匀速运动点电荷产生的电磁场
电磁场的相对论变换
一、问题的提出电流是电荷的定向流动,而静止或运动都是相对于特定的参考系而言的;很自然地可以想到,若在一个参考系S 中静止的电荷,在S 系中观察只存在电场,在相对于S 系匀速运动的S'系中观察则同时存在电场和磁场；同样,在S 系中静止的两个电荷间只存在静电力,而在S'系中这两个电荷间不仅存在电的相互作用,还存在磁的相互作用;经典电磁学中感应电动势分为感生和动生两种,只具有相对意义;例如一个磁铁和一个线圈,当磁铁静止、线圈运动时,因线圈切割磁感应线而在其中产生动生电动势,此电动势是由磁场产生的洛伦兹力引起的；若线圈静止、磁铁运动时,线圈中因磁通量变化而产生感生电动势,此电动势是由涡旋电场引起的;上述两种情形是同一物理过程在两个不同参考系中观察的结果,得到不同的描述,这个问题也正是1905年爱因斯坦创立狭义相对论的那篇论文论动体的电动力学中一开始就提出的;物理现象不应随参考系而异;在不同参考系中,电磁规律的形式为何不同已建立的电磁规律是相对于哪个参考系的不同参考系中得到的电磁规律之间有什么相互关系电磁学中,无论速度多么低,伽利略变化都不再适用,解决这些问题要靠相对论;二、相对论力学的相关结论1、洛伦兹变换设有两个惯性系S 系和S'系,其对应的坐标轴互相平行,S'系相对S 系以速度V 沿x 轴正方向运动,在t=t'=0时刻两个参考系的原点重合;把时间写成虚变量w=ict,以x,y,z,w 为闵可夫斯基空间中的时空四矢量,洛伦兹变换为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x i w w z z y y w i x x βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='=''-'=x i w w z z y y w i x x βγβγ 式中i 为虚数单位,c V =β,211βγ-=,c 为真空中的光速;若A x ,A y ,A z ,A t 与x,y,z,w 一样地服从洛伦兹变换,即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x xA i A A A A A A A i A A βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=xt t zz yy t xx A i A A A A A A A i A A βγβγ 则它也是个时空四矢量;2、四维速度相对于粒子静止的时钟所显示的时间间隔d τ=γdt 称为它的固有时,固有时是洛伦兹变换中的不变量;四维速度u x ,u y ,u z ,u t 定义为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧============ττττττττττττd d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d t ic t t w w u t v t t z z u t v t t y y u t v t t x x u t zz y y x x 四维速度是时空四矢量,它仍服从洛伦兹变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x x u i u u u u u u u i u u βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=x t t z z yy t x x u i u u u u u u u i u u βγβγ3、四维动量四维动量是由三维动量()z y x p p p p ,,=和能量W 组成的四维矢量m0为静质量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====tt zz y yx x u m c Wi p u m p um p u m p 0000 m 0为静质量;四维动量是时空四矢量,它仍服从洛伦兹变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x x p i p p p p p p p i p p βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=x t t zz yy t x x p i p p p p p p p i p p βγβγ三、电荷不变性与洛伦兹力公式的协变性在参考系变换时,物理量一般是变化的,规律的协变性要求规律中的物理量协同变换,而保持规律的形式不变;许多事实表明,一个物体中的总电荷量不因物体的运动而改变;例如实验测定速度为v 的带电粒子的荷质比满足22001cv m q m q -= 而质量随速度变化的相对论公式为2201c vm m -=比较这两个公式,暗示着带电体的电量q 不随运动速度而改变;又例如质子所带的正电量与电子所带的负电量精确相等;由于物体运动时,在其运动方向上长度将收缩,物体的体积也将收缩,故带电体的电荷密度不是不变量;若在某一参考系中观察到一个静止的带电体的电荷密度为ρ,在另一参考系中观察到带电体的运动速度为u,其电荷密度为ρ',则ρ'=γρ;相对性原理要求电磁学的基本方程在洛伦兹变换下要具有协变性;经典电磁学中的洛伦兹力公式B v q F⨯=只包含磁场力,不可能具有协变性,普遍的洛伦兹力公式应包含电场力,即()B v E q F ⨯+=这里的电场既包含库仑场,也包含涡旋场;四、电磁场的相对论变换公式在相对论力学中四维动量是时空四矢量,服从洛伦兹变化；但它对时间t 的导数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧========P c itW c i t p f t u m tp f t um t p f t u m t p t zz z y y y x x xd d d d d d d d d d d d d d d d 000 即由力的三个分量f x ,f y ,f z 和功率P 的组合并不构成时空四矢量;若把dt 换成固有时间隔d τ,或者说在上述四个量上乘以τd d t⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====ττττd d d d d d d d t P c i F t f F t f F t f F t zz y y x x就变成服从洛伦兹变换的时空四矢量()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='+='x t t z z yy t x x F i F F F F F F F i F F βγβγ ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='='='-'=x t t zz yy t x x F i F F F F F F F i F F βγβγ 电磁学中电荷q 受到的洛伦兹力和功率为()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+=-+=-+=z z y y x x x y y x z z z x x z y yy z z y x x E v E v E v q c iP ci B v B v E q f B v B v E q f B v B v E q f 乘以τd d t,得 ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=z z y y x x t x y y x z t z z x x z y t y y z z y x t xE u E u E u q c iF B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F根据洛伦兹变换下的协变性要求,从惯性系S 变换到惯性系S',上式应该具有的形式为()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧''+''+''='⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+''-='⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+''-='⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+''-='z z y y x x t x y y x z t z z x x z y t y y z z y x t xE u E u E u q c iF B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F B u B u E u c i q F利用S 系到S'系的洛伦兹变换,有()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫⎝⎛-+-=+='z z y y x x y z z y x t t x x E u E u E u q c i i B u B u E u c i q F i F F βγβγ把上式中的u x 、u y 、u z 、u t 作洛伦兹反变换,化简后得到()z z y y y z t x x u E c B q u E c B q u E c iq F '⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'--='βγβγβγ221由于上式对任意速度都成立,令其中u't 、u'y 、u'z 的系数与⎪⎭⎫⎝⎛''-''+''-='y z z y x t x B u B u E u c i q F 中u't 、u'y 、u'z 的系数对应相等,得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='='y z zz y yx x E c B B E c B B E E βγβγ 同样的方法运用到其他分量,得到电磁场的洛伦兹变换公式为()()⎪⎩⎪⎨⎧⋅+='⋅-='='y z zz y y x xB V E E B V E E E E γγ ()()⎪⎩⎪⎨⎧'⋅-'='⋅+'='=y z zz y y xx B V E E B V E E E E γγ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫⎝⎛+='='y z z z y y x x E c V B B E c V B B B B 22γγ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'='=y z zz y y xx E c V B B E c V B B B B 22γγ五、运动的点电荷的电场考虑一个电量为q 的点电荷静止于S'系的原点,它在所产生的电场为()304r r qE ''=' πε其分量为()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧''='''='''='30330444r z q E r y q E r x q E z yxπεπεπε 式中()()()222z y x r '+'+'=';S'系中不存在磁场,即0='='='z y x B B B现设参考系S'系相对S 系以速度v 沿x 轴正方向运动,两个参考系对应的对比澳洲相互平行且在t=t'=0时刻两个参考系原点重合,则S 系中的电场E就是所求的运动的点电荷的电场;利用洛伦兹变换公式,得()()()[]()()[]()()[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-⋅=''⋅='=++-⋅=''⋅='=++--=''='=232222030232222030232222030444444z y vt x z q r z q E E z y vt x yq r y q E E z y vt x vt x q r x q E E z z y y x x γγπεγπεγγγπεγπεγγγπεπε 考虑t=0时刻,有z y x E E E z y x ::::=也就是说,电场强度E 与坐标轴之间的夹角等于径矢与坐标轴之间的夹角,或者说电场强度E的方向沿着以点电荷的瞬时位置为起点的径矢方向;考虑电场强度大小的分布()()()()322222222222220322222222200222021144⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++===z y x z y zy xq z y x z y x q E E E E t z y x t ββπεγγπε故()()23222202322222222220sin 114114θββπεββπε--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-==rq z y x z y z y x q E t此结果表明,运动的点电荷的电场强度的大小除了与r 2成反比外,还依赖于径矢与运动方向之间的夹角θ以及电荷的运动速率v,电场强度的大小不是各向均匀的;随着电荷的运动,电场强度的这种分布以同一速度向前运动;当点电荷速度v 较小,β<<1而可忽略时,电场近似为库仑场;电荷的速度越大,电场线在yOz 平面附近的密集越高,在β→1的极限情形下,极强的电场局限在yOz 平面内,运动电荷携带这样的电场高速运动;六、运动的点电荷的磁场根据电磁场的洛伦兹变换公式,可得点电荷匀速运动时空间的磁感应强度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='=-='-=='=y y z z z y x x E c v E c v B E c v E c v B B B 22220γγ写成矢量表达式为E v cB ⨯=21该式表明,点电荷匀速运动时,空间的磁场也是随时间变化的,它总是垂直于速度矢量和电场矢量所决定的平面;磁感应线是一些以电荷运动轨迹为轴的同心圆;在t=0时刻点电荷恰好处于S 系原点时,磁感应强度的大小为()()232222200sin 1sin 14θβθβπε--==c v r q B t电场与磁场是相互联系的,真空介电常数ε0与真空磁导率μ0之间的关系为2001c=⋅με 于是()()23222200sin 1sin 14θβθβπμ--==r qv B t与电场线的分布对应,磁感应线也在yOz 平面附近较为密集;电荷的速度越大,磁感应线在yOz 平面附近的密集程度越高;随着电荷的运动,磁感应强度的这种分布以同一速度向前运动;当电荷运动速度较小,β<<1而可忽略时,磁感应强度的分布为200sin 4r qv B t θπμ==写成矢量表达式为24r r v q Bt⨯==πμ这就是低速情形下匀速运动的点电荷产生的磁场的公式;作l I v qd ⋅=⋅的代换,可过渡到电流元产生的磁场的公式20d 4d rr l I B⨯⋅=πμ⎰⨯⋅=L r r l I B 20d 4 πμ因此,毕奥-萨伐尔定律是低速下的近似公式;不过若求闭合回路的磁场,对整个回路积分后,所得结果与严格的公式一致;电荷的速度越大,磁感应线在yOz 平面附近的密集越高,在β→1的极限情形下,极强的磁场局限在yOz 平面内,运动电荷携带这样的电场高速运动;。
匀速运动点电荷产生的电磁场课件
04 磁场的基本概念
磁场的定义
磁场：是存在于磁体、电流和运动电荷周围空间的一种特殊物质，它对处于其中的 磁体、电流和运动电荷施加力的作用。
磁场是由磁体或电流的周围空间中存在的一种特殊物质，它具有方向性和强弱性。
磁场是由磁体或电流的周围空间中存在的一种特殊物质，它具有方向性和强弱性， 对处于其中的磁体、电流和运动电荷施加力的作用。
有大小和方向。
在国际单位制中，磁感应强度的 单位是特斯拉（T），常用的单 位还有高斯（G）和奥斯特（Oe
）等。
05 匀速运动点电荷 产生的磁场
匀速运动点电荷的磁场分布
磁场线分布
匀速运动的点电荷会产生闭合的磁场 线，其分布与电荷的运动方向和速度 有关。
磁场强度
磁感线方向
磁感线的方向由右手定则确定，即右 手拇指指向点电荷运动的方向，其余 四指握拳，则四指的指向即为磁感线 的方向。
磁场强度与点电荷的运动速度和电荷 量成正比，与距离的平方成反比。
匀速运动点电荷磁场的特性
动态特性
由于点电荷在运动过程中，其产 生的磁场也在不断变化。
相对性
与相对论原理类似，匀速运动的点 电荷产生的磁场也具有相对性，即 观察者的参考系不同，所观察到的 磁场也会有所不同。
方向性
磁场具有方向性，即磁场线总是从 正电荷指向负电荷或无穷远处。
匀速运动点电荷产生的电磁 场课件
目 录
• 引言 • 点电荷的电场 • 匀速运动点电荷的电场 • 磁场的基本概念 • 匀速运动点电荷产生的磁场 • 点电荷电磁场的综合分析
01 引言
主题介绍
01
匀速运动点电荷产生的电磁场是 电磁学中的一个重要概念，它涉 及到电场和磁场的基本性质以及 它们之间的相互作用。
13-6 匀速运动点电荷的磁场
dN = nsdl
+ q
v v v dB µ0 qv × er ˆ B= = 2 dN 4π r
一个电荷产生的磁场
方向： 方向：垂直于
r v和
v v v dB µ0 qv × er ˆ B= = dN 4π r2 r 确定的平面， r 确定的平面，遵守右手螺旋定则
大小
µ0 qv sin θ B= 2 4π r
§13.8 利用安培环路定理求磁场的分布
例1 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 求无限长圆柱面电流的磁场分布。
R
系统有轴对称性， 系统有轴对称性， 解 圆周上各点的 B 相同 时过圆柱面外P r > R 时过圆柱面外 点做一圆周
r
I
L
0
∫ Bcosθdl = B dl = B2πr = µ I ∫
v v −µ0 I L B⋅ dl = L 2πr rdϕ ∫ ∫
= −µ0I
µ0 I
2πr2
I v r dϕ L
v v′ B r
θ
环路中不包围电流
v dl
v B 1
B1 =
µ0 I
2πr 1
B2 =
对一对线元来说
v v v v B1 ⋅ dl + B2 ⋅ dl
= Bdl cosθ1 + B2dl cosθ2 1 µ0 Irdϕ µ0 Ir2dϕ 1 = − =0 2πr 2πr2 1
1 2
µ0 I [θ + (−θ )] = 2π
=0
推广到一般情况
∫
说明： 说明：
L
r r B ⋅ dl = µ o ∑ I内
I3
电流分布
1）安培环路定理只适用于稳恒 ） 电流（闭合或伸展到∞ 电流（闭合或伸展到∞）； 2） I 流向与 绕向成右手 ） 内 流向与L绕向成右手 关系时I 为正， 关系时 内为正， I内 流向与 绕向成左手 流向与L绕向成左手 关系时为负； 关系时为负； 3）环路上各点的磁场为所有 ） 电流的贡献； 电流的贡献； 4） 磁场是有旋场 ）
大学物理 电磁场的相对论性变换
板内：
V
S系的电场分布： 板面很大 电荷均匀分布
O 板两侧为对称的均匀电场
板的运动 空间对称性部分破坏 场强不再与板面垂直
假设：
高斯定理 同理 （2）纵向电场变换：
一般结论：若S系相对S‘系以-V（或V）沿X轴反方 向（或正方向）运动，则
静止电荷的 电场分布
运动电荷的 电场分布
运动电荷对静止 电荷的作用力
11-7电磁场的相对论性变换
一 电场强度的洛伦仑兹变换
1、电荷的相对论不变性
氢分子 氦原子
运动状态的不同 电中性
同位素光谱
Байду номын сангаас
电荷的相对论不变性 在不同的参照系内，同一带电粒子的电量不变。
问题：如何求一个运动电荷的电场强度及对其 它电荷的作用？
2 电场强度的洛伦仑兹变换
Y
Y`
S
S`
关系？
x x’
（1）横向电场 静系S’: 板外：
O 相对论的速度变换式
的受力
电场力
磁场力 磁感应强度
说明了电场和磁场的相对性及电磁场的统一性
三 电场和磁场的洛伦仑兹变换 系：
S系： O （ ， 在 系中静止）
例：计算匀速运动的点电荷的电场。 为讨论方便，设一个点电荷 静 止地置于 系的原点 ，且 时刻S系的原点O与 层迭，则
q
洛伦仑兹变换，
时刻，有
结论：在S系中的观测者O看来， 运动电荷的电场仍沿以点电荷的瞬时 位置为起点的矢径方向，只是该电场 相对于O已不再是球对称的了。
q
二 电场力的洛伦仑兹变换 相对论力的变换式：
§8-4毕奥-萨伐尔定律
§8-4 毕奥—萨伐尔定律电场叠加原理点电荷电场+任意带电体的电场磁场叠加原理电流元的磁场+任意载流导体的磁场寻找磁场与场源的关系困难在于没有孤立的电流元毕奥、萨伐尔、安培等人对电流周围的磁场进行了大量研究，由拉普拉斯概括为毕奥萨伐尔定律.?IP *rlI d B d θlI d rBd 一、毕奥—萨伐尔定律电流元在空间任一P 点产生的磁场dB 与r 、⎝有关把闭合电流分成许多小段,元段dl 内电流密度与同向,乘积称为电流元.jdl dB 的大小2d sin d I l B k rθ=dB 的方向垂直于与组成的平面r2d d I l r B kr⨯= 毕—萨定律的数学表达式002d d 4I l r B rμπ⨯= 真空磁导率270AN 10π4--⋅⨯=μ在以Idl 为轴线的任一圆周上的各个点,由于距离r 一定,θ也一定,故dB 的大小都相同,方向处处沿圆周的切线方向.Bd PrlId πμ40=k任意载流导线在点P 处的磁感强度磁感强度叠加原理实验表明:磁感应强度B 遵从叠加原理.磁场叠加原理电流元的磁场+任意载流导体的磁场注意d B B=⎰ d B B =⎰与的区别θπμsin 42⎰⎰==lrdlI B d B例判断下列各点磁感强度的方向和大小.1、5 点：0d =B 3、7点：20π4d d RlI B μ=2045sin π4d d RlI B μ=2、4、6、8 点：02d d 4πI l r B rμ⨯= 毕奥—萨伐尔定律+++51234678lId RIPMNoa*1载流长直导线的磁场解方向均垂直于纸面向里Bd 二、毕——萨定律应用举例⎰⎰==MNrIdy dB B 20sin 4θπμ20sin 4rIdy dB θπμ=θθsin /,cot a r a y =-=rθdyy1θ2θB d θθ2sin /d d a y =⎰=21d sin π40θθθθμa IB )cos (cos π4210θθμ-=aI无限长载流长直导线的磁场aIB π20μ=PMNoI B+a1→θπθ→2I)cos (cos π4210θθμ-=aIB 1θ2θ半无限长载流长直导线的磁场aIB π40μ=21πθ→πθ→2)cos (cos π4210θθμ-=aIB PMNIB+a1θ2θ载流长直导线延长线上的磁场＊pMNIr02d d 4I l r B rμπ⨯= 载流长直导线延长线上的磁场B =0真空中,半径为R 的载流导线,通有电流I ,称圆电流.求其轴线上一点p 的磁感强度的方向和大小. 2 圆形载流导线的磁场290sin d π4d rl I B μ=解根据对称性分析0=⊥BrBd p*IxRolId⎰==ϕsin d B B B x xRpϕϕoBd rlI d x*222xR r +=rR=ϕsin ⎰=Rl rIRB π203d π4μrRrl I B x2d π4d μ=2/32220)(2R x IR+=μ圆形载流导线的磁场分布RIB 20μ=2）圆电流中心的磁场1）若线圈有N 匝圆电流轴线上的磁场3）半个圆电流中心的磁场RIB 2210μ=2/32220)(2R x IRB +=μ2/32220)(2R x IR B +=μN 讨论例3oI2R 1R *1010200π444R IR IR IB μμμ--=Ro I例2RI B 2410μ=O 点的磁感应强度方向垂直纸面向里选垂直纸面向里为正方向例4 两根导线沿半径方向引到铁环上A、B两点,并在很远处与电源相连,求环心O 的磁感应强度.解: O点的磁感应强度为1、2、3、4、5段载流导线在O点产生的磁感应强度的矢量和：O点在3和4的延长线上, 5离O点可看作无限远,故:,设：1圆弧弧长l1====2圆弧弧长l,2====圆的周长为l故设 为导线电阻率, S为截面积R1、R2分别为1导线和2导线的电阻, R1= I2R2= V AB, 因此B0= 0显然I1R++++++++++++++p *3载流直螺线管的磁场一长为L , 半径为R 的载流密绕直螺线管，总匝数为N ，电流I . 求管内轴线上的磁感强度.2/322202）（R x IRB +=μ解由圆形电流磁场公式o xxd x距p 点x 处取长为dx 的元段，其上有ndx 匝线圈，相当于dI=nIdx 的圆电流。
14稳恒磁场习题思考题
习题1414-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。
解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I IB R Rμθμπ==，方向：垂直纸面向外； 直导线在O点的磁感应强度：000020[cos30cos(150)]4cos602II B R Rμππ=-=，方向：⊗；∴总场强：01)23IB Rμπ=-，方向⊗。
14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。
（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。
解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2032222()I R B R z μ=+。
（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20132222[()]2P I R B a R x μ=++，右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20232222[()]2P I R B aR x μ=+-，1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向左，∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=2330222222[()][()]222I R a a R x R x μ--⎧⎫++++-⎨⎬⎩⎭；（2）因为P B 随x 变化，变化率为d Bd x，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。
对B 求一阶导数：d B d x 25502222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--⎧⎫=-++++-+-⎨⎬⎩⎭当0x =时，0d Bd x=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。
对B 求二阶导数：22()d d B d B d x d x d x==222057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ⎧⎫+-⎪⎪⎪⎪--+-⎨⎬⎪⎪+++++-+-⎪⎪⎩⎭当0x =时，202x d B d x==222072223[()]2a R I R a R μ-+， 可见，当a R >时，2020x d Bd x =>，O 点的磁感应强度B 有极小值，当a R <时，2020x d Bd x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，当a R =时，2020x d Bd x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。
变化的电磁场之匀速直线运动的电荷产生的位移电流和磁场
推导的磁感应强度与毕奥-萨伐尔定律推导的结果相同。
取圆的边界作为回路，回路上磁 场大小都相同，根据全电流定律
ID
q 2
(z2
a2v a2 )3/2
L1
H
ds
I
I
由于传导电流I = 0，可得位移电 D流与磁场强度的关系H2πa = ID，
磁感应 强度为
B
0 H
0qv
4π
(z2
a a2 )3/ 2
ID
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d D
dt
q [ 2
z2 a2 (v) z2 (v) / z2 a2
位移电流与距离
和圆的半径有关。
z2 a2 ]
{范例12.8} 匀速直线运动的电荷产生的
位移电流和磁场
如图所示，点电荷q以速度v向O点运动，电荷到O点的距离为 z。以O点为圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直，试计算通
过此圆面的电位移通量和位移电流。证明：根据全电流定律
{范例12.8} 匀速直线运动的电荷产生的 位移电流和磁场
如图所示，点电荷q以速度v向O点运动，电荷到O点的距离为 z。以O点为圆心作一半径为a的圆，圆面与v垂直，试计算通 过此圆面的电位移通量和位移电流。证明：根据全电流定律 推导的磁感应强度与毕奥-萨伐尔定律推导的结果相同。
E
q
2 0
( |
z z|
v q
θ φz
r
aO Rz
根据毕奥-萨伐尔定律可 得运动电荷的磁感应强度
B
04qπvr3根r 据位移电流和毕奥-萨E
大小为 B 0qv sin 0qva 伐尔定律求得运动电荷的
4πr 2
4πr 3
磁感应强度完全相同。
电磁学运动电荷的电场
x' x
结论： E x E x , E y E y , Ez Ez
1
1 v c
2
2
纵向场强不变，横向场强增加到 倍。
3
匀速直线运动点电荷的电场：
E
z
1 2 ˆ r 40 r 2 (1 2 sin2 ) 3 2 E Q
P
若 v c 得
r
E
Q 40 r
2
ˆ r
Q v
是 r 和 v 的夹角 注意：
x
低速情况回到库 仑定律。
4
E
1 2 ˆ r 2 2 2 32 40 r (1 sin ) Q
E 0,
Q 2 ( 1 ) 2 40 r
Q +
Q 1 E 2 40 r 2 (1 2 )1 2
变换到S系，为
Fx Fx qEx F y F y qE y Fz Fz qE 6z
电荷间的相互作用：
静
源 电 荷
F qE
q静
F qE F qE
动
F qE qv B
洛仑兹力
q动
7
v
E 2 E0,
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电场对运动电荷的作用力 电场对运动电荷q的作用力（电力）,与该电 荷的运动速度无关。即 F qE
用特例说明： S参考系： 无磁场； q运动。 电场（ Ex,Ey,Ez ）；
S'(q静止)参考系：
E Fx qE x Ex x qE x E F y qE y E y y qE y E z Fz qE z Ez qEz
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匀速运动点电荷的电场
把电场用球坐标表示：
E
q
2 2 0
1 2 3 2
4 a r (1bsin )
r ˆ
从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激 发的电场不再是球对称了.下面考察两个特殊 的位置:
1.θ=0
E
4 0 a r
2
q
1
2
1 ˆ r E0 2 a
ˆ r
所以其旋度为:
E
3qb sin cos ˆ0 4 a r 1 b sin
2 3 2 5/ 2 0
这就说明匀速运动的点电荷激发的 电场不再满足静电场环路定理!
三.匀速运动点电荷的磁场
事实上在上半部分中q1在q2就已经激发出磁 场了,但由于q2是静止的,所以不能通过洛仑 兹力检测出来,所以必须让q2动起来！
二.验证静电场高斯定理
4 a R 1b Sin q sin q d cos d 2 a 2 a 1b Sin 1
0 0 2 2 2 0 3 2
E ds d
2
q R sin
2
dFra bibliotek02
2
0
3 2
1 1 b
2
所以得到k系中的作用力
F
x
qq x
1 2 0
'
4 r
'3
;F
y
aq q y
1 2
'
4 r
0
'3
;F
z
aq q z
1 2
'
4 r
0
'3
Lorentz Transformations得到: x vt ' ' ' a x vt ; y ; y x z z v 1 c
1 2 12 2 2 2 2 3/ 2 0
1 2 21 2 2 2 3/ 2 0
12
上式可知牛顿第三定律在这种情况 下是不成立的
由作用力我们可以直接得到电场直角 坐标系下的表达式:
aq ( x vt )i yj zk E 4 a ( x vt) y z
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场减小为原 来的a的平方分之一。 2. θ=π/2
E
q
2 0
1 2 3 2
4 a r (1b)
r ˆ
aq
1 2
4 r
0
r ˆ aE
0
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场增强 为原来的a倍。
用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点 电荷所激发电场的差异：
2 2 2 3/ 2
由对称性,电场其垂直于导线:
a r E2 dx 2 2 2 3/ 2 4 0 a x r r 1 dx 3 / 2 2 4 0 a 2 r 2 x 2 a r a2 2 cos d 2 2 4 0 a r 2 2 0 r
设当k系与k’系的原点重合时t=t’=0
在k’系中可直接运用库仑定律:
qq x ' qq y ' qq z ' F ;F ;F 4 r 4 r 4 r
' ' 1 2 1 2 1 2 x '3 y '3 z 0 0 0
'
'3
根据狭义相对论力的变换公式
v F uF
二.检验静电场环路定理：
E 1 r sin
E
sin
E
r E 1 1 Er ˆ r sin r 1 rE E r ˆ r r 1 1 Er ˆ 1 Er ˆ r sin r
2.电子激发的电场
ˆ r 2r
由前面得到:
aq ( x vt )i yj zk E 2 2 2 2 4 a ( x vt) y z
1 0 3 2
因为电流是稳恒的,所以不妨取t=0
a dE 4
0
xi yj zk dx a x r
F B q2 (v2 B)
通过比较得到:
aq1 v1 B 2 2 4 0 y c
对一般情况有:
1 B 2 vE c
由前面得到的电场表达式得到磁场:
1 q1v sin ˆ B 2 3 2 2 c 4 2 0 a r (1 b sin ) 2 0 q1v sin ˆ 3 4 a 2 2 (1 b 2 r sin ) 2
' ' 1 ' ' ' 1 x x 2 x 2 x ' ' 1 x 1 x 2 2 2 1 y 2 1 2 y ' y 2 1 x 2 2 1 z 2 z ' 1 x 2
'
x
所以得到k系中的作用力
aq q v v t F 4 a v v t y
1 2 2 1 x 2 2 2 0 2 1 2
x v t ; y y; z 0
2
Lorentz Transformations得到:
x
'
x v1t v 1 2 c
'2 2
av2 v1 t ; y y; z 0
' '
r
'
x y z
'2
'2
a v2 v1 t y
2 2 2
2
同前面方法得到k’系中的作用力
2
0
0
bcos a
2 2
3 2
q 2 a b
2 0 3 2
1
dx
1 x a b
2 2 3 2
1
q 2
0
b
arctana b
arctana b
cosd
q
0
b
sin
arctana b 0
q
0
b
b
q
0
可见,以匀速运动点电荷为球心的球面 为高斯面是满足高斯定理的,其他任意 一个封闭的曲面都是满足高斯定理的, 证明同静电学中一样,详见胡友秋等编 著的电磁学p27页。
0 2 2 2
3 2
0
所以在这种情况磁场高斯定理是成立的
五.毕奥-沙伐尔定理的证明
有一根无限长通电直导线，设 其电子与离子的电荷线密度为λ, 求其距导线r处A的电磁场
该电场是由静止的离子和运动的电子 激发电场的合成
1.离子激发的电场
因为离子是静止的,由静电场的高斯定理:
E1 2rl l E1
2
3/ 2
' q q z ' F 0 4 r '
1 2 z 3 0
下面进行q2的速度在两个惯性坐标系中的转 换,从而求出在k系中的作用力
ux v2 ; u y uz 0
由狭义相对论速度变换公式:
v v u ;u u 0 vv 1 c
' 2 1 ' ' x y z 1 2 2
3/ 2
vv aq q y 1 c F 4 a v v t y
1 2 1 2 2 y 2 2 2 0 2 1
2
3/ 2
F 0
z
取t=0时刻来说明问题
vv aq q 1 c F 0; F ;F 0 4 y
1 2 1 2 2 x y 2 z 0
若q2相对于k系是静止的,则有 (t=0)
aq q F 0; F ;F 0 4 y
1 2 x y 2 z 0
比较两种情况得到：
aq q v v F 4 y c
1 2 1 y 2 2 0
2
正是因为q2在k系中以v2沿x轴正向运动 而多出这么一项,这就是Lorentz力!又 因为:
带电物体的总电量与它的运动状（即 参考系的选择）有关的话，那么我们 知道气体中例如氧气中的质子与电子 的运动状态不相同的，也就是说氧气 分子对外是有电性的，若说这个电量 很小不易被观测到，那么一个系统中 的大量分子的总和一定是容易测到的， 所以说明带电物体的总电量与其运动 状态无关。
2.我们知道电荷有一个很重要的特点： 电荷是量子化的。如果说电荷总量与 其运动状态有关的话，那么我们知道 在狭义相对论中标量一般是在原惯性 系K中测量，乘以或除以一个因子或者 其它形式。总之一般都是以V为自变量 的连续函数，这与电荷是量子化的相 对矛盾。所以总电量应该是一个与两 惯性系相对速度V无关的常量，即总电 量的不变原理。
2 2
r 所以k系中作用力的最终表达式:
F F F
x
'
x y z a x vt y 2 z 2
'2 '2 '2 2 2
aq1q2 4 0 aq1q2 4 0 aq1q2 4 0
x vt 2 2 a x vt y 2
' q q aq q v v t x ' F 4 r ' 4 a v v t y
1 2 1 2 2 1 x 3 2 2 2 0 0 2 1
2
3/ 2
' qq y qq y ' F 4 r ' 4 a v v t y