差分方程的定义
差分方程 - 基本概念
一、差分的概念
设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………
一阶差分的性质
(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；
(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；
(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即
D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt
=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．
依此定义类推，有
D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………
类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分
D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，
D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1， ………………
一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
差分方程
这里
差分方程
二、 差分方程
含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为
F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0，
其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为
F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0,
其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。
三、 差分方程的解
如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0，使其对t=…，-2，-1，0，1，2，…成为恒等式，则称yt=j(t)为方程的解。含有n个任意(独立)常数C1，C2，…，Cn的解
yt=?(t，C1，C2，…，Cn)
称为n阶差分方程的通解。在通解中给任意常数C1，C2，…，Cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解。
差分方程 - 线性差分方程
形如
yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)
的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t)，a2(t)，…，an-1(t)，an(t)和f(t)都是t的已知函数，且an(t)≠0，f(t)≠0。而形如
yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0
的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，…，n)为t的已知函数，且an(t)≠0。
如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n)均为常数(an≠0)，则有
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)，
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。
分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。
定理1(齐次线性
差分方程解的叠加原理)
若y1(t)，y2(t)，…，ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2)，则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。
定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。
定理3(齐次线性差分方程通解结构定理)
如果y1(t)，y2(t)，…，yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解，则方程 的通解为：
yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数。
定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)
如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的一个特解，yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解，那么，非齐次线性差分方程的通解为：
y(t)=yA(t)+ (t)
即
y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t)，
这里A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数。
差分方程 - 通解和特解
一、 齐次差分方程的通解
将方程yt+1+ayt=0改写为：yt+1=-ayt，t=0，1，2，…。假定在初始时刻(即t=0)时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得
y1=-ay0=-aA，y2=-ay1=(-a)2A，………………
方程的通解为yt =A(-a)t ，t=0，1，2，…。
如果给定初始条件t=0时yt=y0，则A=y0，此时特解为：yt =y0(-a)t 。
二、 非齐次方程的通解与特解
迭代法求通解
将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t)， t=0，1，2，…。
逐步迭代，则有
y1=(-a)y0+f(0)，y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1)，y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2)，………………
由数学归纳法，可得
差分方程
其中
差分方程
为方程的特解。yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。
差分方程 - 经济学中的应用
一、 存款模型
设St为t期存款总额，i为存款利率，则St与i有如下关系式：
St+1=St+iSt=(1+i)Si， t=0，1，2，…，
其中S0为初始存款总额。
二、 动态供需均衡模型(蛛网定理)
设Dt表示t期的需求量，St表示t期的供给量，Pt表示商品t期价格，则传统的动态供需均衡模型为：
差分方程
其中a，b，a1 ，b1均为已知常数。
(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；
(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格。
(3)式为供需均衡条件。
若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格
差分方程
需求曲线与供给曲线的交点(Pe ，Qe)即为该种商品的静态均衡点。
动态供需均衡模型的等价差分方程
差分方程
方程的一个特解
差分方程
方程的通解为
差分方程
若初始价格P0已知时,将其代入通解
，可求得任意常数A=P0-Pe ，此时，通解改写为
差分方程
如果初始价格P0=Pe ，那么Pt=Pe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Pe上，即静态均衡。如果初始价格P0≠Pe ，那么价格Pt将随t的变化而变化。
差分方程
<1时，
差分方程
动态价格Pt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Pe 。
差分方程
三、 凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型
设Yt表示t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，DI0为自发(固定)投资，?I为周期固定投资增量。凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：
差分方程
(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a(≥0)为基本消费水平，b为边际消费倾向(0＜b＜1)；(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资。
在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一阶常系数非齐次线性差分方程：
Yt-bYt-1=a+I0+DI 方程的一个特解
差分方程
方程的通解为
差分方程
其中A为任意常数。称系数
差分方程
为凯恩斯乘数。
四、 哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型
设St为t期储蓄，Yt为t期国民收入，It为t期投资，s称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s＜1，k为加速系数。哈罗德宏观经济增长模型为：
差分方程
其中s，k为已知常数。
(1)式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k为常数；(3)式为均衡条件。
经整理后得齐次差分方程
差分方程
其通解为
差分方程
其中A为任意常数，
差分方程
，哈罗德称之为“保证增长率” 其经济意义就是：如果国民收入Yt按保证增长率
差分方程
增长，那么就能保证t期储蓄与t期投资达到动态均衡，即It=St ， t=0，1，2，…。
五、 萨缪尔森(Samuelson P.A)乘数加速数模型
设Yt为t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，G为政府支出(各期均相同)。萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型)：
差分方程
其中G＞0为常数，b称为边际消费倾向(常数)，k为加速数。
将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得：Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2＝G．其特解
差分方程
其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数
差分方程
与政府支出自发投资G的乘积。
对应的齐次方程为 Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0，
其特征方程为 ?A2-b(1+k)A+bk=0，特征方程的判别式
差分方程
当
差分方程
时，特征方程有两相异实根
差分方程
齐次方程的通解为：
差分方程
。
当
差分方程
时，特征方程有一对相等
实特征根
差分方程
。
齐次方程的通解为：
差分方程
。
当
差分方程
时，特征方程有一对共轭复根：
差分方程
齐次方程的通解为：
差分方程