蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度
利用Mathcad进行测量不确定度的蒙特卡洛方法评定
利用 Mathcad 进行测量不确定度的蒙特卡洛方法评定主要分七个步骤，分别为 1）建立 测量数学模型；2）定义蒙特卡洛样本数 n；3）定义实测量数学模型中自变量的统计信息矩 阵；4）定义测量数学模型中自变量的上下限；5）定义测量数学模型中自变量的概率分布； 6）调用蒙特卡洛模拟函数 montecarlo(F, n, Rvals, [Limits, dist])进行模拟计算；7）计算标准 不确定度并生成统计直方图。
【2】 陈晓怀，薄晓静，王宏涛. 基于蒙特卡罗方法的测量不确定度合成[J]. 仪器仪表 学报, 2005, 26(z1):759-761.
【3】 STEPHEN V C,ROBERT D M.A two-satge monte carlo approach to the expression of uncertainty with non-linera measurement equation and small sample size[J].Metrologia,2006,43:34-41.
(1) 建立 Y 和 X1," X N 之间的模型Y = f ( X1，"，X N ) ；
(2) 利用可获信息，为 X i 设定概率分布（PDF）等；
(3) 选择蒙特卡洛试验样本量的大小 M。
(4) 从输入量 Xi 的 PDF fXi ( Xi ) 中抽取 M 个样本值 xij ，i=1,2,...,N， j = 1, 2,", M ；
基于蒙特卡罗法的平面度测量不确定度评定
0
引言
平面度测量误差的评定是测量领域中经常遇到的误差评定
进 行 不 确 定 度 评 定 。为 了 验 证 此 方 法 的 准 确 性 和 可 靠 性 ，根 据 不 确 定 度 合 成 公 式 再 次 进 行 评 定 ，求 出 传 递 系 数 和 各 参 数 的 单 点 测 量 不 确 定 度 ，计 算 出 平 面 度 误 差 的 测 量 不 确 定 度 。实 验 结 果 表 明 ，蒙 特 卡 罗 法 评 定 平 面 度 测 量 不 确 定 度 准 确 、 快 捷 、 简 单 、可 靠 ，解 决 了 形 位 误 差 测 量 不 确 定 度 评 定 的 复 杂 性 和 多 样 性 ，为 其 他 形 位 误 差 简 单 、便 捷 的 评 定 提 供 了 评 定 方 案 。
试验与评价技术
中图分类号： TI I 124 文献标识码 ： A
基于蒙特卡罗法的平面度测量不确定度评定
異 呼 玲 (陕 西 国 防 工 业 职 业 技 术 学 院 机 械 工 程 学 院 ，西 安 710300) 摘 要 ：形位误差的测量不确定度评定是目前测量领域研究的热点；但由于其测量的复杂性和测量结果评定的多样性，导致在实际测 量结果中形位误差测量的不确定度评定成了难题；为 此 ，根据形状误差评定准则，选取最小二乘 法 建 立 数 学 模 型 ，确定形状误差数学模 型中各参数值的传递系数和单点不确定度，并分析具体的测量方法和测量过程中的不确定度来源，根 据 传 统 的 G U M 法对其进行不确定 度 评 定 ；然后采用蒙特卡罗伪随机数的方法来模拟实际测量数据，从而得到平面度误差的不确定度；通 过 设 置 实 验 对 比 ，验证了蒙特卡 罗法评定平面度不确定度的可靠性和准确性；该方法不需要求出数学模型中的传递系数，利 用 M A T L A B 软 件 很 容 易 实 现 ，为平面度误 差测量结果不确定度评定提供了更加简便的方法，值得推广和应用。 关键词： 蒙特卡罗；平面度误差；不 确定度；最小二乘法
应用蒙特卡罗方法计算动态测量的不确定度
第16卷 第6期2006年11月黑 龙 江 科 技 学 院 学 报Jour nal ofH e il o ng jiang Institute o f Sc i e nce&Tec hno l o gyV o.l 16N o .6N ov .2006文章编号:1671-0118(2006)06-0357-03应用蒙特卡罗方法计算动态测量的不确定度高玉英, 陈晓怀(合肥工业大学仪器科学与光电工程学院,合肥230009)摘 要:针对动态不确定度有待深入研究的实际,介绍了一种采用蒙特卡罗统计模拟的方法来解带置信水平的不确定度评定的问题,并基于动态测量的观测数据是一随机过程的特征,分别对平稳及非平稳随机过程进行动态不确定度的计算。
利用计算机模拟抽样,可以削弱动态测量中因长时间作业引起的损耗而使得动态特性改变。
结果表明,采用蒙特卡罗方法求得统计量是一种可行且可靠的方法。
关键词:蒙特卡罗方法;随机过程;动态不确定度;随机数 中图分类号:TH 701;O242.2文献标识码:ACalcul a tion of dynam i c measure ment uncert ainty w ithMont e Carl o methodGAO Yuying, C HE N X iaohuai(Schoo l o f Instru m ent Sc i ence and O pto -e l ectronic eng i neer i ng ,H e fei U niversity of T echno logy ,H efe i 230009,Ch i na)Abst ract :D irected at dyna m ic m easure m ent uncerta i n ty ,the sub ject of deep st u dy ,this paper intro -duces the funda m entals based on M onte Carlo m ethod to w or k on t h e eva l u ation o f dyna m ic m easure m en t uncertai n ty w it h believe leve.l Fro m the po int tha t the observa ti o n data o f dyna m ic m easure m ent is a ran -do m process ,the dyna m ic uncerta i n ty o f d ifferent rando m process is ca lculated .The use of the co mpu ter si m ulation sa m ple reduces the change of dyna m ic i d entity ,wh ich co m es fr o m the spo ilage i n the l o ng w orking .The resu lts indicate tha t the m easure is feasible and reliable .K ey w ords :M onte C arlo m ethod ;rando m process ;dyna m ic uncertainty ;stochastic number收稿日期:2006-09-29基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275047)0 引 言不确定度是对测量精度的定量表征,测量结果必须包括不确定度才是完整并有意义的。
测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法
电子质量（2012第01期）测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法Uncertainty Evaluation in M easurement of M onte Carlo M ethod陈雅（广东省电子电器产品监督检验所,广东广州510400）Chen Ya(Guangdong Electronic&Electrical Production and Supervision Institute,GuangdongGuangzhou510400）摘要：该文介绍了蒙特卡罗法以及不确定度问题，当采用不确定度传递律进行测量不确定度评定(GUM方法)有困难或不方便时，蒙特卡罗法是实用的替代方法。
关键词：蒙特卡罗方法；测量；不确定度中图分类号：TB9文献标识码：A文章编号：1003-0107(2012)01-0070-02Abstract:The Monte Carlo method and the question of measurement uncertainty are given，When it isdifficult to apply the GUM uncertainty framework that uses the law of propagation of uncertainty to evalu-ate uncertainty in measurement,the Monte Carlo Method(MCM)is a practical alternative.Key w ords:Monte Carlo Method;measurement;uncertaintyCLC num ber:TB9Docum ent code:A Article ID：1003-0107(2012)01-0070-020引言为能统一地评价测量结果的质量,1963年原美国标准局(NBS)的数理统计专家埃森哈特首次提出了测量不确定度的概念，并在当时国际上受到普遍的关注；1970年, NBS进一步提出了不确定度的定量表示方法；1980年国际计量局在征求了32个国家计量院以及5个国际组织的意见后，推荐采用测量不确定度来评定测量结果的建议书，即INC-1(1980)；1981年第70届CIPM讨论通过建议书；1993年，7个国际组织联合发布《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in M easure-ment)，简称GUM；1999年，经国家技术监督局批准，我国颁布实施由全国法制计量技术委员会提出的(JJF1059-1999)《测量不确定度的评定与表示》，适用于国家计量基准、标准物质、测量及测量方法、计量认证和实验认可、测量仪器的校准和检定、生产过程的质量保证和产品的检验和测试、贸易结算以及资源测量等测量技术领域[1]。
基于Python软件的蒙特卡洛法不确定度评定
化学分析计量CHEMICAL ANALYSIS AND METERAGE第30卷，第6期2021年6月V ol. 30，No. 6Jun. 202180doi ：10.3969／j.issn.1008–6145.2021.06.018基于Python 软件的蒙特卡洛法不确定度评定王舵(辽宁省计量科学研究院，沈阳 110004)摘要 以毛细管电泳仪检出限的不确定度评定为例，探讨了Python 软件在MCM 不确定度评定中的具体应用。
首先采用GUM 法对不确定度进行评定，再采用Python 软件以MCM 法进行对比分析。
结果表明，两种评定方法结果相同。
与GUM 相比，MCM 直接通过计算获得不确定度结果，评定过程更加方便易行。
通过对实际采样数据的分析，发现数据的采样对不确定度评定结果有很大影响。
由于GUM 分析时采用的理论模型与实际数据不一定相符，造成不确定度计算结果存在偏差，而以实际采样数据为基础的MCM 能够获得更真实、更可靠的不确定度计算结果。
关键词 Python 软件；蒙特卡洛法(MCM)；不确定度；毛细管电泳中图分类号：O657 文献标识码：A 文章编号：1008–6145(2021)06–0080–05Evaluation of measurement uncertainty by Monte Carlo method based on Python softwareWang Duo(Liaoning Institute of Measurement ， Shenyang 110004， China)Abstract For the evaluation of uncertainty on detection limit of capillary electrophoresis ，a specific application of Monte Carlo method(MCM) with Python software was discussed. GUM(Guide to the Representation of Measurement Uncertainty) and MCM were applied on the evaluation of uncertainty to achieve a comparative analysis. The results showed that the two evaluation methods had the same conclusion. Different with GUM ，MCM obtained the uncertainty result directly through calculation ，and the whole process was more convenient and easy. Furthermore ，through the analysis of the actual data ，it was found that samples had a great in fluence on the result. As the theoretical model used in GUM analysis did not match the actual data perfectly ，there was a deviation in the calculation result of uncertainty, and the MCM based on the actual sampling data could obtain more realistic and reliable calculation results of uncertainty.Keywords Python software; Monte Carlo method; measurement uncertainty; capillary electrophoresis蒙特卡洛法(MCM)作为《测量不确定度表示指南》（GUM ）的重要补充方法，可有效地解决测量模型非线性等诸多不确定度评定问题［1］。
基于蒙特卡罗法的平面度测量不确定度评定
犝狀犮犲狉狋犪犻狀狋狔犈狏犪犾狌犪狋犻狅狀狅犳犉犾犪狋狀犲狊狊犕犲犪狊狌狉犲犿犲狀狋犅犪狊犲犱狅狀 犕狅狀狋犲犆犪狉犾狅 犕犲狋犺狅犱
Ｗｕ Ｈｕｌｉｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａａｎｘｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉａｎ ７１０３００，Ｃｈｉｎａ） 犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｆｓｈａｐｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｅｒｒｏｒｉｓａｈｏｔｓｐｏｔｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｄｕｅｔｏ ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔａｎｄｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｆｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｓｈａｐｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｅｒｒｏｒ ｉｎｔｈｅａｃｔｕａｌｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｈａｓｂｅｃｏｍｅａｄｉｆｆｉｃｕｌｔｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｃｒｉｔｅｒｉｏｎｏｆｓｈａｐｅｅｒｒｏｒ，ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌａｄｏｐｔｉｎｇｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ，ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｅａｃｈｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｓｈａｐｅｅｒｒｏｒｍａｔｈｅｍａｔｉ ｃａｌｍｏｄｅｌａｎｄｓｉｎｇｌｅｐｏｉｎｔｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ，ａｎｄｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｈｅｓｐｅｃｉｆｉｃｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｓｏｕｒｃｅ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏ ｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＧＵＭ ｍｅｔｈｏｄｆｏｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．ＴｈｅｎｔｈｅＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅａｃｔｕａｌ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｄａｔａ，ｔｈｕｓｔｈｅｆｌａｔｎｅｓｓｅｒｒｏｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．ＴｈｅｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙａｎｄａｃｃｕｒａｃｙｏｆＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄｔｏｅｖａｌｕａｔｅｆｌａｔｎｅｓｓ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙａｒｅｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｓｅｔｔｉｎｇｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ．Ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｄｏｅｓｎｏｔｎｅｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ，ｉｔｉｓｅａｓｙｔｏｒｅａｌｉｚｅｂｙｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂｓｏｆｔｗａｒｅ，ａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓａｍｏｒｅｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｆｌａｔｎｅｓｓｅｒｒｏｒ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓ． 犓犲狔狑狅狉犱狊：ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｍｅｔｈｏｄ；ｆｌａｔｎｅｓｓｅｒｒｏｒ；ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ；ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｍｅｔｈｏｄ
基于蒙特卡罗方法的圆度测量不确定度评定
国计量出版社，２００４（４）． ［６］苏金明，阮沈勇．Ｍ丑ｔｌａｂ实用教程［Ｍ］．北京：电子工业出
一０．０即 １４５
Ｏ．０鹧 拗 一０．９卯 筋 一０．１６６
由以上测量数据得，距离圆心的最远和最近的
点分别为第１３个点和第２３个点。代入式（１）得圆
度误差为
，＝６．０９９ｌ舯
４．３不确定度估计
（１）应用式（２）评定圆度测量不确定度
根据以上数据和３．１部分公式得各点的不确定
度和传递系数，然后代入式（２）得 ｕｆ＝Ｏ．２４７８舯
个概率分布，判断其分布类型，求出其方差，即为所 要求的圆度误差测量的标准不确定度。
４实例分析
在Ｔａｌ舢ｄ ３６５型圆度仪上对某工件的圆截面
进行测量和评定。 ４．１不确定度来源分析 圆度仪有工作台旋转型和轴旋转型两种类型，
本次试验采用的啊ｙｒｏｎｄ ３６５型圆度仪是工作台旋 转型的，该仪器处于良好的工作状态，温度和湿度恒 定，忽略环境对其的影响。其测量不确定度来源［５］
组数据的期望和方差值，即为圆度测量的圆度误差和 标准不确定度。求得厂＝６．０９呻咖，ｎｆ－０．２４黜肌。
图ｌ圆度误差的概率分布 （３）结果比较
传统方法 蒙特书罗方法
圆度误差 ６．０９９ｌ ６．０９９０
圆度测量的不确定度
Ｏ．２４７８
Ｏ．獬
由上表可知，蒙特卡罗方法可用于不确定度评 定，并且完全满足精度要求。
５结语
本文提出的蒙特卡罗方法来计算圆度误差的不 确定度，其结果和传统方法评定的结果相同，符合要 求。这种方法使用起来计算简便，借助于计算机软件 很容易实现，简化了传统方法的不确定度评定，可以 推广到形位误差的不确定度评定上，具有实用价值。
蒙特卡洛法评定测量不确定度
本规范经国家质量监督检验检疫总局于201×年××月××日批准，并自201×年××月××日起施行。
归口单位：全国法制计量管理计量技术委员会
起草单位：北京理工大学
中国计量科学研究院
国家质检总局计量司
本规范由全国法制计量管理计量技术委员会解释
本规范起草人：
本规范就GUM中未涉及的概率分布传播的问题提供指导，以扩大测量不确定度评定与表示的适用范围。
本规范基于最佳估计值、标准不确定度、协方差和自由度,或原始统计数据, 以及其他相关的科学描述，包括专业的判断等信息,构造输入量的PDF,进而确定输出量的PDF。一旦获取输出量的PDF，则其期望值和标准偏差分别为该量的最佳估计值及其标准不确定度。由PDF还可获取输出量给定包含概率的包含区间。
量块校准34
附录CGUM法与MCM的比较(补充件)39
附录D分布传播的基本原理(补充件)41
概率分布的传播41
分布传播的实施方法41
附录E词汇和基本符号(参考件)43
附录F常用术语的英汉对照(参考件)48
引言
本规范规定了用蒙特卡洛法评定与表示测量不确定度的方法，其核心内容是基于测量模型采用蒙特卡洛法(MCM)进行概率分布传播。本规范适用于具有多个输入量和单一输出量的测量模型。
的输出量，则函数f是测量函数。更通俗地说，f是一个算法符号，算出与输入量x1，…,xn相应的唯一的输出量值y=f(x1，…,xn)。
4蒙特卡洛法
在测量不确定度的评定中采用的MCM是一种通过重复采样实现分布传播的数值方法。与GUM法利用线性化模型传播不确定度的解析方法不同，MCM通过对输入量Xi的PDF离散采样, 由测量模型传播输入量的分布,计算获得输出量Y的PDF的离散采样值, 进而由输出量的离散分布数值直接获取输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间。该输出量的最佳估计值、标准不确定度和包含区间等特性的计算质量随PDF采样数增加可得到改善。
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蒙特卡罗法评定圆度测量不确定度吴呼玲【摘要】形位误差测量的复杂性和测量结果评定的多样性,使形位误差的不确定度评定较为困难.因此,探索一种准确、高效的形位误差测量不确定度评定方法具有实际的意义.目前,主要根据《测量不确定度评定指南》进行形位误差不确定度评定,评定过程需要计算出误差模型中的传递系数.当误差模型复杂或者参数之间存在非线性时,评定结果准确性差.为解决该问题,在分析形位误差测量不确定度评定方法和评定原理之后,提出了采用蒙特卡罗法评定形位误差测量不确定度.该方法利用计算机产生伪随机数来模拟圆度误差的实际测量值,将其代入误差模型中,构成圆度误差的概率分布,并求出其期望值和方差,从而得出圆度误差和测量不确定度.试验数据显示,蒙特卡罗法评定圆度不确定度结果可靠、高效快捷,为几何量测量领域、误差分析与数据处理领域提供了新的方法,值得推广和应用.%The complexity of the measurement and the diversity of measurement results make it difficult to assess the uncertainty of the form and position error.Therefore,it is of great significance to explore an accurate and efficient method of measurement uncertainty.At present,the uncertainty of form and position is mainly evaluated according to the"Guide to the Expression of the Uncertainty in Measurement".The transmission coefficient in mathematical model needs to be calculated during the evaluation process.When the model is complex or nonlinearity exists among parameters,the accuracy of evaluation results is poor.In order to solve this problem,on the basis of analyzing the uncertainty evaluation method and the evaluation principle,Monte Carlo method is proposed to measure the uncertainty ofform and position error measurement.With this method,the pseudo random number generated by computer is used to simulate the actual measured values of the roundness error for the error model,to constitute the probability distribution of the roundness error,calculate the expected value and variance,and obtain the roundness error and measurement uncertainty.The experimental results shows that the method is accurate,simple and efficient,and provides a new method in the fields of geometric measurement,error analysis,and data processing,which is worth to be popularized and applied.【期刊名称】《自动化仪表》【年(卷),期】2018(039)005【总页数】5页(P64-68)【关键词】蒙特卡罗法;圆度误差;最小二乘法;不确定度;MATLAB;三坐标测量机;形位误差【作者】吴呼玲【作者单位】陕西国防工业职业技术学院机械工程学院,陕西西安710300【正文语种】中文【中图分类】TH124;TP2740 引言圆度误差是轴套类零件经常需要检测的形位误差项目。
圆度误差测量不确定度的评定已成为测量领域的一个重要课题。
常用的圆度测量不确定度评定方法有：①依据《测量不确定度表示指南》(guide to the expression of uncertainty in measurement，GUM)的基本原理和方法(GUM[1]法);②蒙特卡罗法[2](Monte Carlo method,MCM)。
GUM法需要根据评定方法建立误差数学模型，首先求出误差模型中的传递系数和参数间的相关系数，然后根据测量不确定度合成公式进行评定。
由于圆度测量的点数较多，而且分为直角坐标系和极坐标系两种情况，误差模型较为复杂，因此很难求出不确定度。
蒙特卡罗法是一种统计模拟的方法，使用随机数模拟实际测量值来解决问题。
该方法利用MATLAB软件中的相关函数产生一组随机数组来模拟实际测量值，求出形位误差的测量不确定度。
该方法评定结果准确、操作方便、简单快捷，为测量技术领域和其他数据处理领域提供了新的方法。
1 圆度误差的最小二乘数学模型测量圆度误差时，以零件测量时的回转中心O为圆心，选取两个相互垂直的径向线构成直角坐标系。
圆度最小二乘模型如图1所示。
图1 圆度最小二乘模型Fig.1 The least squares model of roundness在零件截面轮廓上，以等角度间隔进行测量采样。
采样数据为pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)。
其中：xi为实际圆周上各采样点在x轴上的坐标值，yi为采样点在y坐标轴上的坐标值。
设采样点的截面轮廓的最小二乘圆圆心O′的直角坐标为O′(a,b)，最小二乘圆的半径为R，则最小二乘圆方程为：(x-a)2+(y-b)2=R2(1)式中：a、b分别为最小二乘圆圆心在直角坐标系中的坐标值；R为最小二乘圆的半径。
根据实际轮廓圆上各pi点的直角坐标值,求得最小二乘圆圆心坐标a和b。
(2)(3)式中：n为实际轮廓等分的间隔数。
实际轮廓上的各采样点pi到最小二乘圆的偏距ΔRi为：(4)设距离最小二乘圆心最远的点和最近的点分别为(xM,yM)、(xL,yL),则圆度误差可表示为[3]：f=(5)式中：(xM,yM)为实际采样点距离最小二乘圆心最远的点坐标；(xL,yL)为实际采样点距离最小二乘圆心最近的点坐标。
2 圆度测量结果不确定度评定2.1 GUM法要计算圆度的测量不确定度[4]，首先要确定圆度误差模型中各参数的传递系数和单点测量不确定度。
①计算式(5)中圆度误差模型各参数的传递系数[5]。
(6)(7)(8)(9)(10)(11)②计算各参数测量不确定度。
实际测量中，各测量点的测量环境是相同的，各点的测量不确定度也是相同的，都等于单点测量不确定度。
a和b的不确定度可通过式(12)和式(13)求得：(12)(13)式中：μ0为圆度的单点测量不确定度。
将推导出来的传递系数和单点测量不确定度代入圆度测量不确定度评定公式[6]，即可求得圆度的测量不确定度。
(14)2.2 蒙特卡罗法利用蒙特卡罗伪随机数原理，根据圆度误差模型，产生服从正态分布的随机数序列值。
该序列值的期望为各参数的测量值，方差为各参数的单点标准不确定度，从而得出圆度的测量不确定度[7]。
①分析不确定度来源。
设定分布类型、分布区间，得出各不确定度数值。
②确定圆度误差模型(5)中的参数：xM、xL、yM、yL、a、b的期望和方差。
③以xM、xL、yM、yL、a、b这6个参数的期望和方差，分别生成六维随机数模拟圆度误差的实际测量值，样本容量取M，对其进行圆度误差的不确定度评定。
六维随机数分别为：[xM1,xM2,xM3,…,xMM];[xL1,xL2,xL3,…,xLM];[yM1,yM2,yM3,…,yMM];[yL1,yL 2,yL3,…,yLM];[a1,a2,a3,…,aM];[b1,b2,b3,…,bM]。
④将产生的随机数值代入圆度误差模型，求出M个圆度误差值f。
根据这组f值，构造概率分布。
其方差值则为圆度误差的测量不确定度[8]。
3 试验数据采集及结果验证使用爱德华公司MQ686型三坐标测量机，对JP19型万能工具显微镜的顶尖轴进行圆度误差的测量[9]和评定。
将被测顶尖轴用高精度三爪卡盘夹紧，放置于三坐标测量机的测量平台上；然后对其进行圆度测量。
在被测顶尖轴上选取三个截面，每个截面等角度测量24个点。
三坐标测量机测量顶尖轴圆度数据如表1所示。
表1 顶尖轴圆度数据Tab 1 Roundness data of the top axismm测点X轴坐标Y轴坐标110．0038-0．011629．66692．582238．67434．988647．08787．054255．02238．6 50462．60999．656170．009610．00898-2．56899．66369-4．98178．668410-7．05557．080611-8．64965．009412-9．67032．6035测点X轴坐标Y轴坐标13-9．99590．003614-9．6639-2．578015-8．6618-4．995416-7．0725-7．070317-5．0028-8．659718-2．5860-9．663019-0．0048-10．0011202．5982-9．6588215．0116-8．6581227．0830-7．0656238．6706-4．9979249．6646-2．58663.1 不确定度来源分析三坐标测量机的工作要求是：室内温度达到20 ℃，被测零件和测量设备等温10 h。
其三坐标测量机的不确定来源可忽略温度、湿度带来的影响，主要分析以下几个方面的影响[10]。
①重复性引起的不确定度分量。
圆度测量不确定度评定的主要因素之一，是测量重复性测量引起的不确定度[11-12]。
影响圆度的主要因素是半径的变化量。
因此，需要考虑半径变化量测量的重复性误差。
在圆度测量的24个测量点中选取4个点(1、5、15和20点)进行各点的重复性误差计算。