7.2 布洛赫函数

7
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
7.2. 2 .
布洛赫波
哈特利方程 周期场中的单电子 周期场中的单电子 运动问题
复杂的多电子 复杂的多电子 体系问题
讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 单电子
h2 2 v Hφ = − ∇ + V (r )φ = Eφ 2m
e2 H j + 4 πε 0
哈特利方程
第 j 个电子在所有其它电子作平均分布时的电子间库仑作 用势， 用势，从而在一定程度上计及了点自己相互作用 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及 所有晶格离子的周期场 其它电子的平均场中运动的单电子问题 其它电子的平均场中运动的单电子问题
TH = H l T l
H 的本征函数
具有共同的本征函数
晶体中电子 可选为 Tl 的本征函数 的本征函数
10
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
对平移算符， 对平移算符，其本征函数应具备的性质 v v v v λ l 、 λm 为 Tlφ (r ) = φ (r + Rl ) = λlφ (r ) v v v v 本征值 Tmφ (r ) = φ (r + Rm ) = λmφ (r ) 由于平移算符具有性质： 由于平移算符具有性质： 所以
其中， v 其中， (r ) 包括晶体离子势和其它电子的平均势 V
v v v V (r + Rl ) = V (r ) 晶格周期性，周期性势场 晶格周期性， v v v v 任意格矢 Rl = l1a1 + l2 a2 + l3 a3 , l1 , l2 , l3 ∈ Z
8
固体物理导论 固体物理导论 物理
TT =T+m l m l
v v v v Tl + mφ (r ) = TlTmφ (r ) = λl λmφ (r ) = λl + mφ (r )
即 Tl+m 的本征值 λl+m 满足
λl + m = λl λm
11
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
v v a 个原胞、 假设晶体为沿 a1 方向的 N1 个原胞、 2 方向的 v N2 个原胞、 3 方向的 N3 个原胞堆砌而成，将周期 个原胞、 个原胞堆砌而成， a 性边界应用于电子波函数得 v v v φ (r + N1a1 ) = φ (r ) v v v λ1N1 = 1 φ ( r + N 2 a2 ) = φ ( r ) v v v φ (r + N 3a3 ) = φ (r ) 2π i n1 又 λ1 = e N1 , n1 ∈ Z v v v v N1 N1 φ (r + N1a1 ) = (T1 ) φ (r ) = λ1 φ (r ) v v λ1 为平移 Rl = a1 相应的平移算符 T1 的本征值
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
晶体系统的哈密顿量
将晶体看作是可在全部晶体中运动的价电 子与位于格点的离子的集合， 子与位于格点的离子的集合，其哈密顿量
H = H e + H i + H e −i
电子部分
h2 2 1 e2 H e = ∑ (− )∇ j + ∑' v v 2m 2 j ,l 4πε 0 | rj − rl | j
j =1
N ：价电子总数
第 j 个电子的坐标
而能量本征值
E = ∑ Ej
j =1
N
Ej 为单电子能量，满足 为单电子能量，
H jϕ j = E jϕ j
当做电子薛定谔方程的近似解， 可把 Φ 当做电子薛定谔方程的近似解，据此算得 H 的久 期值， 期值，再用变分法确定单电子波函数 ϕj 应满足的方程
——电子绝热地响应离子位置的变化 电子绝热地响应离子位置的变化
2
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
绝热近似有效地将电子运动与离子运动分开 成独立的两部分，讨论电子运动时， 成独立的两部分，讨论电子运动时，只须将所有 离子固定在某一瞬间位置上 在本章可认为所有的离子都处在平衡位置， 在本章可认为所有的离子都处在平衡位置， 即相对于绝对零度时的情形， 即相对于绝对零度时的情形，因此对于电子部分
如无交叉项， 如无交叉项，则电子的薛定谔方程简化为
h2 2 v v H 0Φ = ∑ [(− )∇ j + ∑ Ve-i (r j − Rl )]Φ = ∑ H jΦ = EΦ 2m j l j
4
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
而 Φ 则可以表示为单电子波函数的乘积 N v v v v v v v Φ (r1 , r2 , L , rN ) = ϕ1 (r1 )ϕ 2 (r2 ) Lϕ N (rN ) = ∏ ϕ j (rj )
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
复杂的多电子 复杂的多电子 体系问题
哈特利方程
周期场中的单电子 周期场中的单电子 运动问题
周期势：包括晶体离子势和 周期势：包括晶体离子势和其它电子的平均势 晶体离子势
9
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
引入平移算符 Tl，其作用于任意函数的结果 v v v Tl f (r ) = f (r + Rl ) v 将 Tl 作用于 Hf (r ) 上，得 v v v v v v Tl Hf (r ) = H (r + Rl ) f (r + Rl ) = HTl f (r ) 对易： 表明哈密顿量与平移算符 Tl 对易：
根据变分原理， 极小。 根据变分原理，近似程度最好的 ϕj 应使 E 极小。 变分， 将上式对 ϕj 变分，并将 Ej 作为拉格朗日乘子
δ [ E − ∑ E j ( ϕ j ϕ j − 1)] = 0
j
6
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
1 δϕ jϕl v v ϕ jϕl − E j δϕ j ϕ j = 0 | rl − rj |
离子部分
v v h2 1 2 H i = ∑ (− )∇ j + ∑'Vi ( R j − Rl ) 2M 2 j ,l j
价电子与晶格离 子间的相互作用 v v H e-i = ∑ Ve-i (rj − Rl )
j ,l
1
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
7.2. 1 .
12
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
同样可得
λ2 = e
i
2π n2 N2
, λ3 = e
i
2π n3 N3
, n2 , n3 ∈ Z
因此 n n n i 2 π ( l1 1 + l2 2 + l3 3 ) v v v v v N1 N2 N3 v φ (r ) Tlφ (r ) = φ (r + Rl ) = e φ (r ) = λRl 在倒空间引入矢量 v n1 v n2 v n3 v k= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3 则
Hφ = ( H e + H e −i )φ = Eeφ
在 He-i 内，认为所有离子都处于格点的平衡 位置， 位置，电子的波函数只决
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数 交叉项， 交叉项，给问 题带来复杂性
绝热近似下电子的哈密顿量
1 H = H 0 + H1 = ∑ H j + ∑'H j ,l 2 j ,l j h2 2 e2 v v H jl = Hj =− ∇ j + ∑ Ve-i (rj − Rl ) v v 2m 4πε 0 | rj − rl | l
取值 状态密度 范围
v n1 v n2 v n3 v K= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
v n1 v n2 v n3 v k= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
V /(2 π)
3
V /(2 π)3
第一布里渊区
第一布里渊区
16
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
vv v ik ⋅r v v φ = φkv (r ) = e uk (r ) v v vv v v v v ik ⋅ Rl ik ⋅r 则 φ (r + Rl ) = e e ukv (r + Rl ) v v v v vv v v v v ik ⋅ Rl ik ⋅ Rl ik ⋅r 又 φ (r + Rl ) = e φ (r ) = e e ukv (r )
e2 ∑ δϕ j H j ϕ j + 4πε j 0
∑
l≠ j
因此
1 v v ∑j ϕl | r − r | ϕl − E j ϕ j l≠ l j v 2 2 h2 2 v e | ϕl (r ' ) | v v dV' ϕ j (r ) = E jϕ j (r ) − ∇ j + V j (r ) + v v ∑j ∫ | r ' − r | 4 πε 0 l ≠ 2m
5