滚动训练三(5~6)

滚动训练三(§5～§6)一、选择题1．下列命题正确的是()A．两两相交的三条直线可确定一个平面B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案 C解析对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．故选C.2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是()①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．A．①②B．①③C．③④D．②③考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案 D解析对于①，X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱；对于②，X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理可知正确；对于③，Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故正确；对于④，X ，Y ，Z 是平面，“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”是假命题，如正方体共顶点的三个面．故选D.3．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若m α，α⊥β，则m ⊥βB ．若mα，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αD ．若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 D解析 由m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面知，在A 中，若m α，α⊥β，则m 与β相交、平行或m β，故A 错误； 在B 中，若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故B 错；在C 中，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或mα，故C 错误；在D 中，若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 4．正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90° 考点 异面直线所成的角 题点 求异面直线所成的角 答案 B解析 过顶点作垂线，交底面于正方形对角线的交点O ，连接OE ，∵正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22， ∴PO ＝22，AB ＝3，AC ＝6，P A ＝2，OB ＝62，∵OE 与P A 在同一平面且是△P AC 的中位线， ∴OE ∥P A 且OE ＝12P A ，∴∠OEB 即为P A 与BE 所成的角，OE ＝22， 在Rt △OEB 中，tan ∠OEB ＝OBOE＝3， ∴∠OEB ＝60°. 故选B.5．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1；④直线B 1D 1与BC 所成的角为45°.其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 A解析 在①中，由正方体的性质，得BD ∥B 1D 1， 又BD 平面CB 1D 1，B 1D 1平面CB 1D 1， ∴BD ∥平面CB 1D 1，故①正确；在②中，由正方体的性质得AC ⊥BD ，CC 1⊥BD ， 又AC ∩CC 1＝C ，AC ，CC 1平面ACC 1，∴BD ⊥平面ACC 1， ∴AC 1⊥BD ，故②正确；在③中，由正方体的性质得BD ∥B 1D 1， 由②知，AC 1⊥BD ，∴AC 1⊥B 1D 1， 同理可证AC 1⊥CB 1，∴AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确．故选A.6．如图所示，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案 D解析∵P A⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝P AAD＝2AB2AB＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.7．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE ⊥平面PBD ，则CEED的值为( )A.32B.52C ．3D ．4 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的计算与探索性问题 答案 C解析 ∵PD ⊥底面ABCD ，AE 底面ABCD ， ∴PD ⊥AE ，当AE ⊥BD 时，AE ⊥平面PBD ，此时△ABD ∽△DAE ， 则AB AD ＝AD DE， ∵AB ＝2BC ， ∴DE ＝14AB ＝14DC ，∴CEED＝3. 故选C.8．边长为2的正三角形ABC 中，D ，E ，M 分别是AB ，AC ，BC 的中点，N 为DE 的中点，将△ADE 沿DE 折起至△A ′DE 的位置，使A ′M ＝62.设MC 的中点为Q ，A ′B 的中点为P ，给出下列四个结论：①A ′N ⊥平面BCED ；②NQ ∥平面A ′EC ；③DE ⊥平面A ′MN ；④平面PMN ∥平面A ′EC . 以上结论正确的是( ) A ．①②④ B ．②③④ C ．①②③D ．①③④考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 C解析 由题意可知MN 与CE 在同一平面内且不平行，所以MN 与CE 一定有交点，即平面PMN 与平面A ′EC 有交线，④错误，故选C.二、填空题9．二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________．考点空间角题点空间角的综合应用答案60°解析过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.10．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面，其中正确结论的序号是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案①②③解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连接AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误．11．我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体ABCD中，AD ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，则四面体ABCD 的直度为________． 考点 空间中的垂直问题 题点 空间中的垂直问题 答案 4解析 ∵在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ， ∴AD ⊥AB ，AD ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∵AC ⊥BC ，AC ∩AD ＝A ， ∴BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥CD ，∴四面体ABCD 的四个面均为直角三角形， ∴四面体ABCD 的直度为4. 三、解答题12．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC ； (2)AF ⊥平面EDB .考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行、垂直综合问题的证明 证明 取AB 的中点M ，连接FM ，MC .(1)∵F ，M 分别是BE ，BA 的中点， ∴FM ∥EA ，FM ＝12EA ＝a .∵EA ，CD 都垂直于平面ABC ，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC.∵FD⊈平面ABC，MC平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC，CM平面ABC，∴CM⊥AE，又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面EAB，∴CM⊥平面EAB，又AF平面EAB，∴CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，FD，BE平面EDB，∴AF⊥平面EDB.13．如图所示，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面CBE.考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明证明 作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，∴PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQBD .∵AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ .又∵AB ＝CD ，EA ＝BD ，∴PM ＝QN . ∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .∵PQ ⊈平面CBE ，MN 平面CBE ，∴PQ ∥平面CBE . 四、探究与拓展14．已知m ，n 是两条不重合的直线，a ，b 分别垂直于两个不重合的平面α，β，有以下四个命题：①若m ⊥a ，n ∥b ，且α⊥β，则m ∥n ；②若m ∥a ，n ∥b ，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ∥a ，n ⊥b 且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥a ，n ⊥b ，且α∥β，则m ∥n .其中真命题的序号是________． 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 ②③解析 ①中m ，n 不一定平行，还可能相交或异面；④中m ，n 不一定平行，还可能异面或相交．15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ； (2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明 (1)如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，EN ，则有EN ∥CD ，EN ＝12CD ，又AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴EN ∥AM ，且EN ＝AM . ∴四边形AMNE 是平行四边形， ∴MN ∥AE .∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB .又AD ⊥AB ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD 平面P AD ， ∴AB ⊥平面P AD . 又∵AE 平面P AD ， ∴AB ⊥AE ，又AE ∥MN ， ∴AB ⊥MN ，又CD ∥AB ， ∴MN ⊥CD .(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 是PD 的中点， ∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，CD ，PD 平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .。