信号与系统课后习题参考答案

第一章作业解答1.9解：（b ） jtt t j e e e t x −−+−==)1(2)(由于，故不是周期信号；)()(2)1()1())(1(2t x e e e T t x T j t j T t j ≠==++−+−++−（或者：由于该函数的包络随t 增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；） （c ） 则n j e n x π73][=πω70=7220=ωπ是有理数，故其周期为N=2； 1.10解：10)110cos(21=→+ωt ，则：5211πωπ==T4)14(s 2=→−ωt in ，则：2422ππ==T 则：整个信号的周期为：π==},{21T T LCM T1.11解：74174nenjπωπ=→，则：k N 11277422===ππωπ，71=⇒N 52252nen jπωπ=→，则：kN 22255222===ππωπ，52=⇒N直流信号‘1’不影响信号的周期，故整个信号的周期为：35},{21==N N LCM N1.12解：]4[1][1)1(]1[1][43−−=−−==+−−−=∑∑∞=∞=n u m n mk k n n x m k δδÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ 西南科技大学信号与系统教材课后习题参考答案（魏冬梅老师布置的作业）-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n1…减去：-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 nu[n-4]等于：…-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n故：即：M=-1，n ]3[+−n u 0=-3。

1.13解：)2()2()]2()2([)()(−−+=−−+==∫∫∞−∞−t u t u d d x t y ttττδτδττt则：41|)(|222∫∫−∞∞−∞===dt dt t y E 1.14解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：…而：g(t)如图(c)所示……dtt dx )(如图（d ）所示：…故：)1(3)(3)(−−=t g t g dtt dx 则：1t ,0t 3,32121==−==；A A 1.15解：该系统如下图所示： 2[n]（1）]4[2]3[5]2[2]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{]3[21]2[][][1111111222−+−+−=−+−+−+−=−+−==n x n x n x n x n x n x n x n x n x n y n y即：]4[2]3[5]2[2][−+−+−=n x n x n x n y（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。

（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。

1.17解：（a ）因果性：)(sin )(t x t y =举一反例：当)0()y(,0int s x t =−=−=ππ则时输出与以后的输入有关，不是因果的；（b ）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。

1.20解：（a ）)(21)2cos()(221t j tj e e t t x −+== 则：)(21)}(21{)(33221t j t j t j t j e e e e T t y −−+=+=；(b) t j j t j j t j t j e e e e e e t t x 2121)12()12(22121)(21))21(2cos()(−−−−−+=+=−=则：31(3cos )(212121)()31(3)31(331312−=+=+=−−−−−t e e e e e e t y t j t j t j j t j j（注意：此系统不是时不变系统。

） 1.21(a) x(t-1)(b)x(2-t)（c ）x(2t+1)(d)x(4-t/2)（e ）[x(t)+x(-t)]u(t)(f))]23-(t )23(tx(t)[δ−+δ1.22(a)x[n-4]1111x[n-4](b)x[3-n]1111x[n+3]1x[-n+3]11 1 (c) x[3n]1x[3n]-1/2(d) x[3n+1]1x[n+1](e) x[n]u[3-n]=x[n]11 1 1x[n]u[3-n](f) ]2[2]-x[n −δn]2−n(g)x[n]1-21x[n]21n）（+1 1x[n]1-1x[n]1n ）（+(g) ]1-n x[2）（1111.23则：)]()([21)(t x t x t x e −+=，)]()([21)(t x t x t x o −−=分别如下图所示：（注意：在对信号做奇偶分解时，尽量用图形的方式直观；而表达式烦琐，且容易出错）1.25解：(a)34cos(3)(π+=t t x 是周期信号， 40=ω 220ππω==T1.26解：（a ）)176sin(][+=n n x π 760πω=则：3720=ωπ为有理数，故该信号是周期的，其周期N=7； （b ）)81cos(][π−=n n x 810=ω 则：πωπ1620=为无理数，故该信号不是周期的；(d))]4cos()43[cos(21)]42cos()42[cos(21)4cos()2cos(][n n n n n n n n n x ππππππππ+=−++==)43cos(n π的周期，81=N )4cos(n π的周期82=N ，故整个信号的周期N=8。

1.27先证明几个基本的系统：时移系统、反折系统、尺度系统的线性、时不变、因果、稳定性； 一：时移系统：)()(1t t x t y −=(1) 线性：)()()()(122111t t x t y t t x t y −=−=)()()1()1()()()()()(2121133213t y t y t x t x t t x t y t x t x t x +=−+−=−=→+=：满足可加性)()()()()()(11114414t ky t t kx t t x t y t kx t x =−=−=→= ：满足齐次性；故：时移系统是线性系统； (2) 时不变性：)()(111t t x t y −=令：)()()()()(101122012t t t x t t x t y t t x t x −−=−=→−= 而：)()(01101t t t x t t y −−=−统。

故时移系统是时不变系)()(201t y t t y =−（3）因果性：由定义可知，当，则系统是因果的；否则为非因果系统； 01≥t （4）记忆性：由定义可知，时移系统是记忆系统；（5）稳定性：，则∞<|x(t)|∞<|)t -x(t |0（由于信号进行时移后，不影响幅度）故时移系统是稳定的；二、 反折系统： 线性、时变、非因果、记忆、稳定； 三 、尺度系统：线性、时变、非因果、记忆、稳定；(a))2()2()(t x t x t y −+−=解：由于该系统由时移与反折系统所组成，故性质由二者决定: 线性、时变、非因果、记忆、稳定；（b ）)(]3[cos )(t x t t y =线性(略)：是线性的时不变性：)(]3[cos )(1t x t t y =令：)(]3[cos )(]3[cos )()()(0122012t t x t t x t t y t t x t x −==→−= 而：)()](3[cos )(01001t t x t t t t y −−=− 故系统时变)()(201t y t t y ≠−(总结：若y(t)与x(t)之间的关系除了x(t)的形式外，还包括有关于t 的函数，则该系统是时变系统)因果性：输出仅与x(t)的当前值有关，故系统因果；(注意，因果性的定义：仅与当前值或以前值有关【二者只要满足一个就是】) 记忆性：输出仅与x(t)的当前值有关，故为非记忆系统；稳定性：由于cos3t 是有界的函数，则x(t)有界，y(t)有界，故系统稳定；（c ）∫∞−=td x t y 2)()(ττ解：线性：该系统是线性的（参考1小题证明）；时不变性：∫∞−=td x t y 211)()(ττ 令：)()(012t t x t x −=则：∫∫∫∫−∞−−∞−∞−∞−===−−==021210201222)(')'(')()()(t t t t tt d x d x t d t x d x t y ττττττττττ令而：∫∫−∞−−∞−==−00221)(2101)()()(t t t t d x d x t t y ττττ故系统时变)()(201t y t t y ≠−（注意，若这里的积分上限是t ，不是2t ，则系统是时不变的） 其他为：记忆、非因果，不稳定； （d ）该式改写为：)()]2()([)(t u t x t x t y −+=线性：系统是线性、时变、因果、记忆、稳定的； 所有答案如下表所示：记忆 时变 线性 因果稳定 a 是 是 是 非 是 b 非 是 是 是 是 c 是 是 是 非 非 d 是 是 是 是 是 e 是 否 否 是 是 f 是 是 是 非 是 g是否是非非1.31解：(a))2()((112−−=t x t x t x 由于该系统是LTI 系统，则)2()((112−−=t y t y t y（b ）)1()1((113−++=t x t x tx由于该系统是LTI 系统，则)1()1()(113−++=t y t y t ytt第二章作业解答2.1解：（a ）由多项式相乘法：3,2,1,0}1,0,2,1{][=−=n n x 1,0,1}2,0,2{][−==n n h1 2 0 -12 0 22 4 0 -22 40 -2 2 4 2 2 0 -2定义域为：[0-1：3+1]=[-1,4] 即：4,3,2,1,0,1}2,0,2,2,4,2{][−=−=n n y （b ）由性质：（若][][*][],[][*][00n n y n n h n x n y n h n x −=−=则：）得：][]2[][*]2[2n y n y n h n x =+=+ 则：2,1,0,1,2,32}2,0,2,2,4,2{][−−−=−=n n y（c ）同(b)：]2[]2[*][][3+=+=n y n h n x n y2.3解：x[k]、h[n-k]如图所示：0 1 2 3 4 5 kx[k]-1+n n 1+n 2+n k])21(1[2211)21()21(4)21()21()21(][0220][022*******22+++=−−+=−=−−===>>+=<<+∑∑n n kn k k n k n y n n n y n n 时，时，即：当时，时，即：当即：][]21(1[2][1n u n y n +−=2.5解：由题意：{}90:][n x {}N n h 0:][则：{}90:][+N n y 而：0]14[=y 则说明5<N又：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>+≤≤−+<≤+<<+<==N n N n n N n N N N n 909999101n 0n 0h[n]*x[n]y[n]][n y 的最大值为N+1 结合：5]4[=y ，故N=4；2.7解：注意此题只是线性系统，非时不变系统。