一元二次方程根的判别式及应用练习题
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练(含答案)
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练10. (2008 甘肃省兰州市) 已知关于x 的一元二次方程220x x a --=．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足121123x x +=-，求a 的值．11. (2008 广东省梅州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2-mx -2=0． ……①(1) 若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；(2) 对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．12. (2008 广东省中山市) 已知关于x 的方程2(2)210xm x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．13. (2008 湖南省长沙市) 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？14. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．15. (2010 四川省成都市) 若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.16. (2010 四川省绵阳市) 已知关于x 的一元二次方程x 2= 2（1－m ）x －m 2的两实数根为x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．17. (2010 四川省南充市) 关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．18. (2010 广东省茂名市) 已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （3分）（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值． （4分）19. (2009 四川省乐山市) 关于x 的一元二次方程22(23)0xk x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、．（1）求k 的取值范围；（2）若6αβαβ++=，求2()35αβαβ-+-的值．20. (2009 四川省绵阳市) 已知关于x 的一元二次方程x 2+ 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．21. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．22. (2009 广东省茂名市) 设12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，使得1212x x x x >+·成立，请说明理由．23. (2007 湖北省襄樊市) 已知关于x 的方程222(2)0xm x m --+=．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．24. (2009 湖北省鄂州市) 关于x 的方程2(2)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．25. (2010 湖北省孝感市) 关于x 的一元二次方程210xx p -+-=有两实数根12x x 、．（1）求p 的取值范围；（4分）（2）若1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=，求p 的值．（6分）一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练答案第10题答案.解：（1）2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+．1分 方程有两个不相等的实数根，0∴∆>． 2分即1a >-．3分 （2）由题意得：122x x +=，12x x a =- ．4分121212112x x x x x x a ++==-，121123x x +=-223a ∴=--． 6分3a ∴=． 7分第11题答案.解：（1） x =-1是方程①的一个根，所以1+m -2=0，1分 解得m =1．2分 方程为x 2-x -2=0， 解得， x 1=-1， x 2=2． 所以方程的另一根为x =2．4分 （2） ac b 42-=m 2+8，5分 因为对于任意实数m ，m 2≥0， 6分 所以m 2+8>0，7分 所以对于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根． 8分第12题答案.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m 1分 =4)2(2+-m3分所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，5分根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ， 7分所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x9分第13题答案.由题意，△=(-4)2-4(m -21)=0…………………………………………（2分）即16-4m+2=0，m=29.………………………………………………（4分）当m=29时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2.……………………（6分）第14题答案.解：由题意可知 0= ．即 2(4)4(1)0m ---=．解得 5m =．3分当5m =时，原方程化为2440x x -+=． 解得 122x x ==．所以原方程的根为 122x x ==．5分第15题答案.解：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根， ∴244121680k k ∆=-⨯⨯=-≥． ……3分 解得2k ≤． ……2分 ∴k 的非负整数值为0，1，2． ……3分第16题答案.（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根，∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤21． （2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根，∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤21． 因而y 随m 的增大而减小，故当m =21时，取得极小值1．第17题答案.解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0． 即 49k >-，解得，94k >-． ……（4分） （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分） 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．解得，1x =，2x = （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．） 第18题答案.解：（1）0436)(14)6(42222>+=-⨯⨯--=-k k ac b ，·················2分因此方程有两个不相等的实数根．·································3分（2）12661b x x a -+=-=-= ，·····································4分 又12214x x += ， 解方程组：12126,214,x x x x +=+=⎧⎨⎩ 解得：218.2,x x ==-⎧⎨⎩·····················5分方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(22=--⨯--k ，················6分解得：4±=k ．·················································7分方法二：将21x x 和代入12c x x a =，得：1822k -=⨯-，······················6分解得：4±=k ．·················································7分第19题答案.解：（1） 方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根，0∴∆>，即22(23)410k k --⨯⨯>．解得34k <． （2）由根与系数的关系得：2(23)k k αβαβ+=--=，． 262360k k αβαβ++=∴-+-= ，．解得31k k ==-或．由（1）可知3k =不合题意，舍去．151k αβαβ∴=-∴+==，，．故()2235()519αβαβαβαβ-+-=+--=．第20题答案.（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1． （2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0， 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4．第21题答案.解：根据题意得：△()()2246b b =+--28200b b =+-=解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去）∴2b =………………………………………………………………………………４分 （1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意（2）当5c a ==时， 12a b c ++=…………………………………………６分第22题答案.解：∵方程有实数根，∴240b ac -≥，∴2(4)4(1)0k --+≥，即3k ≤．解法一：又∵2x ==∴12(2(24x x +=+=，12(2(21x x k ==+ 若1212x x x x >+ ，即14k +>，∴3k >．而这与3k ≤相矛盾，因此，不存在实数k ，使得1212x x x x >+ 成立． 解法二：又∵12441b x x a -+=-=-=， 12111c k x x k a +===+ ， （以下同解法一）第23题答案.解：设方程的两实根为12x x ，， 则：122(2)x x m +=-，212x x m = ．1分 令221256x x +=得：2221212()24(2)256x x x x m m +-=--=．3分即28200m m --=．10m ∴=或2m =-．5分当10m =时，222[2(102)]410164000∆=--⨯=-<，∴10m =不合题意，舍去．6分当2m =-时，222[2(22)]4(2)8160∆=---⨯-=->．故：存在实数m 使原方程的两实根的平方和等于56，m 的值是2-．7分第24题答案.（1）由2(2)404kk k∆=+->·得：1k >- 又0k ≠∴k 的取值范围是1k >-且0k ≠． （2）不存在符合条件的实数k ． 理由：设方程2(2)04kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有： 121212214110k x x k x x x x ⎧++=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩则20k k +-=，2k ∴=- 但由（1）知，2k =-时0∆<，原方程无解，故2k ≠-． 因此不存在符合条件的实数k ．第25题答案.解：（1）由题意得：2(1)4(1)0p ∆=---≥．2分 解得，54p ≤． 4分（2）由1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=得，221122(2)(2)9x x x x +-+-=．6分12x x 、是方程210x x p -+-=的两实数根，21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-=， 22112211x x p x x p ∴-=--=-，．(21)(21)9p p ∴+-+-=，即2(1)9p +=． 8分 2p ∴=，或4p =-．9分 54p ≤，∴所求p 的值为4p =-．10分说明：1．可利用121x x +=，得121x x =-，211x x =-代入原求值式中求解； 2．把已知等式按多项式乘法展开后求解．。
17.3(2)一元二次方程根的判别式(应用2)-沪教版(上海)八年级数学第一学期同步练习
17.3（2）一元二次方程根的判别式（应用2）一、选择题1、已知关于x 的一元二次方程022=+-a x x 有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、1≤aB 、1<aC 、1-≤aD 、1≥a2、已知关于x 的一元二次方程02222=+-m x x 有两个实数根，那么2)1(-m 的化简结果是（ ）A 、1-mB 、m -1C 、）（1-±m D 、1+m二、填空题3、关于x 的一元二次方程0)12(22=++-m x m x 的根的判别式的值是9，则m=___________4、关于x 的方程0122=+-x mx 有两个实数根，则m 的取值范围是________________5、已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______________6、如果关于x 的一元二次方程012)14(222=-++-k x k x 没有实数根，那么k 的取值范围是__________________7、关于x 的一元二次方程0232=+-x kx 有实根，那么k 的取值范围是__________________ 8、已知关于x 的一元二次方程04)3(22=+-+m x m x 有两个实数根，则m 的最大整数值是______________三、解答题9、当k 取何值时，关于x 的一元二次方程0542=-+-k x x 。
（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）无实数根10、求证：方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。
11、已知关于x 的方程01)1(2)1(22=+++-k x k 有实数根，求k 的取值范围。
、12、已知关于x 的方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围； （2）化简：44k |2--k |2+-+k13、已知关于x 的二次三次项式)5()2(22+++-m x m mx 在实数范围内不能分解因式，试判断方程0)2(2)5(2=++--m x m x m 根的情况14、已知a 、b 、c 是ABC ∆的三条边，关于x 的方程0)(43)(2)(2=---++c a x c a x c b 有两个相等的实数根，求证：ABC ∆是等腰三角形17.3（2） 一元二次方程根的判别式（应用2）1、A2、B3、-1或24、01≠≤m m 且5、41->m6、89-<k7、089≠-≤k k 且 8、1 9、由已知得()()k k 4365442-=---=∆。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
一元二次方程的复习(根的判别式及应用题)
一元二次方程根的判别式专及应用题（培优）例题1. 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是________练习1、已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 练习2、关于x 的一元二次方程 k -42-x 2x -4k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．练习3．关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 例题2、（根的判别式与化简求值综合）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，则4)2(222-+-b a ab 的值为练习4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，（1）求a 的取值范围 （2）求代数式的值a a a -++-21682例题3、关于x 的一元二次方程.012=-+-m mx x（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于3，求m 的取值范围.练习5. 已知：关于x 的方程0122=-+kx x（1）求证：方程有两个不相等的实数根。
（2）若方程的一个根是－1，求它的另一个根及k 的值。
例题4、若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a ²+b ²+c ²-ab-bc-ac=0，则△ABC 的形状是？练习6、已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，判断△ABC 的形状（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 练习7、c b a ,,是△ABC 的三条边，且一元二次方程02)(2)(2=-++---b c a x b a x c a 有两个相等的初数根，判断△ABC 的形状，并证明你的结论。
练习8、筹腰三角形的边长分别为a ，b ,3，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x ²-6x+n-1=0 的两根，则n 的值为练习9、已知：∆ABC 的三边分别是a b c 、、，方程02442=-++c b x a x 有两个相等的实数根，且a b c 、、 满足b c a =-23.（1）求证：∆ABC 是等边三角形.（2）若a b 、为方程0)32(22=+-+-k kx x 的两根，求k 的值.练习10、2011年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．（1）求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2014年底全市汽车拥有量不超过．．．155.52万辆．预计2014年报废的汽车数量是2013年底汽车拥有量的10%，求2013年底至2014年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．例题6、某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？练习11、今年夏天，某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元/千克，每天可多出售40千克。
一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)
第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】 设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-． 故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______． 【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003． 故答案为：2003． 三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-． 【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=， 即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=， 又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。
一元二次方程根的判别式练习题
…一元二次方程根的判别式练习题（一）填空1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．$7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是28．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有____．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____．12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____．13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．，15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根．（二）选择那么α=[ ]．18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]．）19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]．A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]．则该方程[ ]．A．无实数根； B．有相等的两实数根；C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根．,22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．A．2； B．0； C．1；D．3．23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．2； C．-1； D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]．A．4；B．-7；C．4或-7； D．所有实数．.[ ]．A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]．A．-1； B．0； C．1；D．2．27．若方程k（x2-2x＋1）-2x2＋x＝0有实数根，则[ ]．,28．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则 [ ]．29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]．A．4； B．1； C．-2； D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]．A．1； B．2； C．3；D． 4．（三）综合练习|有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+（a2＋b2－c2）x＋b2=0无解．33．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有实数根．34．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．35．一元二次方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．36．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．…37．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．38．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．39．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．40．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0的根对于a的任何值均是有理数\42．k为何值时，方程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．43．已知方程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证（1）此方程必有实根；（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．44．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．^有相等的实数根，求证r1＝r2或r1+r2＝d．46．求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a．47．已知方程x2＋2x＋1＋m=0没有实数根．求证方程x2＋（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．48．已知 a，b，c是三角形的三边．求证方程a2x2＋（a2+c2-b2）x＋c2=0无实数根．49．若方程b（x2-4）+4（b-a）x-c（-4+x2）=0的两个根不相等，且a，b，c为△ABC的三边，求证：△ABC不是等边三角形．50．k为何值时，方程4kx+k=x2+4k2+2：（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）无实数根—51．设实数x满足方程（x-2）2+（kx+2）2=4，求k的最大值．53．如果方程（3k-4）x2+6（k＋2）x＋3k+4=0没有实数根，那么方程kx2-2（k-1）x＋（k＋4）=0有实数根吗为什么54．m是什么实数值时，方程2x2＋（n＋1）x-（3n2-4n+m）=0有有理根1．2 一元二次方程的根的判别式（一）填空1．2}2．13．有两个不相等的4．6，-46．167．4，18．两个有理数根9．m=0—11．m，n为不等于零的任意实数12．b2-c2+a2=013．任意实数14．k≤115．无实数16．也有相等的（二）选择}17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D27．C 28．B 29．B 30．C（三）综合练习已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，即化简得4m（a2-c2+b2）=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．]32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．33．当a=1，b=时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2（1+a）］2-4（3a2+4ab+4b2+2）=-4[（1-a）2+（a+2b）2]≥0．又因为（1-a）2≥0，（a+2b）2≥0，故而有（1-a）2+（a+2b）2≥0，所以只有-4[（1-a）2+（a+2b）2]=0，即（1-a）2+（a+2b）2=0．从而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=．34．2≤b≤6．提示：方法一Δ=（a-8）2-4（12-2b）≥0，即a2+4a（b-4）+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4（b-4）]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．方法二Δ=（a-8）2-4（12-2b）=a2+4a（b-4）+16={a2+2a[2（b-4）]+[2（b-4）]2}-[2（b-4）]2+16=[a+2（b-4）]2-4[（b-4）2-4]≥0．因此只能（b-4）2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b≤6．35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4^k的最大整数值为2．40．-4．41．b=1．提示：Δ=（a+1）2+8（3a2-4a+b）=25a2-30a+8b+1．由于25a2-30a+8b+1应为a的完全平方式．所以（-30）2-4×25×（8b+1）=0，所以b=1．！42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解出b=c．45．提示：Δ=（-2r1）2-4（r22+r1d-r2d）=0，即4r21-4r22-4r1d+4r2d=0，（r21-r22）-d（r1-r2）=0，（r1-r2）（r1+r2-d）=0，所以r1=r2或r1+r2=d．46．提示：原方程化为x2-（2a+b）x+（a2+ab-1）=0，Δ=[-（2a+b）]2-4（a2+ab-1）=4a2+4ab+b2-4a2-4ab+4=b2+4，即Δ＞0．代47．提示：因为方程x2+2x+1+m=0无实根，所以Δ=4-4（1+m）=4-4-4m＜0，推知m＞0．而方程x2+（m-2）x-（x+3）=0的Δ=（m-2）2+4（m+3）＞0．48．提示：Δ=（a2+c2-b2）2-4a2c2=（a2+c2-b2+2ac）（a2+c2-b2-2ac）=[（a+c）2-b2]×[（a-c）2-b2]=（a+c+b）×（a+c-b）×（a-c+b）×（a-c-b）．因为a，b，c是三角形的三边，所以a+b+c＞0，a+c-b ＞0，a-c+b＞0，a-c-b＜0，推知Δ＜0．49．提示：原方程化为：（b-c）x2+4（b-a）x-4（b-c）=0，Δ=16（b-a）2+16（b-c）2＞0．所以（b-a）与（b-c）不全为0，a，b，c不全相等，因此△ABC不是等边三角形．50．（1）k＞2；（2）k=2；（3）k＜2．51．k的最大值为0，提示：原方程化为：（k2+1）x2+（4k-4）x+4=0．因为x是实数，所以Δ=（4k-4）2-4×4（k2+1）=16（k2-2k+1-k2-1）=-32k≥0．所以k≤0，即k的最大值是0．x+（k+4）=0的Δ＞0，故而方程有实数根．54．m=1．。
一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0⇔方程有________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0⇔方程__________实数根．二、例变讲练例1 方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0例2 已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3 已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4 若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________．变4 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4. 若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5. 若关于x的方程x2＋x－94a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠1 D．m≥－2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．10. 等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时 一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x ＝_______________． 两，不相等，－b±b2－4ac 2a(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有________个________的实数根，x 1＝x 2＝______________．(3)b 2－4ac ＜0⇔方程__________实数根．两，相等，－b 2a，无 二、例变讲练例1 方程3x 2－2x －1＝0的根的判别式为b2－4ac ＝16，此方程有两个__________的实数根．不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 D例2 已知关于x 的方程x 2－3x ＋2－m 2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示)；解：b 2－4ac ＝4m 2＋1；(2)说明不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解：b 2－4ac ＝4m 2＋1≥1>0，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x －3m ＝0.求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m －3)2－4×(－3m)＝m 2－6m ＋9＋12m＝m 2＋6m ＋9＝(m ＋3)2，∵无论实数m 取何值，总有(m ＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，则m 的取值范围是______________．m≥－1变3 已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．k>－1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2－4x －c ＝0的根的判别式Δ＝4，则c ＝_________．-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A ．(x －1)2＝0B ．x 2＋2x －19＝0C ．x 2＋4＝0D ．x 2＋x ＋1＝0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是_________．m<－44. 若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为 x ＝x=_____________－14， x 1＝x 2＝125. 若关于x 的方程x 2＋x －94a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．a>－196. 已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥－2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x2－4x －5＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________．k ＜158. 求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5，∵m2≥0，∴16m 2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m 为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋2m ＝0.(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－4×1×2m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x ＝1代入原方程，得：1－(m ＋2)＋2m ＝0，∴m ＝1，∴方程的另一个根为2×11＝2. 当1，2为直角边长时，斜边长＝12＋22＝5，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋5＝3＋5；当2为斜边长时，另一直角边长＝22－12＝3，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋3＝3＋ 3.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋5或3＋ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，求n 的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得：n ＝10，综上所述：n ＝10.。
根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程专项练习60题1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求m的值．《2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，（1）若方程的一根为0，求实数a的值；（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值;4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．—5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．'6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值．8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0．"（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．￥10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+12m+x22=10，求m的值．？11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12=11﹣x22，求k的值．12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．、13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣2=0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m﹣11，求的值．14．一元二次方程x2+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x12﹣x22=0，求k值．}15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．16．关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．，（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．17．已知关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a ﹣2n有小于2的正实根，求n的整数值．？（1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．!19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．20．已知关于x的方程x2+（2m﹣3）x+m2+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．(21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．"22．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．（24．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．|25．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．26．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．|27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当（x1+x2）•（x1﹣x2）=0时，求m的值．（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）：28．关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．·29．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．30．已知关于x的方程k有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k，使成立若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．#31．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．&32．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．—34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．>35．一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0，（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数%36．已知一元二次方程kx2+x+1=0（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3%37．关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．38．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．、（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．39．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m为何值时，方程总有两个实数根（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2=78时，求m的值．，40．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个实数根，且=1时求m的值．《41．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．42．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7．求（x1﹣x2）2的值．《43．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．:44．若关于x的一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．45．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是x=﹣2，求k的值以及方程的另一根．（46．已知x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，且满足（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，求m的值．47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．48．若关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．。
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一元二次方程根的判别式及应用练习题
1若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是
A.m＝0B．ｍ≠1 C．ｍ≥0且ｍ≠1Ｄ.m为任意实数
２、若x＝2是关于x的方程的一个根，则2ａ-1的值是A．2ﻩＢ．-2 C.３ﻩD.－３
3关于x的方程的根的情况是（）
A.方程有两个不相等的实数根Ｂ.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根Ｄ．根的情况与的取值有关
４若一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是A．1ﻩB．2ﻩﻩＣ．3ﻩﻩD．4
６若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（)
A．B.且k≠0C．D．且k≠0 7、若ｃ为实数,方程x2-3x+ｃ=0的一个根的相反数是方程x2＋3x-ｃ＝０的一个根，那么方程x2 －3x+c＝0的根是（)
A．1,2 B．-１，-2 C．0，3 Ｄ．０，－３8、若一元二次方程ax２＋bx+ｃ＝0(ａ≠0）的两根之比为2:３，那么a、b、c间的关系应当是( ）
A.３ｂ2＝8ac B．C.6b2=25ac D．不能确定
９、若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为＿__＿_______．
1０、若方程kｘ2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是.
11、如果关于ｘ的方程（m为常数)有两个相等的实数根，那么m=________＿．
1２如果关于ｘ的方程kx２-(2k+1）x+(k+2)＝0有实数根，k___＿＿_＿____
13、若ｐ2–３p–5＝０，q２-3q–5=0，且p≠ｑ,则
.
１4、已知a2=１－a，b2=1－b,且a≠b,则(a-１)(b－1）=___＿＿_．15、已知关于x的方程有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式 0,常数项c0.
1６若关于x的方程有两个负根,则a的取值范围是＿＿＿_＿_＿__＿_______＿_＿．合适的方法解方程：(1)(2）；(３）；
17、求证：不论ｋ取什么实数，方程x２-(ｋ+6)x＋4(k-3)=0一定有两个
不相等的实数根.
18已知a,ｂ,ｃ为三角形的三边长,且关于x的方程
有两个相等的实数根．试判断此三角形的形状.
19．某商品原售价50元,因销售不畅,10月份降价10%,从11月份开始涨价,１２月份售价为６4.8元，求１1、12月份每个月的平均涨价率是多少?
２0．某商店今年五月份的营业额为５000万元，六月份的营业额比五月份增加了2０％，但由于经营不当，八月份的营业额下降为４8６0万元。
求该商店七月份和八月份平均增长率?
21.在宽为２０m,长为32m的矩形的地面上,修筑两条同样宽的互相垂直的道路，剩下的部分作为耕地,要使耕地面积为５40m2，道路的宽应为多少米？
22(2015•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业,某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到８０万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（)
A. 2０(1+２x）=8０
B. 2×２0(1+x）=80
C．2０（１+x２)=80 D．20(1+ｘ）2=80。