轴对称图形与等腰三角形资料讲解
合集下载
秋八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形备课参考(教材知识盘点+典例诠释解法+中考无缝对接
题型 1 轴对称图形与轴对称的识别
题型典例❶ 如图 15-1-1 的图形中,哪些是轴对称图形?
重点剖析 (1) 轴对称指的是两个图形之间的一种特殊的位置 关系. (2) 成轴对称的两个图形沿着某一条直线折叠后能够完
全重合.
知识点 3 轴对称的性质和判定 ( 重点㊁难点)
中垂线.
题型典例❼ 如图 15 -1 -8,△ABC 和 △A′B′C′ 关于直线 MN
【 出题角度 1】 作轴对称图形的对称轴
题型 4 轴对称( 图形) 的作图题
题型典例❺ 如图 15-1-5,找出它们的对称轴.
图 15-1-8
J 55
解:如图 15-1-6 .
图 15-1-5
线,即为 EF.
S △ACD =
轴,所以△ABD 与△ACD 关于直线 AD 成轴对称, 所以 S △ABD =
思路导引: 因为 △ABC 是轴对称图形, 且直线 AD 是对称 1 S . 又 因 为 点 E, F 是 AD 上 的 任 意 两 点, 所 以 2 △ABC
图 15-1-3
【 出题角度 2】 根据对称轴补全轴对称图形
(3) 简单图形之间的轴对称关系( 掌握) ;
知识点 1 轴对称图形 ( 重点)
分能够完全重合.
常见的轴对称图形及它们的对称轴 学法 指南
图形名称 图形 对称轴 过顶点与对边中点 的直线 过相对顶点的直线 正六边形 和过相对边中点的 直线 对称轴 的条数 无数条 圆 过圆心的每一条 直线 6 对称轴 的条数 5
个共同的特点:图形的本身沿某条直线折叠后, 折线两旁的部 如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够 完
【 衔接知识】 线段㊁ 等腰三角形㊁ 正方形㊁ 圆等图形都有一
初中数学：轴对称-等腰三角形知识点归纳总结
初中数学轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.AB CP M N O角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.AB CP M N O三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
2.52等腰三角形的轴对称性(2)
E A F
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.
等腰三角形的性质PPT授课课件
HK版 八年级上
第三章 声的世界
第2节 声音的特性
第2课时 噪声的防治
习题链接
提示：点击 进入习题
1 噪声；空气 4 dB；不能
答案呈现
7 人耳 10 见习题
2D
5D
8C
3C
6 声源；传播过程 9 B
基础巩固练
8．[中考·山东潍坊]将教室的门窗关闭，室内同学听到的 室外噪声减弱。对该现象说法正确的是( C ) A．室外噪声不再产生 B．噪声音调大幅降低 C．在传播过程中减弱了噪声 D．噪声在室内的传播速度大幅减小
AB=AC,
∵
BD=CD，
AD=AD,
∴△BAD ≌△CAD (SSS).
∠B=∠C.
这样，我们就证明了性质1
感悟新知
归纳
知1－讲
我们可以发现等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边 对顶角”.
感悟新知
例 1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
16 B
答案呈现
17 B 18 见习题 19 见习题
基础巩固练
1．某市已经明令禁止在城区内燃放烟花爆竹，因为燃放 烟花爆竹除了会造成空气污染外，燃放烟花爆竹时的 巨大声音还是一种___噪__声___(填“乐音”或“噪声”)，爆 竹的巨大声音是__空__气____的振动产生的。
基础巩固练
7．[安徽霍邱月考]如图所示，在女子10 m气手枪比赛中，射 击时，很多运动员在耳朵里放一个耳塞或戴上耳罩，这 主要是在___人__耳___处减弱噪声。
能力提升练
解：(1)据题可知，“控制音量”是在声源处减弱噪声， 控制的是噪声的响度。
《等腰三角形的性质》ppt课件
若只知道一个角为60°，但无法确定该角是顶角还是底角，则不能判定为等边三角形 。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
等腰三角形的轴对称性质
化学实验
生物学实验
在生物学实验中，等腰三角形可用于 模拟生物体的形态和结构，如细胞结 构和生物体的平衡。
在化学实验中，等腰三角形可用于表 示化学反应中的物质变化和能量转化。
04
等腰三角形与其他几何图形的关系
与直角三角形的关系
直角三角形可以是等腰的，即两个锐 角相等，两腰也相等。
等腰直角三角形是一种特殊的等腰三 角形，它的两个锐角都是45度，两腰 相等，并且斜边是两腰的平方和的平 方根。
THANK YOU
感谢聆听
角度判定
如果一个三角形有两个底角相 等，则它是等腰三角形。
综合判定
如果一个三角形同时满足边长 相等和角度相等，则它是等腰 三角形。
02
等腰三角形的轴对称性
轴对称的定义
轴对称
如果一个平面图形关于某一直线对称 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
轴对称的性质
轴对称图形是全等图形，对称轴两侧 的图形可以完全重合。
角度相等
等腰三角形的两个底角相等，顶角与底角也相等。
等腰三角形的性质
80%
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，其对 称轴是穿过顶角的高线。
100%
角度恒定
等腰三角形的角度恒定，即两个 底角相等，顶角与底角也相等。
80%
面积恒定
等腰三角形的面积恒定，可以通 过底和高计算面积。
等腰三角形的判定
边长判定
如果一个三角形有两边长度相 等，则它是等腰三角形。
绘画和雕塑
等腰三角形在绘画和雕塑 中常被用来表现形式美感 和立体感，如人体结构和 自然形态。
服装设计
在服装设计中，等腰三角 形可以作为设计元素，用 于服装的款式和图案设计。
最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT
系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2： 证明：作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
简单的轴对称图形等腰三角形PPT学习教案
(等角对等边)
第12页/共32页
想一想
三边都相等的三角形是等边三角形也叫 正三角形 （1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称 轴（2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下 试试！
第13页/共32页
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高线重合（“三线合一”）， 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 等边三角形共有三条对称轴。 3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
1、等腰三角形的底角都是锐角(√ ) 2、钝角三角形不可能是等腰三角形(×)
第27页/共32页
达标练习二
3、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两 个内角为___7_0°__,7_0_°_或__4_0°__，__10_0_° 4、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两 个内角为_3_0_°_,_3_0°
第20页/共32页
二、判断： 1.等腰三角形一角的平分线，一边上的 中线，一边上的高都是它的对称轴（ ）
2. 等腰三角形的两角相等（ ）
３.三角形的高线.角平分线.中线三线合一（ ）
４、如图1：
A
∵AB=AC
∴∠1=∠2（ ）B
12
D 图1 E
C
第21页/共32页
三.如果ΔABC是轴对称图形，则它 的对称轴一定是（C ） A. 某一条边上的高。 B. 某一条边上的中线。 C. 平分一角和这个角的对边的直线。 D. 某一个角的平分线。
腰
腰
(3)两腰的夹角叫顶角。
(4)腰与底边夹角叫底角。
B 底角
C 底角
底 边
第4页/共32页
生活中的等腰三角形
第12页/共32页
想一想
三边都相等的三角形是等边三角形也叫 正三角形 （1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称 轴（2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下 试试！
第13页/共32页
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高线重合（“三线合一”）， 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 等边三角形共有三条对称轴。 3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
1、等腰三角形的底角都是锐角(√ ) 2、钝角三角形不可能是等腰三角形(×)
第27页/共32页
达标练习二
3、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两 个内角为___7_0°__,7_0_°_或__4_0°__，__10_0_° 4、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两 个内角为_3_0_°_,_3_0°
第20页/共32页
二、判断： 1.等腰三角形一角的平分线，一边上的 中线，一边上的高都是它的对称轴（ ）
2. 等腰三角形的两角相等（ ）
３.三角形的高线.角平分线.中线三线合一（ ）
４、如图1：
A
∵AB=AC
∴∠1=∠2（ ）B
12
D 图1 E
C
第21页/共32页
三.如果ΔABC是轴对称图形，则它 的对称轴一定是（C ） A. 某一条边上的高。 B. 某一条边上的中线。 C. 平分一角和这个角的对边的直线。 D. 某一个角的平分线。
腰
腰
(3)两腰的夹角叫顶角。
(4)腰与底边夹角叫底角。
B 底角
C 底角
底 边
第4页/共32页
生活中的等腰三角形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
01234
56789
想一想：下列英文字母中，
哪些是轴对称图形？
ACDEFGHI JLMNOPQR STUVWXYZ
你知道吗中国的汉字也
十分注重对称美。
中目王 申 木呈土 美
3.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗 哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴。
美国
澳大利亚
乌拉圭
加拿大
瑞典
挪威
英国
以色列
对于这部分的处理我借助了多媒体。我 把它定位四个部分 ：
1、赏轴对称 2、识轴对称 3、辨轴对称 4、做轴对称
自然界物体
北京天坛祈年殿
中外建筑
北京故宫
美国白宫
欧洲风情
艾 菲 尔 铁 塔
剪纸艺术
车标设计
交通标志
这些图形有什么共同特征？
（1）它们都是对称的。 （2）它们沿着某条直线折叠后， 直线两旁的部分能完全重合。
线段、角、等腰三角形 、长方形、正方形、菱
形、圆、椭圆等
想一想：圆有几条对称轴?
圆有无数条对称轴!对称轴是经过圆心的直线
找一找：
有的图形的对称轴这么多哇！
以后找对称轴我可得好好想想呀！
下面的图形是轴对称图形吗？如果 是，有几条对称轴？
6条
12条
2条
1条
想一想：0-9十个数字中，
哪些是轴对称图形？
做一做： 你能利用轴对称知识
为校运动会设计一个会 徽吗？
下面介绍用尺规作图，
作出线段AB的垂直平分线：
做法：
1、分别以点A、B为圆
心，大于
1 2
AB长为
半径（为什么？）画
弧交于点E、F。
2、过点E、F做直线。
则直线EF就是线段AB 的垂直平分线。
操作：
1、请用圆规丈量，比 较EA与EB的大小， FA与FB的大小。
证明：过点P作 PMOA，PNOB ， 垂足分别为M、N 因OC是角平分线， PMOA，PNOB ， 故PM=PN 由PD=PE，PM=PN，
得 R t P M D R t P N E
M D P N E P 则 P E O M D P 而 M D P P D O 1 8 0 P D O P E O 1 8 0
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等) B
D
C
交流：你有其他证法吗？学生通过探索会发现，
（2）做∠BAC的平分线，交BC边于D； （3）过点A做AD⊥BC。
思考：在前面的证明过程中线段AD具有哪些的性质和特征 ？
性质2： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边。
1 引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线
想一想
观察下图中的每组图案，你发现了什么？
像上述这样，把一个图形沿着某一
条直线折叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么称这两个图形成轴对称。这 条直线就是对称轴。折叠后重合的点叫 做对称点。
轴对 称图形
轴对 称
轴对称图形是 一个图形。
轴对称是两个图形 之间的关系。
想一想：我们所学过的哪些几何图形是轴对称 图形？
证明：过点D作DM⊥AB，DH⊥BC， DN⊥AC，垂足为M、H、N。 ∵BD平分∠CBM 且DM⊥AB，DH⊥BC， ∴DM＝DH 同理可证：DN＝DH ∴DM＝DN ∴ AD是∠BAC的角平分线
例2 如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上 一点，且PD=PE，求证： P D O P E O 1 8 0
例3 如图2，在ABC中，BAC的平分线与BC边的垂直平分
线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足 分别是M、N。求证：BM=CN。
证明：因AP是角平分线，PMAB，PNAC，
故PM=PN
又因PD是BC的垂直平分线，
故PB=PC
因PB=PC，PM=PN，
故 R t P B M R t P C N BMCN
2、在直线EF上再任取 两点M、N，MA与 MB、NA与NB的大 小呢？
问题:你能说说线段垂直平分线上点的特
征吗?
例：已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相
交于点P。 求证：点P在BC的垂直平分线上
操作：
（1）请你通过折叠的方 法找出一个锐角三 角形纸片每条边的 垂直平分线，观察 这三条垂直平分线， 你发现了什么？
轴对称图形与轴对称的区别与联系
轴对称
区
1、指两个图形的形状及位置
别
关系 2、指两个图形而言。
轴对称图形
1、是一个具有特殊形状 的图形
2、指一个图形说的
联
1、都有一条直线，并都沿这条直线折叠重合
2、如果将轴对称图形沿着对称轴分开，就是关于这条直
系
线轴对称；如果成轴对称的两个图形看成一个整体， 它又是轴对称图形。
（2）请你用尺规做出钝 角三角形、直角三 角形的三边的垂直 平分线，再观察是 否交于一点。
首先，我从性质1出发。
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
A
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C
证明：
（1）取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线折叠，直 线两旁的部分能够完全重合，那么这个 图形叫做轴对称图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
动动手，试一试
1、取一张纸； 2、在纸的一侧上滴一滴墨水，将纸迅 速对折、压平；
3、将纸打开铺平,观察所得到的图案,位 于折痕两侧的墨迹图案彼此有什么联系?
互相重合 对称
具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高
线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）
2、 探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你
会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？
（1）例 证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）
（2） 你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。
其它证法合作交流完成。）
A
E
D
B
C
习题：已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F
求证：DE＝DF
A
E
F
B
D
C
例1：如图，已知△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D。 求证：AD是∠BAC的角平分线。
56789
想一想：下列英文字母中，
哪些是轴对称图形？
ACDEFGHI JLMNOPQR STUVWXYZ
你知道吗中国的汉字也
十分注重对称美。
中目王 申 木呈土 美
3.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗 哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴。
美国
澳大利亚
乌拉圭
加拿大
瑞典
挪威
英国
以色列
对于这部分的处理我借助了多媒体。我 把它定位四个部分 ：
1、赏轴对称 2、识轴对称 3、辨轴对称 4、做轴对称
自然界物体
北京天坛祈年殿
中外建筑
北京故宫
美国白宫
欧洲风情
艾 菲 尔 铁 塔
剪纸艺术
车标设计
交通标志
这些图形有什么共同特征？
（1）它们都是对称的。 （2）它们沿着某条直线折叠后， 直线两旁的部分能完全重合。
线段、角、等腰三角形 、长方形、正方形、菱
形、圆、椭圆等
想一想：圆有几条对称轴?
圆有无数条对称轴!对称轴是经过圆心的直线
找一找：
有的图形的对称轴这么多哇！
以后找对称轴我可得好好想想呀！
下面的图形是轴对称图形吗？如果 是，有几条对称轴？
6条
12条
2条
1条
想一想：0-9十个数字中，
哪些是轴对称图形？
做一做： 你能利用轴对称知识
为校运动会设计一个会 徽吗？
下面介绍用尺规作图，
作出线段AB的垂直平分线：
做法：
1、分别以点A、B为圆
心，大于
1 2
AB长为
半径（为什么？）画
弧交于点E、F。
2、过点E、F做直线。
则直线EF就是线段AB 的垂直平分线。
操作：
1、请用圆规丈量，比 较EA与EB的大小， FA与FB的大小。
证明：过点P作 PMOA，PNOB ， 垂足分别为M、N 因OC是角平分线， PMOA，PNOB ， 故PM=PN 由PD=PE，PM=PN，
得 R t P M D R t P N E
M D P N E P 则 P E O M D P 而 M D P P D O 1 8 0 P D O P E O 1 8 0
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等) B
D
C
交流：你有其他证法吗？学生通过探索会发现，
（2）做∠BAC的平分线，交BC边于D； （3）过点A做AD⊥BC。
思考：在前面的证明过程中线段AD具有哪些的性质和特征 ？
性质2： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边。
1 引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线
想一想
观察下图中的每组图案，你发现了什么？
像上述这样，把一个图形沿着某一
条直线折叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么称这两个图形成轴对称。这 条直线就是对称轴。折叠后重合的点叫 做对称点。
轴对 称图形
轴对 称
轴对称图形是 一个图形。
轴对称是两个图形 之间的关系。
想一想：我们所学过的哪些几何图形是轴对称 图形？
证明：过点D作DM⊥AB，DH⊥BC， DN⊥AC，垂足为M、H、N。 ∵BD平分∠CBM 且DM⊥AB，DH⊥BC， ∴DM＝DH 同理可证：DN＝DH ∴DM＝DN ∴ AD是∠BAC的角平分线
例2 如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上 一点，且PD=PE，求证： P D O P E O 1 8 0
例3 如图2，在ABC中，BAC的平分线与BC边的垂直平分
线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足 分别是M、N。求证：BM=CN。
证明：因AP是角平分线，PMAB，PNAC，
故PM=PN
又因PD是BC的垂直平分线，
故PB=PC
因PB=PC，PM=PN，
故 R t P B M R t P C N BMCN
2、在直线EF上再任取 两点M、N，MA与 MB、NA与NB的大 小呢？
问题:你能说说线段垂直平分线上点的特
征吗?
例：已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相
交于点P。 求证：点P在BC的垂直平分线上
操作：
（1）请你通过折叠的方 法找出一个锐角三 角形纸片每条边的 垂直平分线，观察 这三条垂直平分线， 你发现了什么？
轴对称图形与轴对称的区别与联系
轴对称
区
1、指两个图形的形状及位置
别
关系 2、指两个图形而言。
轴对称图形
1、是一个具有特殊形状 的图形
2、指一个图形说的
联
1、都有一条直线，并都沿这条直线折叠重合
2、如果将轴对称图形沿着对称轴分开，就是关于这条直
系
线轴对称；如果成轴对称的两个图形看成一个整体， 它又是轴对称图形。
（2）请你用尺规做出钝 角三角形、直角三 角形的三边的垂直 平分线，再观察是 否交于一点。
首先，我从性质1出发。
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
A
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C
证明：
（1）取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线折叠，直 线两旁的部分能够完全重合，那么这个 图形叫做轴对称图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
动动手，试一试
1、取一张纸； 2、在纸的一侧上滴一滴墨水，将纸迅 速对折、压平；
3、将纸打开铺平,观察所得到的图案,位 于折痕两侧的墨迹图案彼此有什么联系?
互相重合 对称
具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高
线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想）
2、 探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你
会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？
（1）例 证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。）
（2） 你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。
其它证法合作交流完成。）
A
E
D
B
C
习题：已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F
求证：DE＝DF
A
E
F
B
D
C
例1：如图，已知△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D。 求证：AD是∠BAC的角平分线。