线段的垂直平分线与角平分线专题复习

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专题02 垂直平分线与角平分线(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(北师大版)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）专题02 垂直平分线与角平分线【典型例题】1．如图，△ABC 中，△ABC ＝25°，△ACB ＝55°，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，E ，G 分别为垂足；（1）直接写出△BAC 的度数；（2）求△DAF 的度数；（3）若BC 的长为30，求△DAF 的周长．【答案】(1)100BAC ∠=︒；（2）20DAF ∠=︒；（3）30DAF C =【分析】（1）由题意直接根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）由题意根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：（1）△△ABC +△ACB +△BAC ＝180°，△△BAC ＝180°﹣25°﹣55°＝100°；（2）△DE 是线段AB 的垂直平分线，△DA ＝DB ，△△DAB ＝△ABC ＝25°，△FG 是线段AC 的垂直平分线，△AF ＝CF ，△△F AC ＝△ACB ＝55°，△△DAF ＝△BAC ﹣△DAB ﹣△F AC ＝100°﹣25°﹣55°＝20°；（3）△BC =30，由（2）可知， AD ＝BD ，F A ＝FC ，△C △DAF =AD +DF +F A ＝BD +DF +FC ＝BC ＝30．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90,B AD ∠=︒平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若1BD =，则DE 的长为（）A ．12B ．1C ．2D ．6【答案】B【分析】根据△B =90°，AD 平分△BAC ，DE △AC ，再根据角平分线的性质得到DE =BD =１．【详解】△90B ∠=︒，△DB AB ⊥，又△AD 平分BAC ∠，DA AC ⊥，△由角平分线的性质得1DE BD ==．故选：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题．2．如图，在ABC 中，直线ED 是线段BC 的垂直平分线，直线ED 分别交BC 、AB 于点D 、点E ，已知BD =3，ABC 的周长为20，则AEC 的周长为（）A ．14B ．20C ．16D ．12【答案】A【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC =EB ，BC =2BD =6，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】△ED 是线段BC 的垂直平分线，△EC =EB ，BC =2BD =6，△△ABC 的周长为20，△AB +AC +BC =20，△AB +AC =14，△△AEC 的周长=AC +AE +EC =AC +AE +EB =AC +AB =14，故选：A ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD DE =，若ABC 的周长为26cm ，5AF =cm ，则DC =（）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，能推出2DE+2EC=16，即可求解．【详解】解：△AD△BC，BD=DE，EF垂直平分AC△AB=AE=EC△△ABC周长是26cm，AF=5cm△AC=10cm△AB+BC=16cm△AB+BE+EC=16cm即2DE+2EC=16cm△DE+EC=8cm△DC=DE+EC=8cm故选A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等时解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分△ABC，CD△AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（）A．1B．43C．53D．2【答案】B【分析】过点E作EG△AB于点G，由EG△AB，CD△AB，可得EG△CD，由平行线的性质可得△GEB=△EFC；在Rt△ABC 中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC△Rt△EBG，由全等三角形的性质可得△CEB=△EFC及AG 的值，进而可判定CF=CE．设CF=EG=EC=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x 的值即为CF 的长．【详解】解：过点E 作EG △AB 于点G ，如图：△CD △AB 于D ，△EG △CD ，△△GEB ＝△EFC ，△在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，△EC △CB ，又△BE 平分△ABC ，EG △AB ，△EG ＝EC ．在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5．在Rt △EBC 和Rt △EBG 中，EB EB EC EG=⎧⎨=⎩， △Rt △EBC △Rt △EBG （HL ），△CEB ＝△GEB ，BG ＝BC ＝4，△△CEB ＝△EFC ，AG ＝AB ﹣BG ＝5﹣4＝1，△CF ＝CE ．设CF ＝EG ＝EC ＝x ，则AE ＝3﹣x ，在Rt △AEG 中，由勾股定理得：（3﹣x ）2＝x 2+12，解得x ＝43△CF 的长是43．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5．如图，在△ABC中，△B=15°，△C=30°，MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，已知S△ANQ则BC的长为（）A B．3C．3D．2+【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AQ=CQ，BN=AN，根据等腰三角形的性质和已知条件得出△BAN=△B=15°，△CAQ=△C=30°，根据三角形外角性质得出△ANQ=△B+△BAN=30°，△AQN=△C+△CAQ=60°，求出△NAQ=90°，再根据三角形的面积求出AQ，最后求出BC即可．【详解】解：△MN是AB的垂直平分线，PQ是AC的垂直平分线，△AQ=CQ，BN=AN，△△B=15°，△C=30°，△△BAN=△B=15°，△CAQ=△C=30°，△△ANQ=△B+△BAN=15°+15°=30°，△AQN=△C+△CAQ=30°+30°=60°，△△NAQ=180°﹣△ANQ﹣△AQN=90°，△NQ=2AQ，AN==，△S△ANQ=，2△12⨯AQ 解得：AQ =1（负数舍去），即CQ =AQ =1，AN =BN NQ =2AQ =2，△BC =BN +NQ +CQ 2+1=3故选：B ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．二、填空题6．如图，在△ABC 中，△C =90°，AP 平分△CAB ，且PC =3，PB =5，则点P 到边AB 的距离是 ______________【答案】3【分析】作PH △AB 于H ．直接根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：作PH △AB 于H ，如图，△AP 平分△CAB ，且△C =90°，△3PH PC ==，即点P 到边AB 的距离是3．故答案为3．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线性质定理是解答此题的关键．7．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，DE 垂直平分斜边AB ，分别交AB 、BC 于D 、E ，若△CAB ＝△B +28°，则△CAE＝__．【答案】28︒【分析】先根据直角三角形的两锐角互余可得31,59B CAB ∠=︒∠=︒，再根据垂直平分线的性质可得AE BE =，然后根据等腰三角形的性质可得31B BAE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】解：△在ABC 中，90C ∠=︒，△90CAB B ∠+∠=︒，又△28CAB B ∠=∠+︒，△31,59B CAB ∠=︒∠=︒，△DE 垂直平分斜边AB ，△AE BE =，△31BAE B ∠=∠=︒，△593128CAE CAB BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：28︒．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题关键．8．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝11，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点F 、G ，则△AEG 的周长为__．【答案】11．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．【详解】解△DE是线段AB的垂直平分线，△EA＝EB，同理，GA＝GC，△△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．9．如图，在四边形ABCD中，△A=90°，AD= 6，连接BD，BD△CD，△ADB=△C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．【答案】6【分析】根据垂线段最短得出当DP△BC时，DP的长度最小，求出△ABD=△CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=6，即可得出选项．【详解】解：△BD△CD，△△BDC=90°，△△C+△CBD=90°，△△A=90°△△ABD+△ADB=90°，△△ADB=△C，△△ABD=△CBD，当DP△BC时，DP的长度最小，△AD△AB，△DP=AD，△AD=6，△DP的最小值是6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP△BC时，DP的长度最小是解此题的关键．10．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边BC为12，点P在边BC上，且BP：PC＝3：1，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDP周长的最小值为___________．【答案】8．【分析】如图作AH△BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DP+DC＝AD+DP，可得当A、D、P共线时，DP+DC的值最小，最小值就是线段AP的长,此时，△CDP周长的最小,求出AP的长即可．【详解】解：如图作AH△BC于H，连接AD．△EG垂直平分线段AC，△DA＝DC，△DP+DC＝AD+DP，△当A、D、P共线时，DP+DC的值最小，最小值就是线段AP的长，△12×12•AH＝24，△AH＝4，△AB＝AC，AH△BC，△BH＝CH＝6，△BP：PC＝3：1，△CP＝PH＝3，△AP5，△DP+DC的最小值为5．△△CDP周长的最小值为5+3＝8；故答案为：8．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分△ABC，DE△BC，交AB于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝DE；（2）若△DEB＝30°且DE＝3，求AD的长度．【答案】（1）见解析；（2）3．【分析】（1）由BE平分△ABC，DE△BC可得△DBE＝△DEB，可得结论；（2）通过证明△ADE为等边三角形，可得AD＝DE＝3．【详解】证明：（1）△BE平分△ABC，△△ABE＝△EBC，△DE△BC，△△DEB＝△EBC，△△DBE＝△DEB，△BD＝DE；（2）△△DEB＝△DBE＝30°＝△EBC，△△ABC＝60°，△AB＝AC，△△ABC是等边三角形，△△ABC＝△ACB＝△A＝60°，△DE△BC，△△ADE＝△ABC＝60°，△AED＝△C＝60°，△△ADE是等边三角形，△AD＝DE＝3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．，的垂直平分线交于点P．12．如图，ABC中，边AB BC==．（1）求证：PA PB PC（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，P A=PB，PB=PC，则P A=PB=PC．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：△边AB、BC的垂直平分线交于点P，△P A=PB，PB=PC．△P A=PB=PC．（2）△P A=PC，△点P 在边AC 的垂直平分线上．【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．13．如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE △AB 于点E ，DF △AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ．（1）求证：△DEF ＝△DFE ；（2）求证：AD 垂直平分EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的性质证明即可得解；（2）根据已知条件证明Rt △AED △Rt △AFD （HL ）和△△DEO DFO ≅即可得解；【详解】（1）△AD 为△ABC 的角平分线，DE △AB ，DF △AC ，△DE ＝DF ，△△DEF ＝△DFE ；（2）根据已知条件可得△AED ＝△AFD ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AFD 中，DE DF AD AD=⎧⎨=⎩， △Rt △AED △Rt △AFD （HL ），△△ADE ＝△ADF ；在△DEO 和△DFO 中， DEO DFO DE DFEDO FDO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△△DEO DFO ≅，△EO FO =，EOD FOD ∠=∠，△∠EOD +∠FOD ＝180°，△∠EOD =∠FOD ＝90°，△AD 垂直平分EF ．【点睛】本题主要考查了角平分线的垂直平分线的判定与性质，结合等三角形证明是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于M ，交AC 于N ．（1）若70ABC ∠=︒，求A ∠的度数；（2）连接NB ，若8cm AB =，NBC 的周长是14cm ，求BC 的长．【答案】（1）40°；（2）6cm【分析】（1）由AB =AC 可得△C =△ABC =70°，由三角形内角和可得△A =40°；（2）由（1）可知BN =AN ，由此可得BN +NC =AN +NC =AC =AB =8cm ，再由C △BNC =BN +CN +BC =14cm ，可得BC =14-8=6（cm ）．【详解】解：（1）△AB =AC ，△△ABC =△ACB =70°，△△A =180°-70°-70°=40°；（2）MN 是AB 的垂直平分线，△AN =BN ，△BN +CN =AN +CN =AC ，△AB =AC =8cm ，△BN +CN =8cm ，△C △BNC =BN +CN +BC =14（cm ），△BC =14﹣8=6（cm ）．【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，三角形周长，掌握等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，三角形周长是解题关键．15．如图，△ABC 中，AD 平分△BAC ，DG △BC 且平分BC ，DE △AB 于E ，DF △AC 于F ．（1）求证：BE =CF ；（2）如果AB =8，AC =6，求AE ，BE 的长．【答案】（1）证明见解析，（2）AE ＝7，BE ＝1．【分析】（1）连接DB 、DC ，先由角平分线的性质就可以得出DE ＝DF ，再证明△DBE △△DCF 就可以得出结论；（2）由条件可以得出△ADE △△ADF 就可以得出AE ＝AF ，进而就可以求出结论．【详解】解：（1）证明：连接DB 、DC ，△DG △BC 且平分BC ，△DB ＝DC ．△AD 为△BAC 的平分线，DE △AB ，DF △AC ，△DE ＝DF ．在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩， Rt △DBE △Rt △DCF （HL ），△BE ＝CF ．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，△Rt△ADE△Rt△ADF（HL）．△AE＝AF．△AC+CF＝AF，△AE＝AC+CF．△AE＝AB﹣BE，△AC+CF＝AB﹣BE，△AB＝8，AC＝6，△6+BE＝8﹣BE，△BE＝1，△AE＝8﹣1＝7．即AE＝7，BE＝1．【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．16．如图，已知Rt△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，△BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．（1）试说明△CEF是等腰三角形；（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．【答案】（1）见解析；（2）AB＝2AC，理由见解析；（3）12【分析】（1）求出△B＝△ACD，根据三角形的外角性质求出△CFE＝△CEF，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）求出△B＝△CAE＝△BAE，根据三角形内角和定理求出△B＝30°，再求出答案即可；（3）求出高EM的长，求出AB的长，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：（1）△CD△AB，△△CDB＝90°，△△B+△BCD＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△BCD＝90°，△△ACD＝△B，△AE平分△BAC，△△CAE＝△BAE，△△ACD+△CAE＝△B+△BAE，即△CFE＝△CEF，△CF＝CE，即△CEF是等腰三角形；（2）AB＝2AC，理由是：△E在线段AB的垂直平分线上，△AE＝BE，△△B＝△BAE，△△CAE＝△BAE，△ACB＝90°，△3△B＝90°，△△B＝30°，△AB＝2AC；（3）△AC＝2.5，△AB＝2AC＝5，由（2）得，△CAB=60°，△AE平分△CAB，△△CEA =30°，设CE 为x ，则AE 为2x ,AC ，x ，过E 作EM △AB 于M ，△EM ＝CE ＝6，△△ABE 的面积S ＝12AB EM ⋅＝12⨯5．【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用所学知识，整合已知条件，解决综合问题．17．如图1，在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，△ABC ＝45°，FD ＝CD ．（1）请写出BE 与AC 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接DE ，求证：△BED ＝△DEC ；（3）若AD ＝4，CD ＝2，在直线BC 上方的平面内是否存在点P ，使得△BFP 为等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P 到直线BC 的距离．【答案】（1）BE △AC ，见解析；（2）见解析；（3）存在，4或6或3【分析】（1）证明△BDF △△ADC ，得到△DBF ＝△DAC ，由△BFD ＝△AFE 证得△BDF ＝△AEF ＝90°，即可得到结论；（2）过点D 作DM △AC ，DN △BE ，根据△BDF △△ADC ，得到BF =AC ，BDF ADC SS =，推出DM =DN ，证得ED 平分△BEC ，由此得到结论；（3）根据勾股定理求出AC 由△BDF △△ADC ，得到BF ＝AC ＝DF ＝DC ＝2，BD ＝AD ＝4，分三种情况：当△PBF ＝90°，BP ＝BF 时，当△P ′FB ＝90°，P ′F ＝BF 时，当△BP ″F ＝90°，BP ″＝FP ″时，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：如图①中，△AD △BC ，△△ADB ＝90°，△△ABC ＝45°，△△ABD ＝△BAD ＝45°，△BD ＝DA ，△DF ＝DC ，△BDF ＝△ADC ＝90°，△△BDF △△ADC （SAS ）．△△DAC =△CBE ，△△BFD ＝△AFE ，△△BDF ＝△AEF ＝90°，△BE △AC ．（2）解：如图，过点D 作DM △AC ，DN △BE ，△△BDF △△ADC ，△BF =AC ，BDF ADC SS =，△DM =DN ，△ED 平分△BEC ，△△BED ＝△DEC ；（3）解：如图2－1中，满足条件的点P 有3个．在Rt △ADC 中，△AD ＝4，CD ＝2，△AC ，△△BDF △△ADC ，△BF ＝AC ＝DF ＝DC ＝2，BD ＝AD ＝4，当△PBF ＝90°，BP ＝BF 时，作PM △CB 交CB 的延长线于M ．易证△PMB △△BDF ，△PM ＝BD ＝4，△点P 到直线BC 的距离为4；当△P ′FB ＝90°，P ′F ＝BF 时，作P ′H △BC 于H ，FG △P ′H 于G ．易证：P ′G ＝BD ＝4，GH ＝DF ＝2，△P ′H ＝4＋2＝6，△P ′到直线BC 的距离为6；当△BP ″F ＝90°，BP ″＝FP ″时，作P ″N △BC 于N ．易证P ″N ＝2PM DF +＝3，△P″到直线BC的距离为3，综上所述，满足条件的点P到直线BC的距离为4或6或3．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定及性质，熟记各定理并熟练应用解决问题是解题的关键．18．在△ABC中，若AD是△BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE△AB，垂足为E，DF△AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：①△AED+△AFD＝180°；②DE＝DF．那么在△ABC中，仍然有条件“AD是△BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：（1）若△AED+△AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．（2）若DE＝DF，则△AED+△AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）【答案】（1）DE＝DF，理由见解析；（2）不一定成立【分析】（1）过点D作DM△AB于M，DN△AC于N，DM＝DN，△DME△△DNF，DE＝DF；（2）如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立；【详解】（1）DE＝DF．理由如下：过点D作DM△AB于M，DN△AC于N，△AD平分△BAC，DM△AB，DN△AC，△DM＝DN，△△AED+△AFD＝180°，△AFD+△DFN＝180°，△△DFN＝△AED，△△DME△△DNF（AAS），△DE＝DF；（2）不一定成立．如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，所以不一定成立．．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，难点在于熟练和灵活的应用角平分线要点；19．根据图片回答下列问题．(1)如图①，AD平分△BAC，△B+△C=180°，△B=90°，易知：DB____DC．(2) 如图②，AD平分△BAC，△ABD+△ACD=180°，△ABD<90°，求证：DB=DC．(3)如图③，四边形ABCD中，△B=45°△C=135°，DB=DC AB−AC=________．【答案】（1）=；（2）见解析；（3）【分析】（1）利用HL判断出△ADC△△ADC，即可得出结论；（2）先构造出△ACD△△AED，得出DC=DE，△AED=△C，在判断出DE=DB，即可得出结论；（3）利用（2）结论得出DE=DB，再判断出△BDE=90°，利用勾股定理求出BE即可得出结论．【详解】解：证明：（1）△△B+△C=180°，△B=90°，△△C=90°，△AD平分△BAC，△△DAC=△BAD，△AD=AD，△△ACD△△ABD（AAS），△BD=CD；（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE，△AD平分△BAC，△△CAD=△EAD，△AD=AD，AC=AE，△△ACD△△AED（SAS），△DC=DE，△AED=△C，△△C+△B=180°，△AED+△DEB=180°，△△DEB=△B，△DE=DB，△DB=DC；（3）如图③，连接AD，在AB上取一点E使AE=AC，同（2）的方法得，AE =AC ，CD =DE =BD =2，△△DEB =△B =45°，△△BDE =90°，根据勾股定理得，BE =，△AB -AC =BE =故答案为：【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．20．如图①，△ABC 中，△ABC ，△ACB 的平分线交于O 点，过O 点作BC 平行线交AB ，AC 于E ，F ．（1）试说明：EO ＝BE ；（2）探究图①中线段EF 与BE ，CF 间的关系，并说明理由；（3）探究图②，△ABC 中若△ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于O ，过点O 作BC 的平行线交AB 于E ，交AC 于F ，这时EF 与BE ，CF 的关系又如何？请直接写出关系，不需要说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）EF BE CF =+，理由见解析；（3）EF BE CF =-【分析】（1）由题意易得△EOB =△EBO ，△ABO =△OBC ，则有△EOB =△ABO ，进而问题得证；（2）由题意易得△FOC =△OCB ，△FCO =△OCB ，则有△FCO =△FOC ，然后可得CF =OF ，由（1）得BE =OE ，进而问题可求解；（3）同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，然后问题可求解．【详解】证明：（1）△EF△BC，△△EOB=△EBO，△BO平分△ABC，△△ABO=△OBC，△△EOB=△ABO，△BE=OE；=+，理由如下：（2）解：EF BE CF△EF△BC，△△FOC=△OCB，△CO平分△ACB，△△FCO=△OCB，△△FCO=△FOC，△CF=OF，由（1）得：BE=OE，△EF=BE+CF；（3）解：EF=BE-CF，理由如下：同理（1）（2）可得：BE=OE，CF=OF，△EF=OE-OF=BE-CF．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键，也要熟练掌握“双平等腰”模型．。

线段的垂直平分线复习巩固、角平分线

线段的垂直平分线复习巩固【知识要点】线段垂直平分线的性质与判定：（1）垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．；（2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等；（3）线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；（4）三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

专题一线段的垂直平分线与等腰三角形等的综合应用1. 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是（）A ．BD 平分ABC ∠ B. BCD ∆的周长等于AB +BC C. AD =BD =BC D. 点D 是线段AC 的中点2. 如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长度。

3. 如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数；（2）求证：AB =BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30º．求 DFFC的值．ABCDE F图2A BCDE 图1角平分线复习巩固【知识要点】角平分线的性质与判定：（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）角平分线逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（3）三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

专题一角平分线性质及判定定理的应用1.（2011，岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为．2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是（）A．B．C．6 D．43.如图，1l，2l，3l是三条公路线，且2l//3l，现在决定在区域内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处，共有几处？请画出图形.4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积。

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案

线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。

16章2复习线段的垂直平分线和角平分线

M
A
B
4 .如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ｃ更上一层楼！ F H
ＤＰＥ
Ａ
Ｂ
G
5. 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：(1)点P到三边AB、BC、CA的距离相等 A D (2)点P在∠A的平分线上 F
解： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=70°。 ∴∠A=180°-2∠C=40°，又∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD。 ∵∠DBA=∠A=40°。 ∴∠BDC=∠A+∠ABD =40°+40°=80°。
2、如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC= 120°，AC的垂直平分线EF交AC 于点E，交BC于点F。求证：BF=2CF。

A

B
点P为校址
2.:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB A

B l
P
点P为所求作的点
角平分线的性质与判定角的平分线上的点到角的两 1:角平分线的性质：边的距离相等。 2：角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 A P到OA的距离
PA=PB
任何图形都是有点组成的。因三、此我们可以把图形看成点的集线段的垂直平分线的集合定义：合。由上述定理和逆定理，线线段的垂直平分线可以看作是到线段的垂直平分线可以看作符合段两上端点距离相等的所有点的集合什么条件的点组成的图形？
1：如图，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂足是点E，∠C=70°，求∠BDC的度数。
D
C

复习课线段的垂直平分线和角平分线

A 在BC 的垂直平分线上复习课——第十九章线段的垂直平分线和角平分线
普陀区课题组
教学目标：
2．会灵活运用线段垂直平分线、角平分线的定理和逆定理解决相关问题，体会构造基本图形的重要性.
教学重点与难点：线段垂直平分线、角平分线的定理及逆定理的灵活应用. 教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图一、建立知识结构
问：今天主要复习线段的垂直平分线、角的平分线相关知识.
问1:几何证明的依据有哪些？
问2:定理和公理都是命题,由命题你想到了什么？
(师生共同完成回答)
教师帮助建立知识结构：
在建立知识结构的同时复习各知识点.PPT 显示线段垂直平分线的定理及逆定理，角平分线定理及逆定理的图形语言表示.
(1) ⇒
AB=AC (2) ⇒
（3） ⇒
PM=PN (4)
答1：定义、公理、定理
答2：逆命题、逆定理、线段垂直平分线的定理及逆定理、角平分线定理及逆定理，点的三种基本轨迹.
梳理知识，建立知识结构.
学生了解知识点，重点在于线段垂直平分线、角平分线定理及逆定理，点的三种轨迹.
复习线段的垂直平分线定理及逆定理、角平分线定理及逆定理运用的规范书写.
C D A B N M
C D
A
B N M
C A
B C D A B N M O P N
M B A
B M N O A P B
M
N
O
A P
2
1
O
M
B
A。

垂直平分线和角平分线典型题

知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)

中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。

专题16角平分线与线段的垂直平分线(基础巩固练习) 解析版

2021年中考数学专题16 角平分线与线段的垂直平分线（基础巩固练习，共30个小题）一、选择题（共15小题）：1.（2020•怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）C．2 D．6A．3 B．32【答案】A【解析】根据角平分线的性质即可求得．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故选：A．2.（2019•兴安盟）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CD的长为（）A．3√3B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，根据直角三角形的性质解答．解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，∵DA⊥BA，DE⊥BC，∴DE＝AD＝3，∴CD＝2ED＝2AD＝6，故选：B．3.（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（）A．2+√2B．√2+√3C．2+√3D．3【答案】A【解析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝1，解直角三角形即可得到结论．解：过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△CDF中，∠C＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=√2DF=√2，∴BC＝BD+CD＝2+√2，故选：A．AD，BD平分∠ABC，4.（2019•张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC=13则点D到AB的距离等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，DC=1AD，3=2，∴CD＝8×11+3∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2．故选：C．5.（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【解析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD +S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．6.（2018•辽阳）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON 的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．5 B．245C．4 D．125【答案】B【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决．解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，∵OA＝OB，OC平分∠AOB，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵AB⋅CD2=AC⋅BE2，∴6×42=5×BE2，解得，BE=245，故选：B．7.（2018•梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF＝6，故选：D．8.（2018•大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】B【解析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠DAB，计算即可．∠MAB=12解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∠DAB＝35°，故选：B．∴∠MAB=129.（2018•常德）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3√3【答案】D【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，根据直角三角形的性质解答．解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝6，∴CE＝CD×cos∠C＝3√3，故选：D．10.（2020•益阳）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．11.（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线【答案】A【解析】根据垂直平分线的性质定理判断即可．解：如图：A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH，∴EF+FO＝OG+GH，即EO＝OH，∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；B．∵EO≠OQ，∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C．∵FO≠OH，∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；D．∵l为直线，EH不能平分直线l，∴EH不是l的垂直平分线，故此选项错误；故选：A．12.（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【解析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为11．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．13.（2019•梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故选：B．14.（2019•南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【解析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．15.（2018•南通）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于12步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（）A．53B．32C．√2D．43【答案】D【解析】由作图可知，四边形ECFD是正方形，根据S△ACB ＝S△ADC+S△CDB，可得12×AC×BC=1 2×AC×DE+12×BC×DF，由此即可解决问题．解：由作图可知，四边形ECFD是正方形，∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DEC＝∠DFC＝90°，∵S△ACB ＝S△ADC+S△CDB，∴12×AC×BC=12×AC×DE+12×BC×DF，∴DE=4×26=43，故选：D．二、填空题（共10小题）：16.（2020•湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为．【答案】3【解析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．17.（2019•永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝．【答案】4【解析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM＝DE＝2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM＝30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝2．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝4．故答案为：4．18.（2020•十堰）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为．【答案】19【解析】由线段的垂直平分线的性质可得AC＝2AE，AD＝DC，从而可得答案．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，∵AB+BD+AD＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案为：19．19.（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．【答案】78°【解析】解法一：连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．解法二：连接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形三线合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定义得∠BOD+∠BOE＝141°，最后由周角的定义可得结论．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案为：78°．20.（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．【答案】10【解析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD＝BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．解：∵C＝24cm，△DBC∴BD+DC+BC＝24cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD②，将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，即AC+BC＝24cm，又∵AC＝14cm，∴BC＝24﹣14＝10cm．故填10．21.（2018•南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝度．【答案】24【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，解得，∠C＝24°，故答案为：24．22.（2019秋•澧县期末）如图，已知AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝38°，则∠BDE＝．【答案】52°【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而结合等边对等角得出答案．解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝38°，∴∠BDE＝90°﹣38°＝52°．故答案为：52°．23.（2020•武汉模拟）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝．【答案】126°【解析】利用垂直平分线和外角和中位线的性质解答即可．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，设∠EBC＝∠ECB＝x，∴∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝2x，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝x，∵FG是△ACE的中位线，∴FG∥AC，∴∠EFG＝∠ACE＝x，∵D为BC的中点，F为CE的中点，∴DF∥AB，∴∠EFD＝∠AEF＝2x，∵∠DFG＝∠GFE+∠EFD＝x+2x＝3x，∴3x＝108°，∴x＝36°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝2x+90°﹣x＝90°+x＝90°+36°＝126°，故答案为：126°．24.（2020秋•涪城区校级期末）如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S △PCB＝AC：CB；③BP垂直平分CE；④CP＝FC，其中正确的判断有．（填序号）【答案】①②③【解析】根据角平分线的定义得出∠CAP＝∠BAP，根据平行线的性质得出∠CAP＝∠GPA，求出∠GPA＝∠BAP，即可判断①；过P作PQ⊥AD于Q，PR⊥AE于R，PT⊥BC于T，根据角平分线的性质得出PQ＝PR，PT＝PR，根据三角形的面积求出S△PAC =12×AC×PQ，S△PCB=12×BC×PT，即可判断②；根据等腰三角形的性质即可判断③，根据等腰三角形判断即可判断④．解：∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠CAP＝∠GPA，∴∠GPA＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；过P作PQ⊥AD于Q，PR⊥AE于R，PT⊥BC于T，∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴PQ＝PR，PT＝PR，∴PQ＝PT，∵S△PAC =12×AC×PQ，S△PCB=12×BC×PT，∴S△PAC ：S△PCB＝AC：BC，故②正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE，故③正确；根据已知条件不能推出∠CPF＝∠CFP，即不能推出CP＝FC，故④错误；故答案为：①②③．25.（2018•锦州）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△AOB的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为．【答案】4•（√33）2016•（1+√3）2017【解析】从特殊到一般探究规律后即可解决问题；解：由题意：正方形ABCA1的边长为√3，正方形A1B1C1A2的边长为√3+1，正方形A2B2C2A3…的边长为（√3+1）（1+√33），正方形A3B3C3A4的边长为（√3+1）（1+√33）2，由此规律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的边长为（√3+1）（1+√33）2016．∴正方形A2017B2017C2017A2018的周长为4•（√3+1）（1+√33）2016＝4•（√33）2016•（1+√3）2017．故答案为4•（√33）2016•（1+√3）2017．三、解答题（共5小题）：26.（2020秋•庐阳区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，∠C＝50°，AD⊥BC，垂足为D，EF是边AB的垂直平分线，交BC于E，交AB于点F，求∠EAD的度数．【答案】∠EAD＝30°【解析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EAB＝∠B＝30°，根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可．解：∵∠BAC＝100°，∠C＝50°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝30°，∵EF是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝30°，∴∠AED＝∠EAB+∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°﹣60°＝30°．27.（2020•香洲区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC．（1）请用尺规作图法，作边AB的垂直平分线交AC于点D（不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）若AC＝4，AB＝5，连接BD，求△BCD的周长．【答案】(1)见解析；(2)△BCD的周长＝7.【解析】（1）路尺规作线段AB的垂直平分线交AC于点D，交BA于点E．（2）利用勾股定理求出BC，证明DA＝DB，即可解决问题．解：（1）如图，直线DE即为所求作．（2）∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC=√AB2−AC2=√52−42=3，由作图可知，DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝3+4＝7．28.（2020•临清市一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AC，BC，AD于点O，E，F．（1）求证：AF＝CE；（2）若BE＝3，AF＝5，求AC的长．【答案】(1)见解析；(2)AC=√AB2+BC2=√42+82=4√5.【解析】（1）利用垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可△AOF ≡△COE （ASA ），进而得出AF ＝CE ；（2）连接AE ，先求得CE ＝5＝AE ，BC ＝BE+CE ＝8，即可运用勾股定理得到AB 和AC 的长．（1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO ＝CO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，在△AOF 和△COE 中，{∠AOF =∠COEOA =OC ∠OAF =∠OCE，∴△AOF ≡△COE （ASA ），∴AF ＝CE ；（2）如图，连接AE ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，∵AF ＝CE ，AF ＝5，∴CE ＝5＝AE ，∴BC ＝BE+CE ＝3+5＝8，又∵AB =√AE 2−BE 2=√52−32=4，∴AC=√AB2+BC2=√42+82=4√5．29.（2020•南岗区三模）已知：在△ABC中，AC＜AB＜BC．线段AB的垂直平分线交BC于点D，点E在BC上，且BE＝AB．连接AD，AE，∠AEC＝3∠BAD．（1）如图1，求证：AD＝AE；（2）如图2，当∠B＝2∠CAE时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形．【答案】(1)见解析；(2)四个等腰三角形分别是：△ABD，△ABE，△ADE，△ADC.【解析】（1）设∠B＝α，先根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD，可表示∠BAD＝α，再根据三角形的外角和等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠AED＝2α，从而得结论；（2）根据等腰三角形的判定即可求解．（1）证明：设∠B＝α，∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2α，∵∠AEC＝3∠BAD＝3α，∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠DAE＝α，∵AB＝BE，∴∠AEB ＝∠BAE ＝2α，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ；（2）解：如图2，由（1）知：AD ＝BD ，AD ＝AE ，∴△ABD 和△ADE 都是等腰三角形，∵AB ＝BE ，∴△ABE 也是等腰三角形，∵∠B ＝2∠CAE ，∴∠CAE =12α，△AEC 中，∠C ＝∠AED ﹣∠CAE ＝2α−12α=32α，∵∠DAC ＝∠DAE+∠CAE ＝α+12α=32α， ∴∠C ＝∠DAC ，∴AD ＝CD ，∴△ADC 是等腰三角形，综上，图2中的四个等腰三角形分别是：△ABD ，△ABE ，△ADE ，△ADC ．30.（2020•金牛区模拟）如图，点E 在矩形ABCD 对角线AC 上由A 向C 运动，且BC ＝2√3，∠ACB ＝30°，连结EF ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F （当点F 与点C 重合时，点E 也停止运动）（1）如图1，当AC 平分角∠DEF 时，求AE 的长度；（2）如图2，连结DF ，与AC 交于点G ，若DF ⊥AC 时，求四边形DEFC 的面积；（3）若点E 分AC 为1：2两部分时，求BF ：FC ．【答案】(1)AE=3−√3；(2)S四边形DEFC =12×2×4√33=4√33；(3)BF：CF＝4：5或BF：CF＝8：1.【解析】（1）如图1中，作DM⊥AC于M，解直角三角形求出CM，EM，AC即可解决问题．（2）解直角三角形求出DG，FG，CG，利用相似三角形的性质求出EG，根据S四边形DEFC =12•DF•CE求解即可．（3）分两种情形：①如图1﹣1中，若AE：CE＝1：2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．解直角三角形求出EN，DN，EM，再利用相似三角形的性质求出MF即可解决问题．②若AE：CF＝2：1时，同法可求．【解答】解：（1）如图1中，作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝2√3，∵∠ACB＝30°，∴AB＝CD＝BC•tan30°＝2，AC＝2AB＝4，在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，∠DCM＝60°，CD＝2，∴∠CDM＝30°，∴CM=12CD＝1，DM=√3CM=√3，∵∠DEF＝90°，EM平分∠DEF，∴∠DEM=12∠DEF＝45°，∴EM＝DM=√3，∴AE＝AC﹣EM﹣CM＝3−√3．（2）如图2中，∵DF⊥AC，∴∠DGC＝90°，在Rt△CDG中，∵CD＝2，∠DCG＝60°，∴∠CDG＝30°，∴CG=12CD＝1，DG=√3，∴FG＝CG•tan30°=√33，∵∠FEG+∠DEG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，∴∠FEG＝∠EDG，∵∠EGF＝∠DGE＝90°，∴△EGF∽△DGE，∴EGDG =FGEG，∴√3=√33EG，∴EG＝1，∴S四边形DEFC =12•DF•CE=12×2×4√33=4√33．（3）①如图1﹣1中，若AE：CE＝1：2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．∵AB ＝CD ＝2，AC ＝4，AE ：EC ＝1：2， ∴AE =43，EC =83，在Rt △CEN 中，∵∠ECN ＝30°∴CN =12EC =43，EN =√3CN =4√33， ∴DN ＝2−43=23，在Rt △CEM 中，∵∠ECM ＝30°，∴EM =12EC =43，CM =√3EM =4√33， ∵DE ⊥EF ，∴∠DEF ＝∠NEM ＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ，∵∠END ＝∠EMF ＝90°，∴△END ∽△EMF ，∴EN EM =DN MF ，可得MF =2√39， ∴CF ＝CM ﹣MF =10√39，BF ＝2√3−CF =8√39， ∴BF ：CF ＝4：5．②若AE ：CF ＝2：1时，同法可得BF ：CF ＝8：1．综上所述，BF ：CF ＝4：5或BF ：CF ＝8：1．。

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线段的垂直平分线与角平分线专题复习
知识点复习：
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD
∴ AC ＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC
∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：
图1
图2
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，
∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，
∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
图4
精品习题：
1．在△ABC 中，∠C=90º，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______.
2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定
3．如图，ΔABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD 分为三个三角形，则S ABO ∆：S BCO ∆：S CAO ∆等于______.
4．如图所示，∠BAC ＝105°，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ．则∠PAQ 的度数为．
5．AD ∥BC ，∠D=90︒，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的关系是（）
A ．PD>PC
B ．PD<P
C C ．PD=PC
D ．无法判断
6．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A ．在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处
C ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 D.在∠A 、∠B 的角平分线的交点处
7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )
A．25º B.30º C.45º D.60º
8．AC=AD，BC=BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
9．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

A、1
B、2
C、3
D、4
11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC 于E点，求PE的长．
12．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.
13．如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；
（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
15．已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．
（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变？说明理由．
16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB =AD ，CB =CD ．
（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC ⊥BD ，垂足为点E ，并且BE =ED ，你同意小德的判断吗？为什么？
（2）设AC =a ，BD =b ，请用含a ，b 的式子表示四边形ABCD 的面积．
17．如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。

A
B
E
C
D
18．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

19．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD D
A
E C
B
A
B C
D。