经典几何模型之“阿氏圆”

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经典几何模型之阿氏圆教学设计 (2)精选全文

可编辑修改精选全文完整版《经典几何模型之阿氏圆》教学设计一．教学目标根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为： 1.知识与技能了解阿波罗尼斯圆及其文化背景，掌握阿波罗尼斯圆的简单性质并能应用性质解决问题. 2.过程与方法通过具体例子引导学生自主合作、探究、抽象概括，对阿波罗尼斯圆由感性认识上升到理性认识的过程，体会从特殊到一般的数学研究方法，渗透数形结合的思想． 3.情感、态度与价值观通过学生对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力和抓主要矛盾解决问题的能力．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二．重难点分析重点：阿波罗尼斯圆及其性质的理解和应用．难点：阿波罗尼斯圆性质的推导及其应用．三．教学过程（一）课题引入提出问题：（2008年高考）已知在ABC ∆中，2AB AC ==，，求ABC S ∆的最大值. 解法一：（以下是大部分学生给出的解法）222424,cos 44x x x BC x AC B x x+--====，1=2sin 2ABCSx B ∆∴⋅⋅⋅=222x xx ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩22x ∴<<故当x =ABC S ∆大解法二：（也有小部分学生给出了这样的解法）设()()1,0,1,0A B -，动点C满足AC =，求点C 的轨迹，=即：()2238x y -+=11=222ABC y S AB C ∆∴⋅⋅≤⨯⨯=从以上两种解析过程可以看出，第二种解法简洁，又避免复杂计算，但是学生对于“AC =，点C 的轨迹是圆”这个知识点没有概念，其实这涉及到了数学的一个经典几何模型“阿氏圆”. 教材原题再现及推广：人教版必修2教材习题4.1B 组第3题：已知点M 与两个定点 (0,0),B(3,0)A 的距离之比为12，求动点M 的轨迹方程. 解：设(),M x y ，由已知得：1.2=即()2214x y ++=.探究：平面内到两个定点的距离的比值为常数λ（λ>0）的点的轨迹是圆？证明：两个定点不妨设(,0),B(,0)A a a -,动点,)C x y （,由题意可得||||CA CB λ=，λ=得：()()()()2222222112110x y a x a λλλλ-+--++-= 当=λ1时，0x =；当λ≠1时， 2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 圆心：221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，221a r λλ=-概念形成：阿氏圆：平面内到两个定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹.设计意图：先以高考真题为例暴露学生存在的问题，再以课本练习题引入，说明问题源于课本，但又高于课本，提醒学生重视课本，用好课本，发掘课本的潜在价值.（二）阿氏圆背景介绍阿波罗尼斯 (Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”)约公元前262～前190,古希腊人.阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”.在其巨著《圆锥曲线论》给出了一个著名的几何问题：“在平面上给定相异两点A 、B ，设点P 在同一平面内且满足，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，又称阿氏圆.这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理”．以阿波罗尼斯圆为背景的考题在历年高考中频频出现，备受青睐.《普通高中数学课程标准（实验）》在不同部分对数学文化的内涵和价值做了阐述，首次明确提出数学课程要“体现数学的文化价值”.设计意图：抽象概括，形成概念，渗透数学文化，体现课程标准．（三）阿氏圆定义的应用例1（2020年全国卷）已知12030F ,,F ,（-3）（）为双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左右焦点，若双曲线C 的渐近线上存在点P 满足: 122PF PF =，求b 的最大值. 解：122PF PF =()()2222343x y x y ⎡⎤∴++=-+⎣⎦即()22516x y -+= 即圆与渐近线有交点55 4.3b bc ==≤ 125b ∴≤变式训练：已知向量2a =，且2b a b =-，求cos a,b 的最小值. 解：设()()20a ,,b x,y ==2b a b =- 224b a b ∴=-()222242x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦ 2281639x y =⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭当OB与圆相切时，cos a,b 有最小值为2设计意图：解题思路一般有两种，一是以边长（或角）为自变量建立函数关系式，转化为函数最值问题来处理，但计算繁琐，浪费时间.二是建系，转化为阿氏圆的问题进行处理. （四）探究阿氏圆性质1.阿氏圆的圆心D 与两个定点的位置有什么关系？2.|||___,||AE AF|=____.EB |BF|= 3. 若PAPBλ=，圆心到定点的距离（DA 、DB ）与半径（r ）之间有什么等量关系?2r DA DB =⋅， 1DB r λ=⋅， DA r λ=⋅， 1||ABr λλ=-. （五）灵活应用例3 P 为圆O ：2236x y +=上任意一点, M,N 为定点,其中点M(3,0),若PNPMλ=则=λ ，定点N 的坐标________.解析：此题若用常规思路先求点P 的轨迹方程，再求半径和面积自然可以求解．但对于填空题大可不必“小题大做”，若应用性质可以很快确定点P 的轨迹.也可以直接代入上述结论计算半径和面积.例4 若3,5OA OB ==，P 为圆O ：2236x y +=上任意一点,则2AP BP +的最小值为；解：6,3,5r OA OB === 12OA=r ∴设2PH AP =∴ 圆O 是以A,H 为定点的阿氏圆212,OH r ∴=⨯= ()0,12H ∴ 213AP BP PH BP HB ∴+=+==小变式：求56AP BP +的最小值 .解：6,3,5r OA OB === 55666OB=r ∴⨯=⨯设65BG BP =∴ 圆O 是以B,G 为定点的阿氏圆636,55OG r ∴=⨯=36,05G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()656555395AP BP PA BP AP BG AG ⎛⎫∴+=+=+== ⎪⎝⎭小（六）模拟试卷链接1. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个单位向量，若a b ⊥，求232a c a b c +++-的最小值.2. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个向量，若44a =,b =，且0a b=⋅，若c 满足：220c a c+15=-⋅求4c a b c ++-的最小值设计意图：巩固提升，突出重点，突破难点，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．（七）课堂总结(1)在这节课中,你有什么收获? (2)你最感兴趣的是什么? (3)你想继续探究些什么? （八）再思考1. 平面内到两定点的距离之积（平方和、平方差）为定值的点的轨迹是什么？3. 平面内到一定点和一定直线（两直线）的距离之和（差、积、商）为定值的点的轨迹是什么？设计意图：由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，在此基础上提出可以继续探究的问题，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．四.教学反思本堂课我就解析几何中有关圆的定点、定值类问题中涉及阿波罗尼斯圆的一些问题，结合高考中以阿波罗尼斯圆为背景的考题.对阿波罗尼斯圆及其性质进行了一个简单的探究. 教学过程中我按照“创设情境---组织探索---知识应用1、教学思路清晰，学生思维活跃，求知欲强，对问题的解法能够提出自己的想法，总结也非常到位.2、大部分同学能够利用阿波罗尼斯圆巧妙解决定点、定值问题.3、充分运用多媒体及几何画板，化抽象为形象，突出了重点,化解了难点. 不足之处：1、由于学生尚未具有良好的思维水平和学习习惯，因而灵活运用知识的能力欠缺.2、学生的计算能力还有待提高.3、少数同学没有跟上上课的节奏，听起来有点吃力.在今后的教学中，我会加强对学生灵活运用知识能力和计算能力的培养，同时适当照顾后进生.。

最值模型之阿氏圆(解析版)

最值模型之阿氏圆“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

模型建立：PA+k∙PB的最小值。

阿氏圆钥匙：构造母子三角形相似阿氏圆口诀：两定一动阿氏圆，母子相似很简单。

第一步：确动点的运动轨迹(圆)，以点0为圆心、r为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)第二步：连接动点至圆心0(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP,OB。

第三步：计算这两条线段长度的比k;第四步：在0B上取点C,使得OC=k∙OP;OCOP=OPOB=k, ∠O=∠O，可得△POC∽△BOP可得：OCOP=PCPB=k, PC=k∙PB第五步：则PA+k∙PB≥PA+PC≥AC,即当A，P,C三点共线时可得最小值。

[提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1k，再构造△相似进行计算.]1如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是　17　．思路引领：在AB 上取一点T ，使得AT =1，连接PT ，PA ，CT ．证明△PAT ∽△BAP ，推出PT PB=AP AB=12，推出PT =12PB ，推出12PB +CP =CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题．答案详解：在AB 上取一点T ，使得AT =1，连接PT ，PA ，CT ．∵PA =2．AT =1，AB =4，∴PA 2=AT •AB ，∴PA AT =AB PA，∵∠PAT =∠PAB ，∴△PAT ∽△BAP ，∴PT PB =AP AB =12，∴PT =12PB ，∴12PB +CP =CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt △ACT 中，∵∠CAT =90°，AT =1，AC =4，∴CT =AT 2+AC 2=17，∴12PB +PC ≥17，∴12PB +PC 的最小值为17．故答案为17．一、选择题(共1小题)1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =4，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则12PB +PC 的最小值等于()A.4B.32C.17D.15试题分析：在AB 上截取AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，证明△APQ ∽△ABP ，可得PQ =12PB ，则12PB +PC =PC +PQ ，当C 、Q 、P 三点共线时，PC +PQ 的值最小，求出CQ 即为所求．答案详解：解：在AB 上截取AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，∵点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，∴AP AB=12，∵AP =2，AQ =1，∴AQ AP =12，∵∠PAQ =∠BAP ，∴△APQ ∽△ABP ，∴PQ =12PB ，∴12PB +PC =PC +PQ ≥CQ ，在Rt △ACQ 中，AC =4，AQ =1，∴QB =AC 2+AQ 2=17，∴12PB +PC 的最小值17，故选：C ．二、填空题(共7小题)2如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =4，以点C 为圆心，3为半径做⊙C ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是⊙C 上一个动点，则13PA +PB 的最小值为　17　．试题分析：在AC 上截取CQ =1，连接CP ，PQ ，BQ ，证明△ACP ∽△PCQ ，可得PQ =13AP ，当B 、Q 、P 三点共线时，13PA +PB 的值最小，求出BQ 即为所求．答案详解：解：在AC 上截取CQ =1，连接CP ，PQ ，BQ ，∵AC =9，CP =3，∴CP AC=13，∵CP =3，CQ =1，∴CQ CP=13，∴△ACP ∽△PCQ ，∴PQ =13AP ，∴13PA +PB =PQ +PB ≥BQ ，∴当B 、Q 、P 三点共线时，13PA +PB 的值最小，在Rt △BCQ 中，BC =4，CQ =1，∴QB =17，∴13PA +PB 的最小值17，故答案为：17．3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE =4，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则PA +14PB 的最小值为　1452　．试题分析：如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．利用相似三角形的性质证明PF =14PB ，根据PF +PA ≥AF ，利用勾股定理求出AF 即可解决问题．答案详解：解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．∵∠DCE =90°，DE =4，DP =PE ，∴PC =12DE =2，∵CF CP =14，CP CB =14，∴CF CP =CP CB，∵∠PCF =∠BCP ，∴△PCF ∽△BCP ，∴PF PB =CF CP =14，∴PF =14PB ，∴PA +14PB =PA +PF ，∵PA +PF ≥AF ，AF =CF 2+AC 2=12 2+62=1452，∴PA +14PB ≥1452，∴PA +14PB 的最小值为1452，故答案为1452．4如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为　410　．试题分析：延长OB 到T ，使得BT =OB ，连接MT ，CT ．利用相似三角形的性质证明MT =2DM ，求CM +2DM 的最小值问题转化为求CM +MT 的最小值．求出CT 即可判断．答案详解：解：延长OB 到T ，使得BT =OB ，连接MT ，CT ．∵OM =6，OD =DB =3，OT =12，∴OM 2=OD •OT ，∴OMOD =OT OM，∵∠MOD =∠TOM ，∴△MOD ∽△TOM ，∴DM MT =OM OT=12，∴MT =2DM ，∵CM +2DM =CM +MT ≥CT ，又∵在Rt △OCT 中，∠COT =90°，OC =4，OT =12，∴CT =OC 2+OT 2=42+122=410，∴CM +2DM ≥410，∴CM +2DM 的最小值为410，∴答案为410．5如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB ．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为6-23≤PM +2PN ≤6+23　．试题分析：PM +2PN =212PM +PN ，作MH ⊥PN ，HP =12PM ，确定HN 的最大值和最小值．答案详解：解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°，∴∠MPH=180°-∠MPN=60°，∴HP=PM•cos∠MPH=PM•cos60°=12PM，∴PN+12PM=PN+HP=NH，∵MF=NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，在Rt△COG中，CG=OG•tan60°=23，∴CM=CG+GM=2+23，在Rt△CMF中，MF=CM•sin C=(2+23)×32=3+3，∴HN=MF=3+3，=2HN=6+23，PM+2PN=212PM+PN如图2，由上知：CG=23，MG=2，∴CM=23-2，∴HM=(23-2)×32=3-3，=2HN=6-23，∴PM+2PN=212PM+PN∴6-23≤PM+2PN≤6+23．6如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC 的最大值为237　．试题分析：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得BG =2，连接PG ，DG ，过点D 作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ．利用相似三角形的性质证明PG =12PC ，再根据PD -12PC =PD -PG ≤DG ，求出DG ，可得结论．答案详解：解：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得BG =2，连接PG ，DG ，过点D 作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ．∵PB =4，BG =2，BC =8，∴PB 2=BG •BC ，∴PB BG=BC PB ，∵∠PBG =∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG PC =PB BC =12，∴PG =12PC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =CD =BC =8，∴∠DCH =∠ABC =60°，在Rt △CDH 中，CH =CD •cos60°=4，DH =CD •sin60°=43，∴GH =CG +CH =6+4=10，∴DG =GH 2+DH 2=102+(43)2=237，∵PD -12PC =PD -PG ≤DG ，∴PD -12PC ≤237，∴PD -12PC 的最大值为237．7如图，在△ABC 中，BC =6，∠BAC =60°，则2AB +AC 的最大值为421　．试题分析：由2AB +AC =2AB +12AC 得12AC =AE ，再将AB +AE 转化成一条线段BP ，可证出∠P 是定角，从而点P 在△PBC 的外接圆上运动，当BP 为直径时，BP 最大解决问题．答案详解：解：∵2AB +AC =2AB +12AC ，∴求2AB +AC 的最大值就是求2AB +12AC 的最大值，过C 作CE ⊥AB 于E ，延长EA 到P ，使得AP =AE ，∵∠BAC =60°，∴EA =12AC =AP ，∴AB +12AC =AB +AP ，∵EC =3AE ，PE =2AE ，由勾股定理得：PC =7AE ，∴sin P =CE CP =3AE 7AE=217，∴∠P 为定值，∵BC =6是定值，∴点P 在△CBP 的外接圆上，∵AB +AP =BP ，∴当BP 为直径时，AB +AP 最大，即BP '，∴sin P '=sin P =BC BP '=217，解得BP '=221，∴AB +AP =221，∴2AB +AC =2(AB +AP )=421，故答案为：421．8如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上一动点，则2PA +PB 的最小值为25　．试题分析：2PA +PB =2PA +22PB ，利用相似三角形构造22PB ．答案详解：解：设⊙O 半径为r ，OP =r =12BC =2，OB =2r =22，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI =IB =2，∵OP OI =22=2，OB OP =222=2，∴OP OI =OB OP，∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI PB =OI OP=22，∴PI =22PB ，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2PA +PB =2PA +22PB ，∴2PA +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．三、解答题(共8小题)1如图，在6×6的正方形网格中，A 、B 、C 、D 均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．(1)在图1中作出AC 边上的点E ，使得AE =3CE ；(2)在图2中作出BC 边上的点F (不与点B 重合)，使得BD =DF ；(3)在图3中作出AB 边上的点G ，使得tan ∠ACG =12．试题分析：(1)如图1中，取格点M ，N ，连接MN 交AC 于点E ，点E 即为所求．(2)如图2中，取格点T ，连接AT 交BC 于点F ，连接DF ，点F 即为所求．(3)如图3中，取格点R ，连接AR ，得到AR 的中点J ，连接CJ 交AB 于点G ，点G 即为所求．答案详解：解：(1)如图1中，点E即为所求．(2)如图2中，点F即为所求．(3)如图3中，点G即为所求．2已知，AB是⊙O的直径，AB=42，AC=BC．(1)求弦BC的长；(2)若点D是AB下方⊙O上的动点(不与点A，B重合)，以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M 是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；(3)如图2，点P是动点，且AP=2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q 的运动时间t的最小值．试题分析：(1)AB是⊙O的直径，AC=BC可得到△ABC是等腰直角三角形，从而得道答案；(2)连接AD、CM、DB、FB，首先利用△ACD≌△BCF，∠CBF=∠CAD，证明D、B、F共线，再证明△CMB是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；(3)“阿氏圆”的应用问题，以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM=1，连接PM，过M作MH⊥AB于H，连接BM交⊙A于P'，先证明PM=PC2，PC2+BP最小，即是PM+BP最小，此时P、B、M共线，再计算BM的长度即可．答案详解：解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°，∵AB=42，∴BC=AB•sin45°=4；(2)连接AD、CM、DB、FB，如图：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，∴CD =CF ，∠DCF =∠ACB =90°，∴∠ACD =90-∠DCB =∠BCF ，又AC =BC ，∴△ACD ≌△BCF (SAS )，∴∠CBF =∠CAD ，∴∠CBF +∠ABC +∠ABD =∠CAD +∠ABC +∠ABD=∠DAB +∠CAB ++∠ABC +∠ABD=∠DAB +45°+45°+∠ABD ，而AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠ABD =90°，∴∠CBF +∠ABC +∠ABD =180°，∴D 、B 、F 共线，∵四边形CDEF 是正方形，∴△DCF 是等腰直角三角形，∵M 是DF 的中点，∴CM ⊥DF ，即△CMB 是直角三角形，∵N 是BC 的中点，∴MN =12BC =2，即MN 为定值；(3)以A 为圆心，AP 为半径作圆，在AC 上取点M ，使AM =1，连接PM ，过M 作MH ⊥AB 于H ，连接BM 交⊙A 于P '，如图：一动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点B ，∴Q 运动时间t =PC 2+BP ，∵AM =1，AP =2，AC =BC =4，∴AM AP =AP AC=12，又∠MAP =∠PAC ，∴△MAP ∽△PAC ，∴PM PC =AM AP =12，∴PM =PC 2，∴PC 2+BP 最小，即是PM +BP 最小，此时P 、B 、M 共线，即P 与P '重合，t =PC 2+BP 最小值即是BM 的长度，在Rt △AMH 中，∠MAH =45°，AM =1，∴AH =MH =22，∵AB =42，∴BH=AB-AH=722，Rt△BMH中，BM=BH2+MH2=5，∴点Q的运动时间t的最小值为5．3阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m，0)，D(0，n)，点P是平面内一动点，且OP=r，设OPOD=k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k；第二步：证明kPD=PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：(1)将以上解答过程补充完整．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为△ABC内一动点，满足CD=2，利用(1)中的结论，请直接写出AD+23BD的最小值．试题分析：(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．(2)利用(1)中结论计算即可．答案详解：解(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD=k，∴MP=kPD，∴PC+kPD=PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM=OC2+OM2=m2+(kr)2=m2+k2r2．(2)∵AC=m=4，CDBC=23，在CB上取一点M，使得CM=23CD=43，∴AD+23BD的最小值为42+43 2=4103．4如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P'在射线OP上，满足OP'⋅OP=r2，则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．(1)若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为B．A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外(2)如图1，若⊙O的半径为4，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且PP'=6，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长．(3)如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且OA=2，点Q'、A'分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点A'作A'B⊥A'O且A'B=A'O，连接BQ'，Q'A'，求BQ'+12Q'A'的最小值．试题分析：(1)因为OA2=r2，所以OA=r，从而得出点A在圆上；(2)连接OQ，根据OP′•OP=r2得出OP′的值，洁儿根据勾股定理求得PQ；(3)可证得△AOQ′∽△Q′OA′，从而得出AQ′=12A'Q'，进而得出当B、Q′、A共线时，BQ′+12A'Q'最小，进一步求得结果．答案详解：解：(1)由题意得：OA2=r2，∴OA=r，∴点A在⊙O上，故答案为：B；(2)如图1，连接OQ，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP′•OP=r2，∴OP′•(OP′+6)=16，∴OP′=2，∴OP=8，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴∠PQO =90°，∴PQ =OP 2-OQ 2=82-42=43；如图2，∵点Q '、A '分别是点Q 、A 关于⊙O 的“反演点”，∴点Q 在⊙O 上，OQ 2=OA •OA ′，∴OQ OA '=OA OQ ，OA ′=8，∴∠O 为公共角，A ′B =8，AA ′=6，∴△AOQ ′∽△Q ′OA ′，∴AQ 'A 'Q '=OA OQ =12，∴AQ ′=12A 'Q '，∴BQ ′+12A 'Q '=AQ ′+BQ ′，∴当B 、Q ′、A 共线时，BQ ′+12A 'Q '最小，最小为AB ，∵AB =A 'A 2+A 'B 2=10，∴BQ ′+12Q 'A ' 最小=10．5【根底巩固】(1)如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD =∠B ．求证：AC 2=AD •AB ．【尝试应用】(2)如图2，在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，射线AE 交DC 的延长线于点M ，射线AF 交BC 的延长线于点N ．若AF =4，CF =2，AM =10．求：①CM 的长；②FN 的长．【拓展进步】(3)如图3，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，以点B 为圆心作半径为3的圆，其中点P 是圆上的动点，请直接写出PD +12PC 的最小值．试题分析：(1)证明△ADC ∽△ACB ，得出AD AC =AC AB ，则可得出结论；(2)①连接AC ，证明△FAC ∽△FMA ，从而得出AF CF =FM AF =AM AC ，进一步求得结果；②可证明△NAC ∽△AMC ，从而AC CM =AN AM ，进而求得结果；(3)在BC 上截取BE =32，可证得△PBE ∽△CBP ，进而得出PE =12PC ，从而PD +12PC =PD +PE ，当D 、P 、E 共线时，PD +PE 最小=DE ，此时P 在P ′处，然后解斜三角形CDE ，进一步求得结果．答案详解：(1)证明：如图1，∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2=AD •AB ．(2)①解：如图2，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠BAC =∠CAD =12∠BAD ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠BAC =∠EAF ，即∠BAM +∠MAC =∠MAC +∠CAF ，∴∠BAM =∠CAF ，∵AB ∥CD ，∴∠BAM =∠M ，∴∠CAF =∠M ，∵∠AFC =∠MFA ，∴△FAC ∽△FMA ，∴AF CF =FM AF =AM AC ，∵AF =4，CF =2，AM =10，∴42=FM 4=10AC ，∴FM =8，AC =5，∴CM =FM -CF =8-2=6，②∵四边形ABCD 是菱形，∴ADB ∥BC ，∠BAC =∠CAD =12∠BAD ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠CAD =∠EAF ，即∠DAN +∠NAC =∠NAC +∠CAM ，∴∠DAN =∠CAM ，∵AD ∥BC ，∴∠DAN =∠N ，∴∠CAM =∠N ，由①知：∠CAF =∠M ，∴△NAC ∽△AMC ，∴AC CM =AN AM ，即56=AN 10，∴AN =253，∴FN =AN -AF =253-4=133；(3)如图3，在BC 上截取BE =32，∵BE BP =BP BC=12，∠PBE =∠CBE ，∴△PBE ∽△CBP ，∴PE PC =PB BC =12，∴PE =12PC ，∴PD +12PC =PD +PE ，∴当D 、P 、E 共线时，PD +PE 最小=DE ，此时P 在P ′处，作DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F ，在Rt △CDF 中，CD =BC =6，∠DCF =60°，∴CF =6•cos60°=3，DF =6•sin60°=33，在Rt △DEF 中，DF =33，EF =CE +CF =6-32+3=152，∴DE =(33)2+152 2=3372，∵PD +12PC 最小=3372．6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =14x 2-32x -4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)如图1，连接BC ，点D 是抛物线上一点，若∠DCB =∠ABC ，求点D 的坐标；(3)如图2，若点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径作的圆上，连接BP 、CP ，请你直接写出12CP +BP 的最小值．试题分析：(1)分别令x =0和y =0解方程可得结论；(2)分两种情况：①当点D 在x 轴的上方时，根据等角对等边可得CE =BE ，设OE =a ，根据勾股定理列方程可得a 的值，确定CE 的解析式，联立直线CE 和抛物线的解析式列方程解出可得点D 的坐标；②当点D 在x 轴的下方时，根据内错角相等可得CD 与x 轴平行，C 和D 是对称点，可得点D 的坐标；(3)如图3，根据12PC +BP =PM +PB ，确定当B 、P 、M 三点共线时，12CP +BP 的值最小，根据勾股定理可得BM 的长，可得结论．答案详解：解：(1)当x =0时，y =-4，当y =0时，14x 2-32x -4=0，解得：x 1=8，x 2=-2，∴A (-2，0)，B (8，0)，C (0，-4)；(2)分两种情况：①当点D 在x 轴上方时，如图1，CD 交x 轴于点E ，∵∠DCB =∠ABC ，∴CE =BE ，设OE =a ，则BE =8-a ，Rt △OCE 中，由勾股定理得：a 2+42=(8-a )2，解得：a =3，∴E (3，0)，∵C (0，4)，设CE 的解析式为：y =kx +b ，则3k +b =0b =-4 ，解得：k =43b =-4 ，∴CE 的解析式为：y =43x -4，∵14x 2-32x -4=43x -4，解得：x 1=0，x 2=343，∴D 343，1009 ；②当点D 在x 轴的下方时，如图2，∵∠DCB =∠ABC ，∴CD ∥x 轴，∴C 和D关于抛物线的对称轴对称，∴D (6，-4)；综上，点D 的坐标为343，1009 或(6，-4)；(3)如图3，连接OP ，PM ，在y 轴截取OM ，使OM OP =OP OC =12，∵∠POM =∠POC ，∴△POM ∽△COP ，∴PM PC =12，∴PM =12PC ，∴12PC +BP =PM +PB ，当B 、P 、M 三点共线时，12CP +BP 的值最小，在Rt △BOM 中，BM =OB 2+OM 2=82+12=65，即12CP +BP 的最小值是65．7如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线AB 交于A (-4，-4)，B (0，4)两点，直线AC ：y =-12x -6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；(3)①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM +CM 它的最小值．试题分析：(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先利用待定系数法求出直线AB 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；(3)①先判断出要以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，只有EF 为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG 的中点P 进而判断出△PEM ∽△MEA 即可得出PM =12AM ，连接CP 交圆E 于M ，再求出点P 的坐标即可得出结论．答案详解：解：(1)∵点A (-4，-4)，B (0，4)在抛物线y =-x 2+bx +c 上，∴-16-4b +c =-4c =4，∴b =-2c =4 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +4；(2)设直线AB 的解析式为y =kx +n 过点A ，B ，∴n =4-4k +n =-4 ，∴k =2n =4 ，∴直线AB 的解析式为y =2x +4，设E (m ，2m +4)，∴G (m ，-m 2-2m +4)，∵四边形GEOB 是平行四边形，∴EG =OB =4，∴-m 2-2m +4-2m -4=4，∴m =-2∴G (-2，4)．(3)①如图1，由(2)知，直线AB 的解析式为y =2x +4，∴设E (a ，2a +4)，∵直线AC ：y =-12x -6，∴F a ，-12a -6 ，设H (0，p )，∵以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，∵直线AB 的解析式为y =2x +4，直线AC ：y =-12x -6，∴AB ⊥AC ，∴EF 为对角线，∴EF 与AH 互相平分，∴12(-4+0)=12(a +a )，12(-4+p )=122a +4-12a -6 ，∴a =-2，P =-1，∴E (-2，0)．H (0，-1)；②如图2，由①知，E (-2，0)，H (0，-1)，A (-4，-4)，∴EH =5，AE =25，设AE 交⊙E 于G ，取EG 的中点P ，∴PE =52，连接PC 交⊙E 于M ，连接EM ，∴EM =EH =5，∴PE ME =525=12，∵ME AE =525=12，∴PEME =ME AE =12，∵∠PEM =∠MEA ，∴△PEM ∽△MEA ，∴PM AM =ME AE =12，∴PM =12AM ，∴12AM +CM 的最小值=PC ，设点P (p ，2p +4)，∵E (-2，0)，∴PE 2=(p +2)2+(2p +4)2=5(p +2)2，∵PE =52，∴5(p +2)2=54，∴p =-52或p =-32(由于E (-2，0)，所以舍去)，∴P -52，-1 ，∵C (0，-6)，∴PC =-52 2+(-1+6)2=552，即：12AM +CM 的最小值为552．8问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +12BP 的最小值．(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，则有CD CP =CP CB =12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为　37　．(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP +BP 的最小值为　2337　．(3)拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是CD 上一点，求2PA +PB 的最小值．试题分析：(1)利用勾股定理即可求出，最小值为AD =37；(2)连接CP ，在CA 上取点D ，使CD =23，则有CD CP =CP CA =13，可证△PCD ∽△ACP ，得到PD =13AP ，即：13AP +BP =BP +PD ，从而13AP +BP 的最小值为BD ；21(3)延长OA 到点E ，使CE =6，连接PE 、OP ，可证△OAP ∽△OPE ，得到EP =2PA ，得到2PA +PB =EP +PB ，当E 、P 、B 三点共线时，得到最小值．答案详解：解：(1)如图1，连接AD ，∵AP +12BP =AP +PD ，要使AP +12BP 最小，∴AP +AD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +AD 最小，即：AP +12BP 最小值为AD ，在Rt △ACD 中，CD =1，AC =6，∴AD =AC 2+CD 2=37，AP +12BP 的最小值为37，故答案为：37；(2)如图2，连接CP ，在CA 上取点D ，使CD =23，∴CD CP =CP CA =13，∵∠PCD =∠ACP ，∴△PCD ∽△ACP ，∴PD AP =13，∴PD =13AP ，∴13AP +BP =BP +PD ，∴同(1)的方法得出13AP +BP 的最小值为BD =BC 2+CD 2=2337．故答案为：2337；(3)如图3，延长OA 到点E ，使CE =6，∴OE=OC +CE =12，连接PE 、OP ，∵OA =3，∴OA OP =OP OE =12，∵∠AOP =∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴AP EP =12，∴EP =2PA ，∴2PA +PB =EP +PB ，∴当E 、P 、B 三点共线时，取得最小值为：BE =OB 2+OE 2=13．。

2021初中数学阿氏圆最值模型归纳讲课讲稿

初中数学阿氏圆最值模型归纳几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.PA B O【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O 上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=25R，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2PB=PC；故本题求“PA+2PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A 与C 为5 5定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小；【技巧总结】计算PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形P问题：在圆上找一点 P 使得 PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPkOB3. 在 OB 上取一点 C ，使得 OC k ，即构造 △POM ∽△ BOP ，则 PCk ， PC k PBOP PB4. 则 PA k PB=PA PC AC ，当 A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题 1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，AC=4 ， BC=3，以点 C 为圆心， 2 为半径作圆 C ，分别交 AC 、BC 于 D 、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则1 PA PB 的最小值为2．AADDPMCEBCB【分析】这个问题最大的难点在于转化1PA ，此处 P 点轨迹是圆，注意到圆 C 半径为 2，2CA=4 ，连接 CP ，构造包含线段 AP 的△CPA ，在 CA 边上取点 M 使得 CM=2 ，连接 PM ，可得 △CPA ∽△ CMP ，故 PA ：PM=2:1，即 PM= 1PA ．2问题转化为PM+PB≥BM 最小值，故当B，P，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13 ．变式练习>>>1. 如图1，在RT△ABC 中，∠ ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP,BP，求① AP 1BP ，②2 AP2BP ，③1AP3BP ，④AP 3BP 的最小值.[答案]：①= 37 ，②=2 37 ，③= 237 ，④= 2 37 .3例题2. 如图，点 C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10 ,点B 在⊙C 上一动点，OB5AB5的最小值为.[答案]：5.变式练习>>>2. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1) ，M(4,4) ，以M 为圆心，2 2 为半径画圆，O 为原点，P是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC＝1，BD＝2，P 为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D 共线时，PC+PD 最小．理由：连接PB、CO，AD 与CO 交于点M，∵AB＝BD＝4，BD 是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB 是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC 是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC 是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM ，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP 最小＝AD﹣AM＝2 ﹣＝．变式练习>>>3. 如图，四边形ABCD 为边长为 4 的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则PD+ PC 的最小值为 5 ；PD+4PC 的最小值为10 ．【解答】解：①如图，连接PB、在BC 上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+ PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE 中，DE＝＝5，∴PD+ PC 的最小值为5．②连接DB，PB，在BD 上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC 于F．∵PB2＝4，BE?BD＝×4 ＝4，∴BP2＝BE?BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC 中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC 的最小值为10 ．故答案为5，10 ．例题 4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆 B 的半径为3，点P 是圆 B 上的一个动点，则PD 最大值为．1PC 的2ADPBC【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=3，根据题意要求构造1 PC ，在 BC 上取 M 使2得此时 PM= 3 ，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1PC ，从而将问题转化为求 PD-PM 的22最大值．连接 PD ，对于 △PDM ，PD-PM ＜ DM ，故当 D 、M 、P 共线时， PD-PM=DM 为最大 15值．2AD A DA D A DPBMCPBMCPBMCBMCP变式练习 >>>4．（ 1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD ﹣的最大值为．（ 2）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠ B ＝ 60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD ﹣的最大值为．图 1图 2【解答】解：（ 1）如图 3 中，在 BC 上取一点 G ，使得 BG ＝4．∵ ＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+ PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P 共线时，PD+ PC 的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣PC 的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4 中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF ⊥BC 于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+ PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P 共线时，PD+ PC 的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF 中，∠DCF ＝60°，CD＝4，∴DF ＝CD?sin60 ＝°2 ，CF＝2，在Rt△GDF 中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣PC 的值最大（如图 2 中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线AB 交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线1AC：y=﹣x﹣6 交y 轴于点C．点E 是直线AB 上的动点，过点 E 作EF⊥x 轴交AC 于点2F，交抛物线于点G．（1））求抛物线y=﹣x2+bx+c 的表达式；（2））连接GB，EO，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G的坐标；（3））①在y 轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E 运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H 的坐标；②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM+CM 它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c 上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB 的解析式为y=kx+n 过点A ，B，∴，∴，∴直线AB 的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB 是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB 的解析式为y=2x+4 ，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12 x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形，∵直线AB 的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF 为对角线，∴1（﹣4+0）=12 2（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH= 5 ，AE=2 5 ，设AE 交⊙E 于G，取EG 的中点P，∴PE=5，2连接PC 交⊙E 于M，连接EM，∴EM=EH= ，∴PEME52 = 1 ，∵ME5 2 AE5=12 5 2，∴PE MEME AE=1，2∵∠PEM=∠MEA ，∴△PEM∽△MEA ，∴PE MEME AE =1，2∴PM=12 AM ，∴12AM+CM 的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52 ，∴5（p+2）2=5，4∴p=52 或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC= = 5 52，即：12AM+CM=5 5．2变式练习>>>5. 如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x 轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点 E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB 于点M．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+ E′B 的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1 或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x 轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB 解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB 解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1 中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+ x+3，∴PN＝﹣m2+ m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2 中，在y轴上取一点M′使得OM ′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′O?B＝×3＝4，∴OE′2＝OM′O?B，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM ′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在RT△ABC 中，∠ B=90°，AB=CB=2 ，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆 C 的半径为 2 ，点P 为圆B 上的一动点，求AP2PC2的最小值.[答案]： 5 .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 11 -2. 如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O 上一动点，则 2 PA+PB 的最小值为.[答案]：2 5 .3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O 上一动点，则2PB+PC的最小值为.[答案]：3 7. 24. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3 ，CB=4， C 的半径为2，点P 是 C 上的一动点，则AP 1PB 的最小值为？2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 12 -5. 如图，在平面直角坐标系中， A 2,0 ，B 0,2 ，C 4,0 ，D 3,2 ，P是△ AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC 的最小值是多少？[答案] 4 26. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△ AFC；（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD+ AD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD+ AD 的最小值．【解答】（1）证明：如图 1 中，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 13 -（2）解：①如图2 中，当点D，E 在AB 边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 ，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+ AD＝+1．②如图3 中，当点E，F 在边AB 上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+ AD＝+ ．（3）如图4 中．取AC的中点M．连接DM ，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM?CA，∴＝，∵∠DCM ＝∠ACD，∴△DCM ∽△ACD，∴＝＝，∴DM ＝AD，∴BD+ AD＝BD+DM ，∴当B，D，M 共线时，BD+ AD 的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC 中，AB＝AC，BD 是AC 边上的中线，请用尺规作图做出AB 边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P 是边长为 6 的正方形ABCD 内部一动点，PA＝3，求PC+ PD 的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD 中，AB＝18，BC＝25，点M 是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+ MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC+ MD 的最小值．【解答】解：（1）如图1 中，作线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点E，连接EC．线段EC 即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 14 -∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2 中，在AD 上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE?AD＝×6＝9，∴PA2＝AE?AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+ PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+ PD 的最小值为EC 的长，在Rt△CDE 中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+ PD 的最小值为．（3）如图3 中，如图 2 中，在AD 上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE?AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE?AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM ，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD ，∴MC+ MD ＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+ MD 的最小值为EC 的长，在Rt△CDE 中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2 ，∴MC+ MD 的最小值为 2 ．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 15 -。

中考数学几何最值之阿氏圆问题

C，使得
OC OP
k
，即构造△POM∽△BOP，则
PC PB
k
，
PC
k
PB
④ 则 PA k PB=PA PC AC ，当 A、P、C 三点共线时可得最小值
题型精讲
【例 1】如图，已知正方 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个
动点，则
PD
1 2
PC
的最大值为___5____．
A
M
B
O
N
模型最值技巧：计算 PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点 P 使得 PA k PB 的值最小，解决步骤具体如下：
① 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即 OP，OB
② 计算出这两条线段的长度比 OP k
OB
③
在
OB
上取一点
12 10
C
D
A
B
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
的最小值为（
C
）
A． 10 B． 11 C． 13 D． 14
2．如图，已知菱形 ABCD的边长为 4，B 60 ， B的半径为 2，P 为 B 上一动点，则
37 PD
1 2
PC
的最小值_______．
PC
3 PD 的最小值___1_1_1__
6
3
3．如图，在 ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是．
第七部分几何图形综合
专题39 几何最值之阿氏圆问题

阿氏圆公式

阿氏圆公式阿氏圆公式是一种用于计算直角三角形中圆的半径的公式。

它由法国数学家阿氏（Pierre-François Verhulst）在19世纪提出，是直角三角形中一个重要的几何定理。

本文将详细介绍阿氏圆公式的原理和应用。

阿氏圆公式是指在一个直角三角形中，以斜边为直径的圆的半径等于斜边与斜边上的中线之积除以斜边上的高。

用数学表达式表示为：R = (a * b) / c，其中R为圆的半径，a为斜边，b为中线，c为高。

阿氏圆公式的原理非常简单，我们可以通过一个具体的例子来理解。

假设有一个直角三角形，斜边长为10cm，中线长为6cm，高为8cm。

根据阿氏圆公式，我们可以计算出圆的半径为(10 * 6) / 8 = 7.5cm。

阿氏圆公式的应用非常广泛。

首先，它可以帮助我们计算直角三角形中圆的半径，这对于解决一些几何问题非常有帮助。

比如，在建筑设计中，我们经常需要计算一些直角三角形中圆的半径，以便确定建筑物的结构和布局。

阿氏圆公式还可以用于解决一些实际问题。

比如，在地理学中，我们经常需要计算地球上两个地点之间的距离。

如果知道两个地点的经纬度，我们可以将地球看作是一个直角三角形，用阿氏圆公式来计算地球的半径，从而得到两个地点之间的距离。

阿氏圆公式还可以用于计算圆的面积和周长。

圆的面积可以通过公式S = π * R^2来计算，而圆的周长可以通过公式C = 2 * π * R来计算。

通过阿氏圆公式，我们可以得到圆的半径，进而计算出圆的面积和周长。

需要注意的是，在实际应用中，我们通常使用近似值来计算圆的半径。

因为阿氏圆公式中的参数往往是测量值，存在一定的误差。

所以，在计算过程中，我们需要根据实际情况进行四舍五入或取整，以得到更加准确的结果。

阿氏圆公式是直角三角形中一个重要的几何定理，可以帮助我们计算圆的半径，并解决一些几何和实际问题。

它的原理简单易懂，应用广泛实用。

通过阿氏圆公式，我们可以更好地理解和应用直角三角形的相关知识，为解决实际问题提供帮助。

57、经典几何模型之“阿氏圆”

经典几何模型之“阿氏圆”一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。

模型17 阿氏圆最值问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需+ 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似【技巧总结】计算PA k PB三角形+ 的值最小，解决步骤具体如下：问题：在圆上找一点P使得PA k PB①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题精讲【例1】．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP +BP 的最小值为________.变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD +PC 的最小值等于．【变式1-2】．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点P 是以A 为圆心、以AE 为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是．【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．变式训练【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P 为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是．【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC 的最小值为．1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为．2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为．5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为．6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为．8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是．9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．。

阿氏圆定义

阿氏圆定义阿氏圆可被定义为平面上任意一点到另一点的最短路径。

它是历史上被广泛认可的几何形状之一，在理论几何中有广泛的应用。

最早，阿氏圆是被希腊几何家阿氏给出的定义，他定义：“一切圆都是一组点，以其中一点为中心，自这点到任意一点的距离都是相等的。

”在古希腊的几何学家们，特别是阿氏，深入探索圆的定义和性质，由此提出了许多有关圆的概念和定理。

比如，阿氏证明了一个圆上任一点距离圆心的距离都相等这一定理，这定理也被称为“阿氏圆定义”。

另外，阿氏也提出了和圆相关的一些重要概念，包括圆周、圆弧、圆心、圆半径等，这些概念在几何学中十分重要，并且深入人心。

此外，阿氏还证明了“圆的周长是一个定值，其值为圆的半径乘以圆的圆周的弧度”的定理，这对于测量圆的周长至关重要。

阿氏圆定义不仅被用于几何中，也被广泛用于其他学科中。

典型的应用有：地理学的圆形图像，投影工程图的绘制，建筑学中的拱形结构，造船学中的平面布局等等。

在艺术领域，也有许多以圆形为主线的作品，它们深深地吸引着人们，引起了观众的极大兴趣。

圆形的美被历史上的文明深深地吸引，并被许多艺所赞叹和欣赏，它是人们心灵宁静和清静的象征，也被视为爱之钥匙，是一种震撼精神的几何图形。

通过阿氏圆的定义，得到了一种可以在任何场合和面对任何问题的统一的解释方法，使得圆形在实际工程和科学研究中得到了更深入的研究和探讨。

阿氏圆已经形成了一个独立的数学问题，它不仅包括有关圆形的各种定义和性质，还包括了有关圆形的许多应用问题。

因此，阿氏圆的定义和内涵深刻影响了几何学的发展和应用，它在不同的学科中无处不在，所产生的影响可想而知。

阿氏圆的定义给人们带来了许多极为宝贵的智慧，它不仅赋予了我们对几何的更深刻的理解，而且也被广泛应用于日常生活中。

它是几何发展史上一个重要的里程碑，也是道德价值观的体现，它为我们提供了一个参考，让我们能够更好地了解世界，尊重心灵，追求安宁。

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经典几何模型之“阿氏圆”————段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

将图2中△BPO 单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO ∽△BPO ，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO 与△BPO 有公共角∠O ，且OB OP OP OC =某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O 、∠B =∠OPC ）（构造出△PCO ∽△BPO 后可以得到OBOP OP OC =，进而推出OC OB OP ∙=2，即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定C 的位置后，连接AC ，求出AC 长度“阿氏圆”即可破解）四.“阿氏圆”典型例题讲解例1：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +BP 21的最小值.解答：如图2，连接CP ，因为CP =2，AC =6，BC =4，简单推算得31=AC CP ，21=CB CP ，而题目中是求“AP +BP 21”其中的“k =21”，故舍弃在AC 上取点，应用“21=CB CP ”，所以在CB 上取一点D ，使CD =1，则有21===BP PD CB CP CP CD ，无论P 如何移动，，△PCD 与△BCP 始终相似，故PD =BP 21始终成立，所以AP +BP 21=AP +PD ，其中A 、D 为定点，故A 、P 、D 三点共线时最小，AP +BP 21=AP +PD =AD =22CD AC +=37（思考：若求13BP PA +呢？）（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）例2：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，求2PA +PB 的最小值.解答：首先连接OP ，因为OP =6，OA =3，OB =5，所以21=OP AO 、65=OP BC ，题目求的是“2PA +PB ”，其中的“k =2”与之相关的是21=OP AO ，故在OA 上取点，考虑到是2PA ，故在OC 上取点H ，使OH =12，则有21===PH AP OH OP OP OA ，无论P 如何移动，△PAO 与△HPO 始终相似，故PH =2PA 始终成立，所以2PA +PB =PH +PB ，其中H 、B 为定点，故H 、P 、B 三点共线时最小，2PA +PB =PH +PB =22OB OH +=13.（思考：若求65AP PB +呢？）例3：如图1，已知AC =6，BC =8，AB =10，⊙C 的半径为4，点D 是⊙C 上的动点，连接AD 、BD ，则AD +BD 21的最小值为？解答：首先连接CD ，因为CD =4，CB =8，CA =6，所以21=CB CD 、32=CA CD ，题目求的是“AD +BD 21”，其中的“k =21”与之相关的是21=CB CD ，故在CB 上取点，故在CB 上取点H ，使CH =2，则有21===BD HD CB CD CD CH ，无论P 如何移动，△DHO 与△BDC 始终相似，故HD =BD 21始终成立，所以AD +BD 21=AD +DH ，其中H 、A 为定点，故H 、D 、A 三点共线时最小，AD +BD 21=AD +DH =10222=+AC CH .（思考：若求23BD AD +呢？）例4：如图1，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为△ABC 内一动点，且满足CD =2，则AD +BD 32的最小值？解答：此题关键在于看出是“阿氏圆模型”，首先从问题看，可能是“阿圆”，接着题目条件“CD =2”更加确定此题有隐藏圆，如图2，D 在r =2的⊙C 上，下面步骤完全与上相同，故略。

4103例5：如图1，在R t △ABC 中，∠C =90°，CA =3，CB =4，⊙C 的半径为2，点P 是⊙C 上一动点，则AP +PB 21的最小值？解答：如图2，连接CP ，口算32=CA CP 、21=CB CP ，故选择在CB 上取点，构造“核武器”“母子型相似模型”，取点H ，使CH =1，则有21===BP PH CB CP CP CH ，所以无论P 如何移动，△PCH 与△BCP 始终相似，故PH =BP 21始终成立，所以AP +PB 21=AP +PH ，其中H 、A 为定点，故H 、P 、A 三点共线时最小，AP +PB 21=AP +PH =1022=+AC CH .（思考：若求23BP AP +呢？）例6：如图1，正方形ABCD 边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，则2PD +PC 4的最小值？解答：此题，初学者有可能会陷入误区，以为很难，因为按照前面题的套路21=BC BP 、21=BA BP （因为前面我们都是比较这三条线段啊），感觉好像和“2PD +PC 4”没关系啊！实际上对“阿氏圆”套路的理解不够深，我们研究的线段是圆心到“一动两点”，在此题中，“一动”指的是“动点P ”，“两定”不是指A 、C ，而是要看问题“2PD +PC 4”问题中P为动点，C 、D 才是定点，故本题应该比较21=BC BP ，42242==BD BP ，故选择在BD 上取点H （如图2），使得BH =22，则有42===PD PH BD BP BP BH ，所以无论P 如何移动，△PBH 与△DBP 始终相似，故PH =42PD 始终成立，所以2PD +PC 4=4（PC +42PD ）=4（PC +PH ），其中H 、C 为定点，故H 、P 、C 三点共线时最小，2PD +PC 4=4（PC +42PD ）=4（PC +PH ）=4CH ，CH =225)27()21(2222=+=+ MC PM ，故答案为102.（思考：若求12PD PC +呢？）例7：如图1，在已知菱形ABCD 的边长为4，∠B =60°，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上一动点，则PC PD 63+的最小值？解答：比较BP 、BC 、PD ，得63=BD BP ，21=BC BP ，故在BD 上取点H ，使得BH =33，故63===PD PH BD BP BP BH ，所以PH =63PD ，PC 63+=6（PC +63PD ）=6（PC +PH ）=6111222=+MC HM （思考：若求12PD PC +呢？）例8：在平面直角坐标系中，A （2,0）、B （0,2）、C （4,0）、D （3,2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA =135°，则2PD +PC 的最小值是？解答：首先从问题，大概看出是“胡不归”或者“阿氏圆”的问题，然后P 是动点，但是AB 是定线段，∠BPA =135°是定值，属于“定弦定角”“隐圆模型”，故构建⊙O ，如图2，然后下面过程略，答案：例9：如图1，在R t △ABC 中，AB =9，BC =8，∠ABC =60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC +2PB 的最小值？解答：如图2，取AH =4，△APH ∽△ABP ，故PH =32BP ，所以3PC +2PB =3（PC +32BP ）=3（PH +PC ）=3CH ，利用∠CBA =60°BC =8，可以求出BH =4，进而可知HM =1，CM =34，故CH =7五.“阿氏圆”实战训练练1：如图，在边长为4的正方形ABCD内，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC 的最小值为？（答案：）练2：如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为？（答案：）练3：（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）1x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x 两点，直线AC：y=﹣2轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求21AM +CM 它的最小值．答案：（1）224y x x =--+（2）G （-2,4）（3）①E （-2,0）、H （0，-1）②2练4：（2018西北工业大学附属中学中考模拟压轴题）【问题提出】（1）如图1，在△ABC 中，AB =AC ，BD 是AC 边上的中线，请用尺规作图做出AB 边上的中线CE ，并说明BD =CE ；【问题探究】（2）如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，PA =3，求PC +21PD 的最小值；【问题解决】（3）如图3，在矩形ABCD 中，AB =18,BC =25，点M 是矩形内部一动点，MA =15，当MC +53MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC +53MD 的最小值.答案：（1）略（2）7.5（3）欢迎大家扫码关注我的微信公众号“小段说数学”。