高三理数111

2015年高三理数11月月考卷12小题，每小题5分，共60分）1．设集合}5,2{},3,2,1{},6,5,4,3,2,1{===B A U ，则)(B C A U ⋂=（ ） A ．{1，3}B ．{2}C ．{2，3}D ．{3}2．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n项和，*n N ∈，则10S 的值为( )A ．-110B ．-90C ．90D ．1103．将函数)62sin(π-=x y 图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（） A ．12x π= B ．6x π= C ．3x π= D ．12x π=-4．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60，则a ＋b 在a 上的投影为 （ ）A ．1B ．2C ．772 D ．775．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )．A ．511B ．1011C ．3655D ．72556．已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A ．33B ．3-或33-C ．33- D ．3-7．已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1）内恰有一个零点； 命题q ：函数2ay x -=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．a ≤2C ．1<a ≤2 D．a ≤l 或a >28．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN AB AC λμ=+，则λ＋μ的值为（ ） A．12 B ．13C ．14 D ．1 9．ABC ∆中，角,,A B C 成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角11．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为左右焦点，点P 在椭圆C上，△12F PF 的重心为G ，内心为I ，且有12IG F F λ= （λ为实数），则椭圆方程为 （ ） A ．22186x y += B ．221164+=x y C ．2251927x y += D ．221105+=x y 12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，对任意正实数x 满足()()'2xf x f x >-，若()()2g x x f x =，则不等式()()13g x g x <-的解集是（ ）A ．1,+4⎛⎫∞⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1-,4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭D ．11-,,+44⎛⎫⎛⎫∞⋃∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4小题每题5分共20分） 13．已知a b ⊥,且||a =2，||b =3，且2a b + 与a b λ- 垂直，则实数λ的值为．14．已知,x y 满足1400x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，，记2z x y =-的最大值为m ，则函数1x y a m-=+（0a >且1a ≠）的图象所过定点坐标为．15．设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是.16．三棱柱111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0120ACB ∠=，CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为．三、解答题17．（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B =1cos 4ADC ∠=-．（1）求sin BAD ∠的值； （2）求AC 边的长．18．（本小题满分12分）已知数列{a }n 的首项al ＝1，*14()2nn n a a n N a +=∈+． （1）证明：数列11{}2n a -是等比数列； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC ；（Ⅲ）当二面角E ﹣BD ﹣C 的大小为45°时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． 20．(本小题满分12分)已知函数 f （x ）=ax+（1﹣a ）lnx+（a ∈R ）（Ⅰ）当a=0时，求 f （x ）的极值；（Ⅱ）当a ＜0时，求 f （x ）的单调区间；（Ⅲ）方程 f （x ）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由． 21．（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|2,()|2| 3.f x x g x x =-+=-++ （Ⅰ）解不等式：()2g x ≥-；（Ⅱ）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本题满分10分） 选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝4．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．参考答案一选择1．A ：因为{1,3,4}U C B =，所以(){1,2,3}{1,3,4}{1,3}U A C B == ，选A ． 2．D 3．A4．B ：a ＋b 在a 上的投影为()112cos602||a ab a ⋅+=+⨯⨯=，选B ． 5．A ．6．C()40,,333πππαπα⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭，因此由22)3cos(-=+πα得355,,2,tan 234126ππππαααα+====7．C ：命题p 为真时：0,(1)2201a f a a >=->⇒>；命题q 为真时：20,2a a -<>，因为p 且q ⌝为真命题，所以命题p 为真，命题q 为假，即12a <≤，选C ．8．A ．：因为222AM AN AB AC λμ==+，所以1221,,2λμλμ+=+=选A ． 9．A ．sin()sin )cos cos sin cos cos 0tan A B A A B A B A B A B +=+⇒=⇒==或即23A B ππ==或，而角,,A B C 成等差数列，则3B π=，因此角,,A B C 成等差数列是sin cos sin )cos C A A B =+成立的充分不必要条件，选A ．10.D 11．A ： 12．C 二填空13．29：由题意得：229(2)()02.2a b a b a b λλλ+⋅-=⇒=⇒=14．(1,3)15．(－1,0)∪(1，＋∞) 16．64π 三解答题17．（1）;863sin ,,810cos =∴=B B451sin ,41cos =∠∴-=∠ADC ADC ;46)sin(sin =∠-∠=∠∴B ADC BAD（2）在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AD BDB BAD =∠，即=，解得2BD =…故2DC =，从而在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠22132232()164=+-⨯⨯⨯-=；AC= 4 ;18．（1）证明：142n n n a a a +=+∵，12111442n n n n a a a a ++==+∴，111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴，又11111122a a =-=，∴，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列． （2）解：由（1）知1111112222n nn a -⎛⎫-==⎪⎝⎭，22nn n n n n b a =-=∴， 设231232222n n nS =++++…，① 则231112122222n n n n nS +-=++++…，② 由①－②得，21111111111122112222222212n n n n n n n n n nS +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---…，11222n n nnS -=--∴．19.（Ⅰ）由题可知，连接OE ，由条件可得SA ∥OE ．因为SA ⊈平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以SA ∥平面BDE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO ⊥面ABCD ，AC ⊥BD ．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为2，则)000(，，O ，)200(，，S ，)002(，，A ，)0,2,0(B ，)0,0,2(-C ，)0,2,0(-D ，于是)00,22(，-=AC ，)0,220(-=，BD ．设CE=a （0＜a ＜2），由已知可求得∠ECO=45°. 所以)22,0,222(a a E +-，于是)2,2,222(a aa BE -+-=． 设平面BDE 法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00即⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=0222)222(0az y x a y ， 令z=1，得)1,0,2(a an -=．易知)0,220(，=是平面SAC 的法向量． 因为0)0,22,0()1,0,2(=-⋅-=⋅aa，所以⊥，所以平面BDE ⊥平面SAC ．（8分） （Ⅲ）设CE=a （0＜a ＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为)1,0,2(aa-=，因为SO ⊥底面ABCD ，所以)200(，，=OS 是平面BDC 的一个法向量．由已知二面角E ﹣BD ﹣C 的大小为45°． 所以2245cos |),cos(|=︒=，所以2221)2(22=-+-aa ，解得a=1． 所以点E 是SC 的中点．20．（Ⅰ）f （x ）其定义域为（0，+∞）． 当a=0时，f （x ）=，f'（x ）=．令f'（x ）=0，解得x=1，当0＜x ＜1时，f'（x ）＜0；当x ＞1时，f'（x ）＞0．所以f （x ）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）； 所以x=1时，f （x ）有极小值为f （1）=1，无极大值 （Ⅱ） f'（x ）=a ﹣（x ＞0）令f'（x ）=0，得x=1或x=﹣当﹣1＜a ＜0时，1＜﹣，令f'（x ）＜0，得0＜x ＜1或x ＞﹣， 令f'（x ）＞0，得1＜x ＜﹣；当a=﹣1时，f'（x ）=﹣．当a ＜﹣1时，0＜﹣＜1，令f'（x ）＜0，得0＜x ＜﹣或x ＞1， 令f'（x ）＞0，得﹣＜a ＜1； 综上所述：当﹣1＜a ＜0时，f （x ）的单调递减区间是（0，1），（﹣），单调递增区间是（1，﹣）；当a=﹣1时，f （x ）的单调递减区间是（0，+∞）；当a ＜﹣1时，f （x ）的单调递减区间是（0，﹣），（1，+∞），单调递增区间是（Ⅲ）a ≥0∴f'（x ）=0（x ＞0）仅有1解，方程f （x ）=0至多有两个不同的解． （注：也可用f min （x ）=f （1）=a+1＞0说明．）由（Ⅱ）知﹣1＜a ＜0时，极小值 f （1）a+1＞0，方程f （x ）=0至多在区间（﹣）上有1个解．a=﹣1时f （x ）单调，方程f （x ）=0至多有1个解．； a ＜﹣1时，，方程f （x ）=0仅在区间内（0，﹣）有1个解； 故方程f （x ）=0的根的个数不能达到3．21：(Ⅰ)由()2-≥x g 得52≤+x ，解得37-≤≤x 所以不等式的解集是{}37≤≤-x x（Ⅱ）设()()()21+21h x f x g x x x =-=-+-则()⎪⎩⎪⎨⎧+---=xx x x h 3223212122≥<<--≤x x x 所以()23≥x h所以对应任意R x ∈，不等式()()2+≥-m x g x f 恒成立，得232≤+m ，得21-≤m 所以最后m 的取值范围是21-≤m ．22．（Ⅰ）ρ＝2，ρ＝4cos θ．（2，3π），（2，－3π）．（Ⅱ）1,,tan ,x y θ=⎧⎨=⎩－3π≤θ≤3π． 解：（Ⅰ）圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ．解2,,4cos ,ρρθ=⎧⎨=⎩，得ρ＝2，θ＝±3π，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为（2，3π），（2，－3π）． （Ⅱ） 圆C 1与圆C 2交点都在直线x ＝1 上 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,,tan ,x y θ=⎧⎨=⎩－3π≤θ≤3π．。