一元二次方程根的图形解法及其应用
初中数学 如何通过一元二次方程的图像确定其解的情况
初中数学如何通过一元二次方程的图像确定其解的情况一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
通过一元二次方程的图像，我们可以确定方程的解的情况。
下面我将详细介绍如何通过图像确定方程的解的情况。
首先，我们需要了解一元二次方程的图像是什么样的。
一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
接下来，我们来探讨方程的解的情况。
一元二次方程的解可以分为三种情况：有两个实数解、有一个实数解、无实数解。
1. 有两个实数解的情况：当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个实数解。
这种情况发生在方程的判别式D = b^2 - 4ac > 0时。
判别式D表示抛物线与x轴的交点个数，当D > 0时，有两个交点，即方程有两个实数解。
2. 有一个实数解的情况：当抛物线与x轴有一个交点时，方程有一个实数解。
这种情况发生在方程的判别式D = b^2 - 4ac = 0时。
判别式D为0表示抛物线与x轴有一个交点，即方程有一个实数解。
3. 无实数解的情况：当抛物线与x轴没有交点时，方程无实数解。
这种情况发生在方程的判别式D = b^2 - 4ac < 0时。
判别式D小于0表示抛物线与x轴没有交点，即方程无实数解。
通过以上分析，我们可以通过观察一元二次方程的图像来确定方程的解的情况。
具体步骤如下：1. 绘制一元二次方程的图像，可以借助计算机绘图软件或手绘。
2. 观察抛物线与x轴的交点个数。
-如果有两个交点，则方程有两个实数解。
-如果有一个交点，则方程有一个实数解。
-如果没有交点，则方程无实数解。
需要注意的是，通过图像确定解的情况只能给出初步的结论，具体的解需要通过代入法或求根公式进行计算。
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根
例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根二次函数是一个常见的二次方程方程的图象，通过利用二次函数的图象可以求解一元二次方程的根。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
首先，我们来分析二次函数的图象。
二次函数的标准形式为y =ax^2 + bx + c，其中a≠0，对应的图象是一个抛物线。
如果a>0，那么抛物线开口向上，最低点在y轴上方，如果a<0，那么抛物线开口向下，最低点在y轴下方。
我们可以通过观察二次函数的图象，抛物线与x轴相交的点就是一元二次方程的根。
根据图象的特点，我们可以得出下面的结论：1.如果二次函数图象与x轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不同的实数根；2.如果二次函数图象与x轴有且只有一个交点，那么一元二次方程有一个实数根；3.如果二次函数图象与x轴没有交点，那么一元二次方程没有实数根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何利用二次函数的图象求解一元二次方程的根。
例1：求解方程x^2-3x+2=0的根。
首先，我们将方程的系数与一元二次方程的一般形式对应起来，可以看出a=1，b=-3，c=2我们可以通过求解方程的判别式来判断该方程有几个实数根。
判别式的计算公式为D=b^2 - 4ac，其中D为判别式的值。
根据判别式的值可以得出以下结论：1.如果D>0，方程有两个不同的实数根；2.如果D=0，方程有一个实数根；3.如果D<0，方程没有实数根。
我们将系数代入计算判别式：D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1根据判别式的结果，我们可以得知方程有两个不同的实数根。
接下来，我们可以画出二次函数的图象来求解方程的根。
首先，我们可以画出抛物线的大致形状。
由于判别式大于0，所以抛物线开口向上。
现在，我们需要找到抛物线与x轴的交点。
我们可以看出，抛物线与x轴的交点对应方程的根。
根据题意，我们需要求解方程的两个根，所以我们需要找到抛物线与x轴的两个交点。
用一元二次方程解决几何图形问题PPT课件
b
a
S 1 ah 2
a
S 1 ab 2
a
S a2
a
S ab
a h
b
S 1 (a b) h 2
S ah
r
S r2
1．直角三角形两条直角边的和为7，面 积为6，则斜边为（ ）． 2．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长 方形，余下的面积是48cm2，则原来的正 方形铁片的面积是（ ）． 3、在一块长10m，宽6m的矩形纸片，
32m
2om
变式： 如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上 修筑横纵的宽度比为2：1的道路（图中白色部 分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积 为540m2，求道路的宽.
小结
灵活运用“平移变换”利用对分离的 图形的面积进行“整体表示”，使问 题简化，做到不重不漏。
一元二次方程与动态几何综合
将纸片四个角剪去一个同样的正方形， 制成底面积是12m2的无盖长方体纸盒， 设剪去的正方形边长为xcm,则可列出 关于x的方程为 •
4.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,设 AB边为Xm可列方程
B
C
A
小结
列一元二次方程解应用题的步骤 审、设、列、解、检、答．
解： (2)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2， 若PQ＝5 cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25. 解得x1＝0(舍去)，x2＝2. 故2 s后，PQ的长度为5 cm.
(3)不能．理由如下：仿照(1)，得 解：
1 (5－x)·2x＝7， 整2 理，得x2－5x＋7＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝25－4×1×7＝－3＜0， ∴此方程无实数解． ∴△PBQ的面积不能为7 cm2.
21.3.2图像法求一元二次方程的根
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)
一个解x的范围是（ C ）
A. 3＜x＜3.23
B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25
D. 3.25＜x＜3.26
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一 元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10 和直线y=3的交点的横坐标；
两个交点的横坐标一个在-5 与-4之间,另一个在2与3之间.
(4)确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根 为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
3、根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
方程组
x 2y 2x y
2 6
的解吗？
①在同一个直角坐标系中，画出直线
L1：y
1
x
1
与直线L2：y=2x+6的图像.
2
②两条直线有交点吗？
（－2，2）
写出交点的坐标P（－2，2 ）
l2：y 2x 6
③检验点P的坐标是不是方程
组
x 2y 2x y
2 的解？ 6
l1：y
-
1 2
x
1
一元二次方程的图象解法
两个不相等的实数根
(2)一元二次方程ax2+bx+c=4的根的情况是？
无实数根
(3)一元二次方程ax2+bx+c=2的根的情况是？
一元二次方程的根的几何意义
一元二次方程的根的几何意义一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
这个方程的解，也称为方程的根，对于一元二次方程而言，一般有两个根。
那么，这两个根在几何上有何意义呢？我们来了解一下一元二次方程的图像。
一元二次方程可以表示二次函数的图像，这个图像是一个抛物线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
这个抛物线的对称轴是一个直线，它的方程为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分成两部分，左右两边关于对称轴对称。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示方程的函数。
根据一元二次方程的定义，我们知道它的两个根就是使方程成立的x值。
从几何的角度来看，这两个根就是抛物线与x轴的交点，也就是抛物线与x轴的零点。
这两个交点的坐标分别为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2是方程的两个根。
通过观察这两个根的坐标，我们可以得出一些几何意义。
首先，如果方程有两个不相等的实根，那么抛物线与x轴有两个交点，也就是抛物线与x轴有两个零点。
这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成三段，分别为开口朝上的一段、开口朝下的一段和过对称轴的一段。
这种情况下，抛物线与x轴的交点是一个很重要的几何特征。
如果方程只有一个实根，那么抛物线与x轴有一个交点，也就是抛物线与x轴有一个零点。
这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成两段，分别为开口朝上的一段和过对称轴的一段。
这种情况下，抛物线与x轴的交点也是一个重要的几何特征。
如果方程没有实根，那么抛物线与x轴没有交点，也就是抛物线与x轴没有零点。
这时，抛物线与x轴不相交，整个抛物线都在x轴的上方或下方。
这种情况下，抛物线与x轴的关系也是一个重要的几何特征。
一元二次方程的根在几何上有着重要的意义。
通过观察方程的根，我们可以推断出抛物线与x轴的交点个数、抛物线的开口方向以及抛物线与对称轴的关系。
一元二次方程的解法ppt课件
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
一元二次方程组的图像解法
①小组合作，利用计算器进行探索,结果精确 到十分位。
②将探究过程用表格形式记录下来。
y=x2+2x-10
X1=-4.3是方程的一个近似根。
利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根。
(1)2ห้องสมุดไป่ตู้3之间的根也可以类似地求出。
X2=2.3是方程的另一个近似根。
“数形结合百般好， 隔裂分家万事休”
——华罗庚
1.必做题:同步测试卷
2.选做题:
（1）练习册p117 第6题 （2）利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图 象，求一元二次方程2x2=x+2 的近似根。
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0
(2) 作二次函数y=x2+2x-13的图象； 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的 交点的横坐标；
x -4.6 -4.7 -4.8 -4.9 y -1.04 -0.31 0.44 4.21
x 2.6 2.7 2.8 2.9 y -1.04 -0.31 0.44 4.21
探究活动二、用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
方程x2+2x-10=3的方程的近似根为:
x1= - 4.7, x2 = 2.7.
直线y=3
（1）—4与—5之间的根
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 1.96 2.69 3.44 4.21
鲁教版数学九年级上册
3.7.2 二次函数与一元二次方程
长岛县第二实验学校 武丽杰
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
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一Ｏ的根 除 了代 数 法外 ， 是 利 用 二 次 函数 的 图 像 方 法 就 求 方 程 的根 ， 因绘 制 图像 采 用 描 点 法 ， 到 的 解 精 确 但 得 度 不 高 ， 实 际操 作 层 面 很 难 表 示 出 方 程 的 精 确 解 ． 从 本
ｚ ＋ ｚ １ ，
Ｈ 一 — 一 一 一
．
例 ２ 解方程 ２ ｚ ｘ 一７ 一４ —０
解： 易知 Ｂ（ ， ）在 ÷ 一２ ，
、
两 个相 等 的实 根 ； （）圆 与 轴 相 离 骨 ｒ ｄ：ｂ 一 ４ ｃ Ｏ Ｖ 程 有 ３ ＜ Ｃ 口＜ Ｖ方 Ｖ 两 个无 实 根 ．
坐 标 系 中 画 以 （ ， １） ０ ，
圆 ， ‘圆交 ｚ轴 于 （ ０ ５ ０ ‘ ． 一 ． ，） 和 （ ， ）（ 图 ３ ．． ４０ 如 ） ．原 方 程 的 解 为 ｚ 一 一０ ５ ２ ． １ ． ， —４ 例 ３ 求 方程 ３。 ９ ｘ ＋ ｘ＋ ４ —０的 近 似 解 ． 精 确 到 （
０ ） ．１
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一
（ ， ） ÷ 一２ 两点为直径端点的
、 ６
＜＿ ／、
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结 ： 坐 系ｘ 中 ｇｏ ） 一ｂ÷） 论２在 标 ｏ ，（１ （ ， 两 ｙ ｔ ，，
点 为 直 径 端 点 的 圆 与 ｚ轴 交 点 的 横 坐 标 为 一 元 二 次 方
程 ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ０的 根 ． （。 ４ ｃ Ｏ Ｘ ｘ 一 ６一 ａ ＞ ） 证 明：设 以 （ ０，１），
系 中 画 以 （０ １） ， ，
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Ｂ 一 三） （ ｂ， ．
、 口 Ⅱ
（３ 两 为 径 一， 点 直 端 鲁）
图 １
２ ．
不 妨 设 点 Ｂ 在 第 一 象 限 ． 其 它位 置 同法 可 证 ） （ 作 Ｍ Ｈ＿ｚ轴 于 Ｈ ， Ｇ＿ｚ轴 于 Ｇ（ 图 １． ｌ － Ｂ ｌ ＿ 如 ） 根 据 垂 径 定 理 和 平 行 线 等 分 线 段 定 理 可 知 ： 是 Ｈ
／ ３５ ： （．
图 ３
Ｉ
（ ， 两 为 径 一ｂ÷） 点 直 端
点 的 圆 ０Ｍ 与 轴 交 点 ｃ、 Ｄ 的横 坐 标 为 分 别 为 ｚ ， ｚ （ 中 Ｘ ＜ ｚ ） Ａ （ ， ） 其 １ ２， ０ １，
解 ：由题 意 知
Ｂ－ ， ，坐 （ａ 在 标 鲁）
实根 ；
由１ 知Ｃ 一 云 其 表 （式 ： 一 ｄ ） Ｈ 一 （中ｒ 示
④Ｍ 的半 径 ， ｄ表 示 Ｍ Ｈ 的 长 ） （） ４
由２（ （ 式 ： ｚ （ 丑 ‘ （ ３ ４ 知ｚ ｚ ） ）） ） ｔ一 专 一
（ ） （ ） ｂ —ｃ 一 ４ 一 一ｚ ａ －ｃ ㈣
： — ｂ ￣
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。 坐 标 系 中 圆与 Ｘ轴 无 在
原方程无解．
图２
． － ｚ— ．ｒ
４ｃ ａ
（） １
交点 ，
． ．
＿ ｒ
４ ａ
（ ）圆 与 ｚ轴 相 交 ㈢ ｒ ｄ ６ — ４ ｃ Ｏ：方 程 １ ＞ ２ ａ￣ Ｃ ｅ ｅ 有 两 个 不 等 的实 根 ； （ ）圆 与 ｚ轴 相 切 ㈢ ｒ Ｗ ｂ 一 ４ ｃ 甘 方 程 有 ２ —ｄ 。 ａ —ｏ
者．
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ＣＨ 一 —２ １ ．＿ ． Ｔ－． ． Ｔ ．
（） ３
结 ： 坐 系 ｏ中以ｏ）（ ， 两 论１在 标 ｘ ，（１ 一ｂ詈） ｙ ，，
点 为 直 径端 点 的 圆与 ｚ 轴 的 位 置 情 况 与一 元 二 次 方 程 ｎ ｚ ＋ ＋ ｃ ＝０根 的情 况 之 间 的关 系 ： （）圆 与 轴 相 交 一 元 二 次 方 程 有 两 个 不 等 的 １
ｂ
一
则 ｚ ＋ｚ 一 一 。
又 ‘ ． 。ＣＤ ＝ Ｘ 一Ｘ１ ２
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（） ２
文 在 标 内 造 （１ （ ， 两 为 径 拟 坐 系 构 以ｏ ） 一ｂ÷） 点 直 ，，
端 点 的 圆 ， 用 此 圆与 横 轴 的交 点 ， 究 一 元 二 次 方 程 利 研 根 的 图 形 解 法 ， 将 此 结 论 应 用 于 一 些 问 题 ， 飨 读 并 以
—
， ÷ Ｂ一１ （ ） （ 詈 一 为 直径 端 点ｏ１， 一÷ ，） ２ Ａ ［ ） 画以（，） （ ２ 两点 ’ ‘Ｄ 一 ÷＋一 ］ 的圆
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一
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ｄ ÷ 寺 （ ） 一 ＋ 一
由（ ） ５式 知 ： － 是 一 元 二 次 方 程 ｎ 。 ｘ ２ （） ｚ ， ｚ ｚ ＋ｂ ＋Ｃ
一 ０的 根 ．
（）圆 与 ｚ轴 相 切 甘 一 元 二 次 方 程 有 两 个 相 等 的 ２
实根 ；
（）圆与 轴 相 离 ㈢ 一元 二次 方程 有 无 实 根 ． ３
证明： （， ，（ ， ， 设ＡＯ１ Ｂ 一 一 韦达圆的 ） Ｃ） 半径为
・６ ・ ４
数 学 教 育 研 究
２１ ０ ０年 第 ３ 期
一
元二 次方 程根 的 图形解 法 及 其应 用
潘 金 城 蔡 雪 梅 （ 省扬中 江苏 市外国 语学 校 ２２０） １２０
在 现 行 的初 中 教 材 中 ， 元 二 次 方 程 ｎｚ ＋ ｂ 一 ． 。 ｘ＋
ＣＤ 的 中 点 ， 是 ＯＧ 的 中 点 ． 也
ｒ 圆 心 到 轴 的 距 离 为 ｄ ， ．
・ ．
例 １ 不 解 方 程 判 别 方 程 ３ ５ ｘ ＋ ｘ十 ６ —０根 的情 况．
， Ｃ 、
４
＿ －
解： 如图２ 知Ｂ 一 ２ ， ， 易 （ 号， ）
， Ｃ 、
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ｂ ｒ（ － ｃ ｚ ２ － ａ－ ） Ｊ