金融工程的基本分析方法—状态价格定价法
无套利均衡定价、风险中性定价法、状态定价法的区别和联系
无套利均衡定价法、状态定价法、风险中性定价法之间的区别和联系一、无套利均衡定价法无套利均衡定价法的思想是：中金融市场中任选一项金融商品，如果可以找到另外一些金融商品，按适当的比重把它们组合起来，得到的组合在未来任何情况下产生的现金流都于原来商品现金流一致，则这个组合就成为原来那个金融商品的复制品。
复制品的价格与原金融商品价格应该一致，否则就会产生套利行为。
二、状态定价法所谓状态价格是指在特定的状态发生时的回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。
如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格都是已知的，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，就可以对资产进行定价，这种定价方法就是状态定价法。
三、风险中性定价法这种定价方法假设所有投资者都是风险中性的。
在这种情况下，所有现金流都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
四、三种定价方法的区别（1）无套利均衡定价法和状态定价法的区别：状态定价法侧重于考虑资产未来不同状态发生的概率以及在各种状态下的回报，而无套利均衡定价就没有考虑资产未来的各种状态，（2）无套利均衡定价法和风险中性定价法的区别：◆风险中性定价法在无套利均衡分析的基础上做出了所有投资者都是风险中性的假设。
◆两种定价方法思路不同●无套利定价法的思路：首先构造一个由△股股票和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的△值3002果无风险利率用r表示，那么在没有套利机会的条件下该无风险组合的现值和该组合的成本一定相等，从而求出金融资产价格。
●风险中性定价法的基本思路：假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须与股票目前的价格相等，因此可以求出概率P。
然后通过概率P计算股票价格（3）在应用无套利定价方法进行定价时，必须假设市场是完备的。
如果金融市场是不完备的，则要定价的金融资产或资产组合不能利用市场上的可交易资产复制出。
金融工程第一章
风险中性定价法的核心
• 要注意的是，我们之所以能够使用风险中 性定价法，是因为我们假设市场是无套利 的和完全的。
• 完全市场是指所有证券都是可复制的。
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状态价格定价法
• 状态价格：在特定的状态发生时回报为1， 否则回报为0的资产在当前的价格。
• 如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的 价格都已知，那么我们只要知道某种资产 在未来各种状态下的回报状况，就可以对 该资产进行定价，这就是状态价格定价技 术。
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3. 金融工程的发展历史与背景
（课后阅读 课本第一章第二节）
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4. 金融工程的基本分析方法
（第12章之后讲）
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5. 预备知识
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衍生证券定价的基本假设
• 假设一：市场不存在摩擦 • 假设二：市场不存在对手风险
（Counterparty Risk） • 假设三：市场是完全竞争的 • 假设四：市场参与者厌恶风险，希望财富越
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A General case
• 假设一只无红利支付的股票，当前时刻t股 票价格为S，基于该股票的某个期权的价值 是f，期权到期日为T。在期权存续期内，股 票价格或者上升到Su，相应的期权回报为fu； 或者下降到Sd，相应的期权回报为fd。
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复制定价法
• 构造一个由一单位看涨期权空头和Δ单位标 的股票多头组成的组合，并可计算得到该 组合无风险时的Δ值。
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目录
• 绝对定价法与相对定价法 • 复制定价法、风险中性定价法与状态价格
定价法 • A General Case • 积木分析法
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积木分析法
• 金融工程产品和方案本来就是由股票、债 券等基础性证券和4种衍生证券构造组合形 成的，积木分析法非常适合金融工程
金融工程的基本分析方法 江南大学商学院考研专业课资料参考
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风险中性定价法
• 在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都 是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以 等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险 利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。 • 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假 定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资 者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有 情况。
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• A公司的价值完全可以用资本成本对收益 现金流的折现来算出 PVA=1000万元/10%=10000万元， • A的股票价格是 10000万元/100万股=100元/股。
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• B公司的资本中有4000万企业债券，年利 率是8%， • 每年要支付利息4000×8%=320万元。
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• 为了找出该期权的价值， • 可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ 单位的标的 股票多头组成的组合。 • 为了使该组合在期权到期时无风险， • Δ 必须满足下式： 11 －0.5=9 =0.25
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• 该无风险组合的现值应为：
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• 例2 • 假设有两家公司A和B，它们每年创造的息税 前收益都是1000万元。 • A的资本全部由股本组成，为100万股。金融市 场对该企业股票的预期收益是10%（即资本成 本）。 • B公司的资本中有4000万企业债券，年利率是 8%，假定该利率被市场认为是无风险利率，并 假定B公司的股份数是60万股 • 能否产生套利活动 ????
金融工程的基本分析方法
例子
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答案是肯定的
#2022
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套利过程是： 第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元） 第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。 第三步，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。 第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。 (借短贷长)
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早在20 世纪20 年代,凯恩斯(1923) 在其利率平价理论中,首次将无套利原则引入金融变量的分析中。 其后,米勒和莫迪格利亚(1958) 创造性地使用无套利分析方法来证明其公司价值与资本结构无关定理,即著名的MM 定理。 罗斯的套利定价(APT) 理论的产生使人们进一步认识到无套利思想的重要性。 经济学家们甚至将无套利思想看做是金融经济学区别于经济学的重要特征。罗斯曾指出:“大多数现代金融不是基于无套利直觉理论,就是基于无套利的实际理论。事实上,可以把无套利看做是统一所有金融的一个概念。”因此,无套利定价思想构成了金融经济学基本定理(也称资产定价的基本定理)
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10
11
9
c
0.5
0
1
e0.1 ×0.25
e0.1 ×0.25
股票A
看涨期权B
无风险债券C
我们还可以考虑利用股票A和无风险债券C来构建一个与看涨期权B损益相同的组合
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10x+y
11x+e0.1 ×0.25y
9x+e0.1 ×0.25y
状态价格定价法、风险中性定价法与无套利定价法的区别与联系
法则是在构建假想基本证券与风险 中性假设下，运用无套利定价 分 析 的 原理 ， 对 无套 利 定 价 法 的特 殊 化 操 作 ， 从 而达 到对 金 融 资产 定价问题 的化简与处理过程 的具体化。 状态价格定价法、 风险中性 定 价 法 同 时 也有 处 理 过 程 的 区别 。状 态 价 格 定 价 法 所 构 建 的 虚 拟
一
、
的价格 即会发生变化。 价格相对偏低 ， 即价值被低估的资产的价格 会上升， 而 价格相对较高价值被高估 的资产 的价格则会逐渐降低， 无套利定价法认为从长期来看 ，由于套利者存在所导致 的价格 的 调整过程会一直持续到市场不再存在套利的可 能性 。 当然， 无套利定价法存在一些前提假设 ， 即市场 是有 效的。但
原则 。 无套利定价法实际上就是一种复制技术 ， 将 某些金融工具与 假设则应该是最为基础 的金融市场运行原则。如果套利机会 总是 其他金融资产与交易策略组合起来，复制 出一个拥有相 同的现金 存在 ， 且不会 消失 ， 是无法想象的怪象 ， 因此无套利分析法可 以说 流的等价资产集合， 根据 已知的资产集合的价格 ， 来推算 出金融资 是 所 有 金 融工 具 定 价 问题 的基 石 ， 状态价格定价法 、 风 险 中 性 定 价
也就是说在无风险套利机会 出现时 ， 所 有的市场参与者都会进 定价原理进行 对比分析 ，可以得到无套利定价原理作为基本准则 法 ， 行 套 利 活 动 ，而 不 管其 对 风 险 的 厌恶 程 度 是 怎样 的 。 因此 可 以认 在金融工具定价 中互相渗透， 相辅相成 。 为， 无 套 利 定价 分 析 的过 程和 结果 与 市 场 参 与 者 的 风 险 偏 好 无 关 。 【 关键词 】 无风险套利 风险 中性 定价原理 因此在利用无套利均衡 定价原理对金融资产进行 定价 时，就可 以 运 用风 险 中性 定 价 法 。 无套 利 定 价 法 利用风 险中性定价法对金融工具进行定价，核心环节就是构 首先说 明的无套利定价法 ，是 目前整个金融工程操作过程 中 造 出无风险概率 ， 这个无风险概率不是真实 的概率 ， 而是在假 想的 最 基 本 的分 析 方法 。 套 利 简单 来 说 ， 就 是 买进 或 卖 出 某种 资产 以获 风险中性世界 中的概率。之后按照无风险中性概率算出未来 收益 取 无 风 险利 润 的 行 为 。 套 利者 利 用“ 买进 低 估 、 卖 出高 估 ” 的原 则 进 的预期值 ， 之后再按照无风险利率进行折现 ， 就可 以得到这个金融 行 套利交易所获得的利润 ， 来 自于 资产 间不合理 的价差 。 根据经济 资 产 当 前 的价 值 了 。 学 中最 基 本 的供 求 关 系 原理 ，金 融 市 场 中相 应 资产 或 者 金 融 工 具 风险中性定价法实际上只是无套利定价法在风险中性假设下
2第二章-金融工程的基本分析方法
一价法则
一价法则：金融市场要实现无套利机会，未 一价法则 来现金流相同的金融资产组合必须有相同的 价格。 未来现金流为0的组合，当前现金流必须为 0。 无风险组合只能获取无风险收益率。 一价法则又称为线性定价法则，是金融工程 等价复制原理的核心。
复制
复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与 复制技术的要点 被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合 的多头（空头）与被复制组合的空头（多头） 互相之间应该完全实现头寸对冲。 复制技术定价的原则：构造两个投资组合，如 复制技术定价的原则 果两者的期末价值相等，则其期初价值一定相 等，否则存在套利机会。 Va(t0)= Vb(t0)， Va(t)= Vb(t)
案例2-5 （续）
如果现货价格低于1400元，说明现货被低估， 则交易者可以做空期货的同时通过借贷以当 前价格购买现货，并持有一年到期后交割， 可以获得无风险利润。这样以来，小麦现货 市场的价格必然上涨； 反过来，如果当前的小麦现货价格高于1400 元，交易者卖空现货（如果允许卖空）的同 时做多期货，则同样可以获取无风险收益。 这样以来，现货市场价格必然下跌，回到其 合理的价格水平。
无套利定价的例子
案例2 期货的价格发现功能： 案例2-5 期货的价格发现功能
假设小麦一年后的期货价格是1500元/ 吨，市场无风险利率为5%，持有成本是30 元/吨，根据持有成本理论和无风险套利规 则（不考虑其他因素），则小麦当前的合理 价格大约应该为（1500-30）/（1+5%） =1400（元/吨）。
第三节 风险中性定价
鞅的定义
若随机过程{Yt}满足如下条件 （1）给定新息集Ft ，Yt是已知的 （2）E|Yt|<∞ （3）Et(Yt+τ)≡E(Yt+τ|Ft)= Yt对任意τ成立 则称{Yt}为对应于信息集Ft的一个鞅。
状态价格定价法
什么是状态价格定价法状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。
如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。
状态价格定价法的举例A是有风险证券，其目前的价格是P A，一年后其价格要么上升到uP A，要么下降到dP A。
这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态（概率是1-q）。
基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。
基本证券1现在的市场价格是πu，基本证券2的价格是πd。
购买uP A份基本证券1和dP A份基本证券2组成一个假想的证券组合。
该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流P A= πu uP A+ πd dP A或1 = πu u+ πd d分析及证明过程：证券A状态分析投资组合状态分析（uP A份证券1和dP A份证券2复制证券A）可见，证券A和投资组合在t时刻的现金流价值完全相同，根据无风险套利原理，0时刻他们的现金流必然相等，因此有下面等式成立：P A= πu uP A+ πd dP A或1 = πu u+ πd d反证法（解释无套利分析的具体过程）证明过程：假如P A > πu uP A+ πd dP A ,则将会产生如下（无风险）套利行为：（1）0时刻（即现在时刻）操作如下：做空（即卖出）头寸为1份的证券A，获得现金流收入为+P A；用获得的现金流入+P A，买入投资组合（uP A份证券1和dP A份证券2），现金流支出为-（πu uP A+ πd dP A），此时现金流净流入为M=P A -（πu uP A+ πd dP A）,根据假设得M>0，即0时刻现金流净收入为正（获得了利润或无风险收益）。
（2）t时刻（一年后）进行平仓操作，即将0时刻做空的证券A进行平仓，操作如下：由于t时刻手中持有的投资组合（uP A份证券1和dP A份证券2）的市值和证券A的市值完全相等，因此可以用投资组合对证券A 进行平仓，即卖出手中的投资组合，获得现金流入为+uP A（或+dP A）【价格上升时是uP A，价格下跌则是dP A】，然后再买入一份证券A，【此时证券A的价格正好为uP A（或dP A）】，现金支出为-uP A（或-dP A），因此t时刻现金流收入净额为0.由于（1）产生了正的无风险收入M,（2）产生了收入为0，因此整个套利行为产生了收入为M的正收益，成功获得了无风险套利。
3——第2章 金融工程的基本分析方法——状态价格定价法
▪ 风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里， 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所 有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得 现值。
➢ 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定
➢ 由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险
金融工程的基本分析方法
2021/6/3
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2.1 无套利定价法
▪ 定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资 产的多头或者空头，从而存在不承担风险 的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不 同。
▪ 金融工具的合成（compound）
➢ 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的 金融工具具有相同价值。
合成是建立在模仿的基础上
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的 组合。
▪ 在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前 的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。
▪ 在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元 之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美 元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取 的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇 价格。
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易 者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金 1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
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22.04.2020
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2.1 无套利定价法
▪ 定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资 产的多头或者空头，从而存在不承担风险 的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出必须使得套利者处于这 样一种境地：他通过套利形成的财富的现 金价值，与他没有进行套利活动时形成的 财富的现金价值完全相等，即套利不能影 响他的期初和期末的现金流量状况。
▪ 套利者借入1美元后，如果不进行套利活动， 他一年后将得到1.06美元；如果他实施了 套利活动，他一年后将得到1.98马克。这 两种情况都是从期初的1美元现金流出开始，
无套利定价机制的主要特征
▪ 无套利定价原则要求套利活动必须在无风险状态下进行
▪ 在一个不存在套利机会的有效市场上，投资者可以建立 起一个包含了衍生品（比如期权）头寸和基础资产（比 如股票）头寸的无风险的资产组合。
▪ 若数量适当，基础资产多头盈利（或亏损）就会与衍生 品的空头亏损（或盈利）相抵，因此在短期内该组合是 无风险的（理论上只对瞬间的时刻保持无风险，否则， 需要在这个资产组合中持续地调整基础证券与衍生证券 的投资比例）。
➢ 如果A资产（组合）的风险与B资产（组合） 完全相同，则已知A资产的收益，就可以推断 B的收益，从而得到B的资产的定价。
案例2-2 无套利定价法运用到期权定价中
▪ 假设一种不支付红利的股票，目前的市价 为10元，我们知道在3个月后，该股票价格 要么是11元，要么是9元。
▪ 假设现在的无风险年利率等于10%， ▪ 问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的
▪ 在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前 的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。
▪ 在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元 之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美 元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取 的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇 价格。
▪ 这是哪一种套利？
无套利的定价法的原理：
▪ 先看远期外汇定价的例子 ▪ 目前货币市场上美元利率是6%，马克利率
是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇 率是1 美元兑换1.8马克 (1:1.8) ▪ 问：一年期的远期汇率是否还是1:1.8？
▪ 套利者可以借入1美元，一年后要归还1.06美元；
▪ 在即期市场上，他用借来的1美元兑换成1.8马克 存放一年，到期可以得到1.98马克；
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易 者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金 1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于 1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿 还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不 同。
▪ 金融工具的合成（compound）
➢ 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的 金融工具具有相同价值。
合成是建立在模仿的基础上
案例2-3：模仿股票（the mimicking stock)
▪ 模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的 组合。
▪ 无套利原则：如果市场是有效率的话，市 场价格必然由于套利行为作出相应的调整， 重新回到均衡的状态。
➢ 注意：无套利并不需要市场参与的者一致行动， 实际上只要少量的理性投资者可以使市场无套 利。
➢ 在有效的金融市场上，市场不存在套利均衡。
案例 2-1
▪ 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，试问这样的市场行情能否产生套 利活动？
▪ 答案是肯定的。
▪ 回顾：连续复利的概念 若名义利率为r，一年（期）平均付息m次， 则相应的有效利率rm为
rm(1m r)m1 m li m rmer1
后者为连续复利，如果是T年（期），则
rm(1m r)m T1 m li m rmerT1
22.04.2020
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▪ 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000 万元）
到期末时两个现金流入的价值也必须相等。 于是1.06美元=1.98马克，即1美元=1.8679 马克。这个价格才是无套利的均衡价格。
▪ 无套利的定价法的原理：
▪ 无套利定价的关键技术是所谓“复制”技 术，即用一组证券来复制另外一组证券。
➢ 如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同， 根据无套利原理，二者可以相互复制
该股票欧式看涨期权的价值。
▪ 为了找出该期权的价值， 可构建一个由一单位看 涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。
➢ 若股票价格=11，则该期权执行，则组合收益为11Δ 0.5
➢ 若股票价格=9，则该期权不执行，则组合收益为9Δ
▪ 为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足 下式：
11Δ -0.5＝9 Δ ，即Δ =0.25 ▪ 组合价值为2.25元
▪ 根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风 险利率，所以组合的现值为
2.2e50.10.252.1元 9
▪ 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位 股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此， 从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足
1 0 0 .2 5 f 2 .1 9 f 0 .3 1 元
▪ 根据无套利原则，无风险组合的收益率必须等于无风险 利率。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益 率，基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均 衡条件
无套利定价法的应用
▪ 金融工具的模仿（mimicking ）
➢ 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的 金融工具具有相同或相似的盈亏状况。