惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩地计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y xdAdSx ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y xdAyASx 人 ydA2.形心与静矩关系(1-1 )设平面图形形心C的坐标为y c,z c-S x 一S y /、y ， x (I-2 )A A推论1如果y轴通过形心（即x0），则静矩S y 0 ；同理，如果X轴通过形心（即y o），则静矩sx o；反之也成立。
推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3 A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为丘，只；乂2*2；x3,y3 ，贝U图形对y轴和x轴的静矩分别为截面图形的形心坐标为nA i Xi 1 nA ii 14•静矩的特征（1） 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
（2） 静矩有的单位为m 3。
（3） 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
（4） 若已知图形的形心坐标。
则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2 ）求图形的形心坐标。
组 合图形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4 ）求出其形心坐标。
（二）•惯性矩 惯性积 惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3 ），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p2dA （1-5）KAn nS yS yiARi 1 i 1nnS xSxiA i Vi 1 i 1(1-3 )A i y i(1-4 )图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为I y A x2dA , I x A y2dA （1-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
截面惯性矩计算
截面惯性矩截面惯性矩指截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
截面惯性矩是衡量截面抗弯能力的一个几何参数。
任意截面图形内取微面积dA与其搭配z 轴的距离y的平方的乘积y²dA定义为微面积对z轴的惯性矩，在整个图形范围内的积分则称为此截面对z轴的惯性矩Iz。
截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
惯性矩平移公式：这里，Iz是对于z-轴的面积惯性矩、Ix是对于平面质心轴的面积惯性矩、A是面积、d是z-轴与质心轴的垂直距离。
（单位：mm^4）常见截面的惯性矩公式：[1]矩形其中：b—宽；h—高三角形其中：b—底长；h—高圆形其中：d—直径圆环形其中：d—内环直径；D—外环直径2惯性矩编辑惯性矩(I=质量X垂直轴二次）静矩静矩（面积X面内轴一次）把微元面积与各微元至截面上指定轴线距离乘积的积分称为截面的对指定轴的静矩Sx= ydF。
截面惯性矩截面惯性矩（I=面积X面内轴二次）截面各微元面积与各微元至截面某一指定轴线距离二次方乘积的积分Ix= y↑2dF。
截面极惯性矩截面极惯性矩（Ip=面积X垂直轴二次）。
扭转惯性矩极惯性矩截面各微元面积与各微元至垂直于截面的某一指定轴线二次方乘积的积分Ip= P↑2dF。
相互关系截面惯性矩和极惯性矩的关系截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩Ip=Iy+Iz。
3截面系数编辑机械零件和构件的一种截面几何参量，旧称截面模量。
它用以计算零件、构件的抗弯强度和抗扭强度（见强度），或者用以计算在给定的弯矩或扭矩条件下截面上的最大应力。
根据材料力学，在承受弯矩Μ的梁截面上和承受扭矩T 的杆截面上,最大的弯曲应力σ和最大的扭转应力τ出现于离弯曲中性轴线和扭转中性点垂直距离最远的面或点上。
σ和τ的数值为-0.032√(C+W)-0.21√(RD↑2) 式中Jxx和J0分别为围绕中性轴线XX和中性点O的截面惯性矩;Jxx/y和J0/y分别为弯曲和扭转的截面模量（见图和附表）。
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式惯性矩是描述物体抵抗转动的性质之一，也称为转动惯量或转动惯性。
惯性矩计算方法及其常用公式对于工程设计和物体力学研究非常重要。
本文将介绍惯性矩的计算方法以及常用截面的惯性矩计算公式。
一、惯性矩的计算方法惯性矩的计算方法有两种常见的方法：几何法和积分法。
1.几何法几何法是一种简单的惯性矩计算方法，适用于对称的二维和三维截面。
该方法基于图形的几何形状和特征参数，通过对称性和平移不变性等原理来计算物体的惯性矩。
对于二维截面，常用的几何法计算公式包括：(1)矩形截面的惯性矩计算公式：I=(1/12)*b*h^3其中，I为矩形截面的惯性矩，b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
(2)圆形截面的惯性矩计算公式：I=(π/4)*r^4其中，I为圆形截面的惯性矩，r为圆形的半径。
对于三维截面，几何法的计算步骤类似，但计算公式更加复杂。
常用的几何法计算公式可参考相关的工程手册和物体力学教材。
2.积分法积分法是一种更加精确的惯性矩计算方法，适用于不规则形状的截面。
该方法基于直角坐标系下的积分原理，将截面划分成无限小的面元，并对每个面元的贡献进行积分求和，从而得到截面的惯性矩。
积分法的计算步骤如下：(1)将截面划分成无数个小区域，计算每个小区域的面积和距离轴线的距离。
(2)根据小区域的面积和距离，计算每个小区域的质量和质心的位置。
(3)根据每个小区域的质量、质心位置和距离轴线的距离，计算每个小区域对于轴线的贡献。
(4)对每个小区域的贡献进行积分求和，得到整个截面的惯性矩。
积分法的计算可以通过数值积分或解析积分进行。
对于复杂的截面形状，数值积分是一种较为方便和实用的计算方法。
1.矩形截面的惯性矩计算公式：I=(1/12)*b*h^3其中，I为矩形截面的惯性矩，b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
2.圆形截面的惯性矩计算公式：I=(π/4)*r^4其中，I为圆形截面的惯性矩，r为圆形的半径。
3.环形截面的惯性矩计算公式：I=(π/4)*(r2^4-r1^4)其中，I为环形截面的惯性矩，r1为内径半径，r2为外径半径。
常用截面惯性矩与截面系数的计算
常用截面惯性矩与截面系数的计算截面的惯性矩是描述截面抗弯刚度大小的一个物理量，常用于结构力学和工程设计中。
截面系数是截面抗弯性能的一个重要参数，它表示截面抵抗外力作用下的变形能力。
下面将介绍一些常用的截面惯性矩和截面系数的计算方法。
1.矩形截面：矩形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=(b*h^3)/12其中，I表示矩形截面的惯性矩，b表示矩形截面的宽度，h表示矩形截面的高度。
矩形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=(b*h^2)/6其中，W表示矩形截面的截面系数。
2.圆形截面：圆形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=π*r^4/4其中，I表示圆形截面的惯性矩，r表示圆形截面的半径。
圆形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=π*r^3/3其中，W表示圆形截面的截面系数。
3.正三角形截面：正三角形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=b*h^3/36其中，I表示正三角形截面的惯性矩，b表示正三角形截面的底边长度，h表示正三角形截面的高度。
正三角形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=b*h^2/24其中，W表示正三角形截面的截面系数。
4.T形截面：T形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=(b1*h1^3+b2*h2^3)/12其中，I表示T形截面的惯性矩，b1和b2分别表示T形截面的上下翼缘的宽度，h1和h2分别表示T形截面的上下翼缘的高度。
T形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=(b1*h1^2+b2*h2^2)/6其中，W表示T形截面的截面系数。
需要注意的是，上述给出的公式仅适用于一些常见的截面形状，并且仅考虑了截面的几何特性。
在实际的工程设计中，还需要考虑材料的弹性模量等参数，并基于这些参数进行更精确的计算。
此外，还有一些其他复杂截面的惯性矩和截面系数的计算公式，如梯形截面、圆环截面等。
对于这些复杂截面的计算，可以借助数值方法或计算机辅助设计软件进行求解。
总之，截面的惯性矩和截面系数是结构力学和工程设计中常用的参数，通过计算这些参数可以评估截面的抗弯刚度和抗剪性能，为工程结构的设计提供依据。
惯性矩、静矩、截面抵抗矩计算
惯性矩和对Y轴的惯性矩。
y
解：
100
1)求出A1和A2分别对自身形心 2
轴的惯性矩
0
I x1
b1h13 12
100 203 12
66.67 103
100
A1 •Ⅱ•ຫໍສະໝຸດ A2Ⅰx1
xc a2 30 x
Ix2
b2h23 12
20 100 3 12
16.67 105
2 0
2）求对整个截面形心X轴的惯性矩
截面对x轴的惯性矩:
I x y2dA
量纲：L4 y
A
截面对y轴的惯性矩: I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
x
dA
y r
x
3）惯性矩的单位为m4;
2、惯性半径（回转半径）
截面对x轴的惯性半径: ix I x / A 截面对y轴的惯性半径: iy I y / A
二、常见截面的惯性矩和惯性半径
形心轴：通过截面形心的坐标轴 ➢ 矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x，y的惯性矩。
y
对x轴的惯性矩
x
Ix
1 12
bh3
h 对y轴的惯性矩：
b
Iy
1 12
hb3
➢ 矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x，y的惯性半径。
y
对x轴的惯性半径
x
h
ix
Ix A
1/12bh3 h
截面的几何性质
知识点：截面惯性矩和静矩的计算 一、截面惯性矩的定义及计算 二、常见截面的惯性矩和惯性半径 三、组合截面的概念 四、惯性矩的平行移轴公式 五、静矩的概念及公式 六、常见截面的静矩
惯性矩总结(含常用惯性矩公式)
惯性矩就是一个物理量,通常被用作描述一个物体抵抗扭动,扭转得能力。
惯性矩得国际单位为(m^4)。
工程构件典型截面几何性质得计算2、1面积矩1.面积矩得定义图2-2、1任意截面得几何图形如图2-31所示为一任意截面得几何图形(以下简称图形)。
定义:积分与分别定义为该图形对z轴与y轴得面积矩或静矩,用符号S z与S y,来表示,如式(2—2、1)(2—2、1)面积矩得数值可正、可负,也可为零。
面积矩得量纲就是长度得三次方,其常用单位为m3或mm3。
2.面积矩与形心平面图形得形心坐标公式如式(2—2、2)(2—2、2)或改写成,如式(2—2、3)(2—2、3)面积矩得几何意义:图形得形心相对于指定得坐标轴之间距离得远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远,对该轴得面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心得轴得面积矩等于零;反之,图形对某一轴得面积矩等于零,该轴一定通过图形形心。
3.组合截面面积矩与形心得计算组合截面对某一轴得面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩得代数与。
如式(2—2、4)(2—2、4)式中,A与y i、z i分别代表各简单图形得面积与形心坐标。
组合平面图形得形心位置由式(2—2、5)确定。
(2—2、5)2、2极惯性矩、惯性矩与惯性积1.极惯性矩任意平面图形如图2-31所示,其面积为A。
定义:积分称为图形对O点得极惯性矩,用符号I P,表示,如式(2—2、6)(2—2、6)极惯性矩就是相对于指定得点而言得,即同一图形对不同得点得极惯性矩一般就是不同得。
极惯性矩恒为正,其量纲就是长度得4次方,常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心得极惯性矩,如式(2—7)(2—2、7)(2)对于外径为D、内径为d得空心圆截面对圆心得极惯性矩,如式(2—2、8)(2—2、8)式中,d/D为空心圆截面内、外径得比值。
2.惯性矩在如图6-1所示中,定义积分,如式(2—2、9)(2—2、9)称为图形对z轴与y轴得惯性矩。
常用截面几何特性计算公式
常用截面几何特性计算公式常用截面几何特性计算公式是指用于计算截面面积、惯性矩、抗弯截面模量等几何特性的数学公式。
这些公式在工程设计中非常重要，可以帮助工程师确定结构的强度和刚度，并进行形状优化。
下面将介绍一些常用截面几何特性计算公式。
1.截面面积（A）：截面面积是指截面内部曲线与基准线之间的面积。
常见的截面面积计算公式如下：-矩形截面：A=b*h，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
-圆形截面：A=π*r^2，其中r为圆的半径。
-等腰三角形截面：A=(b*h)/2，其中b为底边的长度，h为中线的长度。
2.惯性矩（I）：惯性矩是用于描述截面形状对转动惯量的影响。
常见的惯性矩计算公式如下：-矩形截面的惯性矩：I=(b*h^3)/12，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
-圆形截面的惯性矩：I=(π*r^4)/4，其中r为圆的半径。
-等腰三角形截面的惯性矩：I=(b*h^3)/36，其中b为底边的长度，h为中线的长度。
3.抗弯截面模量（W）：抗弯截面模量是用于计算梁或梁柱截面抗弯刚度的参数。
常见的抗弯截面模量计算公式如下：-矩形截面的抗弯截面模量：W=(b*h^2)/6，其中b为矩形的宽度，h 为矩形的高度。
-圆形截面的抗弯截面模量：W=(π*r^3)/4，其中r为圆的半径。
-等腰三角形截面的抗弯截面模量：W=(b*h^2)/12，其中b为底边的长度，h为中线的长度。
4.极性惯性矩（J）：极性惯性矩是用于计算闭合形截面扭转刚度的参数。
常见的极性惯性矩计算公式如下：-圆形截面的极性惯性矩：J=(π*r^4)/2，其中r为圆的半径。
这些公式只是截面几何特性计算中的一部分，根据具体的截面形状和属性，还有许多其他公式可供选择。
工程师在设计中需要根据具体情况选择合适的公式，并进行计算和分析，以确保结构的安全可靠性和性能要求的满足。
常用截面惯性矩与截面系数的计算
常用截面几何性质计算返回目录项目公式单位宽度b mm外高H mm内高h mm面积A=b*（H-h)mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H-h)b³/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=b(H³-h³）/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm形心到边缘的距离e y=b/2mm形心到边缘的距离e z=H/2mm对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度H mm内宽h mm面积A=H^2-h^2mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H^4-h^4)/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=(H^4-h^4)/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=H/2mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 形心到边缘的距离e z1=0.707*H mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3对Z轴抗弯截面系数W z1=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3a=0,三角形顶宽a mm底宽b mm高h mm面积A=h*（a+b)/2mm^2对Y轴的惯性矩mm^4对Z轴的惯性矩Iz=h^3*(a^2+4*a*b+b^2)/36/(a+b)mm^4对Y轴惯性半径mm 对Z轴惯性半径iz=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y1=h*(2*a+b)/(a+b)/3mm 形心到边缘的距离e y2=h*(a+2*b)/(a+b)/3mm 对底边抗弯截面系数W z1=Iz/e y1mm^3对顶边抗弯截面系数W z2=Iz/e y2mm^3抗扭截面系数mm^3正多边形边数n边长a mm 外接圆半径R=a/2/sin（180°/n）mm 内接圆半径r=a/2/sin（180°/n）mm 面积A=n*R^2*sin(2*Pi/n)/2mm^2惯性矩I=A*(6*R^2-a^2)/24mm^4对Y轴惯性半径i=（I/A）^0.5mm形心到底边的距离e y=r mm 形心到顶边的距离e y1=R mm 对底边抗弯截面系数W z=I/R/cos（Pi/n）mm^3对顶点抗弯截面系数W z1=I/R mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/4mm^2惯性矩I=Pi*(D^4-d^4)/64mm^4惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e=D/2mm 抗弯截面系数W=I/e mm^3抗扭截面系数Wt=Pi*D^3(1-（d/D）^4)/16mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/8mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*（D^4-d^4)/128mm^4对Z轴的惯性矩Iz=0.00686*(D^4-d^4)-0.0177*D^2*d^2*(D-d)/(D+d mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=2*(D^2+D*d+d^2)/3*Pi*(D+d)mm 形心到边缘的距离e z=D/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Pi*D^3*(1-d^4/D^4)/64mm^3对顶点的抗弯截面系数W z=Iz/（D/2-e y)mm^3对底边的抗弯截面系数W z1=Iz/e y mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/4mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-2*b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/6mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/2mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm支架d1mm面积A=Pi*d^2/4-d1*d mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4*(1-1.69*d1/d)/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4*(1-1.69*d1^3/d^3)/64mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度b mm高度H mm高度h mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=(B*H^3+b*h^3)/12mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm高度H mm高度d mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm205214 4533.375 7642.7109384.6026074495.9760858861010 453.3375 764.271093810102020。
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惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdAdSy== 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x =， AS x y =（I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xix ni ii n i yiy y A SS x A S1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii A x A x 11 ， ∑∑===n i ini iiAy Ay 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为⎰=Ap dA I 2ρ （I-5）图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为⎰=Ay dA x I 2， dA y I Ax ⎰=2（I-6）惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。
（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。
（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即⎰⎰+=+==Ax y Ap I I dA y x dA I )(222ρ （I-7）（5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即∑==ni iI I 1ρρ ，∑==ni yiyII1， ∑==ni xiIIx 1（I-8）图I-2 图I-32. 惯性积定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对y 轴和x 轴的惯性积定义为⎰=Axy xydA I （I-9）惯性积的特征（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。
（2） 惯性积的单位为4m 。
（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。
若一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。
但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。
（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即∑==ni xyixy I I 1（I-10）3. 惯性半径定义： 任意形状的截面图形的面积为A （图I-3）,则图形对y 轴和x 轴的惯性半径分别定义为AI i y y =， AI i x x =（I-11）惯性半径的特征（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的。
（2） 惯性半径的单位为m 。
（3） 惯性半径的数值恒取证之。
（三）.惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式Ab I I A a I I yC y xC x 22+=+= （I-12）a b A I I x C y C xy += （I-13）平行移轴公式的特征（1）意形状界面光图形的面积为A （图（I-4）；C C y x ， 轴为图形的形心轴；x ，y 轴为分别与C C y x ，形心轴相距为a 和b 的平行轴。
（2）两对平行轴之间的距离a 和b 的正负，可任意选取坐标轴x ，y 或形心C C y x ，为参考轴加以确定。
（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。
x 图I-4(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩转轴公式 αα2s i n 2c o s 221xy yx yx x I I I I I I --++=αα2s i n 2c o s 221xy yx yx y I I I I I I +--+=αα2c o s 2s i n 211xy yx y x I I I I +-=转轴公式的特征(1) 角度α的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴11,y x ，以逆时针转向者为正（图5）。
(2) 原点O 为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无关。
(3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即 Py x y xI I I I I=+=+11主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点O 为坐标原点的坐标轴0x 、0y 的惯性积为零（000=y x I），则坐标轴0x 、0y 称为图形通过点O 的主惯性轴(图6)。
截面图形对主惯性轴的惯性矩0,y x I I ，称为主惯性矩。
主惯性轴、主惯性矩的确定(1) 对于某一点O ，若能找到通过点O 的图形的对称轴，则以点O为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O 的一对主惯性轴。
对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。
于是，图形对通过点o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。
(2) 若通过某一点o 没有图形的对称轴，则可以点o 为坐标原点，任作一坐标轴x ，y 为参考轴，并求出图形对参考轴x ，y 的惯性矩yxI I,和惯性积xyI 。
于是，图形通过点o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为yx xy I I I --=22tan 0α （I-16）22022xy y x yx y x I I I I I I I +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=(I-17)主惯性轴、主惯性矩的特征（1）图形通过某一点O 至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点O 所有轴的惯性矩中最大和最小。
（2）主惯性轴的方位角0α，从参考轴x ，y 量起，以逆时针转向为正。
（3）若图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。
（4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。
图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。
1y0图I-5 图I-6二.典型例题分析例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。
解：计算此截面对于x 轴的静矩x S 时，可以去平行于x 轴的狭长条(见图)作为面积元素（因其上各点的y 坐标相等），即dy y b dA )(=。
由相似三角形关系，可知:)()(y h hb y b -=,因此有dyy h hb dA )(-=。
将其代入公式（I-1）的第二式，即得⎰⎰⎰⎰=-=-==Ahhhx bh dy y hb ydy b dy y h hb ydA S 0226)(x b例题I-a 图解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。
例I-2 试确定图示Ⅰ-b 截面形心C 的位置解：将截面分为І、П两个矩形。
为计算方便，取x 轴和y 轴分别与界面的底边和左边缘重合（见图）。
先计算每一个矩形的面积i A 和形心坐标（i i y x ,）如下：矩形І 2120012010mm A =⨯=Immx 5210==I ，mmy 602120==I矩形П 27007010mm A =⨯=∏ mmx 4527010=+=∏ ，mmy 5210==∏将其代入公式（I-4），即得截面形心C 的坐标为mmA A y A y A y mmA A x A x A x 4019007550020190037500≈=++=≈=++=∏I ∏∏I I ∏I ∏∏I I解题指导： 此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心，计算不规则图形的形心。
图Ⅰ-b例I-3 试求图I-c 所示截面对于对称轴x 轴的惯性矩x I解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。
设矩形对于x 轴的惯性矩为I x I ，每一个半圆形对于x 轴的惯性矩为I I x I ，则由公式（I-11）的第一式可知，所给截面的惯性矩：I I I +=x x x I I I 2（1）矩形对于x 轴的惯性矩为：4433105330122008012)2(mm a d I x ⨯=⨯==I （2）半圆形对于x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。
为此，先求出每个半圆形对于与x 轴平行的形心轴C x （图b ）的惯性矩xC I 。
已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x '（图b ）的惯性据之半，即1284dI x π='。
而半圆形的面积为82d A π=，其形心到底边的距离为π32d （图b ）。
故由平行移轴公式（I-10a ），可以求出每个半圆形对其自身形心轴C x 的惯性矩为：8)32(128)32(2242d d dA d I I x xC ππππ-=-=' （3）由图a 可知，半圆形形心到x 轴距离为π32d a +，故在由平行移轴公式，求得每个半圆形对于x 轴的惯性矩为：8)32(8)32(128)32(222242d d a d d dA d a I I xC x ππππππ++-=++=I I)32232(4222ππa ad add ++=将d=80mm 、 a=100mm （图a ）代入式（4），即得4222103460)380100221003280(4)80(⨯=⨯⨯++=I I ππx I mm4将求得的I x I 和I I x I 代入式（1），便得44410122501034602105330⨯=⨯⨯+⨯=x I mm 4解题指导： 此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，利用已有的规则图形的面积、形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。