高等数学(上)期末复习
大一高数期末必考知识点
大一高数期末必考知识点在大一学习高等数学期末考试前，理解和掌握一些必考的知识点非常重要。
本文将为大家整理和归纳一些大一高数期末必考的知识点，旨在帮助同学们更好地复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的概念和性质：了解函数的定义、自变量、因变量、定义域、值域等概念；掌握常见函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
2. 极限的概念和运算：了解函数极限的定义和性质；掌握常见函数的极限运算法则，包括四则运算、复合函数、比值函数等。
3. 无穷大与无穷小：理解无穷大与无穷小的定义与性质；熟悉无穷大与无穷小的比较、运算和基本性质。
二、导数与微分1. 导数的定义：掌握导数的定义及其几何意义；了解导数与函数图像的关系，如切线、法线等。
2. 常见函数的导数：熟悉常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；掌握导数的基本运算法则，如四则运算、链式法则和反函数求导等。
3. 高阶导数与隐函数求导：了解高阶导数的定义和求法；掌握隐函数求导的方法和技巧。
4. 微分的概念和应用：理解微分的定义和几何意义；掌握微分的基本运算法则，如四则运算、复合函数等；熟悉微分在近似计算、极值问题和曲线图像的应用。
三、积分与定积分1. 不定积分与原函数：了解不定积分的定义和性质；掌握基本积分表和常用积分公式；熟悉原函数的计算方法和性质。
2. 定积分的概念和性质：理解定积分的定义和几何意义；了解定积分的性质，如线性性、区间可加性等。
3. 计算定积分：掌握定积分的计算方法，如换元积分法、分部积分法等；熟悉定积分在曲线长度、曲线面积和物理应用中的计算。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：了解微分方程的定义和基本术语；熟悉常微分方程和偏微分方程的区别和特点。
2. 常微分方程的解法：掌握常微分方程的求解方法，如可分离变量方程、一阶线性方程、二阶线性齐次方程等。
3. 微分方程的应用：熟悉微分方程在生物学、物理学、经济学等领域中的应用，如人口增长模型、衰变模型、物种竞争模型等。
高数期末必考知识点总结大一
高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。
期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。
本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。
一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。
2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。
3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。
2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。
4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。
2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。
3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。
4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。
2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。
3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。
五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。
2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。
综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。
在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。
2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。
3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。
4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。
5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。
6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。
7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。
8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。
9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。
10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
《高等数学(一)》期末复习题(答案)
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。
《高等数学一》期末复习题及答案
《高等数学（一）》期末复习题 一、选择题 1、极限2lim()xxxx 的结果是 （ C ） （A）0 （B） （C） 12 （D）不存在 2、方程3310xx在区间(0,1)内 （ B ） （A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根 3、)(xf是连续函数, 则 dxxf)(是)(xf的 （ C ） （A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sinxxy和直线0y所围的面积是 （ C ） （A）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) 5、微分方程2xy满足初始条件2|0xy的特解是 ( D ) （A）3x （B）331x （C）23x （D）2313x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(lnxx (B) )0(1lnxx (C) cos (0)xx (D) )2(422xxx 7、极限011lim(sinsin)xxxxx 的结果是（ C ） （A）0 （B） 1 （C） 1 （D）不存在 8、函数arctanxyex在区间1,1上 （ A ） （A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值 9、不定积分 dxxx12= （ D ） (A)2arctanxC (B)2ln(1)xC (C)1arctan2xC (D) 21ln(1)2xC 10、由曲线)10(xeyx和直线0y所围的面积是 （ A ） （A）1e (B) 1 (C) 2 (D) e
8、设sin1,yxx则()2f 1 9、 11(cos1)xxdx 2 10、 231dxx 3arctanxC 11、微分方程ydyxdx的通解为 22yxC 12、1415xdx 2 13、 sin2limxxxx 1 14、设2cosyx，则dy 22sinxxdx 15、设cos3,yxx则()f -1 16、不定积分xxdee Cx2e21 17、微分方程2xye的通解为 212xyeC 22222222222111120,201122xxxxxxxdyyyeyedyedxdxydyedxeCyyxyCeyey代入上式可得到所求的特解为或者 18、微分方程xyln的通解是 xyeC 19、xxx3)21(lim＝ 6e 20、,xyxy设函数则(ln1)xxx 21、)21(lim222nnnnn的值是 12
《高等数学》(第一学期)期末试题
《高等数学》（第一学期）期末试题一、选择题（每小题4分，共24分）1、f(x)＝|x|在x ＝０处 （ ）A 连续且可导B 不连续不可导C 连续但不可导D 可导但不连续 2、下列命题中，不正确的是A /()()f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ B /()()f x dx f x c =+⎰ C /()0ba f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ D ()()f x dx F x c =+⎰，其中/()()F x f x = 3、如果直线(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则a = （ ）A 0B 2C －2D ±24、0sin 3sin 2limx xx→= （ ）A 23B 32C 0D 不存在 5、已知/(4)3f =，则0(42)(4)limh f h f h→+-= （ ）A 3 B23C 6D 9 6、下列方程中是微分方程的是 （ ）A 2350y x -+= B /43y x =+C 21y x =-D cos 0xdx =⎰二、填空题（每小题3分，共33分）7、1(1)lim x x x→∞+= 。
8、2221332lim n n n n n →∞+-=++ 。
9、若224y x x =+-，则在点（1，－1）处的切线方程为 。
10、若生产某种产品x 件的成本函数为2()0.15200C x x x =++，则边际成本函数为 。
11、某种汽车刹车后运动规律为319.20.4s t t =-，假设汽车作直线运动，则汽车在t = 4s 时的速度为 ，加速度为 。
12、y = 。
13、若sin 2x y e =，那么dy = . 14、微分方程22()24x y y x e '+=的阶数为 。
15、微分方程0xy y '+=的通解为 。
16、221x dx x=+⎰ 。
17、120(1)x dx -=⎰ 。
三、解答题：（18—22小题每小题7分，23小题8分，共43分） 18、求函数32391y x x x =--+单调区间与极值19、求32321y x x x =-+-的凹凸区间与拐点20、求320sin cos x x dx π⎰.21、求sin x e xdx ⎰.22、求方程30xy y '+=满足初始条件1|2x y ==的特解.23、求由1y x=，y x =，2x =，0y =围成的图形面积.。
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高等数学（上）复习目录第一章极限与函数 (3)第二章导数与微分 (8)第三章微分中值定理与导数应用 (11)第四章不定积分 (13)第五章定积分 (17)第六章定积分的应用 (19)高等数学（上）期末复习第一章 极限与函数一、重点概念1.数列{X n }有界是数列{X n }收敛的必要条件。
数列{X n }收敛是数列{X n }有界的充分条件。
即：数列{X n }收敛 ⇒数列{X n }有界（以上说明收敛的数列一定有界，有界的数列不一定收敛。
另外，如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在。
）2.ƒ(x)在x 0的某一去心临域内有界是)(limx f x x →存在的必要条件。
)(limx f x x →存在是ƒ(x)在x 0的某一去心邻域内有界的充分条件。
即：)(limx f x x →存在⇒ƒ(x)在x 0的某一去心临域内有界3. ƒ(x)当0x x →时的右极限ƒ(x 0+)及左极限ƒ(x 0-)都存在且相等是)(limx f x x →存在的充分必要条件。
4.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
（※）如出现sin ∞或者cos ∞。
做题时要配有说明。
(注：y=arctanx 为有界函数)5.复合函数的极限运算法则：[]A u f x g f u u x x ==→→)()(limlim 06.β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)7.间断点的类型：第一类间断点为左右极限都存在的间断点；第二类间断点为左右极限至少有一个不存在的点。
（注：找间断点找没有意义的点）8.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。
9.零点定理：设函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续，且ƒ（a ）与ƒ(b)异号，那么在开区间至少存在一点ξ,使ƒ(ξ)=010.介值定理：设函数y= ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，ƒ(a)=A 及ƒ(b)=B 。
那么，对于A 与B 之间的任意一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得ƒ(ξ)=C (a<ξ<b)。
11．可积可微，连续极限，可导连续可导⇒⇔⇒⇒ 二、题型方法总结1.求极限：（※）第一步就是判断极限的类型。
特别要注意的是极限的条件。
共有8种不定式。
(Ⅰ)00型不定式求极限步骤：a. 因式分解，有理化消掉零因子。
b. 变量代换c. 乘除运算利用等价无穷小d. 洛必达法则（有些极限中带有积分的注意用此法）e.泰勒公式（不常用）补充：等价无穷小公式当x→0时(※※)1sinx～x tanx～x (1-cosx) ～2x2arcsinx～x arctanx～xxln(1+x) ～x (e x-1) ～x log a(1+x) ～lna （a x-1）～xlna [(1+x)α-1] ～αx洛必达法则若函数和满足下列条件：⑴,；⑵ 在点a的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞）则∞型不定式求极限步骤（Ⅱ）∞a.同除无穷大量b.洛必达法则注：0·∞和∞-∞不定式可以转化为以上两种不定式。
重点是出现分母！（Ⅲ）1∞型不定式求极限步骤a.底数必须出现数字“1”，如果没有“1”则加“1”减“1”。
b.底数中除了“1”以外的数配倒数。
e之外的极限最好单独算。
运用的重要极限为：e n 11nn lim =+∞→）（计算此类问题的技巧：先配出来，再写原式，要写过程，防止出错。
2.极限，连续，可导，间断点问题。
①某点何时有极限？验证左右极限是否相等 ②何时连续？左极限=函数值，右极限=函数值，同时成立。
③何时可导？连续，左导数=右导数④间断点？分母为零的点，左右极限都存在即第一类间断点，否则，第二类间断点。
三、本章补充知识点： 1.反三角函数图像2.幂指函数的变换：)(ln )()(ln )()()(x f x g x f x g eex f x g ==3.指数函数的特殊性：对于0,e lim lim x =∞=-∞→+∞→x x 要注意。
第二章 导数与微分一、概念和求导题型 1. 函数在一点处的导数： ①xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()('00000lim lim②000)()()('limx x x f x f x f x x --=→2. 导函数：xx f x x f y x ∆-∆+=→∆)()('lim3. ƒ(x)在点x 0可导是ƒ(x)在点x 0连续的充分条件。
ƒ(x)在点x 0连续是ƒ(x)在点x 0可导的必要条件。
即：如果函数y=ƒ(x)在点x 处可导，则函数在该点必连续。
另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。
4. 函数ƒ(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。
5. 基本初等函数的导数公式（※※） （tanx ）＇＝sec 2x (cotx)＇=-csc 2x(a x)＇=a xlna (log a x)＇=xlna1(arcsinx)＇=2x-11(arctanx)＇=2x 11+（注：千万不要记混啊！！！！！）6. 反函数的求导法则：[ƒ-1（x ）]＇=)('1y f7. 高阶导数:①一些基本初等函数n 阶导数②莱布尼茨公式：(uv)(n)= u (n)v + nu(n-1)v ＇+u(n-2)v"+．．．+u(n-k)v (k)+．．．+ uv (n)8.幂指函数的导数①根据定义：②对数求导法（另对于复杂的根式计算也可使用此法）9.参数方程求导：对于的求导法则为（参数方程求导无论几阶导分母都为)('t α） 10.函数的微分: dx x f dy )('=千万不要忘记dx总结:幂函数、三角函数、指数函数的导数仍分别)(ln )()())((x f x g x g e x f =)()))((()(ln )()('='x f x g x g e x f ))(ln )(()(ln )('=x f x g ex f x g ))()()()(ln )(()(ln )(x f x f x g x f x g ex f x g '+'=⎩⎨⎧==)()(t y t x βα)()(t t dx dy αβ''=为幂函数、三角函数、指数函数。
11.微分近似计算:dy y ≈∆∆很小时xx x f x f x x f ∆≈-∆+)(')()( )()(')(x f x x f x x f +∆≈∆+12.ƒ(x)在点x 0可导是ƒ(x)在点x 0可微的充分必要条件。
13.求单调区间时，单个区间全闭，多个区间注意不要重叠。
14.求最值：先求极值点，后于端点值比较。
二、本章补充知识点①关于“1”的等式：x x 22csc 1cot =+（※※）x x 22sec 1tan =+（※※）②那些关于和or 差公式：③那些“完全”的公式32233b -3ab b 3a -a b)-(a +=bc ac ab c b a c b 222)a 2222+++++=++（第三章 微分中值定理与导数应用一、重点概念及解题步骤 1.拉格朗日中值定理：若函数在区间满足以下条件：①在上连续；②在上可导则至少有一个，使得。
2.如果函数在区间I 上的导数恒为零，那么在区间I 上是一个常数。
3.泰勒公式：① 佩亚诺余项：②拉格朗日余项：③ 麦克劳林展开：即令a=04.通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）5.曲线的凹凸性与拐点： ①曲线凹凸性的定义;),()(,2)()()2(,,),(,),()(212121内的图形是凹的在那么称恒有内任意两点如果对内连续在设b a x f x f x f x x f x x b a b a x f +<+②凹凸性的判定（易忘）③拐点定义：连续曲线上凹凸的分界点成为曲线的的拐点。
④拐点的求法：a.求出0)(''=x f 的根b.求出导数不存在的点c.对于所求的点来判断两侧的凹凸性d.看两侧符号，得出结论6.函数的极值问题：第二充分条件设函数ƒ(x)在x 0处具有二阶导数且ƒ‘（x ）=0，ƒ‘’（ｘ）≠０那么（1）当ƒ‘’（x 0）<0时，函数ƒ(x)在x 0处取得最大值； （2）当ƒ‘’（x 0）>0时，函数ƒ(x)在x 0处取得最小值。
;),()(,2)()()2(,,),(212121内的图形是凸的在那么称恒有内任意两点如果对b a x f x f x f x x f x x b a +>+.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在内具有二阶导数在上连续在如果b a x f x f b a x f x f b a b a b a x f <''>''第四章 不定积分一、重要概念和公式1.连续函数一定有原函数。
2.基本积分表中易忘公式：3.换元积分法： 第一类换元法:“凑”去除根号4.补充积分公式：⎰+=+C a x a x a dx arctan 122⎰++-=-C a x ax a a x dx ln 2122⎰-+=-2222ln a x x a x dx5.分部积分法：∫uv ＇dx=uv-∫u ＇vdx6.有理函数的积分：有理真分式有理假分式二、题型方法总结1.计算不定积分思考步骤综述：a.有理函数积分b.第二类换元法c.分部积分法d.第一类换元法2.第一类换元法中的规律：①对于sin2k+1xcos n x或sin n xcos2k+1x（其中k∈N）型函数的积分，总可依次做变换u=cosx或u=sinx②对于sin2k xcos2l x（k、l∈N），可降幂升角。
③对于sin m x和cos m x m为奇数，提出一个凑微分m为偶数，则降幂升角④对于tan n xsec2k x或tan2k-1xsec n x（k∈N+）可依次作变换u=tanx或u=secx⑤利用三角函数的积化和差公式3.第二类换元法：a.注意辅助三角形的运用b.注意定义域c.用整体代换时的标准为唯一解d.三角代换常见为根号下二次函数4.分部积分法：①凑微分的先后顺序：三角函数 幂函数 对数函数指数函数 优于 优于 反三角函数②对于⎰xdx e xsin 这类的积分要用两次分部积分。
同时两次分部积分中凑微分函数相同。
4. 有理函数的积分的一般方法① 有理函数化成多项式与有理真分式之和-综合除法 ② 有理真分式化成简单分式之和 a. 分解因式 b. 待定系数法 ③ 简单分式积分： a.⎰+-=-C a x A dx ax Aln b.⎰+-+-=-+-C a x n A dx a x A n n1)(11)( c.⎰+++dx qpx x BAx 2(p 2<4q) 当A=0时，分母配方 当A ≠0时，凑分母导数三、 本章补充知识点 有关三角变换的公式 1.两角和差公式2.积化和差公式3.二倍角公式第五章 定积分一、基本概念及重要公式1.微积分基本公式之原函数存在定理的推论 例：⎰∙=)()('))((]')([x a x x f dt t f ϕϕϕ⎰∙-∙=)()()('))(()('))((]')([x x x x f x x f dt t f ϕψψψϕϕ注：极限问题出现积分变限函数，就考虑导数，利用洛必达法则。