二面角专题习题
高考数学试卷二面角
一、选择题1. 下列关于二面角的叙述中，正确的是（）A. 二面角是由两个平面相交形成的角B. 二面角是由两个平面相交形成的两条线段所夹的角C. 二面角是由两个平面相交形成的两条射线所夹的角D. 二面角是由两个平面相交形成的两条直线所夹的角答案：C2. 在二面角中，一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的度数是（）A. α + βB. α - βC. |α - β|D. 90°答案：C3. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是（）A. 0° < θ < 90°B. 0° ≤ θ ≤ 180°C. 0° < θ ≤ 180°D. 90° < θ ≤ 180°答案：C4. 下列图形中，能表示二面角的是（）A. 一个等腰三角形B. 一个等边三角形C. 一个矩形D. 一个正方形答案：C5. 若二面角的平面角为60°，则其补角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：B二、填空题6. 在二面角中，若一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的平面角为______。
答案：|α - β|7. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是______。
答案：0° < θ ≤ 180°8. 若一个二面角的平面角为45°，则其补角的度数是______。
答案：135°三、解答题9. 已知二面角的平面角为60°，求这个二面角的补角的度数。
解答过程：根据题意，设二面角的平面角为θ，则有：θ = 60°由补角的定义可知，二面角的补角为180° - θ，因此：补角= 180° - 60° = 120°所以，这个二面角的补角的度数是120°。
二面角典型习题
二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角AB αβ--棱上一点，过P 分别在αβ、内引射线PM ，PN ，且45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒，求此二面角的度数。
例2、已知P 为锐二面角l αβ--棱上的点，,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成，则二面角l αβ--的度数是多少。
例3、已知二面角l αβ--的度数为θ，在面α内有一条射线AB 与棱l 成锐角δ，与面βγ成角，则必有（ ）（A ）sin sin sin θδγ= （B ）sin sin cos θδγ=（C ）cos cos sin θδγ= （D ）cos cos cos θδγ=例4、在120︒的二面角l αβ--的面α、β内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离AC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。
（2）直线AB 与平面β所成角的正弦值。
例5、已知二面角MN αβ--为60︒，,,A B BC AB αββ∈∈为在上的射影，且C 在棱MN 上，AB 与β所成角为60︒，且45AC MCB ∠=︒，求线段AB 的长。
例6、已知二面角DC αβ--的度数为θ，,,A B ADC αβ∈∈∆的面积为S ，且DC=m ，AB DC ⊥，AB 与平面β成30︒角，当θ变化时，求DBC ∆面积最大值。
例7、已知C 是以AB 为直径的圆周上的一点，30ABC ∠=︒，45PA ABC PBA ⊥∠=︒面，，求二面角A-PB-C 的正弦值。
例8、在正方体1111ABCD A BC D -中，利用cos S S θ=射影解下列各题1）P 、Q 分别为1,A A AB 的中点，求平面1C PQ 与底面ABCD 所成角的余弦值2）求二面角11C BD C --的大小；3）M 是棱BC 的中点，求二面角111D B M C --的余弦值。
二面角专题
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二面角专题
题1: 设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求 这个二面角的大小。
题2. 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.
（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；
（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；
题3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。
（1）求证AM //平面BDE ；
（2）求二面角A -DF -B 的大小；
A
D
E
F
M
B
C
题4.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=2
2，M为棱A1A上的点，若A1C⊥平面MB1D1。
（Ⅰ）确定点M的位置；（Ⅱ）求二面角D1－MB1－B的大小。
题 5. 如图所示，∆ADB和∆CBD都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，∠=∠=︒=
ADB CBD AD a
90,
（I）求异面直线AD、BC所成的角。
（II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时,∆PCD与∆BCD所在平面成45︒的二面角?；
A
P
B
D
C
题 6.四棱锥A BCDE
-中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，2
BC=，2
CD=，AB AC
=．
（Ⅰ）证明：AD CE
⊥；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45 ，求二面角C AD E
--的大小的余弦值．
C D E
A
B
2。
完整版二面角练习题
周练六1.如图，已知在三棱柱ABC ABQ,中，三个侧棱都是矩形，点D为AB的中点+AC 3,BC 4, AB 5,AA, 4 ,(I)求证AC BC i;(n )求证AC1 P平面CDB1;(川)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值+2 .如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角,所成角的正弦值。
求直线BD与平面ABEF A —"DF3.如图，在棱长为a的正方体ABC—ABCD中，求:(1 )面AABB与面ABCD所成角的大小；(2)二面角C-BD-C的正切值(3)二面角B1 BC1 DP4•过正方形ABCD的顶点A作PA A平面ABCD ,设PA=AB=a , (1)求二面角B- PC- D的大小；(2)求二面角C-PD-AB C5.如图所示，四棱锥P —ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60°, E是CD的中点，PA丄底面ABCD , PA= .3•⑴证明：BE丄平面PAB;⑵求二面角A—BE—P的大小(3) PB与面PAC的角6如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD//BC, ABC 90 ,PA 平面ABCD PA 3, AD 2, AB ^3 BC=6(1)求证：BD平面PAC；⑵求二面角P BD A的大小.(3)求二面角B-PC-A的大小7.如图，直二面角D —AB —E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F为CE 上的点，且BF丄平面ACE.(I)求证AE丄平面BCE;(H)求二面角B—AC —E的大小; (川)求点D到平面ACE的距离.8•如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形•已知AB 3 , AD 2 ,PA 2 , PD 2近,/ PAB 60°.(I)证明AD 平面PAB ；(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(川)求二面角P BD A的正切值.。
二面角专项训练(人教A版)(含答案)
二面角专项训练（人教A版）一、单选题(共7道，每道10分)1.等于90°的二面角内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA=PB=a，则P 到交线的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与二面角有关的点、线、面间的距离计算2.如图，在三棱锥F-ABC中，FC⊥底面ABC，CA=CB=CF，∠ACB=120°，则二面角F-AB-C的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，则二面角A-PC-B的正弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点，则二面角B-DC1-C的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则二面角A1-BD-C1的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥A1C，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，则二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。
二面角典型习题
二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角棱上一点，过P 分别在内引射线PM ，PN ，且AB αβ--αβ、，求此二面角的度数。
45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒例2、已知P 为锐二面角棱上的点，，则二l αβ--,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成面角的度数是多少。
l αβ--例3、已知二面角的度数为，在面内有一条射线AB 与棱l 成锐角，与面l αβ--θαδ，则必有（ ）βγ成角（A ） （B ）sin sin sin θδγ=sin sin cos θδγ=（C ） （D ）cos cos sin θδγ=cos cos cos θδγ=例4、在的二面角的面、内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离120︒l αβ--αβAC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。
（2）直线AB 与平面所成角的正弦值。
β例5、已知二面角为，上的射影，且C 在棱MN αβ--60︒,,A B BC AB αββ∈∈为在MN 上，AB 与所成角为，且，求线段AB 的长。
β60︒45AC MCB =∠=︒例6、已知二面角的度数为，的面积为S ，且DC=m ，DC αβ--θ,,A B ADC αβ∈∈∆，AB 与平面成角，当变化时，求面积最大值。
AB DC ⊥β30︒θDBC ∆in例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，，30ABC∠=︒，求二面角A-45PA ABC PBA⊥∠=︒面，PB-C的正弦值。
例8、在正方体中，利用解下列各题1111ABCD A B C D-cosSSθ=射影1）P、Q分别为的中点，求平面与底面ABCD所成角的余弦值1,A A AB1C PQ2）求二面角的大小；11C BD C--3）M是棱BC的中点，求二面角的余弦值。
111D B M C--例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？例10、等腰Rt 和Rt 有公共边AC ，，ADC ∆BCA ∆90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？两个平面垂直1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理2、两个平面垂直的性质例1、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD 平面CDE ⊥1）求证DE 是AD 与BE 的公垂线2）若AD=DE=AB ，求AD 与BE 所成角的大小。
二面角习题及标准答案
二面角习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
解：DPC A BE DB ASCS R NMO B DPA CB A EC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。
解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。
解：7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：D BD ACBAC M N B F E ACDDOA BC10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC ∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ， 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=DPCA BE DBASCS R N MO B DPA C∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S cos ABD BDE ==θ∆∆ 5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2，A'C =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2aD B D AC BAC MN∴ 36a 26a cos 221==θ ∴ 36arccos1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21 ∴ 66a 26a21cos 222==θ ∴66arccos2=θ 6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt △ABC 中， 23231AB BC AC CE =⨯=⋅=，同理 1222ABBDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--= ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222∴ 33cos =θ BF E ACD即所求角的大小为33arccos。
二面角专题训练
二面角专题训练一．解答题（共14小题）1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．2．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．3．如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．4．如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．（Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，求证：θ+φ=．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（I）证明：CD⊥AE；（II）证明：PD⊥平面ABE；（III）求二面角A﹣PD﹣C的大小．7．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．8．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．9．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．10．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，，求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角F﹣AD﹣E的平面角的正切值．11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（I）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（II）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．13．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E﹣PC﹣D的大小．二面角专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．中，，故所求二面角的大小为2．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．=ADB=，ADB=，的余弦值为3．如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．BC得同理可得的平面角．的大小4．如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．（Ⅰ）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A﹣BD﹣C的大小．所以与的大小．由夹角公式求与，所以∠因此只有中，，的坐标为，所以与夹角的大小等于二面角，．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，求证：θ+φ=．，即可得到结论．=D==．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（I）证明：CD⊥AE；（II）证明：PD⊥平面ABE；（III）求二面角A﹣PD﹣C的大小．，可得．中，．的大小是7．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．=的坐标，同时易得，＞，进而由同角三角函，=AC CD=AB==AB BC=V=×=，从而EF=；DEF=的平面角的正切值为，由⊥||=1或（舍），||=1|或（舍），）||=，||=1V=××|||h=（Ⅱ）由（Ⅰ）知（，，）设非零向量=的法向量，则由⊥可得，l+m=0⊥可得，m+，n==，﹣=＜＞=，＞的平面角的正切值为8．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．，PG=BG=，因此二面角的余弦值为9．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．OB=MO=，则，，所以所以，所求二面角的正弦值是10．如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，，求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角F﹣AD﹣E的平面角的正切值．的法向量，则直线=AB．的距离为，知中，，，从而，的平面角的正切值为点为坐标原点，的方向为）可得．即因，解得.②联立①，②解得，所以．得，．即．故，，，11．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．BCABAB==所成角的正弦值为12．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（I）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（II）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．得，则为平面，，则的余弦值为13．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．=BC=ACAB=AC=BC=BM=，MN=CD=，BN=AD=BMN= BMN=arccos=x=CE=14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E﹣PC﹣D的大小．：PD=，，，的大小为．。
高考数学二面角专题训练
高考数学二面角专题训练1.（06某某卷）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。
（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。
（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴12AO =，32DO =，BO =。
过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所求二面角平面角。
在AHO 中，，1tan AO AHO OH ∠==。
在DHO中，3tan 27DO DHO OH ∠===；而tan tan()AHD AHO DHO ∠=∠+∠== （Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，12-,0)，B(2，0,0)，D(0,2，0)，∴1(0,,1)2PA =--，3(1)2PB =-，(0,2,1)PD =-设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =，则1n PA ⊥，1n PB⊥，得111102102y x ⎧--=⎪⎪-=⎪⎩，123(2,1)3n =-；设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =，则2n PD ⊥，2n PB ⊥，得22210102y x -=⎧-=⎩，2231(,1)32n =；121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅2. （06卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小.解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，∴AB 是PB 在平面ABCD 上得射影， 又AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ， ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点 又E 是PD 的中点， ∴EO PB.又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB 平面AEC ，（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为,,022a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02b OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭又(,0,0),OE AC a =b b＝（0，－,）,220,0,OE AC OG AC ∴==,,OE AC OG AC ∴⊥⊥EOG ∴∠是二面角E AC B -=的平面角。
二面角1练习及答案
二面角练习1班级姓名1.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A．互为余角B．相等C．其和为周角D．互为补角【答案】D【解析】画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.2.如图，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V－AB－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°【答案】C【解析】如图所示，由题意可得四棱锥V－ABCD是正四棱锥，连接AC，BD，相交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD.取AB的中点M，连接VM，OM，则AB⊥OM，∴AB⊥VM.∴∠OMV是二面角V－AB－C的平面角．由正方形可得OB＝BD＝×2＝，∴VO＝＝.在Rt△VOM中，tan∠VMO＝＝＝，∴∠VMO＝60°.3.如图在长方体中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】连接AC，交BD于点O，连接OC1，⊥平面ABCD，因为ABCD为正方形，则AC⊥BD，又CC所以CC1⊥BD，则BD⊥平面CC1O，所以BD⊥OC1，所以∠COC1是二面角C1－BD－C的平面角．又OC＝AC＝×AB＝.在Rt△OCC1中，CC1＝，所以tan∠COC1＝＝，所以∠COC1＝30°，故选A.4.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】取AC的中点E，取CD的中点F，连接BE，EF，BF.∵△BCD为等边三角形，F为CD中点，∴CD⊥BF.∵CD＝AD＝1，AC＝，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD⊥AD.又EF∥AD，∴EF⊥CD.∴∠EFB为A－CD－B的平面角．又EF＝，BE＝，BF＝，∴△BEF为直角三角形，cosθ＝＝.5.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】A【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形．设AD＝a，则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，所以∠B′DC＝90°.6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°7.若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________．【答案】90°【解析】取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.8.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45°，则棱AA的长为________；二面角B－DD1－C的大小为________．【答案】45°【解析】因为ABCD是边长为1的正方形，所以对角线BD＝.又因为D1B与平面ABCD所成的角为45°，即∠D1BD＝45°.所以AA1＝DD1＝.由于CD⊥DD1，BD⊥DD1.所以二面角B－DD1－C的平面角为∠CDB.又因为△CDB为等腰直角三角形，所以二面角B－DD1－C的平面角∠CDB＝45°.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成的二面角C1－AB－C的大小为________．【答案】45°【解析】∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.10.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为________．【答案】【解析】如图所示，由二面角的定义，知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝，∴∠BOD＝60°.∴cos∠BCD＝.11.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，【答案】1【解析】∵AB⊥平面BC∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1. 12.如图，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的余弦值.13.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.14.如图，已知VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝a.(1)求平面ABC和平面ABV所成的二面角的余弦值；(2)求三棱锥V－ABC的体积．【答案】(1)∵VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝a，∴AB＝BC＝AC＝a，∴S△ABV＝a2，S△ABC＝a2.∴平面ABC和平面ABV所成的二面角的余弦值为＝.(2)三棱锥V－ABC的体积为××a×a×a＝a3.15.如图所示，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【答案】如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴设AO＝a，则AC＝a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝＝a，∴AD＝＝＝.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝，∴∠ADO＝60°.即二面角A－BC－O的大小是60°.16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动. (1)证明：DE⊥A1D；(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？。
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求二面角专题
1.如图，屮血E丸DL平面ABCD, ADE 边三怖形.ABCD是竝阪F, G分别足AE
AD 的中点* EC 与平面ABCD ijlfli 30'^ ft.
⑴求迹：EG LYii! ABCD；
⑵若AD=£求二血伯E-FGG的度斂"
2.如I图.和楼长为倒的止方体OABC-O,A,B,C,屮，生F分别是棱AB. BC 上的別乩JLA3RE
(1)戏证:A'PC氏
⑵当三楼锚B J BEF的休积取得最人値时，求-血处B^-FF-R的人小
(结杲用反三角函数表示)・
3、如图，已知I平行六回体ABCD-A]B|C|D|的底血ABCD兄菱形・R "「R="UD=ZRC：D=6(r-
⑴证明;GC丄BD；
3 旳=-
⑵假定CD=2t 2・记面CBD为山血
CBD为b.求二血角
a-BD*b的T血角的氽歿値：
CD
⑴当的值为爭少时，能使加C丄YlIU C.BD?
如图MMI) ARG6是反方体，侧棱AA」长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱
BC 中点，求面GDE与血CDE所成二血角的正切值.
A,
C
B
抽图：已知四棱锥P^ABCD的底面为肖低梯昭ADMBC, ZBCD^9(h PA=PB- PC=PD.
1)证明平面PABL平面ARCD：
2)如果CD二AD+BC*二面角P—BC—A等十60",求二面侑P—CD—A矗大
小.
L过正方形4BCD的顶点A作〃人平liMBCD, 设PA二AR=s 求二面角〃-PC- D的大小一
D
2.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，ZBCD=6Q。
, E是CD的中点，丹丄底面PA = £
・(1)证明：平面卩EE•丄平面乃1〃；
(II )求二面角
A-BE-P的大小
3.如图,在底面为直角
梯形的四棱锥P-^CD^ADJ/BC, ZABC = W°, PA丄平
面ABCD PA = 3,AD = 2,AB = 2y/3 Bc=6
(I)求证:购丄平面"°;
(II)求二面角P — BD — A的大小.
4:如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面4BCD AB 丄AD, AC 丄CD. ZABC = 60°
PA = AB = BC, E 是PC的中点.
(I )求砂和平面PAD所成的角的大小；
(II)证明处丄平面兀5
(HI)求二面角的人小.
S如图，在四梭卸［P一人方OD中，底血魁炬形.己知 = AI》= 2 , PA = 2 . PD = 2V2 , /PAR = fiO*
■
(I ) -UEH^ AD 丄平面PAH ；
C IT > 求并VM自线八C 与AZ>妙丘成的角的人刀、c HJK 过人
.
(III)求二眉角厂一"。
一人的正切值
x
如何用空间向量求解二面角
求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、 射影法、向量法等若干种。
而这些方法中最简单易学的就是向量法， 但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些 问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。
本文就简要介绍有关 这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。
在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题.对于空 间向量a 、b ，有COS V a , b ＞二丄丄.利用这一结论，我们可以 |a| |b| 较方便地处理立体几何中二面角的问题.
例1在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正 三角形，平面VAD L 底面ABCD 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大 小.
证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边
长为1,依题意
得AB = (0 , 1, 0)，是面VAD 的法向量,
1,
3 n 二(1
, — 1
,—
3|AB| |n|
设门=(1 , y , z)是面VDB 的法向量，则
f)
n VB 0, n VB 0.
/. COS V AB ,
n >3—=—运
*z
3
3
又由题意知，面 VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角，所以其大小为
|CD | |B i G|
例3如图，在四棱锥P — ABC 冲，底面ABCD^正方形，侧棱PD
丄底面ABCD PD=DC E 是PC 的中点，作EF 丄PB 交PB 于点F .求二 面角C- PB-D
的大小
例2如图，直三棱柱ABC — ABC 1中，/ ACB=90 ,
AC=1 CB=2，侧棱AA=1，侧面AABB 的两条对角
线交点为D, B i C i 的中点为M
⑵求面B i BD 与面CBD 所成二面角的大小. 解：⑴略
⑵如图，以C 为原点建立坐标系.设BD 中点为G,连结B i G,则
BD • B i G = 0 ,「• BDL B i G.
又CDL BD 二CD 与B i G 的夹角 等于所
求二面角的平面角.
二 COS
=CD B i G
所以所求二面角的大小等于
—arccos 泌.
7
1
，1），
B i G =(
3 4
解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设DC a
设点F的坐标为
（X。
,
y o, z o),
PA= PB ,贝S (x o, y o,Z
o
a)
从而X o a, y o a, Z
o
(1 PE = ）a .所以
(a, a , a).
a a
(x o, y o, 2 z o)( a,( )a,
1 (2)a).
由条件EF± PB知,PE-PB = 0,即 1
(2
)a2 (
二点F的坐标为（|汽, 2a
-
，且PE (
a
FD (-
3
2a),
二PB • FD 2a2
3
即PB FD，故EFD是二面角C
—PB- D的平面角.
2
a 18 且|PE|
2
a
36
2
a
36
|FD| 將4a2
9
…cos EFD丄邑
|PE ||FD |
6 .'6
a a
6 3
EFD
所以，二面角C-PB-D的大小为
*z
3
3
例4 已知三棱柱OAB — O i A i B i 中，平面0BBO 丄平面OAB , /
AOB = 90，/ 06=60，且 OB =OO 1= 2 , OA = ,3，
求二面角O i — AB- O 的大小.
解：以O 为原点，分别以OA , OB 所在 的直线为X, y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系.如图， 则 O (0,
0, 0) , O i (0 , 1, 3) , A(
3 , 0,
0) , A i ( 3 , 1,
3), B(0 , 2 , 0).
二 AO i = ( — 3 , 1 , 3 ) , AB =
( — 3 , 2 , 0).
显然OZ 为平面AOB 的法向量，取n i = (0 , 0 , 1),设平面O i AB 的
法向量为n 2 = (X , y , z),贝卩
n ? • AO i = 0 , n ? • AB = 0 .
即 今 y Mz 0 ,令 y = 73 , x = 2 , z = 1 ,则 n 2= (2 , <3 , .3x 2y 0
1).
故二面角O 1 — AB — O 的大小为arccos 2 .
4
• • COS n i ,n 2
n 1 n 2 I n i | | n 2 |
1 2、
n i , n 2 > = arcd
4
4。