【精品推荐】2021考研高数三重积分
2021年考研数学高数考点解析
2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。
微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。
在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
三重积分(1)
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
这样化成了一个定积分
和一个二重积分的计算
最后. 再把二重积
O
分化成二次积分
D
x
z2(x,y)
z1(x,y)
y
5
I f ( x, y, z)dxdydz dxdy z(x,y) f ( x, y, z)dz
Ｏ
z cos.
１
y
dV 2 sinddd
x
29
例７ 求球面 x2 y2 (z a)2 a2 与锥面
其中Ｖ由抛物柱面 y x
2
及三个平面 y 0, z 0, x z
围成第一卦限部分．
2
y=
D
Ｏ
Ｖ
x
2
解 区域Ｖ如图示，用不
0o
y
.
等式表示就是
0 x,
2
z=0
2
x
0 y x,
0 z x.
2
11
y cos( z x)dxdydz
V
I f ( x, y, z)dxdydz z
N
V
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
M
z2(x,y)
Ｖ
z1(x,y)
Ｏ y
DP
4
x
二、直角坐标下三重积分的计算 —化为三次积分
I f ( x, y, z)dxdydz z
高数第九章 第四节、三重积分(一)
2
Ω
2
2
Dz = { ( x , y ) |
x2 a
2
+
y2 b
2
≤ 1−
z2 c
c z z
o
D z
} 2
x
y
Ω : {( x , y , z ) | − c ≤ z ≤ c , x2 y2 z2 + 2 ≤ 1− 2} 2 a b c
原式 =
c 2 ∫− c dz ∫∫ z dxdy Dz
−c
例 3 计算三重积分 ∫∫∫ z dxdydz，其中 ，
z2 S 2
z2( x, y) z1( x, y)
∫
f (x, y, z)dz = F(x, y)
o
Ω
z1 S1
z = z1 ( x , y )
( 2) 再计算 F ( x , y ) 在 闭
区间 D xy 上的二重积分
( x, y )
D
y
x ∫∫ F(x, y)dσ Dxy z2( x, y) = ∫∫ [∫z ( x, y) f (x, y, z)dz]dσ. 1
x
1
y = 1− x
f ( x , y , z )dv = ∫∫ dσ∫z 2( x, y) f (x, y, z)dz ∫∫∫ 1
z ( x, y)
Ω
Dxy
b y2 ( x ) z2 ( x, y ) = ∫a dx∫y ( x ) dy∫z ( x, y) 1 1
f ( x, y, z)dz
过程：先定积分，再二重积分， 过程：先定积分，再二重积分，并将二重积分化 为累次积分。 为累次积分。 有时上述过程也可反过来：先二重积分，再定积分 有时上述过程也可反过来：先二重积分， 其步骤如下： 其步骤如下： 投影到某个坐标轴上， （1）将 Ω 投影到某个坐标轴上， ） z 如 z 轴，得一投影区间 [c1 , c2 ]
三重积分及其计算和多重积分
三重积分及其计算和多重积分三重积分是多元函数积分的一种形式，用于求解三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在数学上，三重积分可以看作是一个连续变量在三维区域上的求和，它可以通过分割区域、选择适当的样本点，以及取极限的方式来进行计算。
三重积分的计算可以通过两种方法来完成：直接计算和换序求积分。
直接计算是指通过将三重积分的积分区域分割成小的立体单元，然后计算每个立体单元的积分值，再将这些积分值相加得到最终的结果。
这种方法适用于简单的积分区域，但对于复杂的区域，计算难度较大。
而换序求积分是指通过改变积分的顺序，将三重积分转化为便于计算的累次积分。
这种方法的优势在于可以简化计算过程，降低计算难度。
对于直接计算，首先需要确定积分区域，然后将区域分割成小的立体单元，每个单元的大小趋近于零。
可以使用直角坐标系、柱坐标系或球坐标系来表示积分区域，并确定相应的积分限。
接下来，选择样本点，可以选择样本点在单元中的中心，或者在每个单元中选择若干个样本点。
然后计算每个单元的积分值，再将这些积分值相加，就得到了最终的积分结果。
对于换序求积分，首先需要确定积分顺序，一般是从内积分到外积分。
然后，根据积分顺序，确定每个积分部分的积分限。
接下来，可以根据条件判断是否需要修改积分区域，如是否需要进行坐标转换或对区域进行分割。
最后，通过依次进行累次积分，得到最终的结果。
三重积分在物理中的应用非常广泛。
例如，利用三重积分可以求解一个带电体的电荷分布密度、一个流体的质量分布密度，以及一个物体的质心。
通过计算三重积分，可以得到这些物理量的精确值，为进一步研究提供了基础。
在实际计算过程中，三重积分的计算通常比较复杂，需要运用一些基本的数学知识和技巧。
例如，可以通过选择适当的坐标系来简化计算，使用奇偶性来简化被积函数的表达式，利用对称性来简化积分区域的确定等。
此外，还可以利用数值计算方法，如数值积分、Monte Carlo方法等，来近似计算三重积分的值。
9考研数学大纲知识点解析(第九章三重积分)(数学一)
系，则点 的坐标为
，球面的方程为
设 的重心位置为
，由对称性，得
． ，
其中
故
．因此，球体 的重心位置为
．
【解析 2】设所考虑的球体为 、球心为 ，以定点 为原点，射线 角坐标系，则球面的方程为
为正 轴建立直
．
设 重心位置为
，由对称性，得
，
而
故
．因此，球体 的重心位置为
．
所以曲面 的方程为
（Ⅱ）【解析 1】设 的形心坐标为
，根据对称性，得
设
，则
所以
（ 为参数）．
从而
故 的形心坐标为
．
【三重积分的应用】
【例题】（00年，数学一）设有一半径为 的球体， 是此球的表面上的一个定点，球体
上任一点的密度与该点到 距离的平方成正比（比例常数
），求球体的重心位置.
【解析 1】记所考虑的球体为 ，以 的球心为原点 ，射线 为正 轴建立直角坐标
而
．
关于 平面和 平面都对称，而 关于 均为偶函数，从而
，
故选（C）．
【三重积分的计算：直角坐标】
【例题】（15 年，数学一）设 是由平面
则
．
【答案】 ．
【解析】根据对称性可知
与三个坐标平面所围成的空间区域， ，所以
【三重积分的计算：坐标面投影法（先一后二）】
若 可表示为：
为 在 面上的投影区域，则
，
从而
．
（Ⅰ）由变上限求导公式，经计算，有
所以在
内， 严格单调增加．
（当 时），
（Ⅱ） 为证当 时
，只要证
． 的分子大于零即可．令
有
，经过计算，有
高数课件9-3 三重积分的计算法(1)(直角坐标)
其结果为 z 的函数 F ( z )； c2 (4)最后计算单积分 c F ( z )dz 即得三重积分值.
1
河海大学理学院《高等数学》
例 计算 I xdxdydz , 由三个坐标平面
z
及平面 x 2 y z 1 围成 .
1
例 计算三重积分 z dxdydz
0 i 1
其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素.
河海大学理学院《高中将三重积分化为三次积分． z 闭区域 在 xoy 如图， z z ( x, y) z S 面上的投影为闭区域 D, S1 :z z1 ( x , y ), z S XY 型区域 S2 :z z2 ( x , y ), z z ( x, y) 过点 ( x, y ) D 作直线, o a D 从 z1 穿入，从 z2 穿出． ( x, y) y y ( x) b
河海大学理学院《高等数学》
f ( x , y , z )dz ]d . 1 D D 先一后二型 D : y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b, 得 f ( x , y, z )dv
F ( x , y )d [ z ( x , y )
z2 ( x , y )
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
a dx y1 ( x ) dy z1 ( x , y )
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
河海大学理学院《高等数学》
例 化三重积分 I f ( x , y , z )dxdydz
高等数学 第三节 三重积分
解1 0 y 1 , y x y , 0 z 1 y
z yz1
x sin2 ydv 1sin2 ydy
y
xdx
1 y
dz
0
y
0
x
1y
0
解2 由于被积函数关于 x 是奇函数，积分域关于
yOz 平面对称，所以积分等于零。
第十章 第三节
20
奇偶对称性化简三重积分
1 积分区域关于某坐标面具有对称性； 2 被积函数在积分区域上关于相对应的坐标轴 具有奇偶性。
x 0 , y 0}
z R
R
zdxdydz 0 dz zdxdy
Dz
Dz
R
y
R x
R
z(R2
z2 )dz
(1
R2z2
1
z4)
R
R4
40
42
4 0 16
第十章 第三节
17
例6 计算 由 z 1 (x2 y2 ) , z 1 , z 4 围成。
2
解
，其中
利用对称性 轮换
奇偶
1 2
(
Dz
b
a dz f ( x , y , z)dxdy Dz
第十章 第三节
15
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴 (例如 z 轴) 投影，得 投影区间 [a , b]；
(2) 对 z [a , b] 用过 z 轴且平行于 xOy 面的平面
去截 ，得截面 D z ；
z b
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z)dxdy ， z
把 x 看成常数。积分区域 就为圆盘 y2 z2 x2
(1
x4
)dxdydz
高数同济10.3三重积分
z
f ( x , y, z )dxdydz
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1 S1
z z1 ( x , y )
过点 ( x , y ) D 作直线 从 z1 穿入， 从 z2 穿出
b
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
o
D
f ( x , y , z )dz ]d . [ x z z ( x, y) f ( x , y , z )dv 先z 后y 再x 顺序的积分（三次积分） b y ( x) z ( x, y) dx dy f ( x , y , z ) dz . y ( x) z ( x, y) a
x
y y1 ( x )
先将 x , y 看作定值， 将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的函数，
二、三重积分的计算
f ( x , y, z )dxdydz
z
z z2 ( x , y )
1. 在直角坐标系中三重积分的计算 如图， 闭区域 在xoy面上 的投影为闭区域为D。
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x 2 2 得投影区域 x y 1,
1
x1
2
y
2 1 x y 1 x
-1
o
1 x
x 2y
2
2
z 2 x
2
例 2 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz 为三
先一后二法
D z1 ( x , y )
高等数学83三重积分
xyz2dv 0 y2z2dv 4 y2z2dv
2
7
三重积分
(3) 若域 关于三个坐标面都对称,
则 f ( x, y, z)dv
0
f同为 x, y, z的奇函数
其 8中3
f (x,
3是
y, z)dv f同为 x, y, z的偶函数 在第一卦限部分的区域.
例 设域为 x2 y2 z2 a2 ,3是 在第一
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
12
三重积分
f ( x, y, z)dv
b
dx
y2
(
x
)
dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域
内部的直线与闭区域 的边界曲面 S
相交不多两点情形.
如何写出当D为Y–型闭域时, 三重积分 化为三次积分的公式
类
f ( x, y, z)dxdydz
比
公 式
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
02
24
zdxdydz 1 x y
d 0 zdz Dxy
22
三重积分
已知椭球V:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 内点(x,y,z)处质量
的体密度为:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,
求椭球的质量.
提示
M
V
x2 a2
y2 b2
z2 c2
dv
V
x2 a2dv
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三重积分
主讲 武忠祥 教授
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
例1 计算
，其中 和平面
由坐标面 所围成.
例2 计算
，其中 是由
和
所围成的区域.
例3 计算
2. 利用柱坐标计算三重积分
例4 计算 圆柱面
,其中 由锥面
及平面
所围成.
例5 计算
,其中 由曲面
与
所围成.
3. 利用球坐标计算三重积分
例6 设 为球面 所围成的空间区域,求
和锥面 的体积.
例7 计算
,其中 所围成.
由曲面
内容小结
三重积分计算计算 1) 直角坐标: i) 先一后二; ii) 先二后一; 2) 柱坐标:
3) 球坐:
作业
P166 1(2),(3),(4); 4; 5;
7; 8; 9 (2);
10 (2) ;
11 (1), (4)