高中数学新人教A版必修二+必修三综合测试题
高二11数学测试题
一、选择题（每小题5分）
1. 已知直线l 过圆()2
234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）
.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=
2. 过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A .]60π，（ B .]30π，（ C .]60[π， D .]3
0[π
， 3. 若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） .21A .19B .9C .11D -
4. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A .372cm
B . 390cm
C . 3108cm
D . 3138cm
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A . 12
B .18
C . 24
D .30
6. 已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为
A.323π B .4π C .2π D .43
π 7. 正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥A -B 1DC 1的体积为
A .3
B . 32
C .1
D . 32 8. 已知,m n 表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
A .若m //α,n //α,则m //n
B .若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n
C .若m ⊥α,m ⊥n ,则n //α
D .若m //α,m ⊥n ,则n ⊥α
9. 对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种
不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）
123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==
10. 了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为
( )
A .50
B .40
C .25
D .20
第4题图 第5题图
11. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为 ( )
A .15
B .105
C .245
D .945
12. 设点M (0x ,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则0x 的取值范围是( ) A .[－1，1] B . 11[,]22- C . [2,2]- D . 22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（每题5分）
13. 若直线y =kx +4+2k 与曲线24y x =-有两个交点,则k 的取值范围是______________.
14. 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样
本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为______________件.
15. 执行如题图所示的程序框图,则输出s 的值为___________________.
16. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康
情况，按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________.
三、解答题（共70分）
17. 已知圆的半径为10,圆心在直线y =2x 上,圆被直线x -y =0截得的弦长为42,求圆的方程.
第11题图 第15题图
18. 22(2,3),(3)(2)1A x C x y --+-=一条直线从点射出，经轴反射后与圆：
相切，求反射后光线所在直线方程.
19. 已知圆C ：(x-1)2+(y -2)2=25,直线l ：(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0.
（1）求证：直线l 过定点.
（2）判断直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短
弦长.
20. 如图，在四棱锥A —BCDE 中，ABC BCDE ⊥平面平面,90,2CDE BED AB CD ∠=∠===，
1DE BE ==，2AC =.
（1）证明:AC BCDE ⊥平面；
（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.
21.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD=2，AA1=3，E为CD
上一点，DE=1，EC=3.
（1）证明：BE⊥平面BB
1C
1
C;
（2）求点B1到平面EA1C1的距离.
22.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1
的中点.
（1）证明EF//平面A1CD.
（2）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.
（3）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.。
新教材适用高中数学综合测评新人教A版选择性必修第三册
综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.方程的解为( )A.4B.14C.4或6D.14或2解析:由得x=2x-4或x+2x-4=14,解得x=4或x=6,经检验知x=4或x=6符合题意.答案:C2.(x+y)(2x-y)5的绽开式中x3y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.80解析:由二项式定理可得,原式绽开式中含x3y3的项为x·(2x)2(-y)3+y·(2x)3(-y)2=-40x3y3+80x3y3=40x3y3,故绽开式中x3y3的系数为40.答案:C3.设随机变量X听从正态分布N(1,σ2),若P(X≥2)=0.2,则P(X≥0)等于( )A.0.2B.0.8C.0.7D.0.5解析:∵随机变量X听从正态分布N(1,σ2),∴对称轴为直线x=1,又P(X≥2)=0.2,∴P(X≤0)=0.2,∴P(X≥0)=1-0.2=0.8.答案:B4.一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球,其中1个红球,2个黄球,3个黑球,从中依次不放回地抽取2个球,则在第一个球是红球的条件下,其次个球是黄球的概率为( )A. B.C. D.解析:设红球为甲,2个黄球分别为a,b,3个黑球分别为1,2,3,则从6个球中依次不放回地抽取2个,第一个球是红球的取法有(甲,a),(甲,b),(甲,1),(甲,2),(甲,3),共5种,在第一个球是红球的条件下,其次个球是黄球的取法有(甲,a),(甲,b),共2种.因此在第一个球是红球的条件下,其次个球是黄球的概率为.答案:B5.由数字0,1,2,3组成的无重复的非一位数的数字,能被3整除的个数为( )A.12B.20C.30D.31解析:依据题意,分三种状况分析:①组成两位数,有30,12,21,符合条件;②组成三位数,若用1,2,0组成三位数,有2×=4种状况,若用3,1,2组成三位数,有=6种状况, 则此时有4+6=10个符合条件的三位数;③组成四位数,有3×=18种状况,则一共有3+10+18=31个符合条件的数字.答案:D6.设函数f(x)=则当x>0时,f(f(x))解析式的绽开式中的常数项为( )A.-20B.20C.-15D.15解析:当x>0时,f(f(x))=,其绽开式中的常数项为×(-)3=-20.答案:A7.某县城中学支配4名老师去3所不同的村小支教,每名老师只能支教一所村小,且每所村小都要有老师支教.甲老师主动要求去最偏远的村小A,则不同的支配有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解析:依据题意,分两种状况探讨:①甲单独一人去村小A,将剩下的3人分成2组,再安排到剩下的2个村小,有=6种支配;②甲和另外一人去村小A,在剩下的3人中选出一人,和甲一起去村小A,剩下的2人全排列,再安排到剩下的2个村小,有=6种支配.因此,有6+6=12种不同的支配.答案:B8.如图,有一种嬉戏画板,要求参与者用六种颜色给画板涂色,这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色,金色1、金色2是两种不同的颜色,要求红色不在两端,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻,则不同的涂色方案有( )①②③④⑤⑥A.120种B.240种C.144种D.288种解析:依据题意,分三步进行分析:①将黄色1、黄色2、黄色3分成2组,有=3种分组方法;②将分好的2组与金色1、金色2进行全排列,有2×=48种状况,排好后除去两端,有2个空位可选;③将红色支配在中间的2个空位中,有2种状况,则有3×48×2=288种不同的涂色方案.答案:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法中错误的是( )A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变B.设有一个阅历回来方程=3-5x,当变量x增加1个单位时,y平均增加5个单位C.设具有相关关系的两个变量x,y的样本相关系数为r,则|r|越接近于0,x和y之间的线性相关程度越强D.在一个2×2列联表中,由计算得χ2的值,则χ2的值越大,推断两个变量间有关联的把握就越大解析:依据方差公式,可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变.故A正确;当变量x增加一个单位时,y平均减小5个单位,故B错误;设具有相关关系的两个变量x,y的样本相关系数为r,则|r|越接近于0,x和y之间的线性相关程度越弱,故C错误;在一个2×2列联表中,由计算得χ2的值,则χ2的值越大,推断两个变量间有关联的把握就越大,故D正确.故选BC.答案:BC10.下列说法中正确的是( )A.已知随机变量X听从正态分布N(μ,σ2),若P(X<2)=P(X>6)=0.15,则P(2≤X<4)等于0.3B.已知X听从正态分布N(0,σ2),且P(-2≤X≤2)=0.4,则P(X>2)=0.3C.的绽开式中的常数项是45D.已知x∈{1,2,3,4},则满意log2x≤1的概率为0.5解析:已知随机变量X听从正态分布N(μ,σ2),若P(X<2)=P(X>6)=0.15,可得曲线的对称轴为x=4, 则P(2≤X<4)=0.5-0.15=0.35,故A不正确;若X听从正态分布N(0,σ2),且P(-2≤X≤2)=0.4,则P(X>2)==0.3,故B正确;绽开式的通项公式为Tr+1=(-x2)r=(-1)r,由=0,得r=2,可得常数项是(-1)2=45,故C正确;已知x∈{1,2,3,4},则满意log2x≤1即x=1,2的概率为=0.5,故D正确.故选BCD.答案:BCD11.下列说法中正确的是( )A.(x2-4)的绽开式中x3的系数为-210B.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有充分的证据推证吸烟与患肺病有关,且此推断犯错误的概率不超过0.01,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病C.设随机变量X听从正态分布N(2,9),若P(X>c)=P(X<c-2),则常数c的值是2D.不等式ax2-(2a-3)x-1>0对∀x>1恒成立的充要条件是0≤a≤2解析:对于A,(x2-4)的绽开式中含有x3的项是中的一次项与x2的积加上中的三次项与(-4)的积,即x2·x5-4·x6=-210x3,则系数为-210,故A正确;对于B,犯错误的概率不超过0.01,不表示有99%的可能患有肺病,也不表示在100个吸烟的人中必有99人患肺病,故B不正确;对于C,设随机变量X听从正态分布N(2,9),若P(X>c)=P(X<c-2),c-2=2-(c-2),解得c=3,则常数c的值是3,故C不正确;对于D,不等式ax2-(2a-3)x-1>0对∀x>1恒成立,则当a=0时,满意条件;当a≠0时,有解得0<a≤2.所以不等式ax2-(2a-3)x-1>0对∀x>1恒成立的充要条件是0≤a≤2,故D正确.故选AD.答案:AD12.把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,下列说法正确的是( )A.曲线C2仍是正态曲线B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2D.以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的总体的均值大2解析:正态密度函数为f(x)=,正态曲线的对称轴x=μ,曲线最高点的纵坐标为f(μ)=.所以曲线C1向右平移2个单位长度后,曲线形态没变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标f(μ)没变,从而σ没变,所以方差没变,而平移前后对称轴变了,即μ变了,因为曲线向右平移2个单位长度,所以均值μ增大了2.答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知阅历回来方程x+0.6相应于点(3,6.5)的残差为-0.1,则的值为.解析:由阅历回来方程x+0.6相应于点(3,6.5)的残差为-0.1,可得当x=3时,=6.6,把(3,6.6)代入x+0.6,得6.6=3+0.6,即=2.答案:214.某校1 000名学生的某次数学考试成果X听从正态分布,其密度函数曲线如图所示,则成果X位于区间(52,68]内的人数约是 .解析:由题图知X~N(μ,σ2),其中μ=60,σ=8,则P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(52≤X≤68)=0.6827.故人数为0.6827×1000≈683.答案:68315.若x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= ,a5= .解析:因为x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,由x6=[(x+1)-1]6,得[(x+1)-1]6绽开式的通项公式为Tr+1=(-1)r(1+x)6-r,令6-r=5,得r=1,则(x+1)5的系数为-=-6.答案:0 -616.某校高三年级有6个班级,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参与本校的篮球竞赛,且规定每班至少要选1人参与.这10个名额不同的安排方法有种.解析:(方法一)除每班1个名额以外,其余4个名额也须要安排.这4个名额的安排方案可以分为以下几类:①4个名额全部给某一个班级,有种分法;②4个名额分给两个班级,每班2个,有种分法;③4个名额分给两个班级,其中一个班级1个,一个班级3个.由于分给一班1个,二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法,故是排列问题,共有种分法;④分给三个班级,其中一个班级2个,其余两个班级每班1个,共有种分法;⑤分给四个班,每班1个,共有种分法.故共有N==126种安排方法. (方法二)该问题也可以从另外一个角度去考虑:因为是名额安排问题,名额之间无区分,所以可以把它们看作排成一排的10个相同的球,要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球).这样,每一种分隔方法,对应着一种名额的安排方法.这10个球之间(不含两端)共有9个空位,现在要在这9个位子中放进5块隔板,共有N==126种放法.故共有126种安排方法.答案:126四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)现有9名学生,其中女生4名,男生5名.(1)从中选2名代表,必需有女生的不同选法有多少种?(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种?(3)从中选4人分别担当四个不同岗位的志愿者,每个岗位1人,且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内,有多少种支配方法?解:(1)依据题意,分2种状况探讨:①选出的2名代表为1男1女,有=20种选法;②选出的2名代表都为女生,有=6种选法;则必需有女生的选法有20+6=26种.(2)依据题意,从4名女生中任选2人的选法有=6种,从5名男生中任选2人的选法有=10种, 则从中选出男、女各2名的选法有6×10=60种.(3)依据题意,分两步进行分析:①从9人中任选4人,要求男生甲与女生乙至少有1人在内,有=91种选法;②将选出的4人全排列,对应四个不同岗位,有=24种状况,则有91×24=2184种支配方法.18.(12分)某聋哑探讨机构,对聋与哑是否有关系进行抽样调查,在耳聋的657人中有416人哑,而在另外不聋的680人中有249人哑.依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否推断出聋与哑有关系?解:依据题目所给数据得到如下列联表:是否聋是否哑合计哑不哑聋416 241 657不聋249 431 680合计665 672 1337 零假设为H0:聋与哑无关.依据列联表中数据得到χ2=≈95.291>10.828=x0.001.依据小概率值α=0.001的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即聋与哑有关系,此推断犯错误的概率不超过0.001.19.(12分)某生产企业研发了一款新产品,该新产品在某网店上市一段时间后得到销售单价x和月销售量y之间的一组数据,如表所示.销售单价x/元9 9.5 10 10.5 11月销售量y/万件11 10 8 6 5(1)依据统计数据,求出y关于x的阅历回来方程,并预料月销售量不低于12万件时销售单价的最大值;(2)生产企业与网店约定:若该新产品的月销售量不低于10万件,则生产企业嘉奖网店1万元;若月销售量不低于8万件且不足10万件,则生产企业嘉奖网店5 000元;若月销售量低于8万件,则没有嘉奖.现用样本估计总体,从上述5个销售单价中任选2个销售单价,下个月分别在两个不同的网店进行销售,求这两个网店下个月获得嘉奖的总额X(单位:万元)的分布列及其数学期望.参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其阅历回来直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考数据:xiyi=392,=502.5.解:(1)∵×(9+9.5+10+10.5+11)=10,×(11+10+8+6+5)=8,∴=-3.2,=8-(-3.2)×10=40,∴y关于x的阅历回来方程为=-3.2x+40.要使月销售量不低于12万件,则有-3.2x+40≥12,解得x≤8.75,∴销售单价的最大值为8.75元.(2)由题意得销售单价共有5个,其中使得月销售量不低于10万件有2个,记为a1,a2,月销售量不低于8万元且不足10万元的有1个,记为b,月销售量低于8万元的有2个,记为c1,c2, 从中任取2件,用数组表示可能的结果,则Ω={(a1,a2),(a1,b),(a1,c1)(a1,c2),(a2,b),(a2,c1),(a2,c2),(b,c1),(b,c2),(c1,c2)},n(Ω)=10.X的可能取值为2,1.5,1,0.5,0.P(X=2)=,P(X=1.5)==0.2,P(X=1)=,P(X=0.5)=,P(X=0)=.所以X的分布列为X 0 0.5 1 1.5 2P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1E(X)=0×0.1+0.5×0.2+1×0.4+1.5×0.2+2×0.1=1.20.(12分)已知(n∈N*)的绽开式中,第5项与第3项的二项式系数之比是14∶3.求:(1)绽开式中各项系数的和;(2)绽开式中的常数项;(3)绽开式中二项式系数最大的项.解:(1)∵(n∈N*)的绽开式中,第5项与第3项的二项式系数之比是14∶3,∴,即,求得n=10,故令x=1,可得绽开式中各项系数的和为(1-2)10=1.(2)由于二项式的通项公式为Tr+1=·(-2)r·,令5-=0,得r=2,故绽开式中的常数项为T3=×4=180.(3)要使二项式系数最大,只要最大,故k=5,故二项式系数最大的项为第6项T6=·(-2)5·=-8064.21.(12分)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.(1)记甲击中目标的次数为X,求X的概率分布列及均值E(X);(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.解:(1)X的概率分布列为X 0 1 2 3PE(X)=0×+1×+2×+3×=1.5或E(X)=3×=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事务A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事务B1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事务B2,则A=B1+B2.B1,B2为互斥事务,P(A)=P(B1)+P(B2)=.22.(12分)某电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设全部电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜爱,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜爱(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.解:(1)由题意知,样本中电影的总部数为140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为=0.025.(2)设事务A为“从第四类电影中随机选出的1部电影获得好评”,事务B为“从第五类电影中随机选出的1部电影获得好评”,所以P(A)=0.25,P(B)=0.2.故所求概率为P(B+A)=P(B)+P(A)=(1-P(A))P(B)+P(A)(1-P(B))=0.75×0.2+0.25×0.8=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk=则ξk明显听从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:ξ1 1 0P 0.4 0.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;其次类电影:ξ2 1 0P 0.2 0.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ3 1 0P 0.15 0.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;第四类电影:ξ4 1 0P 0.25 0.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;第五类电影:ξ5 1 0P 0.2 0.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ6 1 0P 0.1 0.9 D(ξ6)=0.1×0.9=0.09;综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).。
高中数学综合练习卷3 新课标 人教版 必修2(A)
必修2 综合练习卷3一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
） 1.正方体1AC 中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有（ ） A ．4条 B.6条 C.8条 D.10条 2.对于直线b a ,和平面α，下列结论正确的是 ( )A.若αα⊂b a ,//，则b a // B 若αα//,//b a ，则b a // C 若α⊂b b a ,//，则α//a D 若α//,//a b a ，则α//b 或α⊂b 3.长方体的长、宽、高分别为3，4，5.那么它的外接球面(顶点都在这个球上),这个球面的表面积是( )A.π220 B π225; C π50; D π2004.对于平面βα,和直线l ，下列三个命题中，正确的个数是 （ ）①βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//l l ；②ββαα//l l ⇒⎭⎬⎫⊥⊥；③αβαβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // A 0 B 1； C 2； D 35.正三棱锥的高为3,底面边长为32,则它的侧面与底面所成二面角的大小是 （ ） A ︒30 B ︒45 C ︒60 D ︒756.直线l 上一点P ,沿x 轴正方向平移1个单位,再沿y 轴正方向平移3个单位,得到点Q ,使l Q ∈,则直线l 的倾斜角为（ ）A ︒60B ︒45C ︒30D 不确定7．点),(b a P 在圆122=+y x 内,则直线01=-+by ax 与这个圆的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 相切 D 相交或相切 8．两点)4,5(),2,3(--B A 则以AB 为直径的圆的方程是（ ） A 25)1()1(22=++-y x B 25)1()1(22=-++y x C 100)1()1(22=++-y x D 100)1()1(22=+++y x9． 三条直线0832=++y x ,01=--y x 和021=+++k ky x 相交于一点,则k 等于 （ ） A 21; B 2 C 2- D 21- 10.直线05)3()2(:1=-+++y a x a l 和05)12(6:2=--+y a x l 平行,则a 的值为（ ） A 25-B 4C 25-或4 D 5- 11．如果圆022=++++F Ey Dx y x 关于直线x y =对称,则（ ）A F D =B E D =C F E =D FE D ==12．在空间直角坐标系中，点)4,3,2(P 和点)4,3,2(---Q 的位置关系是 （ ） A 关于x 轴对称 B 关于平面xOy 对称 C 关于原点对称 D 关于z 轴对称二、填空题(每题3分，共计12分，每小题的答案应写在该题横线上方的空格里)13．直角顶点为C 的三角形ABC 中，cm BC cm AC 4,3==,ABC PC 平面⊥且cm PC 1=,则点P 到边AB 的距离是14．已知点)2,4(),3,1(B A -在x 轴上求一点C ,使BC AC ⊥,则点C 的坐标是 。
高中数学人教A版必修3综合测试题及答案 9
必修3综合模块测试（人教A 版必修3）卷 Ⅰ（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个是正确的，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，共60分 1．下列给出的赋值语句中正确的是：（ ）A.x+3=y-2B.d=d+2C.0=xD.x-y=5 2．在算法的逻辑结构中,要求进行逻辑判断,并根据结果进行不同处理的是哪种结构 ( ) A.顺序结构 B.条件结构和循环结构 C.顺序结构和条件结构 D.没有任何结构 3. 将389化成四进位制数的末位是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、34. 当3a =时，右边的程序段输出的结果是 A 、9 B 、3 C 、10 D 、65．下面程序框图的基本结构中，当型循环结构指的是A B C D6．右面框图表示计算1×3×5×7×…×99的算法 在空白框中应填入A ．2i i =+B ．21i i =-C ．21i i =+D ．1i i =+7. 一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 68．一个容量为20的样本数据,分组后组距为10,区间与频数分布如下:(]10,20,2； (]20,30,3； (]30,40,4； (]40,50,5；(]50,60,4； (]60,70,2. 则样本在(],50-∞上的频率为 ( )A.120 B. 14 C.12 D.7109．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A. 对立事件B. 互斥但不对立事件C. 不可能事件D. 以上都不对10. 从区间()0,1内任取两个数，则这两个数的和小于56的概率是A 、35B 、45C 、1625D 、257211．如图，在正方形中撒一粒豆子，则豆子落在正方形内切圆内部的概率为A ．4πB ．44π-C ．41π-D ．4π12．同时上抛三枚硬币，落地后，三枚硬币图案两正一反的概率是A ．34 B ．14 C ．38 D ．12二、填空题(每小题4分，共16分)13. 某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做 牙齿健康检查。
【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册全册综合检测试题 Word版含解析
全册综合检测试题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不肯定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个同学在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50个同学的午餐费的平均值和方差分别是( A )A ．7.2,0.56B ．7.2，0.56C ．7,0.6D ．7，0.6解析：依据题意，计算这50个同学午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有很多条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有很多条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，由于侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，由于AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，由于E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，由于F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5， 所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，所以|AF →|＝(32)2＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：由于OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →， 所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|， 则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ， 所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为大事A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，大事A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．二、多项选择题(每小题5分，共20分)9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的状况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与选购联合会和中储进展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2021年1月至2022年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．依据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2021年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2021年1月至4月的仓储指数相对于2022年1月至4月，波动性更大 解析：2021年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2021年1月至4月的仓储指数比2022年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，假如再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数肯定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能略微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1-DEM 的体积的最大值为212 D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 由于DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，依据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52，由于EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确； 由于M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C -A 1DE 的体积是三棱锥M -A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C -A 1DE 的体积V C -A 1DE ＝V A 1-DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时V A 1-DEC 取到最大值26，所以三棱锥M -A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1-DEM 体积的最大值为212，故C 正确；考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1C D ，由于平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ，故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ， 则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°， A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又由于A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ， 故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 冲突，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(每小题5分，共20分)13．随着社会的进展，食品平安问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高同学的食品平安意识，某学校组织全校同学参与食品平安学问竞赛，成果的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的同学总人数为3 000，则成果不超过60分的同学人数大约为900.解析：由题图知，成果不超过60分的同学的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成果不超过60分的同学人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710.解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，共有10种状况．若选出的2名同学恰有1名女生，有6种状况，若选出的2名同学都是女生，有1种状况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：由于OC →＝2OA →＋OB →， 所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎨⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M -EFGH 的体积为23.解析：由于底面EFGH 的对角线EG 与FH 相互垂直， 所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2， 又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半， 即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M -EFGH 的体积： V M -EFGH ＝13×S EFGH×h ＝13×2×1＝23.四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)某市举方法律学问问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的状况进行统计后，绘制了下表．组号 分组 回答正确的人数回答正确的人数 占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5 第2组 [28,38) 18 a 第3组[38,48) 27 0.9 第4组 [48,58) x 0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a ，x 的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10， 第1组的频率为0.010×10＝0.1， 所以n ＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2， 人数为100×0.2＝20， 所以a ＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25， 人数为100×0.25＝25， 所以x ＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为大事A ，设抽取的6人中，第2组的2人为a 1，a 2，第3组的3人为b 1，b 2，b 3，第4组的1人为c ，则从6人中任意抽取2人全部可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c )，(b 2，b 3)，(b 2，c )，(b 3，c )，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，共9种．故P (A )＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀同学中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)由于样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．大事“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值范围．解：(1)由于sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32， 由于C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4， 所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )] ＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A ) ＝4sin(A ＋π6)，由于A ∈(0，π6)， 所以A ＋π6∈(π6，π3)， 所以sin(A ＋π6)∈(12，32)， 所以3a ＋b 的取值范围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛动身，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.依据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里．(2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314， 故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD ，如图，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH ，又BG ＝PG ，故GH ∥PD ，又由于GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， 所以GH ∥平面P AD .(2)证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，如图，依题意，得DN ⊥PC ， 又由于平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，所以DN ⊥平面P AC ，又P A ⊂平面P AC ，故DN ⊥P A ，又由于P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ，所以P A ⊥平面PCD .(3)连接AN ，如图，由(2)中DN ⊥平面P AC ， 可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角． 由于△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝3，又DN ⊥AN ， 在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝33，所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 为正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝4.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AD ； (2)求三棱锥P -ABC 的体积；(3)在棱PC 上是否存在点E ，使得BE ∥平面P AD ？若存在，请确定点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由于AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 所以CD ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD . 由于CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AD .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，如图．由于△P AD 为正三角形，所以PO ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 为三棱锥P -ABC 的高．由于△P AD 为正三角形，CD ＝2AB ＝2AD ＝4，所以PO ＝3，所以V 三棱锥P -ABC ＝S △ABC ·PO ＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC 上存在点E ，当E 为PC 的中点时， BE ∥平面P AD .证明：如图，分别取CP ，CD 的中点E ，F ， 连接BE ，BF ，EF ，所以EF ∥PD . 由于AB ∥CD ，CD ＝2AB ， 所以AB ∥FD ，AB ＝FD ，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以BF ∥AD . 由于BF ∩EF ＝F ，AD ∩PD ＝D ， 所以平面BEF ∥平面P AD .由于BE ⊂平面BEF ，所以BE ∥平面P AD .。
高中数学综合练习卷2 新课标 人教版 必修3(A)
高中数学综合练习卷2 新课标 人教版 必修3(A)一.选择题:(每小题5分,共50分)1．在△ABC 中，一定成立的等式 ( C ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA2．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 （ C ）A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+3．数列 的一个通项公式是 （ D ）A ． B. C. D.4．设a< b<0, 则下列不等式中恒成立的是 ( B ) A ．b a 11< B ．ba 11> C ．a ＞b 2D ．a 2< 2b 5．不等式xx --213≥0的解集是 ( B ) A ．{x|31≤x ≤2} B ．{x|31≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2}6．等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则d 等于( C ) A ．－1B ．－2C ．1D ． 27．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，若abB A =cos cos ，则ABC ∆是（D ） A ．等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．下列不等式中与3<x 等价的是 （ D ） A ．121312122+-+<+-+x x x x x B ．434-+<-+x x x C ．22)4(3)4(+<+x x x D ．22)4(3)4(-<-x x x 9．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ D ） A ． a ≤-21 B ． a ＜21 C ． -21≤a ≤21 D ． a ≥ 21 10．下列不等式在a>0，b>0时一定成立的是（ A ）A ．ba ab +2≤ab ≤2b a +≤2b a 22+⋯---,924,715,58,112)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(+-=n n a nn 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a nnB ．ab ≤b a ab 2+≤2b a +≤222b a + C ．ab ≤2b a +≤b a ab 2+≤2b a 22+ D ．ab ≤b a ab 2+≤2b a 22+≤2b a +二.填空题:(每小题5分,共20分)11．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝4或5 ． 12．己知函数y x z +=2中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 则z 的最大值是 3 。
高中数学人教新课标A版必修二3
高中数学人教新课标A版必修二3.1.2两条直线平行与垂直的判定同步训练2一、单选题 (共6题；共12分)1．（2分）下列命题中，正确的是()A．斜率相等的两条直线一定平行B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行D．直线l1：( √2－1)x＋y＝2与直线l2：x＋( √2＋1)y＝3平行2．（2分）由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是() A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．锐角三角形3．（2分）已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是() A．－8B．0C．2D．104．（2分）已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)，(6，y)，且l1⊥l2，则y＝()A．－2B．1C．2D．4x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是() 5．（2分）下列直线中，与已知直线y＝－43A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝06．（2分）已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2二、填空题 (共4题；共8分)7．（2分）已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为．8．（2分）已知直线l过点(－2，－3)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为．9．（2分）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(0，2)，C(a，0)，若AB⊥BC，则a ＝.10．（2分）已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为时，AB⊥CD.三、解答题 (共4题；共30分)11．（5分）已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行，求实数a的值．12．（10分）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.（1）（5分）若这两条直线垂直，求k的值；（2）（5分）若这两条直线平行，求k的值．13．（5分）△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是直角三角形，求m的值．14．（10分）已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．（1）（5分）l1⊥l2，且l1过点(1,1)；（2）（5分）l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】A错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D正确，由于直线l1：( √2－1)x＋y＝2与直线l2：x＋( √2＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－√2，k2＝－12+1＝1－√2，则k1＝k2，所以l1∥l2.故答案为：D【分析】根据两条直线平行以及垂直的斜率的关系逐一判断即可得出结论。
高中数学模块综合检测新人教A版必修第二册
模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________． 【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ． 又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。
新人教版(2019A版)高中数学必修第二册综合测试卷(含答案解析)
新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。
新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)
高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13， 所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)， 向量AB →＝(－1,1)， 所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)， 所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0， 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)， 所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？ 解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去， 故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ， 则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4， 所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， 所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。
2019版高中高中数学综合检测试题新人教A版必修3
综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.下列说法正确的是( C )①必然事件的概率等于1;②互斥事件一定是对立事件;③球的体积与半径的关系是正相关;④汽车的重量和百公里耗油量成正相关.(A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④解析:互斥事件不一定是对立事件,②错;③中球的体积与半径是函数关系,不是正相关关系,③错;①④正确,选C.2.要从165名学生中抽取15人进行视力检查,现采用分层抽样法进行抽取,若这165名学生中,高中生为66人,则高中生中被抽取参加视力检查的人数为( B )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:165名学生中,高中生为66人,则高中生中被抽取参加视力检查的人数为66×=6,故选B.3.某企业有职工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,现用分层抽样抽取30人,则各职称人数分别为( B )(A)5,10,15 (B)3,9,18(C)3,10,17 (D)5,9,16解析:单位职工总数是150,所以应当按照1∶5的比例来抽取.所以各职称人数分别为3,9,18.选B.4.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,则抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:如表所示,表中的点横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数.1 2 3 4 51 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为=.故选D.5.设某中学的高中女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,3,…,n),用最小二乘法近似得到回归直线方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( D )(A)y与x具有正线性相关关系(B)回归直线过点(,)(C)若该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg(D)若该中学某高中女生身高为160 cm,则可断定其体重必为50.29 kg解析:由回归直线方程定义知:因为斜率大于零,所以y与x具有正线性相关关系;回归直线过点(,);身高每增加1 cm,则其体重约增加k=0.85 kg;身高为160 cm,则可估计其体重为0.85×160-85.71=50.29 kg,但不可确定.选D.6.关于统计数据的分析,有以下几个结论:①一组数不可能有两个众数;②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差没有变化;③调查剧院中观众的观看感受时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查,属于分层抽样;④一组数据的方差一定是正数;⑤如图所示是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图,根据这个直方图,可以得到时速在[50,60]的汽车大约是60辆.则这五种说法中错误的个数是( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:一组数中可以有两个众数,故①错;根据方差的计算法可知②正确;③属于简单随机抽样,错误;④错误,因为方差可以是零;⑤正确.故错误的说法有3个.7.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( C )(A)恰有2件一等品(B)至少有一件一等品(C)至多有一件一等品 (D)都不是一等品解析:将3件一等品编号为1,2,3;2件二等品编号为4,5.从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=;恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3),故恰有2件一等品的概率为P2=,其对立事件是“至多有1件一等品”,概率为P3=1-P2=1-=.故选C.8.已知一组数据a,b,9,10,11的平均数为10,方差为2,则|a-b|等于( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)12解析:一组数据a,b,9,10,11的平均数为10,方差为2,则有a+b+9+10+11=50,即a+b=20, ①[(a-10)2+(b-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2]=2,即(a-10)2+(b-10)2=8, ②联立①,②可得或则|a-b|=4.故选B.9.学校游园活动有一个游戏项目:箱子里装有3个红球,2个白球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从箱子里摸出3个球,若摸出的是3个红球为优秀;若摸出的是2个红球1个白球为良好;否则为合格.则在1次游戏中获得良好及以上的概率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:将3个红球编号为1,2,3,2个白球编号为4,5,则从5个球中摸出3个球的所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共有10种.令D表示在1次游戏中获得优秀的事件,E表示在1次游戏中获得良好的事件,F表示在1次游戏中获得良好及以上的事件,P(D)=,P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.10.某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9若y关于t的线性回归方程为=0.5t+a,则据此该地区2021年农村居民家庭人均纯收入约为( D )(A)6.3千元(B)7.5千元(C)6.7千元(D)7.8千元解析:由所给数据计算得,=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(2.9+3.3+3.6+4.4+ 4.8+5.2+5.9)=4.3,=-=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为=0.5t+2.3.将2021年的年份代号t=11代入回归方程,得=0.5×11+2.3=7.8,故预测该地区2021年的农村居民家庭人均纯收入为7.8千元.故选D.11.有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图知,样本数据在[8,10)内的频数为( C )(A)38 (B)57 (C)76 (D)95解析:样本数据在[8,10)之外的频率为(0.02+0.05+0.09+0.15)×2=0.62,所以样本数据在[8,10)内的频率为1-0.62=0.38,所以样本数据在[8,10)内的频数为0.38×200=76.故选C.12.某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸x(mm)的比在区间(,)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 现从抽取的6件合格产品中再任选2件,则恰有一件优等品的概率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间内(,),即∈(0.302,0.388),则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品A1,A2,A3,3件为非优等品B1,B2,B3,现从中任选2件,共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)15种选法.设任选2件恰有一件优等品为事件C,则事件C包含(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)共9种选法,由古典概型有P(C)==,故所求概率为.二、填空题(每小题5分,共20分)13.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,三种产品数量之比依次为2∶3∶4,现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n的样本,样本中A型号的产品有16件,那么此样本容量n= .解析:=,所以n=72.答案:7214.一组数据x1,x2,…,x5的平均数为5,,,…,的平均数为33,则数据x1,x2,…,x5的方差为.解析:因为x1+x2+…+x5=25,++…+=5×33,所以s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x5-5)2]=[++…+-10(x1+x2+…+x5)+5×25]=(5×33-10×25+5×25)=8,即数据x1,x2,…,x5的方差为8.答案:815.已知呈线性相关的变量x,y之间的关系如表所示:x 18 13 10 -1y 24 34 38 64由表中数据,得到线性回归方程为=-2x+(∈R),由此估计当y为72时,x的值为.解析:=10,=40,代入回归方程得=60,所以72=-2x+60,x=-6.答案:-616.为了解某中学学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地作了回答.结果被调查的800人(学号从1至800)中有240人回答了“是”.由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是.解析:由题意可知,每个学生抛掷硬币出现正面或者反面的概率都是0.5,即大约有400人回答了第一个问题,另400人回答了第二个问题.在出现正面的情况下,回答学号是奇数的概率为0.5.因而在回答第一个问题的400人中,大约有200人回答了“是”.所以在回答第二个问题的400人中,大约有40人回答了“是”.因此800人中有40×2=80人闯过红灯.答案:80三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)某商场举行抽奖活动,从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球,两个小球号码相加之和等于5中一等奖,等于4中二等奖,等于3中三等奖.(1)求中三等奖的概率;(2)求中奖的概率.解:两个小球号码相加之和等于3中三等奖,两个小球号码相加之和不小于3中奖,设“中三等奖”的事件为A,“中奖”的事件为B,从四个小球任选两个共有(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六种不同的方法.(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有2种:(0,3),(1,2),故P(A)==.(2)法一两个小球号码相加之和等于1的取法有1种:(0,1);两个小球号码相加之和等于2的取法有1种:(0,2);故P(B)=1-=.法二两个小球号码相加之和等于3的取法有2种:(0,3),(1,2);两个小球号码相加之和等于4的取法有1种:(1,3);两个小球号码相加之和等于5的取法有1种:(2,3).故P(B)=++==.18.(本小题满分12分)某网站针对“春节放假安排”开展网上问卷调查,提出了A,B两种放假方案,调查结果如表(单人群青少年中年人老年人支持A方案200 400 800支持B方案100 100 n已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为.(1)求n的值;(2)从参与调查的“老年人”中,用分层抽样的方法抽取6人,在这6人中任意选取2人,求恰好有1人“支持B方案”的概率.解:(1)由题意得=,得n=400.(2)支持A方案的老年人有×6=4人,支持B方案的老年人有×6=2人.将支持A方案的4人标记为1,2,3,4,将支持B方案的2人标记为a,b.设M表示事件“支持B方案恰好1人”,所有基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,a), (1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15种.其中满足条件的有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)共8种.故P(M)=.所以恰好有1人“支持B方案”的概率为.19.(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解:用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素个数是4×4=16,所以基本事件总数为n=16.(1)记“xy≤3”为事件A.则事件A包含的基本事件共有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件共有6个,即(2,4),(3,3),(3,4)(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)==.则事件C包含的基本事件共有5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=.因为>,所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.20.(本小题满分12分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用x n表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72 (1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.解:(1)因为这6位同学的平均成绩为75分,所以(70+76+72+70+72+x6)=75,解得x6=90,这6位同学成绩的方差s2=×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,所以标准差s=7.(2)从前5位同学中,随机地选出2位同学的成绩有(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10种,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4种,所求的概率为=0.4,即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.21.(本小题满分12分)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w 至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.解:(1)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:组号 1 2 3 4 5 6 7 8水费[2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 分组频率0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05根据题意,该市居民该月的人均水费估计为4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元). 22.(本小题满分12分)中石化集团获得了某地区深海油田区块的开采权,集团在某些区块随机初步勘探了部分井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打井号I 1 2 3 4 5 6 坐标(x,y)(km) (2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (1,y) 钻探深度(km) 2 4 5 6 8 10 出油量(L) 40 70 110 90 160 205 (1)1～6号旧井位置线性分布,借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a,求a,并估计y 的预报值;(2)现准备勘探新井7(1,25),若通过1,3,5,7号井计算出的,的值(,精确到0.01)相比于(1)中b,a的值之差不超过10%,则使用位置最接近的已有旧井6,否则在新位置打开,请判断可否使用旧井?(参考公式和计算结果:=,=-,=94,x2i-1y2i-1=945)(3)设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井,那么在原有井号1～6的出油量不低于50 L的井中任意勘探3口井,求恰好两口是优质井的概率.解:(1)因为=5,=50,回归直线必过样本点的中心(,),则a=-b=50-6.5×5=17.5,故回归直线方程为y=6.5x+17.5,当x=1时,y=6.5+17.5=24,即y的预报值为24.(2)因为=4,=46.25,=94,x2i-1y2i-1=945,所以==≈6.83.=-=46.25-6.83×4=18.93,即=6.83,=18.93,b=6.5,a=17.5,≈5%,≈8%,均不超过10%,因此使用位置最接近的已有旧井6(1,24).(3)易知原有的出油量不低于50 L的井中,3,5,6这3口井是优质井,2,4这两口井为非优质井,由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有:(2,3,4), (2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)共10种,其中恰有两口是优质井的有6种,所以所求概率是P==.。