4.2平行四边形及其性质2
4.2平行四边形及其性质2
D
F E
C
A
B
说能出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
E
C
A
l1
l2
F
D
B
夹在两条平行线间的垂线段相等
E C A
l1
l2
FБайду номын сангаас
D
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
练一练： 1、如图，E是直线CD上的一点。已知
的面积为52cm ， 2 (1)△ABE的面积为 ______cm 26
2
ABCD
(2)若AB=4cm，则AB和DE间的距离为 _____cm 13 D C E
A 4 B 利用平行四边形和三角形同底等高
谁是亮眼睛？ ２、已知：如图，BE平行于四边形ABCD的 对角线AC，且与DC的延长线相交于E，请找 出与四边形ABCD面积相等的三角形． Ｅ Ｃ Ｄ
Ａ
Ｂ
练一练：
3、如图,在 ABCD中,AB与CD的距离为1cm ____
D
∟
C
45 A
O
2cm
B
构成直角三角形求两平行线间的距离
练一练：
4、已知 10 ______
D C
ABCD中，AB=20，AD=16，AB和
CD之间的距离为8，则AD和BC之间的距离为
A
E
B
F
利用面积法求两平行线间的距离
5、 如图，在 ABCD中，AB=8cm，AD=5cm， ∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD 于点F，求线段EF的长。
4.2平行四边形及其性质2
M
1、什么是两点之间的距离？
N O
2、什么是点到直线的距离？
《平行四边形的性质》第二课时教案 (公开课)2022年1
平行四边形的性质(二)一、教学目标：1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：〔1〕本节课的主要内容是平行四边形的性质3，它是通过旋转平行四边形，得到平行四边形是中心对称图形和对角线互相平分的性质．这一节综合性较强，教学中要注意引导学生．要注意让学生稳固根底知识和根本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华．〔2〕教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法．如图，设四边形HEFG 的对角线HF、EG相交于点O，假设HF与EG互相平分，那么有OH＝OF，OE ＝OG．〔3〕在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底〞是相对高而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．〔4〕平行四边形的面积等于它的底和高的积，即＝a·h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图〔1〕．要防止学生发生如图〔2〕的错误．为了区别，有时也可以把高记成、，说明它们所对应的底是a或AB．〔5〕学完本节后，归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质，平行四边形有哪些性质．可以按边、角、对角线进行总结．通过复习总结，使学生掌握这些知识，也培养学生随时复习总结的习惯，并提高他们归纳总结的能力．三、课堂引入1．复习提问：〔1〕什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：〔2〕平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质〔内角和是〕．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？你能从图中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：〔1〕平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；〔2〕平行四边形的对角线互相平分．四、例习题分析例1〔补充〕：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O 与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF〔ASA〕．∴OE＝OF，AE=CF〔全等三角形对应边相等〕．∵ABCD，∴ AB=CD〔平行四边形对边相等〕．∴ AB—AE=CD—CF．即BE=FD．※【引申】假设例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？假设将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交〔图c和图d〕，例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例1是性质3的直接运用，然后对它进行了引申，可以根据学生实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的根本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．例2〔教材P85的例2〕四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高〔高为此底上的高〕，可求得ABCD的面积．〔平行四边形的面积小学学过，再次强调“底〞是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底〞，“底〞确定后，高也就随之确定了．〕3.平行四边形的面积计算解略〔参看教材P85〕．例2是复习稳固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．平行四边形的性质总体说明〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。
平行四边形及其性质
平行四边形及其性质平行四边形是几何学中的一个重要概念。
它具有独特的性质和特点，对于解决几何问题和应用数学都有着重要的意义。
在本文中，我们将介绍平行四边形的定义、性质以及一些相关的定理。
定义平行四边形是由四条平行的边所构成的四边形。
它的定义可以简单地表述为：具有两组平行边的四边形。
性质1. 对角线性质平行四边形的一条性质是它的对角线互相平分。
也就是说，一个平行四边形的两条对角线互相平分，并且对角线的交点恰好是对角线长度的一半。
2. 对边性质平行四边形的另一个性质是它的对边相等。
也就是说，平行四边形的对边长度相等。
3. 同位角性质平行四边形的同位角是指在两组平行边之间相对位置相同的角。
根据同位角的定义，平行四边形的同位角互相相等。
4. 内角性质平行四边形的内角和为360度。
这是因为平行四边形可以被划分为两个相似的三角形，对于这两个三角形的内角和都是180度，因此平行四边形的内角和为360度。
5. 对角线长度性质平行四边形的对角线长度之间具有一定的关系。
设平行四边形的两条对角线分别为d1和d2，则有以下关系成立：d1^2 + d2^2 = 2(a^2 + b^2)，其中a和b分别为平行四边形相邻边的长度。
定理平行四边形还有许多与其相关的重要定理。
下面我们将介绍几个常见的定理。
1. 平行四边形的对角线互相平分定理：平行四边形的两条对角线互相平分。
证明：设平行四边形的两条对角线为AC和BD。
我们需要证明AC平分BD，也就是证明AC与BD的交点O是BD的中点。
由于平行四边形中，相邻角补角为180度，因此∠BOC + ∠AOD = 180度。
又由于平行四边形的同位角相等，可得∠BOC = ∠AOD。
因此，得到∠BOC = ∠AO D = 90度。
根据直角三角形定义，如果AC和BD是平行四边形的对角线并且交于点O，则AO = CO，BO = DO。
因此，我们可以得出结论：AC平分BD，即AC与BD的交点O是BD的中点。
平行四边形的概念与性质
平行四边形的概念与性质平行四边形是几何学中常见的四边形。
本文将介绍平行四边形的概念以及其一些重要性质，以帮助读者更好地理解和使用平行四边形。
概念：平行四边形是指具有两对边分别平行的四边形。
即，如果四边形的两对边分别平行，则该四边形可以被称为平行四边形。
性质1：相对边在平行四边形中，两对相对的边是平行的。
这意味着如果我们有一个平行四边形ABCD，那么AB和CD是平行的，同时AD和BC也是平行的。
性质2：相对角平行四边形中相对的两个内角是相等的。
也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A = ∠C，∠B = ∠D。
性质3：对角线平行四边形的对角线互相平分。
即，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么对角线AC和BD相交于点O，并且AO = CO，BO = DO。
性质4：邻边补角平行四边形中邻接的内角互为补角。
也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D = 180°，∠D + ∠A = 180°。
性质5：对角线长度关系平行四边形的对角线长度关系为：对角线AC² + 对角线BD² = 2(边AB² + 边AD²)。
这是一个重要的性质，可以在解决平行四边形相关问题时提供便利。
性质6：面积计算平行四边形的面积可以通过底边长和高的乘积来计算，即面积 = 底边长 ×高。
性质7：重心、中点和垂心的共线性平行四边形的重心、中点和垂心三个点共线。
重心是平行四边形对角线交点的中点，中点是边的中点，垂心是通过连接对边中点的线段与对角线的交点。
以上是一些关于平行四边形的基本概念和重要性质。
这些性质可以用于解决平行四边形的证明题、计算题以及相关应用题。
在解决这些题目时，我们可以根据平行四边形的定义和这些性质来进行推理和计算。
总结：平行四边形是具有两对平行边的四边形，具有一些特殊的性质。
2020-2021学年浙教版数学八年级下册课时训练：4.2 平行四边形及其性质
2021年浙教版八年级下册课时训练：4.2 平行四边形及其性质一．选择题1．平行四边形的两条对角线一定（）A．互相平分B．互相垂直C．相等D．以上都不对2．在▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（）A．130°B．100°C．80°D．70°3．▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（）A．1：1：2：3B．1：2：1：2C．1：1：2：2D．1：2：2：1 4．如图，平行四边形ABCD的周长为80，△BOC的周长比△AOB的周长多20，则BC长为（）A．40B．10C．20D．305．如图，▱ABCD的周长为36cm，△ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（）A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm6．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，若AE＝2，▱ABCD的周长等于24，则线段AB的长为（）A．5B．6C．7D．87．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB ＝6，BC＝10，则EF长为（）A．1B．2C．3D．48．已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠A＝．9．如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝°．10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△ABC的面积是16，则△BEO的面积为．11．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD 的周长是．12．如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC 的度数是．13．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是．14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝5，则平行四边形ABCD的周长为．15．如图，在▱ABCD中，点E、F在直线AC上，且AE＝CF．求证：DE∥BF．16．如图，已知，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，CF＝AE，连接CE，AF．求证：△BCE≌△DAF．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：BE＝DF．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且B（8，4），C（6，0），直线AC与y轴相交于点D，求点D的坐标．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．20．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，所以A选项正确．选：A．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵∠A+∠C＝200°，∴∠A＝100°．选：B．3．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．选：B．4．解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多20，∴BC﹣AB＝20，①∵平行四边形ABCD的周长为80，∴BC+AB＝40，②由①+②，可得2BC＝60，∴BC＝30．选：D．5．解：∵▱ABCD的周长是36cm，∴AB+AD＝18m，∵△ABC的周长是28cm，∴AB+BC+AC＝28cm，∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．选：C．6．解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，AD＝BC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵ABCD的周长等于24，AE＝2，∴AB+AD＝12，∴AB+AE+DE＝12，∴AB＝5．选：A．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．∴∠AFB＝∠FBC．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠AFB＝∠ABF．∴AF＝AB＝6．同理可得DE＝DC＝6．∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．选：B．二．填空题8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝×180°＝36°．答案为：36°．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝110°．答案为：110．10．解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，∵点E是AB的中点，∴OE＝BC，OE∥BC，∴△AOE∽△ACB，∴＝，∵△ABC的面积是16，∴S△AOE＝4，∴S△BEO＝4．答案为：4．11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝5﹣2＝3，∴平行四边形ABCD的周长是2AD+2DC＝10+6＝16．答案为：16．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，答案为：26°．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．答案为：S1＝S2．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠DAE+∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAD＝90°，∠AGE＝45°，∴∠F AD＝45°，∵AF⊥CD，∴∠AFD＝90°，∴∠D＝45°，∴△ABE和△AFD都是等腰直角三角形，∵AE+AF＝5，∴设AE＝x，则AF＝5﹣x，∴AB＝x，AD＝（5﹣x），∴平行四边形ABCD的周长为：[x+（5﹣x）]×2＝10，答案为：10．三．解答题15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAF＝∠BCE，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠DEA＝∠BFC，∴DE∥BF．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∴∠D＝∠B，∵CF＝AE，∴BE＝DF，在△AFD与△CEB中，∴△BCE≌△DAF（SAS）．17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠CDF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．18．解：∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，∵B（8，4），C（6，0），∴A（2，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，当x＝0时，y＝6∴点D的坐标为（0，6）．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°．20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，（ASA）∴OE＝OF；（2）∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7，又∵EF⊥AD，∴S▱ABCD＝AD×EF＝63，∴AD＝9．。
平行四边形及其性质ppt课件
4.2 平行四边形及其性质
平行线的性质定理：
习题讲解书写部分
平行线性质定理的推论：
作业布置
【知识技能类作业】 3.如图,已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,且a∥b∥c,其中a与b
之间的距离是6,b与c之间的距离是8,则△ABC的面积是( C )
A.24 B.100 C.50
C a
B b
D.48
c
A
作 业 布 置 【综合实践类作业】
1.如图所示，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连结AE，BE， 已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线. （1）求证：AE⊥BE； （2）若AE＝3，BE＝2，求 ABCD的面积.
解： ∵AF∥EC,AB∥DC, ∴AE=FC. ∵EF∥BC,AB∥DC, ∴EB=FC. ∵AD∥EF,AB∥DC, ∴AE=DF, ∴EB=DF.
课堂总结
平行线有下面的性质定理是什么？ 夹在两条平行线间的平行线段相等. “夹在两条平行线间的平行线段相等”的推论是什么？ 夹在两条平行线间的垂线段相等.
例题精讲
例2 如图,一个放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形， 腰长为1.4m.现要将这个立柜搬过一个宽为1.2m的通道,能通过吗?
思考：如果沿立柜上、下底面任一条直 角边方向平移，立柜能通过通道吗？
因为腰长1.4m大于通道宽1.2 m,所以在搬 这个立柜时，如果沿立柜上、下底面任一 条直角边方向平移,都不能通过.
作业布置
【知识技能类作业】 1.在▱ABCD中，AB=20，AD=16，AB和CD之间的距离为8，则
AD与BC之间的距离为( C )
A. 8
D
C
B. 9
C. 10 D. 11
浙教版八年级下测试题4.2 第2课时 平行四边形的性质(二)
第2课时平行四边形的性质(二)1．[2013·益阳]如图4－2－12，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(D)图4－2－12A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CD D．AC⊥BD2．如图4－2－13所示，在▱ABCD中，若∠A＝45°，AD＝6，则AB与CD 之间的距离为(B)图4－2－13A. 6B. 3C. 2 D．3【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则∠A＝∠ADE＝45°，∴DE＝AE.设DE＝AE＝x，则x2＋x2＝(6)2，∴x2＝3，∴x＝ 3.故选B.3．如图4－2－14所示，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，若∠B＝45°，则▱ABCD 的面积为(B)图4－2－14A．8 B．12 2C．16 2 D．24【解析】过点A作AE⊥BC于点E.∵∠B＝45°，∴∠BAE＝45°，∴BE＝AE.设AE＝x，则BE＝x，∵AB2＝BE2＋AE2，∴2x2＝42，∴x＝22，∴▱ABCD的面积＝BC·AE＝6×22＝12 2.4．如图4－2－15，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为(D)图4－2－15A．24 B．36C．40 D．48【解析】设BC＝x cm，则CD＝(20－x)cm，根据“等面积法”，得4x＝6(20－x)，解得x＝12，∴平行四边形ABCD的面积＝4x＝4×12＝48.5．如图4－2－16，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则点C的坐标是(C)图4－2－16A．(8，2) B．(5，3)C．(7，3) D．(3，7)【解析】在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，AB＝5，∴CD＝5.∵D点的横坐标为2，∴C点的横坐标为2＋5＝7.∵AB∥CD，∴C点和D点的纵坐标相等都为3，∴C点的坐标为(7，3)．6．[2011·黑龙江]如图4－2－17，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为(A)图4－2－17A．3 B．4C．5 D．67．如图4－2－18所示，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，则BC边上的高为．图4－2－18【解析】过点A作AE⊥BC于点E.∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝12AB＝12×6＝3，∴AE＝AB2－BE2＝62－32＝3 3.8．如图4－2－19，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在边AD上，且AE＝DF，连结BE，CA，CE，CF，图中与△CDF面积相等的三角形共有__2__个．图4－2－19【解析】 由四边形ABCD 是平行四边形且AE ＝DF ，则AD 到BC 的距离是一定的，故S △ABE ＝S △AEC ＝S △CFD .9．[2012·无锡]如图4－2－20所示，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE ＝CF .求证：∠BAE ＝∠CDF .图4－2－20证明：在▱ABCD 中，AB ＝DC ，AB ∥DC ， ∴∠B ＝∠DCF . 在△ABE 和△DCF 中，∵AB ＝DC ，∠B ＝∠DCF ，BE ＝CF ， ∴△ABE ≌△DCF ， ∴∠BAE ＝∠CDF .10．两个长、宽各为a 米、b 米的矩形花圃，都修建了形状不同的一条宽为c 米的小路，问：这两条小路的面积是否相等__相等__(填“相等”或“不相等”)，若相等，面积是__bc __m 2.图4－2－21【解析】 左图的小路可看作矩形，根据矩形面积计算方法，得小路面积为bc m 2.右图小路可看作由几个平行四边形组成，底为c，几个平行四边形高的和为b，根据平行四边形面积的计算方法，得小路面积为bc m2，故这两条小路的面积相等．11．[2012·广安]如图4－2－22所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA 的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.求证：△AEF≌△DFC.图4－2－22证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠D＝∠EAF.∵AF＝AB，BE＝AD，∴AF＝CD，AD－AF＝BE－AB，即DF＝AE.在△AEF和△DFC中，AE＝DF，∠EAF＝∠D，AF＝DC，∴△AEF≌△DFC(SAS)．12．如图4－2－23所示，在▱ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得AE ＝AB，CH＝CD，连结EH，分别交AD，BC于点F，G.求证：△AEF≌△CHG.图4－2－23证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ，AB ∥CD ， ∴∠EAF ＝∠HCG ，∠E ＝∠H . ∵AE ＝AB ，CH ＝CD ， ∴AE ＝CH ， ∴△AEF ≌△CHG .13．如图4－2－24所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD 中，有一条弯曲的小路EFG .现在想把它改为经过点E 的直路，要求小路两侧土地面积不变，请在图中画出改动后的小路，并说明理由．图4－2－24解：连结EG ，过点F 作FH ∥EG ，交AD 于点H ，连结EH ，则EH 就是所求作的直路，作图及理由略．14．[2013·济宁]如图4－2－25，矩形ABCD 的面积为20 cm 2，对角线交于点O ；以AB ，AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB ，AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B ；…；以此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为( B )图4－2－25A.54 cm 2 B.58 cm 2 C.516 cm 2D.532 cm 2【解析】设矩形ABCD 的面积为S ＝20 cm 2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的12 ，∴平行四边形AOC1B的面积＝1 2S.∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的1 2，∴平行四边形AO1C2B的面积＝12×12S＝S22，…，以此类推，平行四边形AO4C5B的面积＝S25＝2025＝58(cm2)．故选B.。
平行四边形及其性质2
平行四边形及其性质2平行四边形是一个几何形状，具有特殊的性质和特征。
在本文中，我们将继续讨论关于平行四边形的一些重要性质和性质。
性质1：对角线互相平分在平行四边形中，对角线互相平分。
也就是说，平行四边形的两条对角线相交于一个点，且这个点将两条对角线分为相等的两段。
证明：考虑一个平行四边形ABCD，其中对角线AC和BD相交于点E。
我们要证明AE = CE和BE = DE。
根据平行四边形的定义，AB ∥ CD和AD ∥ BC。
由此我们可以得出以下结论：∠AED = ∠CEB（同位角的性质，由AB ∥ CD）∠EAD = ∠EBD（同位角的性质，由AD ∥ BC）因为∠AED + ∠EAD = 180°（补角的性质），所以∠CEB + ∠EBD = 180°。
这意味着四边形CEBD是一个内角和为180°的四边形。
根据四边形内角和为180°的性质，我们知道∠CED + ∠EBD = 180°。
由于∠CEB + ∠EBD = 180°，我们可以得出∠CED = ∠AED。
同样的，由于∠CEB = ∠AED，我们可以得出∠CED = ∠CEB。
由于∠CED = ∠CEB，我们可以得出CE = CE（共边相等性质）。
同理，我们可以证明AE = DE。
因此，我们证明了对角线互相平分的性质。
性质2：对角线互相垂直在平行四边形中，对角线互相垂直。
也就是说，平行四边形的两条对角线相交于一个垂直的角。
证明：考虑一个平行四边形ABCD，其中对角线AC和BD相交于点E。
我们要证明∠AEB = 90°。
根据平行四边形的定义，AB ∥ CD和AD ∥ BC。
由此我们可以得出以下结论：∠AED = ∠CEB（同位角的性质，由AB ∥ CD）∠EAD = ∠EBD（同位角的性质，由AD ∥ BC）因为∠AED + ∠EAD = 180°（补角的性质），所以∠CEB + ∠EBD = 180°。
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AB和BE
；
2．如图， ABCD中，∠A＝45°，BC＝ 2 ，
则AB与CD之间的距离是 1 的面积是 3
D C
；若AB＝3，四边形ABCD ．
C D
，ΔABD的面积是 1.5
3
45°
2
B
A
B
（第1题图）
E
A
构造直角三角形求两平行线间的距离
3、如图，E是直线CD上的一点。已知 52cm ， (1)△ABE的面积为 ______cm 26
S
3
S
4
S S S S
1 3 2
4
思考：
若将红色阴影面积记为S1，紫色区域面积为S2，黑色阴影面积为S3， 橙色区域面积为S4，则S1，S2，S3，S4之间的关系?
小结 两个推论 1、夹在两条平行线间的平行线段相等 2、夹在两条平行线间的垂线段相等 一个概念 夹在两条平行线间的垂线段的长度，
叫做两条平行线间的距离 求平行线间距离的方法
老大
老三 老三
平行四边形的面积 已知 ABCD中，AE⊥BC于点E, AF⊥CD 于点F.若 AE=5，AF=10， ABCD的周长为48，求 ABCD的面积； A D F C
B
E
S = 底 ×高
合作学习
1）利用作业本上的横条，请任意画两条互 相平行的直线a、b，并在直线a上，任意画两条 夹在直线a,b之间的平行线段，并加以比较，你 能得到什么结果？
鱼塘，想使池塘的面积扩大1倍，又想保持核桃树不动，
如图，村子里有一四边形的池塘，在它的四个角的顶点 A、
并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实
现这一构想？若能，请你画出图形；若不能，请说明理 由。
Ａ
Ｄ Ｃ
Ｂ
小结
三种距离的定义:
1.两点间的距离 -----连接两点的线段的长度. 2.点到直线的距离 -----直线外一点到这条直的垂线段的长度. 3.两平行线间的距离 -----两条平行线中,一条直线上的点到另一条 直线的垂线段的长度
A
B
a
D
A
B
a
b
C
b
C AC＝DB
D
你能给出证明吗？
A
B
证明：
a
D
∵ AB∥CD, BC∥AD
∴四边形ABCD是平行四边形
（平行四边形的定义） ∴
C
A
B
AC = BD （平行四边形的性质） 平行线的性质定理：
b
、夹在两条平行线间的平行线段相 a 1等 .
2、夹在两条平行线间的垂线段相等.
C
D
b
合作学习 2)、如图，把一把三角尺的一条直角边沿着直线b移动。
2 2
ABCD的面积为
D
C
E
A
4
B
(2)若AB=4cm，则AB和DE间的距离为 _____cm 13
利用三角形面积求两平行线间的距离
4、已知
ABCD中，AB=20，AD=16，AB和
CD之间的距离为8，则AD和BC之间的距离为 10 ______
D C
A
E
B
利用面积相等求两平行线间的距离
例：
放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角 三角形，腰长为1.4m，现要将这个立柜搬过宽 为1.2m的通道，能通过吗？
.
练习： 如图 , 一块草地的中间有一条宽度不变的 弯 路 , A C ∥ B D , C E ∥ D F . 请给出一种方案, 把道路改直, 且草地的种植面 积 保 持 不 变 .
•答案:改直方案如下图:CM∥AE, DN∥BF.AM, BN 为改直后道路的两条边沿.
拓展提高
B、C、D处均种了一棵大核桃树。村子准备开挖池塘建养
52cm ， 利用三角形面积求两平行线间的距离 2 26 (1)△ABE的面积为 ______cm 13 (2)若AB=4cm，则AB和DE间的距离为 _____cm
如图，已知AD//BC，判断 S 是否相等，并说明理由。
还能找到其它面积相等的三角形吗？
ABC
与
SDBC
A
P
D
B
C
A
M
D
A
D
B
图1
C A
M
B
图
C
D
B
图3
C
思考： 如图阴影部分面积与 系？
ABCD面积的关
1 S 阴 2 S
ABCD
1．如图，四边形ABCD、DBEC都是平行四边形，那么 图中与CD相等的线段有
答案:△ABC1, △ABC2, △ABC3, △ABC4
探究活动
现 在 我 们 来 探 讨 以 下 问 题 : (1)若把图4-18的四边形ABCD改成一个三角形,并保持 面积不变, 可怎样改?你有多少种不同的改法? (2) 已知四边形 ABCD ( 图 4-18) . 若把它改成一个 以 AB 为一条底边的梯形或平行四边形 , 并保持面积 不 变 , 可 怎 样 改 ? 请 画 图 说 明
构成直角三角形求两平行线间的距离 利用面积相等求两平行线间的距离 利用三角形面积求两平行线间的距离
探究活动
先 观 察 图 4 - 1 7 , 直 线 l 1 ∥ l 2 , 点 A , B 在 直 线 l 2 上 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 在 直线 l 上 . △ ABC 1, △ ABC 2, △ ABC 3, △ ABC 4 这些三角形的面积有怎样的关系 ? 请说明理由 现 在 我 们 来 探 讨 以 下 问 题 (1)若把图4-18的四边形ABCD改成一个三角形,并保持面积不变, 可怎样改?你有多少种不 同 的 改 法 (2)已知四边形 ABCD (图4-18) . 若把它改成一个以 AB 为一条底边的梯形或平行四边 形 , 并 保 持 面 积 不 变 , 可 怎 样 改 ? 请 画 图 说 明
如图a∥b,AB⊥a于A,CD⊥b于C, 1)点B与点D的距离是指线段 2)点D到直线b的距离是指
BD
的长; ;
线段CD的长 3)两平行线a,b的距离是线段 AB 或 CD 的长; 4)线段AB的长可指 距离. A、B两点
ADΒιβλιοθήκη a或a、b两平行线之间
或点A到直线b的距离
B
C
b 或点B到直线a的距离
考考你
C
A
B D
请你来帮忙
你能帮他想想办法吗？ 成一个平行四边形？
老四想把土地分成相同的四块形状如图所示， 反过来想一想：利用如图的 4张小纸片，能不能拼
？
老四
请你来帮忙
请你来帮忙
S
S
2
1
练习2：广场上有一个平行四边形的花坛，分别种 有红.黄.蓝 绿.橙.紫6种颜色的花，如果有 AB//EF//CD，BC//GH//AD， 那么 下列说法错误的是（ C ） A.红花.绿花种植面积一定相等。 B.紫花.橙花种植面积一定相等。 C.红花.蓝花种植面积一定相等。 D.蓝花.黄花种植面积一定相等。
拓展提高 1、如图，已知平行四边形ABCD，以一组对边AD、 BC向形外作等边△ADE和等边△ BCF，连结BE、DF， 探索BE、DF的位置与大小关系。
2．如图，在
D
ABCD中，E是AB的中点，过点E作
F C
EF∥AD，交CD于E．求证：点F是CD的中点．
D
C
E
A
2
E
B
A
4
B
ABCD的面积为
3、如图，E是直线CD上的一点。已知
4.2平行四边形及其性质2
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终 于拥了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地 平均分给他的四个孩子，他的三个儿子想出了三种方案，都认为自 己是对的，你说他们分得对吗？ 老大 老四 老大 老二 老四 老二 老三 老大 老二 老三 老二 老四
观察三角尺的另一边与直线a交点处的刻度，刻度改变吗？
a
不变
b
通过上述实验，你发现了什么？
两条平行线中，一条
A
B
a
b
直线上的点到另一条直线
的距离处处相等。 C D
这个距离就叫做这两条平行线之间的距离。
线段AC的长或线段BD的长，就是 平行线a，b之间的距离。 注意:距离是垂线段的长，而不是垂线段