高中数学_正弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思
《正弦定理》教学设计
【课标解读】
学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
【教材分析】
1、教材的地位和作用：
《正弦定理》是人教B版必修五第一章《解三角形》的第一节，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是高一《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。初中阶段着重定性的讨论三角形中边长与角的关系，本章主要是定量地揭示三角形边长与角度之间的数量关系。本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题的求解中进行应用。《标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用这两个定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题，从而使学生进一步了解数学在实际中的运用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关问题的有力工具。
2、教材处理：
结合中学生的认知结构和本校学生的实际情况，《正弦定理》的新课教学我安排两个课时，第一课时学习正弦定理的发现、证明及基本应用，第二课时巩固并加深对正弦定理的理解，对定理进行灵活应用。本节课为第一课时。
3、教学重难点：
重点：正弦定理的发现、证明及基本应用；
难点：正弦定理的推导。
【学情分析】
学生在以前学习过三角形的内角和，三角形的边长关系以及边与角的关系，勾股定理等等知识，在必修4中，学生又学习了三角函数的基础知识、图像性质与恒等变形等三角函数和平面向量的有关内容，对三角函数、平面向量已形成初
步的知识框架，这些是学习正弦定理的知识基础。学生已经掌握的知识和方法形成的认知结构，是学习正弦定理的能力基础。
【教学目标】
1.知识与技能
（1）掌握正弦定理及其推导过程，能初步运用正弦定理解斜三角形；
（2）能够运用正弦定理初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。
2.过程与方法
（1）使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间存在的一种数量关系——正弦定理，培养学生由特殊到一般进行归纳猜想的意识和能力；培养学生转化与化归的能力；加强学生对数学思想方法的理解和运用；
（2）在探究学习的过程中，认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
3.情感、态度与价值观
（1）通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；
（2）在运用正弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界；
（3）通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的数学文化素养。
【评价设计】
丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，本节课我以视频短片引入，激发学生的学习兴趣，点燃本节课的探索热情。然后运用多种教学方法和手段指导学生“观察——猜想——证明——应用”，鼓励学生积极思考，努力探索，踊跃发言，使学生经历知识由特殊到一般的探究过程，掌握知识的来龙去脉，理解并掌握数学基础知识和基本技能，培养应用意识和创新意识，提高数学素养。整节课以“问题串”的形式，使学生在问题情景中学习，通过问题探究激发潜能，通过合作交流深化理解，通过自主学习体验成功。符合新课程改革的理念，符合数学的学科特点和高中学生的心理特点。
【教学过程】
ABC中，已知
,3001003
AB km 求BC。
即：已知三角形中两边和一边对角，求形
边
关系。
c ，
c
，
1c c
引导学生寻求联系，发现规律，寻sin sin sin
A B C
所以在Rt?ABC中，三条边和三个
sin sin
B C
AB 于D sin b A sin sin a b A B
同理可证：sin sin a c
A C
AB 于sin sin()sin A B a B
即sin sin b A
a B
所以sin a b B
同理可证：sin sin a A C
sin c
C ） 得三角形的面积可表达为
ABC 1
S =2
cb ABC S =sin sin ac B bc A
sin c B C =
ABC 2,b ABC a 求的面积。
中，，2ABC 52,10A=30B C ABC 2,2c a c a b (1),求,
。
例、在中，角和角。 (2)在中，和边ABC 3= .
sin sin c
B C
,中，
则
的值，那么我们可以保持边
sin sin B
C
2Rsin ，
2Rsin .a
A C
【板书设计】
板书设计如图所示,层次分明，重点突出。
sin sin
B
C
二、定理推导：
【巩固练习】
00ABC 10,60,45,a B
A b 1、在中，已知则等于（ ）
1) 1 0ABC 23,22,45,a b
B
A 2、在中，已知则等于（ ）
030A. 060B. 0060120C.或 0030150D.或
00ABC 45,60,31,B C a
ABC 3、在中，已知则的面积
等于（ ）
2A.
12B. 332C.
2
D. ,?sin cos cos A B 30C ?
D 30a
b c
ABC ABC A
B C
4若满足
则的形状是（ ） 等边三角形
有一内角是的三角形等腰直角三角形有一内角是的等腰三角形
、、、 、、
0ABC 60,3,1,B
b
c 5、在中，已知则a= ,A= ,
C= .
0ABC 503,150,30,b c
B
a
6、在中，已知则边长 .
7ABC AB=102A 45BC 2010C 3
、在中，已知＝，在边的长分别为 ，。
，
8ABC A AD BC D. .BD
AB
DC
AC
、在中，的内角平分线与边相交于点求证：
学情分析
学生在以前学习过平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，掌握了三角形的内角和，三角形的边长关系以及边与角的关系，勾股定理等等知识，在必修4中，学生又学习了三角函数的基础知识、图像性质与恒等变形等三角函数和平面向量的有关内容，对三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，有一定观察分析、解决问题的能力，这些是学习正弦定理的知识基础。但对前后知识
间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。学生已经掌握的知识和方法形成的认知结构，是学习正弦定理的能力基础。由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。
效果分析
本节课是《正弦定理》教学的第一课时，课前对教材、课标和大纲进行了细致的研究，并对学生的知识结构、思维水平进行了重点考查，确定了本节的教学重点是正弦定理的发现、证明和基本应用，其中定理推导是难点。
课本通过一个实际问题引入，但没有深入开展下去。我联想到最近侵袭到我国南方城市的“天兔”台风，设计成视频和图片，不仅调动了学生的学习积极性，还激发了学生的探索热情。在此基础上将问题一般化转化为数学问题，即：
“天兔”台风中心位于广东的南偏东600方向、距广东300km
的海面B处，并以20km/h的速度向北偏西300方向移动。如果“天兔”
侵袭的范围为圆形区域，半径为，几小时后广东开始受到“天兔”的侵袭？
引导学生通过数学建模，将数学问题符号化，寻找问题的本质，从而引入本节课。
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题及创造能力的载体。问题是思维的起点，是学生主动探索的动力.新课程倡导：
强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，把“数学发现的权利”还给学生。本节课重视学生的亲身体验，鼓励学生主体参与,让学生主动地学习，真正成为学习的主人。通过设计“问题串”，让学生在问题情景中学习，通过问题探究激发潜能，通过合作交流深化理解，通过自主学习体验成功。从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激励了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创新意识，这正是新课程所倡导的教学理念。
正所谓“教无定法，贵在得法。”轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！
《正弦定理》教学反思
本节课是人教B版高中数学必修五第一章《解三角形》的第一节《正弦定理》教学的第一课时，课前对教材、课标和大纲进行了细致的研究，并对学生的知识结构、思维水平进行了重点考查，确定了本节的教学重点是正弦定理的发现、证明和基本应用，其中定理推导是难点。本节课在教学设计上着重考虑了以下几个问题：
（1）为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样被发现的？其证明方
法又是如何想到的？还有别的求证方法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。
（2）教材是从特殊的三角形即直角三角形入手，来研究三角形中所
存在的边与角之间的定量关系，后又拓展到锐角三角形和钝角三角形，进而探究出正弦定理，这体现了从特殊到一般的数学思想。然而现实生活中直角三角形的实例要比斜三角形少的多，而教材却没有从斜三角形切入问题。
（3）教材仅有的两道例题中，所给出的数据要用到计算器进行计算。这样会不会给学生造成一种错觉，是不是用正弦定理解决的问题都要使用计算器呢？
（4）教材中，正弦定理第一课时的教学内容就涉及到了三角形中的“多解”情况，按照新课标中“注重学生发现、探究、猜想、证明”的教学理念，如果在第一课时来研究，那么教学时间就不宽裕，而且学生对定理的认识不深刻，我将其作为了第一课时的思考题，第二课时的研究重点。
下面谈一下讲授本节课的心得和体会：
一、教学亮点：
1、实际情境引入，激发学习兴趣
课本通过一个实际问题引入，但没有深入开展下去。我联想到最近侵袭到我国南方城市的“天兔”台风，设计成视频和图片，不仅调
动了学生的学习积极性，还激发了学生的探索热情。在此基础上将问题一般化转化为数学问题，即：
“天兔”台风中心位于广东的南偏东600方向、距广东300km
的海面B处，并以20km/h的速度向北偏西300方向移动。如果“天兔”
侵袭的范围为圆形区域，半径为，几小时后广东开始受到“天兔”的侵袭？
引导学生通过数学建模，将数学问题符号化，寻找问题的本质，从而引入本节课。
经过本节的探索研究，最后学生独立解决了引入中的台风问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，提高了学生学习数学的动力和运用数学知识解决实际问题的能力。
2、以学生为主体，体验创新乐趣
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题及创造能力的载体。问题是思维的起点，是学生主动探索的动力.新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，把“数学发现的权利”还给学生。本节课重视学生的亲身体验，鼓励学生主体参与,让学生主动地学习，真正成为学习的主人。通过设计“问题串”，让学生在问题情景中学习，通过问题探究激发潜能，通过合作交流深化理解，通过自主学习体验成功。从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激励了学生的学习兴趣，也
提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创新意识，这正是新课程所倡导的教学理念。
3、尊重认知规律，培养探索能力
正弦定理的证明方法很多，本节课学生将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，从而又收获了面积公式和面积证明方法，从学生的“最近发展区”入手去设计问题，思路自然，是学生们易于接受的一种证明方法.在推导过程中，着重注意尊重学生思维的发展的过程，这是一种理念，也是一种能力.
4、恰当使用教辅，提高课堂效率
在教学中恰当地利用多媒体技术，是突破教学难点的一个重要手段。本节课利用《几何画板》演示台风运动，形象直观，对学生进行
数学建模很有帮助；对正弦定理进行验证，简便快捷；探究比值sin a A ，
由动到静，培养了善于观察的良好思维习惯。利用实物投影，及时发现并纠正了学生存在的问题，规范了解题行为。 二、存在不足：
1、学生定理应用的过程中，放手还不够彻底，可以通过实物投影鼓励学生展示自己，让学生讲解思路多暴露问题，其他学生点评，共同完善。
2、由于课堂上没有学生提出使用平面向量证明正弦定理，而且此法难度较大，所以没有放到课堂上来研究，而是作为本节的一个思考作业，希望课下通过论文展示继续学习。 三、改进措施：
1、加大学习教育教学相关知识的力度，与时俱进，不断更新教育观念，做新时代的新型教师。
2、对教材、课标和大纲进行深入研究，准确把握课程要求。
3、加强对学情的分析，了解学生在知识上的共性和个性，尊重学生的心理发展特点，尽量符合学生的认知规律。
正所谓“教无定法，贵在得法。”轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！
教材分析
1、教材的地位和作用：
《正弦定理》是人教B版必修五第一章《解三角形》的第一节，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是高一《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。初中阶段着重定性的讨论三角形中边长与角的关系，本章主要是定量地揭示三角形边长与角度之间的数量关系。本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题的求解中进行应用。《标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用这两个定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题，从而使学生进一步了解数学在实际中的运用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关问题的有力工具。
2、教材处理：
结合中学生的认知结构和本校学生的实际情况，《正弦定理》的新课教学我安排两个课时，第一课时学习正弦定理的发现、证明及基本应用，第二课时巩固并加深对正弦定理的理解，对定理进行灵活应用。本节课为第一课时。
3、教学重难点：
根据课程标准和大纲的要求，通过对教材的分析，结合本班学生的实际情况
确定本节的教学重点是正弦定理的发现、证明及基本应用；本节的教学难点是正弦定理的推导。
《正弦定理》评测试题
（时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：（每个5分，共50分）
00ABC 10,60,45,a B
A b 1、在中，已知则等于（ ）
1) 1 00ABC 45,30,10,A
B
c b 2、在中，已知则等于（ ）
2) 2) 0ABC 23,22,45,a b
B
A 3、在中，已知则等于（ ）
030A. 060B. 0060120C.或 0030150D.或
0ABC A=4522B a b
4、在中，已知，，，则等于（ ）
030A. 060B. 0060120C.或 0030150D.或
0ABC 30,2,2,C
b
c a 5、在中，已知则等于（ ）
1 131或 3
ABC ,2,3,A 2
b
c
6、已知的面积为，且则等于（ ）
030A. 060B. 0060120C.或 0030150D.或
ABC 7、在中，周长为7.5cm ，且sinA:sinB:sinC=4:5:6, 下列结论：
::4:5:6a b c
① ::2:5:a b c
② 2, 2.5,3a cm b
cm c cm ③ ::4:5:6A B C
④
其中成立的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
00ABC 45,60,31,B C a
ABC 8、在中，已知则的面积
等于（ ）
2A. 12B. 332C.
2
D.
0ABC 30,23,2,B AB
AC ABC 9、在中，已知则的面积
等于（ ）
10ABC B=601sin sin sin a b c
b A B C
、在中，，
，则等于（ ）
3B.
3
C.
二、填空题：（每个5分，共20分）
0ABC 60,3,1,B
b
c 11、在中，已知则a= ,A= ,
C= .
0012ABC A 60,B 45,12,a b 、在中，已知则a ＝ ；
b ＝ .
0ABC 503,150,30,b c B
a
13、在中，已知则边长 .
14ABC asinA bsinB asinB bsinA _________sin sin sin a
b c
A
B C
①；②；
③
其中恒成立的等式序号为、在中，有等式：.
三、解答题：（每题10分，共50分）
001520060、在米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30、 ，求塔高.
000000ABC 1A 60,B 30,a 32A 45,B 75,b 83a 3, b 3,A 604a
2, b 2,B 4516已知，根据下列条件，解三角形： （ ）； （ ）； （ ）；
（ ）；
、
1
17ABC 36ABC 3
在中，已知tanB =，cosC =,AC =3,求的面积。
、
苏教版高中数学必修五正弦定理教案
第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项
高级中学数学公式定理汇总
高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。
(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；