2一元二次方程根的应用
一元二次方程的解法及其应用
一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。
因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。
这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。
2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。
根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。
例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。
因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。
解集为{1/2, -3/2}。
应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。
2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。
一元二次方程根的定义在解题中的应用
一元二次方程的根是指方程ax^2+bx+c=0中的解x。
对于一元二次方程，它可以有两个根、一个根或者没有实根。
在解题中，我们可以利用方程的根来解决各种问题。
以下是一些应用一元二次方程根的例子：
求解方程：通过求解一元二次方程的根，我们可以得到方程的解。
例如，对于方程x^2+2x-3=0，通过使用求根公式，我们可以计算出方程的两个根为x=1和x=-3。
求解实际问题：在解决实际问题时，我们可以将问题转化为一元二次方程，并使用方程的根来解决问题。
例如，一个物体从一定高度落下，求它落到地面的时间。
将问题转化为一元二次方程y=gt^2/2+h，其中y为高度，g为重力加速度，h为落下的高度，t为时间。
将方程化为标准的一元二次方程，然后求解它的根，我们可以得到物体落到地面的时间。
确定二次函数的性质：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，我们可以使用它的根来确定它的性质。
例如，如果二次函数有两个实根，则它的抛物线会与x轴相交，并且函数的顶点在两个根的中点上。
总之，一元二次方程根的定义在解题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题，包括求解方程、求解实际问题和确定二次函数的性质等。
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
第二章一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。
难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。
知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。
即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。
2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。
（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。
若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。
知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。
（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。
一元二次方程的解法及实际应用
一元二次方程的解法及实际应用一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的形式，它可以用来解决很多实际生活中的问题。
本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨一些实际应用。
二、一元二次方程的解法1. 标准形式一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0。
其中，a、b、c分别代表方程中的系数，且a ≠ 0。
2. 利用“求根公式”解方程一元二次方程可通过求根公式来解决。
求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
- 若b² - 4ac > 0，方程有两个不同实数根；- 若b² - 4ac = 0，方程有一个实数根，且为重根；- 若b² - 4ac < 0，方程无实数根，但可以有复数根。
三、实际应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动问题可以通过一元二次方程来建模和求解。
例如，当我们抛出一个物体时，可以通过解一元二次方程来计算物体的落地时间、最高高度等。
2. 金融领域一元二次方程在金融领域中也有实际应用。
例如，在债券定价中，可以使用一元二次方程来计算债券的到期回报率；在利润预测模型中，可以通过一元二次方程来估计销售量与利润之间的关系。
3. 工程建模在工程领域中，一元二次方程经常用于建立工程模型和解决实际问题。
例如，用于预测水位变化情况、建筑物的稳定性分析等。
4. 生活中的应用一元二次方程还广泛应用于我们的日常生活中，例如：- 菜价预测：可以使用一元二次方程拟合历史数据，预测未来的价格变动趋势；- 汽车刹车距离计算：根据实验数据构建一元二次方程，通过计算得到刹车距离；- 光学仪器矫正：利用一元二次方程来计算镜片的度数以及矫正度数；- 音乐振动学：通过一元二次方程来计算乐器的音调和共振频率。
四、结论一元二次方程作为数学中常见的形式，具有广泛的实际应用领域。
掌握一元二次方程的解法有助于我们在解决实际问题时提供更准确的结果。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程的根的几何意义
一元二次方程的根的几何意义一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
这个方程的解，也称为方程的根，对于一元二次方程而言，一般有两个根。
那么，这两个根在几何上有何意义呢？我们来了解一下一元二次方程的图像。
一元二次方程可以表示二次函数的图像，这个图像是一个抛物线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
这个抛物线的对称轴是一个直线，它的方程为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分成两部分，左右两边关于对称轴对称。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示方程的函数。
根据一元二次方程的定义，我们知道它的两个根就是使方程成立的x值。
从几何的角度来看，这两个根就是抛物线与x轴的交点，也就是抛物线与x轴的零点。
这两个交点的坐标分别为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2是方程的两个根。
通过观察这两个根的坐标，我们可以得出一些几何意义。
首先，如果方程有两个不相等的实根，那么抛物线与x轴有两个交点，也就是抛物线与x轴有两个零点。
这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成三段，分别为开口朝上的一段、开口朝下的一段和过对称轴的一段。
这种情况下，抛物线与x轴的交点是一个很重要的几何特征。
如果方程只有一个实根，那么抛物线与x轴有一个交点，也就是抛物线与x轴有一个零点。
这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成两段，分别为开口朝上的一段和过对称轴的一段。
这种情况下，抛物线与x轴的交点也是一个重要的几何特征。
如果方程没有实根，那么抛物线与x轴没有交点，也就是抛物线与x轴没有零点。
这时，抛物线与x轴不相交，整个抛物线都在x轴的上方或下方。
这种情况下，抛物线与x轴的关系也是一个重要的几何特征。
一元二次方程的根在几何上有着重要的意义。
通过观察方程的根，我们可以推断出抛物线与x轴的交点个数、抛物线的开口方向以及抛物线与对称轴的关系。
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E F
如图，过E点作EM∥AD交CB于M点， B 设BD=2x，DC=3X, AF=4y,FD=y,ME=t
D MC
∵△CEM∽△CAD
CE CM ME CA= CD = AD
CM t
3xt
3x =5xCM= 5x
∵△BFD∽△BEM
FD BD EM = BM
2xt BM= y
∵BM＋CM=BC
解：方程（1），（2）有一根是0 方程（3），（4）有一根是1 方程（5），（6）有一根是﹣ 1
它们分别有什么特征：
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得 a 12 b 1 c 0 即a b c 0
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
△ 的A面3积B2分B3别为1,4则图中S1,S2,S3的面积之和是---------1- 0.5 B2
由题意知，△ B1A2B2∽△B2A3B3
B3
S∆B1A2B2 1 B1B2 B1B2 1
S∆B2A3B3 =4=( B2B3 )² B2B3 =B2 2
∵A1B1 A2B2 A3B
B1
B1 M
B
C
D
过F点作MF AC
A
F
E
A
F
E
B
C
B
C
D
A
D
F
E
B
C
D
A
A
F
E
B
D C
F
E
B
C
A
F
E
B
C
D D
若△A2B1B2，△A3B2B3
如图，点A1，A2，A的3面，积分A4别在为1射,9线则图O中AS上1,S，2,S点3的B面1积，之B和2是，---B---3---在 且射A1线B1O∥BA上2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥AS14﹢BS3，2﹢若S3=△13 ﹢A32﹢B217B=23，0 13
则一次函数y=kx+b的图象一定经过▁▁▁▁象限
一，三，四
3:一元二次方程ax²＋bx＋c=0的一根是1，且满足等式 b= a﹣2+ 2﹣a﹣1,求此一元二次方程
解：∵
a-2≥0 2﹣a≥0
a=2,b=﹣1
∴方程为2x²﹣x＋c=0 ∴当x=1时，c=﹣1
∴方程为2x²﹣x﹣1=0
已知（m²﹣4m＋4)xm²﹣2+5mx﹣15=0是关于x的一元二次方程，
所以当m= ﹣1时，该方程有一根是0
例 3：判断 2 ， 4 ，0 是不是一元二次方程 3
3x 2 8 2x 的根。
解：把 x 2 分别代入方程 3x2 8 2x 的左边和右边，得 左边的值为 3 22 8 12 8 4 ； 右边的值为 2 2 4 。 ∵左边的值与右边的值相等 ∴ x 2 是这个一元二次方程的根。
③对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为﹣ 1时，a ﹣ b ＋c=0
反过来，当a ﹣b ＋ c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为﹣1
1)若c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 0.
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为 1 . 3)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为-1.
解： ∵a是方程x ²﹣2020x ＋1=0的一根 ∴a ²﹣2020a ＋1=0 ∴a ²﹣2019a﹣a ＋1=0
∴a ²﹣2019a=a ﹣1 ∴a ²＋1=2020a
解： ∵﹣2是方程x ²﹣mx ﹣2=0的一根 ∴(﹣2) ²﹣(﹣2)m ﹣2=0 解得：m=﹣1
类型三：已知方程的根，比较代数式值的大小
①对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为0时，常数项 c =0
反过来，当c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为0
②对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为1时，a ＋b ＋c=0
反过来，当a ＋ b ＋ c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为1
老师课前寄语
只有一条路不能选择——那就是放弃的路； 只有一条路不能拒绝——那就是成长的路
课题：一元二次方程的根及其应用
好
天
好
天
学
向
习
上
汤庄一中：雷林海 电话：15138201394
学习目标
了解方程根的概念，能利用方程根的意 义解决有关问题
复习
1：一元二次方程的定义是什么？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.
→
（1）A 图1
作法 6 A
如图，AF:FD=4：1，
BD:DC=2：3，则AE:EC=--------
F
EM
如图，过F点作FM∥BC交CA于M点，设BD=2x，DC=3X
∵△AFM∽△ADC FM AM 4 3x = AC =5
FM AM AF 4 B D
DC = AC = AD=5
4)若4a 2b c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 2.
1)已知关于x的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0,的一根是0
则a的值为B
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
2：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一根是1，且a,b 满足等式
b= a-2 + 2-a -1, 求此一元二次方程的一般形式
Z
O
A1
A2
B1B2 A1A2 B2B3 = A2A3
作法 10
如图，AF:FD=4：1，BD:DC=2：3，
则AE:EC=--------
A
如图，过C点作CM∥BE 交AD延长线于M点，
E F
设 AF=4x,FD=x,
BD
C
∵EF∥CM AE AF 4x
EC = FM = FM
M
5x FM=FD＋DM= 2
∵BF∥MC FD BD 2
DM =DC=3 3x
∵ME∥BD △ MEF∽△DBF
ME FM t FM BD = FD 2x= y
yt FM= 2x
∵AM＋MF=AF
5yt 3x
＋
yt 2x
=4y
24x ME=t= 13
∵ME∥DC △ AME∽△ADC
AE ME AM AC= DC = AD
5yt AM= 3x
AE ME 8 AC= DC =13
2xt y
＋
3xt 5y
=5x
25y t= 13
∵EM∥AD
25y
CE ME 13 5 CA= AD = 5y =13
AE 8 EC =5
作法 8
A
如图，AF:FD=4：1， BD:DC=2：3，则AE:EC=--------
M
E
F
如图，过E点作EM∥BC交AD于M点， B D
C
设BD=2x，DC=3X, AF=4y,FD=y,ME=t
2：怎样判定一个方程是否是一元二次方程？ ①方程化简后看是否只含有一个未知数
②方程化简后看未知数的最高次数是否是2 ③方程化简前看等号的两边是否都是整式 3：一元二次方程的一般形式是什么？ ax²＋bx＋c=0(a,b,c是常数且a≠0)
a≥0且a≠2
1：若方程(a-2)x²＋ a x=3是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是▁ 2：若k,b分别是一元二次方程（x＋1)(x﹣2)=1的二次项系数和常数项
非一元方程的解不能叫方程的根
根据方程根的意义解决问题
类型一：已知方程的一根，求待定系数的值
1：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-
5m＋4＝0有一根为2,求m的值.
解：∵方程有一根是2 ∴把x＝2代入原方程得 4（m-1)+6-5m+4=0
解得 m=6 ∴ 所求m的值是6
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。
求代数式
4m＋10 7﹣m
的值
解：由题意得：
m²﹣2=2 m²﹣4m＋4≠0
解得：m=﹣2
原式=
﹣8＋10 7＋2
2 =9
复习 （1）什么叫方程的根？方程的根
和解有什么联系和区别？
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫 方程的解.一元方程的解也叫做一元方程根. 通常情况下，一元二次方程的解叫一元二次 方程的根
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
例 4：关于 x 的一元二次方程 m 1x2 x m2 1 0
的一个根为 0，求 m 的值。
解：把x=0代入原方程得： m ²﹣1=0 即m ²=1 ∴m= ±1 又∵m﹣1≠0 ∴m≠1 ∴m= ﹣1
问题 2：在下列方程中，哪些方程有一个根为 0？
哪些方程有一个根为 1？哪些方程有一个根为-1？
（1） 2x2 x 0 ；（2）5x2 4x 0 ； （3）3x2 2x 5 0；（4） x2 7x 6 0； （5） x2 5x 4 0 ；（6） 2x2 3x 5 0 。
解：由题意得 a b c 0
即a 12 b 1 c 0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1