．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题5．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．【解答】解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．6．下列结论，不正确的是（）A．若p是假命题，q是真命题，则命题p∨q为真命题B．若p∧q是真命题，则命题p和q均为真命题C．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆命题为假命题D．命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x0，y0∈R，x02+y02＜0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】根据复合命题的真值表判断A、B；由逆命题和正弦函数的性质判断C；由全称命题的否定判断D．【解答】解：对于A，因为若p是假命题，q是真命题，所以命题p∨q为真命题，则A不符合题意；对于B，因为若p∧q是真命题，则命题p和q均为真命题，则B不符合题意；对于C，已知命题的逆命题：若x=y，则sinx=siny，是真命题，显然C符合题意；对于D，由全称命题的否定得：“∃x0，y0∈R，x02+y02＜0”正确，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假，复合命题的真假与构成的简单命题真假相关，有真值表一定要记住；特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，两种命题的一般形式，都是记忆点．7．设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．8．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．9．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆 B．线段 C．不存在D．椭圆或线段【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】由基本不等式可得 a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2=6．当 a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当 a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，故选 D．【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a+的范围是解题的关键．10．方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合法．【分析】将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．【解答】解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．【点评】本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．11．已知θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦在点y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过条件，判断sinθ与﹣cosθ的大小，结合椭圆的性质判断选项即可．【解答】解：θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，当θ∈（0°，90°），sinθ+cosθ＞1，可得θ∈（90°，135°），sinθ＞﹣cosθ＞0，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示：焦在点y轴上的椭圆．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，三角函数值的大小的判断，基本知识的考查．12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则= 2．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．【解答】解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．14．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．（3）设方程x2+（a﹣3）x+a=0两个不相等正实根为x1、x2．命题q为真⇔⇔解得0＜a＜1．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假①当p真q假时，则得﹣1＜a≤0或a≥1②当p假q真时，则无解；∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或a≥1．【点评】本题考查命题的否定，命题的真假的判断与应用，考查转化思想，计算能力．18．已知a n＞0，S n为数列{a n}的前n项和，且满足=4S n+3（1）求{a n}的通项公式；（2）设求b n的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）先求出a1的值，再利用前n项和公式S n的定义，得出a n与a n﹣1的关系，即得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用裂项法表示出b n，求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时， +2a1=4S1+3=4a1+3，因为a n＞0，所以a1=3…（1分）当n≥2时， =4S n+3﹣4S n﹣1﹣3=4a n，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=2（a n+a n﹣1），因为a n＞0，所以a n﹣a n﹣1=2，…（3分）所以数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，所以a n=2n+1；…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n==（﹣）…（7分）所以数列{b n}的前n项和为T n=b1+b2+…+b n==﹣…（10分）【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了用裂项法求和的应用问题，是综合性题目．19．已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．【解答】解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．20．如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过△POC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈∪{﹣， }时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为∪{﹣， }．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．22．已知椭圆．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）由题意及椭圆和圆的标准方程，利用椭圆离心率的定义和点到直线的距离公式即可求解；（II）由题意即m得取值范围分m=1时，m=﹣1及当m≠±1三大类求出|AB|的长度，利用直线方程与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系得到k与m之间关系等式，利用直线与圆相切的条件即可．【解答】解：（I）由题意得a=2，b=1，所以c=∴椭圆G的焦点坐标离心率e=．（II）由题意知：|m|≥1，当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，）点B（1，﹣）此时|AB|=；当m=﹣1时，同理可得|AB|=；当|m|＞1时，设切线l的方程为：y=k（x﹣m），由⇒（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=又由l与圆x2+y2=1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1⇒m2=，所以|AB|==]=，由于当m=±1时，|AB|=，当m≠±1时，|AB|=，此时m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）又|AB|=≤2（当且仅当m=±时，|AB|=2），所以，|AB|的最大值为2．故|AB|的最大值为2．【点评】此题重点考查了椭圆及圆的标准方程，还考查了点到直线的距离公式，对于第二问，重点考查了利用m的范围分裂进行讨论，联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建立m与k的关系等式，还考查两点间的距离公式及又m的范围解出|AB|的最值．。