第三章第5节

[精典示例] [例 2] 如图 7 所示，在 x 轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为 B0 的匀
强磁场。位于 x 轴下方的离子源 C 发射质量为 m，电荷量为 q 的一束负离子， 其初速度大小范围为 0～ 3v0，这束离子经电势差为 U＝m2qv20的电场加速后，从 小孔 O(坐标原点)垂直 x 轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到 x 轴上，在 x 轴上 2a～3a 区间水平固定放置一探测板(a＝mqBv00)，假设每秒射入磁场的离子总 数为 N0，打到 x 轴上的离子数均匀分布(离子重力不计)。
第三章第5节
2020/8/16
一、利用磁场控制带电粒子运动 1.偏转角度：如图 1 所示，tanθ2＝Rr ，R＝mBvq0，则 tanθ2＝qmBvr0。
图1
2.控制特点：只改变带电粒子的__运__动__方__向__，不改变带电粒子的_速__度__大__小__。 3.应用：电视机显像管就是利用磁场控制电子的运动。 二、质谱仪 1.定义：测定带电粒子__荷__质__比___的仪器。 2.结构：如图2所示
qU＝12mv22－12m( 3v0)2， qv2B0＝mvr222 解得 r2＝2qmBv00＝2a 即离子恰好打在x＝4a的位置
离子束从小孔O射入磁场后打在x轴上的区间为[2a，4a]。
(2)由动能定理得：qU＝12mv22－12m( 3v0)2 由牛顿第二定律得：qv2B1＝mvr322 r3＝32a
[例4] 在两平行金属板间，有如图11所示的互相正交的匀强电场和匀强磁场。α粒子以 速度v0从两板的正中央垂直于电场方向和磁场方向射入时，恰好能沿直线匀速通过。 供下列各小题选择的答案有：
A.不偏转 C.向下偏转
图11 B.向上偏转 D.向纸内或纸外偏转
(1) 若 质 子 以 速 度 v0 从 两 板 的 正 中 央 垂 直 于 电 场 方 向 和 磁 场 方 向 射 入 时 ， 质 子 将 ________。 (2) 若 电 子 以 速 度 v0 从 两 板 的 正 中 央 垂 直 于 电 场 方 向 和 磁 场 方 向 射 入 时 ， 电 子 将 ________。 (3)若质子以大于v0的速度，沿垂直于电场方向和磁场方向从两板正中央射入时，质 子将________。 (4)若增大匀强磁场的磁感应强度，其他条件不变，电子以速度v0沿垂直于电场和磁 场的方向，从两板正中央射入时，电子将________。
若粒子带负电，其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为 O′点)，容易看出 R2＋R2cos 45° ＝d，将 R2＝mqBv0代入得 v0＝（2－ m2）Bqd，选项 C 正确。 答案 BC
[要点归纳] 1.质谱仪
对质谱仪和回旋加速器的理解
(1)加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得 qU＝12mv2。①
图3
2.核心部件：两个半圆金属_D__形__盒__。 3.原理：高频交流电源的周期与带电粒子在D形盒中的运动周期__相__同___，粒子每经过
一次加速，其轨道半径就大一些，粒子做圆周运动的周期__不__变__。 4.最大动能：由 qvB＝mRv2和 Ek＝12mv2 得 Ek＝q22Bm2R2(R 射入磁场后打到x轴的区间； (2)调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁 感应强度大小B1。
解析 (1)对于初速度为 0 的离子：qU＝12mv21，qv1B0＝mvr112
解得 r1＝mqBv00＝a 即离子恰好打在 x＝2a 位置对于初速度为 3v0 的离子：
图2
3.原理 (1)加速：S1 和 S2 之间存在着__加__速___电场。
由动能定理：qU＝12mv2。
(2)匀速直线运动 P1 和 P2 之间的区域存在着相互正交的_匀__强__磁__场__和_匀__强__电__场__。只有满足 qE＝qvB1，
即 v＝BE1的带电粒子才能沿直线匀速通过 S3 上的狭缝。 (3)偏转：S3 下方空间只存在__磁__场__。带电粒子在该区域做__匀__速__圆__周___运动。经半个
解得 B1＝43B0。 答案 (1)[2a，4a]
4 (2)3B0
[例3] 回旋加速器的两个D形金属盒间有匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到 加速，将两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子 源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大的 回旋半径为Rmax，求： (1)粒子在盒内做何种运动； (2)所加交变电流的频率及粒子角速度； (3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能。
粒子由 A 点射入，由 C 点飞出，其速度方向改变了 90°，则粒子轨 迹半径 R＝r，又 qvB＝mvr2，则粒子的比荷mq ＝Bvr。 (2)设粒子从 D 点飞出磁场，速度方向改变了 60°角，故 AD 弧所对
圆心角为 60°，粒子做圆周运动的半径 R′＝tanr30°＝ 3r，又 R′＝qmBv′，
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B′，该粒子仍从 A
处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，
求磁感应强度 B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t 是多少？
解析 (1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。
图10
设管的直径为 D，磁感应强度为 B，a、b 两点间的电势差是由于导电液体中电荷受 到洛伦兹力作用在管壁的上、下两侧堆积电荷产生的。到一定程度后，a、b 两点间 的电势差达到稳定值 U，上、下两侧堆积的电荷不再增多，此时，洛伦兹力和电场 力平衡，有 qvB＝qE，E＝DU，所以 v＝DUB，又圆管的横截面积 S＝14πD2，故流量 Q ＝Sv＝π4UBD。
带电粒子在有界磁场中的运动
[要点归纳] 带电粒子在有界磁场中运动的几个结论 (1)粒子进入直线边界磁场时，进、出磁场具有对称性，如图4中(a)、(b)、(c)所示。 (2)在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图中(d)所示。 (3)当速率一定时，粒子运动的弧长越长，圆心角越大，运动时间越长。 (4)平行边界：存在临界条件。如图中(e)、(f)所示。
解析 (1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大。
(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要等于粒子回旋频率，因为
T＝2qπBm，所以回旋频率 f＝T1＝2qπBm，角速度 ω＝2πf＝qmB。 (3)由牛顿第二定律知 qBvmax＝mRvm2maaxx，则 vmax＝qBmRmax，
所以 B′＝ 33B。 粒子在磁场中运动所用时间 t＝16T＝16×2qπBm′ ＝ 33vπr。
答案
(1)负电荷
v Br
3 (2) 3 B
3πr 3v
[针对训练1] (多选)如图6所示，左右边界分别为PP′，QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁
感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，
圆周运动后打到底片上形成一个细条纹，测出条纹到狭缝 S3 的距离 L，就得出了粒子
做圆周运动的半径 2E
R
＝
L 2
，
根
据
R
＝
mv qB2
，
可
以
得
出
粒
子
的
荷
质
比
。
q m
＝
v B2R
＝
__B_1_B_2_L____。
4.应用：质谱仪在__化__学__分__析___、原子核技术中有重要应用。 三、回旋加速器 1.构造图：如图3所示。
(2)偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心 力：qvB＝mvr2。②
(3)由①②两式可以求出粒子的半径 r、质量 m、比荷mq 等。其中由 r＝B1
2mU q
可知电荷量相同时，半径将随质量变化而变化。
2.回旋加速器的原理
(1)粒子每经过一次加速，其轨道半径就要增大，但粒子做圆周运动的周期不变。 (2)由 qvB＝mvR2和 Ek＝12mv2 得 Ek＝q22Bm2R2，随运动半径 R 的增加，Ek 增加。
在回旋加速器中获得的最大动能与 q、m、B、R 有关，与加速电压无关。
思考判断 1.利用质谱仪可以测定带电粒子的质量和分析同位素。( √ ) 2.回旋加速器的半径越大，带电粒子获得的最大动能就越大。( √ ) 3.回旋加速器的加速电压越高，带电粒子获得的最终动能越大。( ×) 4.利用回旋加速器加速带电粒子时，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感 应强度B和D形盒的半径R。( √ )
最大动能 Ekmax＝12mv2max＝q2B22mR2max。
答案
(1)匀速圆周运动
(2)2qπBm
qB m
(3)qBmRmax
q2B2R2max 2m
回旋加速器问题的两点提醒 (1)回旋加速器所加高频交流电压的周期等于粒子圆周运动的周期且不随 粒子半径的变化而变化。 (2)粒子的最终能量与加速电压的大小无关，由磁感应强度B和D形盒的半 径决定。
于电场力，质子带正电荷，将向上偏转，第(3)小题应选 B。磁场的磁感应强度 B 增大时，电子射入的其他条件不变，所受洛伦兹力 F 洛＝qv0B 也增大，电子带负电 荷，所受洛伦兹力方向向下，将向下偏转，所以第(4)小题应选择 C。
答案 (1)A (2)A (3)B (4)C
只要带电粒子的速度满足 v＝BE，即使电性不同，比荷不同，也可沿直线穿过 选择器，而其他速度的粒子要么上偏，要么下偏。因此利用这个装置可以达 到选择某一速度的带电粒子的目的。
解析 设带电粒子的质量为 m，带电荷量为 q，匀强电场的电场强度为 E，匀强磁 场的磁感应强度为 B。带电粒子以速度 v0 垂直射入互相正交的匀强电场和匀强磁场 中时，若粒子带正电荷，则所受电场力方向向下，大小为 qE；所受洛伦兹力方向 向上，大小为 qv0B。沿直线匀速通过时，显然有 qv0B＝qE，v0＝EB，即沿直线匀速 通过时，带电粒子的速度与其质量、电荷量无关。如果粒子带负电荷，则所受电场 力方向向上，洛伦兹力方向向下，上述结论仍然成立。所以，(1)(2)两小题应选 A。 若质子以大于 v0 的速度 v 射入两板之间，由于洛伦兹力 F 洛＝qvB，洛伦兹力将大