有限元方法1-概述

现代设计方法
• 离散为单元网格的冲压件 仍然要保证是一个连续体 ，单元与单元之间没有裂 缝、不能重叠，所有单元 通过单元节点相互关联着 • 板料无论产生多大的塑性 变形，单元与单元之间依 然不会产生裂缝、交叉和 重叠，关联单元的节点也 不能脱开
有限元法的基本思想
有限元分析-基本概念
现代设计方法 不合格单元
A
( 2)
110 m ， E
2
4
(1)
E
( 2)
2 10 MPa，
5
L(1) L( 2) 0.1m
有限元分析-基本概念
现代设计方法
A(1) E(1)
1 ① 2
A(2) E(2)
② 3
F3
L(1)
L(2)
Φ1 F1
1 ① 2
Φ2 F2
② 3
Φ3 F3
有限元分析-基本概念
现代设计方法
载荷
节点
单元
载荷
有限元分析-基本概念
现代设计方法
几个基本概念 1）单元（element）
将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。
在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
单元类型 现代设计方法
单元图形
节点数
节点自由度
杆单元 平面梁单元 平面 三角形单元 平面 四边形单元 轴对称 三角形单元
板壳 四边形单元 三维 四面体单元 有限元分析-基本概念
典 型 单 元 类 型
2 2 3 4 3
1 3 2 2 2
4
4
3
3
现代设计方法
按照单元结构特点和受力特点，可将单元划分为： 1）平面杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆 系，如桁架结构； 2）平面梁单元：用于梁及刚架结构分析； 3）三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力 和平面应变问题的有限元分析； 4）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析； 5）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。
E ( e ) A( e ) L(e)
1 1 1 1
—为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等 于单元中所包含的节点数；
F (e)
(e) F i (e) F j
有限元分析-基本概念
现代设计方法
2. 单元分析
连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称 为单元分析。
单元分析工作主要有两项：
(1)选择单元位移模式(位移函数)
用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和 应力，就需搞清各单元中的位移分布。
一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其 模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移 函数。通常采用的函数形式多为多项式（线性或二次）。 根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来 表示单元体内任一点位移的关系式。
2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理 特性，且存在相互物理作用。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定属性，相互之间存在物理作 用。
单元:节点间相互作用的对象， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
三峡大坝的受力情况 蓄水后大坝的 位移与应变情
况、地震时大
坝的位移与应
变情况等
有限元分析-基本概念
现代设计方法
温度场分布
航天飞机飞行 中的受热分析
有限元分析-基本概念
现代设计方法
磁场分布
分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响
有限元分析-基本概念
现代设计方法
汽车/航天器空气动力学--流场
现代设计方法
1-3 有限元法过程
有限元法的分析过程可概括如下： 1 连续体离散化 2 单元分析
3 整体分析
4 确定约束条件 5 有限元方程求解 6 结果分析与讨论
有限元分析-基本概念
现代设计方法
1. 连续体离散化
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。 离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个
载荷 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析-基本概念
现代设计方法
1-2 有限元法基本思想
• 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点 相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合 近似代替 • 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函 数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物 理量来表示----通常称为插值函数或位移函数 • 基于问题（杆、平面）的基本方程，建立单元节点的 平衡方程：节点载荷=f(Ki, 节点位移) • 联立所有单元节点的平衡方程，形成一组全部节点载 荷与节点位移关系的方程组（线性）：{节点载荷 }=F(K, {节点位移}） • 引入边界条件求解该方程组。 有限元分析-基本概念
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值 解法，以求出近似解。
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有限元的含义 Finite Element Method
Limited; Definite. Cell; Technique;
Basic unit. Skill.
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单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。 单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标； 确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。
有限元分析-基本概念
【解】
1.离散化 把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点 选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点， 该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构 共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载 荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的 2 3 。在整个结构中节点载 位移量分别记为 1、 、 荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在 总体结构中的编码，简称总码。
6. 结果分析与讨论
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网架杆件 基本单元 节点位移
基本未知量
单元刚度矩阵
节点平衡及变形协调条件
总刚度矩阵
总刚度方程
引入边界条件
节点位移值
单元内力与节点位移间关系
单元内应力应变
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1-4 有限元法求解实例分析
一维杆系单元
定义：杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接 的点称为节点。 结构离散 一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、 杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件 即构成单元。
现代设计方法
定义
有限元分析是一种工程物理问题的数值分析方法， 根据近似分割和能量最低原理，把求解区域离散为有 限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元 ，通过变分原理（虚位移原理），把问题化成线性代 数方程组求解。
分析指导思想
化整为零，裁弯取直，变难为易，先拆后搭
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的转移矩阵，其关系式为 F K ，这就是总体 平衡方程。
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4. 确定约束条件
由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代 数方程，是欠约束的。需确定求解对象问题的边 界约束条件，并对这些方程进行适当修正。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
5. 有限元方程求解 通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的 位移进而根据位移可计算单元的应力及应变。
•2016/1/28 有限元分析 -基本概念
现代设计方法
2. 求单元刚度矩阵
i(e)
(je)
Fi (e)
Fj(e)
下面分析某等截面单元（e）。当两端分别 ( e) (e) F 承受两个轴向力 Fi 和 j 作用时的位移情况 。根据材料力学的知识可知，在两端节点i 、j处的位移量 和 与轴向力 Fi (e)和 Fj(e) 的 关系式为 (e) (e)
(e) i
( e) j
Fi
(e)
E A L( e)
( i( e ) (je ) )
F j( e )
E ( e ) A( e ) (e) (e) ( i j ) (e) L
有限元分析-基本概念
现代设计方法
注意
在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移 等参数的上角标为该单元的编码，下角标 为该单元内节点的局部编码。上两式可写 成： (e) (e) (e) (e)
(3) 经验方法
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现代设计方法
其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何 边界相当规则的少数问题。 传统的解析法要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、 连续性假设等，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，可得出实 际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但 这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高 的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。
(e ) K 单位刚度矩阵 是由单元节点位移量 求单元节点
(e )
力 F
(e )
向量的转移矩阵，其关系式为:
F(e) K(e) (e)
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