函数的零点、极值点、驻点与拐点的关系
函数的驻点和极值点的关系
函数的驻点和极值点的关系函数的驻点和极值点的关系________________________________________函数的驻点和极值点是数学中常见的概念，它们之间有一定的关系。
首先，让我们来了解一下它们的定义。
## 一、函数的驻点函数的驻点，也叫做函数的零点、根、交点，指的是函数f(x)在某个点x处取得值f(x)=0，即函数图像在该处与x轴相交，这样的点就叫做函数的驻点。
## 二、函数的极值点函数的极值点指的是函数f(x)在某个点x处取得最大值或最小值，即函数图像在该处可能有极大或极小值，这样的点就叫做函数的极值点。
## 三、函数驻点和极值点之间的关系函数驻点和极值点之间有一定的关系，即一个函数可能同时存在多个驻点和极值点，但是它们之间不能同时存在。
函数驻点是极值点的特例，当函数驻点处取得最大值或最小值时，它就变成了极值点；而极值点也可以变成驻点，当它处取得函数值f(x)=0时，它就变成了驻点。
## 四、如何找出函数的驻点和极值点1. 在函数表达式中化简：我们可以将表达式化简，得到其解析式，如把f(x)=x^2+2x+1 化为f(x)=(x+1)^2；2. 寻找其导数：当f(x)的导数f'(x)=0时，表明f(x)在该处取得驻点；当f'(x)不存在或者f''(x)<0时，表明f(x)在该处取得极大值；当f''(x)>0时，表明f(x)在该处取得极小值；3. 使用图形法找到驻点和极值点：通过画出函数图形，找到图形上的交点和拐点即可找到驻点和极值点。
总之，函数驻点和极值点是一个相互联系的关系。
它们之间有一定的关联性，而且也有一定的方法来寻找它们。
在学习中要注意将这两者进行区分，加以区分对待。
《高等数学》习题答案 (16)
练习三练习 3—11．讨论下面问题（１）举例说明罗尔定理中导数的零点不一定唯一．（２）拉格朗日定理和罗尔定理有何区别？它们之间有什么关系？（３）举例说明，拉格朗日定理中的条件只是充分条件而不是必要条件（举一个少一条件结论不成立的例子，再举一个不满足条件但结论成立的例子）． ２．验证x x x f -=3)(在区间]3,0[上满足罗尔定理的条件，并求出定理中的ξ． ３．函数25)(23-+-=x x x x f 在]0,1[-上是否满足拉格朗日定理条件，若满足，求出定理中的ξ．４．函数2)(x x f =与1)(3-=x x g 在]2,1[上是否满足柯西定理条件，若满足，求出定理中的ξ．５．设函数)2)(1)(2)(1()(++--=x x x x x x f ，证明0)(='x f 的根全为实数，并指出它们所在的区间．６．设)(x f 在],0[π上可导，证明存在一点ξ),0(π∈，使得0cos )(sin )(=+'ξξξξf f ．７．用拉格朗日定理证明，若)(x f 在),0[∞+上连续，且当0>x 时，0)(>'x f 而0)0(=f ，则当0>x 时，0)(>x f ．８．设)(x f 在),(b a 内可导，且C x f ≡')(，其中C 为常数，证明D Cx x f +=)(． ９．证明下列不等式（１）|||sin sin |b a b a -≤-； （２）当1≥x 时，ex e x≥； （３）当b a <<0时，221arctan arctan 1a ab a b b a b +-<-<+-；（４）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1； （５）当1,0><<n b a 时，)()(11a b nb a b a b nan n n n -<-<---．练习 3—2１．在某种变化趋势下，下列几种类型的极限哪些是未定式？哪些不是未定式？∞∞∞∞,1,0,1,0,0,0100． ２．若)()(limx g x f x ''∞→不存在（∞除外），则)()(lim x g x f x ∞→也不存在，对吗？为什么？３．试说明下列函数不能用洛必达法则求极限．（1）x x xx x sin sin lim+-∞→ ； （2）xx x x sin 1sinlim20→；（3）)2sin1ln(sin )1(lim21x x x x π+-→； （4）xx xx x e e e e --∞→-+lim ．４．利用洛必达法则求极限（1）0lim →x bx axsin tan ； (2) a x →lim)0(>--a ax x a a x ；(3) 0lim→x x x x x x sin cos --； (4) 0lim →x x xx 3sin arcsin -． (5) ∞→x lima x x ln ； (6) 2lim π→x 8sec 6tan +-x x ； (7) +→0lim x xx2tan ln 7tan ln ； (8) +→1lim x )1ln(ln -⋅x x ；(9) 1lim →x )1ln 1(--x xx ； (10) 1lim →x 11-x x ； (11) +∞→x lim xx 1)arctan 2(-π； (12) +→0lim x x x ；(13) -→2lim πx xx 2sin )(tan ； (14) 1lim →x 2tanx xπ．)0()()1(32)1ln(132→+-+-+-=+-x x o nx x x x x n nn ．练习 3—31．设0)(x x x f =在的邻近有连续的二阶导数，证明)()(2)()(lim020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→． 2．按)4(-x 的乘幂展开多项式435234+-+-x x x x ． 3．求函数x y =在40=x 的三阶泰勒展开式．4．求函数x y tan =的二阶麦克劳林公式． 5．求函数23)(2610++-=x x x x f 在10=x 处的泰勒展开式的前三项，并计算)03.1(f的近似值．练习 3—4１．下面命题正确吗？为什么？（１）若0>x 时，)()(x g x f '>'，则0>x 时，)()(x g x f >；（２）若)0()0(g f >，且当0>x 时，)()(x g x f '>'，则当0>x 时，)()(x g x f >； （３）若0)(=b f ，0)(<'x f )(b x a <<，则)(0)(b x a x f <<>；（４）若)()(b g b f =，)()(x g x f '<' )(b x a <<，则)()(x g x f >．2．确定下列函数的单调区间．（1）7186223---=x x x y ； （2）)0(82>+=x xx y ；（3）x e x y -=； （4） 212xxy +=； （5）)20(sin 2π≤≤-=x x x y ； （6）xx y 2)(ln =；（7）x x y ln 22-=； （8）)0())(2(2>--=a x a a x y ．3．证明下列不等式．（１）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++； （２）当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+；（３）当1,1>>x a 时，)1(11-<--x ax x a a；（４）当0>x 时，1ln ≥-x x ； （５）当0≥x 时，xxx +≥+1arctan )1ln(；（６）当0>x 时，6sin 3x x x ->．4．证明方程x x =sin 只有一个实根．5．若在),(∞+-∞上0)0(,0)(<>''f x f ，证明xx f x F )()(=在区间)0,(-∞和),0(∞+上单调增加．练习 3 — 51．下面命题正确吗？为什么？（１）极值点一定是函数的驻点，驻点也一定是极值点；（２）若)(1x f 和)(2x f 分别是函数)(x f 在),(b a 上的极大值和极小值，则)()(21x f x f >；（３）若0)(0='x f ，0)(0=''x f ，则)(0x f 在0x 处没有极值． 2．求下列函数的极值．（1）2332x x y -=； （2）242x x y +-=；（3）)1ln(x x y +-=； （4）xx y ln =； （5）x x y -+=1； （6）144322++++=x x x x y ； （7）x e y xcos =； （8）xxee y -+=2；（9）xx y 1=； （10）32)1(2--=x y ； （11）x x y tan +=； （12）)20(cos sin 33π<<+=x xx y ．3．设函数x bx x a x f ++=2ln )(在2,121==x x 取得极值，试定出b a ,的值，问此时)(x f 在21,x x 是取极大值，还是极小值？4．试证：如果函数d cx bx ax y +++=23满足条件032<-ac b ，则该函数无极值．5．试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．练习 ３—６１．求下列函数在给定区间上的最大值和最小值． （１）]2,2[523123-+-=x x y ； （２）]4,0[2x x y +=；（３）),(32∞+-∞=x y ； （４）]2,1[)1ln(2-+=x y ；（５）),0(ln ∞+=xx y ； （６）]1,21[12-+=xx y ； （７）]4,0[11+-=x x y ； （８）),(22∞+-∞=-xe x y ．２．从一块边长为a 的正方形铁皮的各角上截去相等的方块，把四边折起来做成一个无盖的方盒，为了使这个方盒的容积最大，问应该截去多少？３．一块半径为R 的圆扇形铁皮，做一个锥形漏斗，问圆心角ϕ取多大时，做成的漏斗容积最大？４．用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块， 问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？5．求内接与椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边长．6．求内接与半径为R 的球内且体积最大的圆柱体的高．７．轮船甲位于轮船乙以东75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙以每小时6海里的速度向北行驶，问经过多少时间两船相距最近？８．对物体的长度进行了n 次测量，得n 个数,,21x x ．．．n x ,．现在要确定一个量x 使得它与测得的数值之差的平方和为最小，x 应是多少？ ９．生产某种商品x 个单位的利润是200001.05000)(x x x L -+=（单位：元）．问生产多少个单位商品时，获得的利润最大，最大利润是多少？练习 ３—７１．求下列函数的拐点及凸凹间．（１）32x x y -=； （２）3553x x y -=；（３）xe x y ++=4)1(； （４）)1ln(3+=x y ；（５）x e y arccot =； （６）3x y =． ２．试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上． ３．a 及b 为何值时，点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点？４．试确定22)3(-=x k y 中k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点． ５．求下列曲线的渐近线．（１）x y ln =； （２）xe y 11+=；（３）23)1(-=x x y ； （４）2)21(1x x y -+=． ６．作出下列函数的图形．（１）2332x x y -=； （２）xe x y -=2；（３）22-=x x y ； （４）x x y arccot 2-=．练习 ３—８１．某产品生产x 单位的总成本C 为x 的函数2120011100)(x x C C +==，求 （１）生产900单位时的总成本和平均单位成本； （２）生产900到1000单位时总成本的平均变化率； （３）生产900和1000单位时的边际成本； ２．设某商品的需求函数为4145QP -=，总成本函数为Q C 30200+=，试求 （１）当100=Q 时，总收益、平均收益和边际收益； （２）当100=Q 时，总利润、平均利润和边际利润；３．求函数xe y 4120=和ax y =（a 为常数）的弹性函数．４．设某商品需求函数为4P e Q -=，求需求弹性函数及5,4,3===P P P 时的需求弹性．。
极值点、驻点、拐点的区别
极值点、驻点、拐点的区别⼀、定义不同1、极值点：若f(a)是函数f(x)的极⼤值或极⼩值，则a为函数f(x)的极值点，极⼤值点与极⼩值点统称为极值点。
极值点是函数图像的某段⼦区间内上极⼤值或者极⼩值点的横坐标。
极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
2、驻点：函数的⼀阶导数为0地点(驻点也称为稳定点，临界点)。
对于多元函数，驻点是所有⼀阶偏导数都为零的点。
3、拐点：⼜称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下⽅向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
⼆、性质不同1、在驻点处的单调性可能改变，在拐点处凹凸性可能改变。
2、拐点：使函数凹凸性改变的点。
3、驻点：⼀阶导数为零。
三、特征不同1、极值点不⼀定是驻点。
如y=|x|，在x=0点处不可导，故不是驻点，但是极(⼩)值点。
2、驻点也不⼀定是极值点。
如y=x³，在x=0处导数为0，是驻点，但没有极值，故不是极值点。
3、该曲线图形的函数在拐点有⼆阶导数，则⼆阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
扩展资料：1、零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的⼀个横坐标x0，⽽拐点指的是函数y=f(x)图像上的⼀个点2、驻点和极值点:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不⼀定是极值点。
例如上⾯举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。
此外,函数在它的⼀阶导数不存在时,也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0。
3、驻点和极值点与函数的⼀阶导数有关，拐点与函数的⼆阶导数和三阶导数有关。
参考资料：百度百科-极值点参考资料：百度百科-驻点参考资料：百度百科-拐点。
综上可知函数的极值点一定是驻点或导数不存在的点,因此求极值讲解
§5–5 函数作图基础知识导学1.曲线的凹凸性与拐点定义1 设函数y=f (x )在(a , b )内可导，（1） 若其图形位于每一点处切线的上方，即对任一x 0∈(a , b )有f (x ) > f (x 0)+ f ˊ(x 0)(x - x 0)则称函数f (x )在(a , b )内是凹的；（2）若其图形位于每一点处切线的下方，即对任一x 0∈(a , b )有f (x ) < f (x 0)+ f ˊ(x 0)(x - x 0)则称函数f (x )在(a , b )内是凸的；定义2 设函数y=f (x )在(a , b )内可导，x 0∈(a , b )，若x 0点是函数y=f (x )的凹凸部分的分界点，则x 0点称为函数y=f (x )的拐点。
定理1 （曲线的凹凸性判别法）设函数y=f (x )在区间(a , b )内有二阶导数，如果f ''(x ) >0，则f (x )在(a , b )内是凹的，如果f ''(x ) <0，则f (x )在(a , b )内是凸的。
定理2 （拐点的必要条件）设函数y=f (x )在x 0点有二阶导数，则x 0点是函数f (x )的拐点的必要条件是f ''(x )=0。
2.曲线的渐近线定义 如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一定直线的距离趋于零，则称此直线为该曲线的一条渐近线。
渐近线有三种类型：（1）若∞=→)(lim x f cx （或∞=-→)(lim x f cx ，∞=+→)(lim x f cx ），则x = c 是曲线y=f (x )的垂直渐近线；（2）若c x f x =∞→)(li m （或c x f x =-∞→)(lim ，c x f x =+∞→)(lim ），则y = c 是曲线y=f (x )的水平渐近线；（3）若a xx f x =∞→)(lim ，[]b ax x f x =-∞→)(lim ，则直线y = ax+b 是曲线y=f (x )的斜渐近线。
高等数学二
第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 〔了解〕设在某个变化过程中有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 的变化而变化。
当变量x 在一个非空实数集合D 上取某一个数值时，变量y 依照某一对应规则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为D)(x )(∈=x f y ，其中x 叫做自变量，y 叫做因变量或函数。
数集D 称为这个函数的定义域，记为D 或)(f D 。
当x 取定值x 0时所对应的y 的数值)(00x yf =或|0x x y =，称为当x x =0时，函数)(x f y =的函数值。
全体函数值的集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数)(x f y =的值域，记为Z 或)(f Z 。
2.分段函数 〔了解〕函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。
形如：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=D D x x g x x f y 21 )( )(例如：⎩⎨⎧>≤+=1, 1, 1x 32x x x y 就是定义在()∞+∞- , 内的分段函数。
3.隐函数 〔了解〕函数y 与自变量x 的对应规则用一个方程0),(=y x F 表示的函数，称为隐函数。
例如0422=-+y x 就是一个隐函数。
4.反函数 〔了解〕二、函数的简单性质1.函数的单调性 〔了解〕设函数)(x f y =在区间()b , a 内有定义，如果对于()b , a 内的任意两点21x x <，假设恒有)()(21x f x f ≤,则称)(x f 在区间()b , a 内单调增加； 假设恒有)()(21x f x f ≥,则称)(x f 在区间()b , a 内单调减少；假设恒有)()(21x f x f <,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调增加；假设恒有)()(21x f x f >,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调减少。
导数求零点个数的方法
导数求零点个数的方法导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来求函数的极值、拐点和零点等信息。
在本文中，我们将介绍如何利用导数来求函数的零点个数。
我们需要知道什么是函数的零点。
函数的零点是指函数取值为零的点，也就是函数图像与x轴相交的点。
例如，函数f(x)=x^2-1的零点为x=-1和x=1。
接下来，我们来看如何利用导数求函数的零点个数。
假设我们有一个函数f(x)，我们可以先求出它的导数f'(x)。
然后，我们需要找出导数f'(x)的所有零点。
这些零点就是函数f(x)的驻点。
驻点是指函数图像在该点处的斜率为零的点。
在这些点处，函数图像可能是极大值、极小值或拐点。
因此，我们需要进一步分析这些驻点的性质，以确定它们是极值点还是拐点。
具体来说，我们可以利用二阶导数f''(x)来判断驻点的性质。
如果f''(x)>0，则该驻点为函数的极小值点；如果f''(x)<0，则该驻点为函数的极大值点；如果f''(x)=0，则该驻点可能是函数的拐点。
我们需要注意的是，函数的零点可能不仅仅存在于驻点处。
例如，函数f(x)=x^3-x的导数f'(x)=3x^2-1的零点为x=±sqrt(1/3)，但是函数f(x)的零点还有一个x=0。
因此，我们需要将驻点和其他可能的零点都考虑在内，才能得到函数的所有零点个数。
利用导数求函数的零点个数需要以下步骤：求出函数的导数，找出导数的所有零点，分析这些零点的性质，将驻点和其他可能的零点都考虑在内，最终得到函数的所有零点个数。
这种方法可以帮助我们更快地求出函数的零点个数，从而更好地理解函数的性质和行为。
将导数与函数联系起来的方法
将导数与函数联系起来的方法1.斜率：导数是函数其中一点的斜率，代表了函数在该点附近的变化率。
当导数为正时，函数在该点上升；当导数为负时，函数在该点下降；当导数为零时，函数在该点取得极值。
3.函数的极值：导数为零的点，也称为驻点，可能是函数的极值点。
当导数在驻点左边为正，在右边为负时，函数取极大值；当导数在驻点左边为负，在右边为正时，函数取极小值。
4.极值点的判断：通过求导数的导数，也就是二阶导数，可以判断驻点是否是函数的极值点。
若二阶导数大于零，则驻点是函数的极小值点；若二阶导数小于零，则驻点是函数的极大值点。
5.函数的拐点：导数的变化可以帮助确定函数的拐点。
当导数从正变为负时，函数曲线从上凸转为下凸，可能有拐点；当导数从负变为正时，函数曲线从下凸转为上凸，也可能有拐点。
6.函数的增减性：导数可以告诉我们函数的增减性。
当导数为正时，函数递增；当导数为负时，函数递减；当导数为零时，可能是极值点。
7.函数的凸凹性：通过导数的变化可以判断函数的凸凹性质。
当二阶导数大于零时，函数曲线凸起；当二阶导数小于零时，函数曲线凹下。
8.零点和解：导数的零点也是函数的零点。
在一些情况下，求导能够帮助我们找到函数的解。
9.泰勒级数：导数在其中一点的值可以用泰勒级数来近似表示函数在该点附近的取值。
这种近似方法在数值计算和数学推导中非常有用。
总之，导数与函数密切相关，它帮助我们理解函数的各种特性，如增减性、极值点、拐点、凸凹性等。
导数是微积分的重要工具，它不仅仅是一个数值，更是对函数变化的一种描述和表达。
通过对导数的研究和运用，我们能够更好地理解和应用函数的性质。
考研数学冲刺矩阵相似对角化要点及技巧
考研数学冲刺矩阵相似对角化要点及技巧考研数学冲刺矩阵相似对角化重点和方法★一般方阵的相似对角化理论这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。
事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
1、判断方阵是否可相似对角化的条件：(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。
【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。
2、求方阵的特征值：(1)具体矩阵的特征值：这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算;(2)抽象矩阵的特征值：抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。
★实对称矩阵的相似对角化理论其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。
这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。
这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。
最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
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在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如：有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。
但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。
还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如：“知识与阅读量成正比例关系。
”显然是不准确，甚至错误的。
人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。
但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。
例如：函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。
函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。
例如：f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。
函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。
当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。
例如：f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。
或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。
且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。
再如：g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。
函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。
但函数的驻点不一定是函数的极值点。
当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。
例如：f(x)=x^3，x=0是函数的驻点（也是零点），但不是极值点。
我们常常从函数的驻点中找极值点。
函数的拐点是函数的凹凸性发生变化的点，或者是函数二阶导数为零，且三阶导数不为零的点。
例如：f(x)=x^3，x=0是函数的拐点（也是驻点
和零点，但不是极值点）。
再如：g(x)=x^4，x=0是函数的驻点、极小值
点和零点，但不是函数的拐点。
最后，需要说明的是，这里说的函数的零点、极值点、驻点和拐点都是一个实数，并非几何意义上的点。