【拓展提高】
247
248
249
250
§2.2 等差数列（一）
251
252
【学习要求】
253
1．理解等差数列的意义．
254
2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．
255
3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
256
【学法指导】
257
1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应258
准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或259
叠加法探求等差数列的通项公式．
260
2．利用a n＋1－a n＝d(n∈N＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．
261
262
【知识要点】
263
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示．264
265
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_________，并且A＝ .
266
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝________.
4．等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为数列；若公差d<0，则数列{a n} 267
268
为数列．
269
【问题探究】
270
1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗271
星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年272
后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列
273
出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．
274
哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，….
275
预测它在本世纪回归的时间是2061年．
276
2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如277
因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么278
特征呢？这个数列叫什么数列呢？
279
这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列280
叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式．281
探究点一等差数列的概念
282
问题1我们先看下面几组数列：
（1）3,4,5,6,7，…；
283
284
（2）6,3,0，－3，－6，…；
285
（3）1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；
（4）－1，－1，－1，－1，－1，….
286
287
观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是
288
问题2判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，289
请说明理由：
290
（1）4,7,10,13,16，…；
291
（2）31,25,19,13,7，…；
（3）0,0,0,0,0，…；
292
（4）a，a－b，a－2b，…；
293
（5）1,2,5,8,11，….
294
探究如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解．
295
探究点二等差数列的通项公式
296
问题如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？
297
探究1根据等差数列的定义：a n＋1＝a n＋d，可以依次得到a1，a2，a3，a4，…，然后298
观察规律，归纳概括出通项公式a n.
299
探究2由等差数列的定义知：a n－a n－1＝d(n≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n. 300
探究点三等差中项
301
问题1如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，302
y表示A.
303
探究若数列{a n}满足：a n＋1＝a
n
＋a n＋2
2
，求证：{a n}是等差数列．
304
【典型例题】
305
例1已知{a n}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．306
（1）a3＝5，a7＝13；
307
（2）前三项为：a,2a－1,3－a.
308
小结在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问309
题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但310
是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
311
跟踪训练1若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
312
313
例2已知1
a ，
1
b
，
1
c
成等差数列，求证：
b＋c
a
，
a＋c
b
，
a＋b
c
也成等差数列．
314
跟踪训练2已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否能315
构成等差数列？
316
317
例3梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度318
成等差数列，计算中间各级的宽度．
319
跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降320
某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃,5 km高度的气温是-17.5℃，求2 km，321
4 km，8 km高度的气温.
322
323
【当堂检测】
324
1．若数列{a n}满足3a n＋1＝3a n＋1，则数列是 ( )
325
A．公差为1的等差数列 B．公差为1
3的等差数列
326
C．公差为－1
3的等差数列 D．不是等差数列
327
2．若a b s，则等差数列a，x1，x2，b的公差是 ( ) 328
A．b－a B．b－a
2
C．
b－a
3
D．
b－a
4
329
3．在等差数列{a n}中，
330
（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，则a n＝___；331
（2）已知a1＝3，d＝2，a n＝21，则n＝___；332
（3）已知a1＝12，a6＝27，则d＝___；
333
（4）已知d＝－1
3，a7＝8，则a1＝___.
334
4．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
335
（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？336
（2）利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？337
338
【课堂小结】
339
1．等差数列的判定关键要看a n＋1－a n(n∈N*)是否为一个与n无关的常数．由于a n＋1 340
341
－a n＝a n＋2－a n＋1⇔2a n＋1＝a n＋a n＋2，所以也可以利用2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)来判定等差数342
列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．
2．等差数列的通项公式及其变形a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d的应用极其灵活，343
344
公式中的四个量a1，a n，n，d中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题345
过程更为简捷．
346
3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．
347
【拓展提高】
348
349
350
351
§2.2 等差数列（二）
352
【学习要求】
353
1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．
354
2．能运用等差数列的性质解决有关问题．
355
【学法指导】
356
1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性357
质．
358
2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的359
内涵和本质．
360
最新高中数学--必修五数列导学案
数列导学案 1 2 §2.1 数列的概念及简单表示（一） 3 【学习要求】 4 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 5 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 6 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 7 【学法指导】 8 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 9 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 10 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 11 12 【知识要点】 13 1．按照一定顺序排列的一列数称为，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 14 15 ___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数16 列的第项． 17 2．数列的一般形式可以写成a1,a2,…,a n,…,简记为． 18 3．项数有限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做_____数列． 19 4．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公
式叫做这个数列的公式． 20 【问题探究】 21 探究点一数列的概念 22 问题先看下面的几组例子： 23 （1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； 24 （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，1 2， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ； 25 （3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：26 3,3.1,3.14,3.141，…； 27 （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…； 28 （5）当n分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 29 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义． 30 探究数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 31 探究点二数列的几种表示方法 32 问题数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，33 数列还有哪些表示方法？ 34 探究下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． 35 （1）数列：1,3,5,7,9，… 36
高中数学必修5导学案 第二章 数列
§2.1数列的概念与简单表示法(1) 学习目标 1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 28 ~ P 30 ，找出疑惑之处） 复习1：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？ 复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：数列的概念 ⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列. ⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思： ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？ ⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？ 3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项. 4.数列的分类： 1）根据数列项数的多少分 数列和 数列； 2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列. 5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示， 那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式. ※ 典型例题
例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴1，－1 2 ， 1 3 ，－ 1 4 ； ⑵1，0，1，0. 变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴1 2 ， 4 5 ， 9 10 ， 16 17 ； ⑵1，－1，1，－1； 小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系. 反思： ⑴所有数列都能写出其通项公式？ ⑵一个数列的通项公式是唯一？ ⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？ 例2已知数列2，7 4 ，2，…的通项公式为 2 n an b a cn + =，求这个数列的第四项和第五项. 变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项. 小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项. ※动手试试 练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴1，1 3 ， 1 5 ， 1 7 ； ⑵1，2，3，2 . 练2. 写出数列2 {} n n -的第20项，第n＋1项.
新人教A版必修5高中数学第二章2.1数列的概念与简单表示法(一)导学案
§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标 1．理解数列及其有关概念； 2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式． 1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }． 3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 一、选择题 1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n 答案 B 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－n ＋1 2 ，则该数列的 前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2，0 D ．2,0,2,0 答案 A 3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( ) A ．a n ＝1 2[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝1 2 [1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)
D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋1 2 [1＋(－1)n －1] 答案 D 解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可． 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 答案 C 解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2 －n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋ 2 D ．a n ＝n 2＋1 答案 C 解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C. 6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1 2n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D 解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1 2n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1 2n ＋2 ， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1 2n ＋2 . 二、填空题 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝??? ?? 3n ＋ n 为正奇数4n － n 为正偶数 .则 它的前4项依次为____________． 答案 4,7,10,15
北师大版数学必修五《数列的概念与简单表示法》导学案(含答案)
第1课时数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法). 2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型. 3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系. (1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍. (2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿. 问题1:数列的定义:按排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n 项……
通项公式:如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式. 问题2:数列的分类:(1)按项数分类:和. (2)按数列的单调性分类:、及. (3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫. 问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下: 相同点:数列中的每一项都是、集合中的每一个元素都是. 不同点: 重复性:数列中的某些项可以、集合中的每一个元素都. 有序性:数列中的项、集合中的元素. 范围:数列中的每一项都是、集合中的元素可以. 问题4:数列的表示方法:、、及.数列的前n项和记作S n=. 1.把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么 可以叫作数列的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则该数列的前4项依次为(). A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0 3.设数列{a n}满足:a1=2,a n+1=1,则a4=. 4.已知{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,试写出该数列的前5项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
新人教A版必修5高中数学第二章2.2等差数列(二)导学案
§2.2 等差数列(二) 课时目标 1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式． 2．熟练运用等差数列的常用性质． 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项 a n (m ≠n )，则a m －a n m －n ＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－1 2 a 8 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝1 2 (2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝1 2 a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－3 3 D ．－ 3 答案 D
解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3 . ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π 3 ＝tan 2π 3＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B 解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0， ∴m ＝8. 4．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7 等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C 解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12， ∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28. 5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－82 答案 D 解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99 ＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82. 6．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2
北师大版数学必修五：《数列在日常经济生活中的应用》导学案(含答案)
第11课时数列在日常经济生活中的应用 1.掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用. 2.了解银行存款的种类及存款计息方式. 3.体会“零存整取”、“定期自动转存”、“分期付款”等日常经济生活中的实际问题. 4.感受从数学中发现美的乐趣,体验成功解决问题的快乐,激发学习数学的兴趣. 某人有七位朋友.第一位朋友每天晚上都去他家看他,第二位朋友每隔一个晚上到他家去,第三位朋友每隔两个晚上去他家串门,第四位朋友每隔三个晚上去他家做客,依次类推,直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现.这七位朋友昨晚在主人家中碰面,请问他们还会在同一个晚上在主人家中碰面吗?我们来分析下,第一位朋友每天晚上都在;第二位朋友第2,4,6,8,…天在,是首项为2,公差为2的等差数列,通项公式为a n=2n;第三位朋友第3,6,9,…天在,是首项为3,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n;第四、五、六、七位朋友在的时间的通项公式分别为a n=4n,a n=5n,a n=6n,a n=7n;要使他们在同一晚上出现,这个数应为这六个数列的公共项,即2,3,4,5,6,7的公倍数,而2,3,4,5,6,7的最小公倍数为420,因此第420,840,1260,…天晚上他们会同时在主人家出现. 问题1:数列应用问题的常见模型 (1):一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时,那么该模型
是等差模型,增加(或减少)的量就是公差,其一般形式是:a n+1-a n=d(d为常数). (2):一般地,如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时,那么该模型是等比模型. (3):在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型. (4):如果容易找到该数列任意一项a n+1与它的前一项a n(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题. 问题2:解题时怎样判断是用等差数列还是等比数列来求解? 一般涉及递增率什么的,用到;涉及依次增加或者减少什么的,用到,或者有的问题是通过转化得到的,在解决问题时要往这些方面去联系. 问题3:与银行利率相关的几类模型 (1)银行储蓄单利公式: 利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和. (2)银行储蓄复利公式: 利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和. (3)产值模型: 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值. (4)分期付款模型 a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则b=r(1+r)n·a .(尝试去证 (1+r)n-1 明) 问题4:数列综合应用题的解题步骤 (1)——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.
高中数学必修5《数列-数列的概念与简单表示》导学案
必修5：第二章 数列 2.1数列的概念与简单表示 一、学习目标 1.通过实例，了解数列的概念和简单表示法. 2.了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反映自然规律的数学模型. 【重点、难点】 数列的概念和表示方法 二、学习过程 【导入新课】 1.数列及其有关概念 (1)数列:按照一定_____排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的_________叫做这个数列的项,第1项通常也叫 做_____,若是有穷数列,最后一项也叫做_____. 2.数列的表示 数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为____,这里 n 是_______. 3.数列的分类 (1)按项的个数分类:有穷数列，无穷数列 (2)按项的变化趋势分类：递增数列； 4.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与______之间的关系可以用一个式子 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 【典型例题】 例1.数列{a n }的通项公式a n =-58+16n-n 2,则( ) A.{a n }是递增数列 B.{a n }是递减数列 C.{a n }先增后减,有最大值 D.{a n }先减后增,有最小值 例2.写出以下各数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数: ① ,2 25 8, ,29 ,2 ,21 ② 1,-3,5,-7,9,…. ③ a,b,a,b,a,b,…. ④ 9,99,999,9999,…. 例3.在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式. (2)求a 2011. (3)2015是否为数列{a n }中的项？若是，为第几项？
江苏省徐州市王杰中学高中数学《等比数列的前n项和》(一)导学案 新人教版必修5
江苏省徐州市王杰中学高一数学必修五《等比数列的前n 项和（一）》导学案 一．自学准备与知识导学： 1．推导公式： （1）研究633222221+++++ 的计算； （2）研究112111-++++n q a q a q a a 的计算，从而导出等比数列的前n 项和公式． 2．公式及有关说明： （1）推导公式的方法； （2）使用公式的注意点． 3．练习：在等比数列{}n a 中， （1）====n S n q a ，，，6231_____；（2）==-=-=n S n q a ，，，53111_____； （3）==-=101214S q a ，，_____； （4）====n n S a q a ，，，2 12181_____； （5）===-=n S n q a ，，，10181_____；（6）====k k S q a a ，，，324311____； （7）====n S n a a ，，．，． 400096012041_____． 二．学习交流与问题研讨： 在等比数列{}n a 中，2 632763==S S ，，求n a ． 例1
求数列 ，，，，，n n 21813412211+ + + +的前n 项和． 求等比数列32，94，27 8，…的第3项到第10项的和． 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列， 求证：582a a a ，，成等差数列． 三．练习检测与拓展延伸： 1．某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长%10，则从今年 起到第五年，这个厂的总产值为 ． 2．求下列等比数列的各项和： （1）1，3，9，…，2187 （2）51218141211- - - ，，，，， ． 3．求和：∑=+101)2 3(k k ． 四．课后反思或经验总结： 等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法． 例2 例3 例4
高中数学必修五教案优秀3篇
高中数学必修五教案优秀3篇 高中数学必修五教案篇一 教材分析 本节课重在探究等比数列的前n项和公式的推导及简单的应用。教学中注重公式的形成过程及数学思想方法的渗透，并揭示公式的结构特征和内在联系．就知识的应用价值来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的模型，在公式推导中所蕴含的数学思想方法在各种数列求和问题中有着广泛的应用．就内容的人文价值上看，它的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神，是培养学生数学的思考问题的良好载体． 教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式以及推导方法；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导过程，总结数列求和方法，体会数学中的思想方法． 情感态度与价值观：通过教材中的实际引例，激发学生学习数学的积极性及学习数学的主动性． 教学重点 等比数列的。前n项和公式推导及公式的简单应用 教学难点 等比数列的前n项和公式推导过程和思想方法 教学过程 Ⅰ、课题导入 [创设情境] [提出问题] “国王对国际象棋的发明者的奖励”的故事 Ⅰ、讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。 高中数学必修五复习知识点篇二 1、棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 2、棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质： （1）侧棱交于一点。侧面都是三角形 （2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远
河北省涞水波峰中学人教A版高中数学必修五导学案23等差数列前n项和
波峰中学高一数学课前双基预习案（必修5） 2.3等差数列的前n项和（2） 班级______姓名______编制牛新丽审察_____日期______ 【学习目标】：1、掌握等差数列前n项和公式及性质； 2、等差数列前n项和的性质的应用。 一．知识回首 ●1、等差数列的通项公式：； ●2、若a,A,b组成等差数列，则A=； ●3、等差数列的性质:； ●4、等差数列前n项和公式： (1)S n=。 (2)S n=。 二．新知见解 1、等差数列前n项和的性质： （1）已知等差数列的通项公式a n 2n1，求 S2,S4-S2,S6-S4及S3,S6-S3,S9-S6并 察看他们之间的关系？ ●若S n 是等差数列{}的前 n 项和， S,S2m-S,S3m-S2m,S4m-S3m,组成等差数列。 a n m m （2）当项数为2n时，S2n= ，S偶-S奇= ，S偶：S奇= 当项数为2n+1时，S2n+1= ，S奇-S偶= ，S偶：S奇= 2、等差数列前n项和的最值问题 n （1）利用a: 当a>0，d<0，前n项和有最大值可由a≥0，且a ≤0，求得n的值n n n+1 当a n<0，d>0，前n项和有最小值可由a n≤0，且a n+1≥0，求得n的值（2）利用S n。： 由S n na1n(n1) d得：Sn= 。利用二次函数配方法求得最值时n的值2 三．例题研究
例1.已知等差数列{a n}中，a2a519,S5 40，求a1。 例2、已知等差数列{a n}中，S m3,S2m10,求S3m。 例3、已知等差数列{a n}中,a n 2n11 (1)求数列a n的前n项和。(2) 当n为何值时，S n有最大值，并求出最大值。例4、在等差数列{a n}中,a415,d3,求数列{a n}的前n项和S n的最小值。
高中数学必修五§5-11简单的递推数列小组互助学习导学案
必修五 第二章 §5-11 简单的递推数列 【课前预习】阅读教材P-完成下面填空 1．已知n s 求n a 分三步: (1) (2) (3) 2．若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法 。 3．已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法 。 4．已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。. (1) 形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。 （2） 形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。 注意： （1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）； （2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。 【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．已知 22,n s n n =- 求n a 。 2．已知11a =，1n n a a n +-=，求n a 。
3．已知111,32n n a a a -==+，求n a . 【课中35分钟】边听边练边落实 4． 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2) ⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a n n (n≥2) 5．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n∈N *)，.求数列{a n }的通项公 式。
北师大版高中数学必修5《一章 数列 2 等差数列 2.2等差数列的前n项和》赛课导学案_20
《等差数列的前n项和》教学设计 北京师范大学出版社必修5 第一章第二节 一、教学目标 1、知识与技能目标 ①掌握等差数列求和公式的推导方法（倒序相加法）； ②会用等差数列的两种求和公式进行求和； 2、过程与方法目标 ①通过教师引导、学生自主探究的方式，让学生找到解决等差数列求和的“倒序相加法”，并推导出等差数列的前n项和公式； ②通过讲练结合，让学生熟练掌握等差数列的两个前n项和公式． 3、情感态度与价值观目标 ①通过本节课的学习，激发学生探究数学问题的兴趣和强烈欲望，培养学生热爱数学的精神。 ②使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题。 二.教学背景分析 1.教材内容分析 本节等差数列求和共分2课时，第1课时是在学习了等差数列的概念、性质和通项公式的基础上，推导等差数列求和公式，并能利用它解决等差数列求和的有关简单问题。第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式，进一步了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．本节课是第1课时。 2.学情分析 高二年级学生已适应了高中的学习，他们的分析能力、计算能力明显增强，同时也获得了比较丰富的解决问题的方法。我班学生整体素质较高，思维活跃，但是从学习方式上看，对教师的依赖还是太强，主体意识和独立思想稍显不足计算还是经常出错。因此，教师在教学中应重视和学生的交流，激发学生学习的主动性、积极性，学会多方位、多角度地思考问题，另外不代替学生计算，耐心等待学生计算。 三、教学重点、难点 1、本课时教学重点 等差数列的前n项和公式。 2、本课时教学难点 推导等差数列的前n项和公式的倒序相加法。 四、教学方法 本课以多媒体为平台进行教学，在课堂教学中利用“图片导课——设置问题——教师引导——课堂探究——讲练结合——总结归纳”的方式，让学生掌握这节课的所有内容。 五、教学过程设计 1、导课（展示图片）
高中数学第二章数列2.4等比数列二导学案新人教A版必修5
2.4等比数列（二） 【教学目标】 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法． 【教学过程】 一、创设情景 教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（二）》课件“复习回顾”部分，对等比数列的定义和通项公式进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容. 二、自主学习 教材整理等比数列的性质 阅读教材P51例4～P53，完成下列问题． 1．“子数列”性质 对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k. 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n b n 也为等比数列． 三、合作探究 问题1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？ 提示：在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得 a n a m ＝a 1q n －1a 1q m －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． 问题2我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？ 提示：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝ a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定． 问题3等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；
